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Exercice : ÉchauffementSimilitude/Exercices/Échauffement », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
A
B
C
{\displaystyle ABC}
est un triangle direct, rectangle en
A
{\displaystyle A}
et isocèle.
I
{\displaystyle I}
est le milieu de
[
B
C
]
{\displaystyle [BC]}
. Précisez l'angle et le rapport de la similitude directe de centre
C
{\displaystyle C}
:
s
1
{\displaystyle s_{1}}
qui transforme
A
{\displaystyle A}
en
B
{\displaystyle B}
.
s
2
{\displaystyle s_{2}}
qui transforme
I
{\displaystyle I}
en
A
{\displaystyle A}
.
Solution
En notant
a
,
b
,
c
,
i
{\displaystyle a,b,c,i}
les affixes de
A
,
B
,
C
,
I
{\displaystyle A,B,C,I}
, les hypothèses se traduisent par
c
−
a
=
i
(
b
−
a
)
{\displaystyle c-a=\mathrm {i} (b-a)}
et
i
=
b
+
c
2
{\displaystyle i={\frac {b+c}{2}}}
.
b
−
c
a
−
c
=
b
−
a
a
−
c
+
1
=
1
−
1
i
=
1
+
i
{\displaystyle {\frac {b-c}{a-c}}={\frac {b-a}{a-c}}+1=1-{\frac {1}{\mathrm {i} }}=1+\mathrm {i} }
donc
s
1
{\displaystyle s_{1}}
a pour rapport
2
{\displaystyle {\sqrt {2}}}
et pour angle
π
4
{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}
.
a
−
c
i
−
c
=
2
a
−
c
b
−
c
=
2
1
+
i
=
1
−
i
{\displaystyle {\frac {a-c}{i-c}}=2{\frac {a-c}{b-c}}={\frac {2}{1+\mathrm {i} }}=1-\mathrm {i} }
donc
s
2
{\displaystyle s_{2}}
a pour rapport
2
{\displaystyle {\sqrt {2}}}
et pour angle
−
π
4
{\displaystyle -{\frac {\pi }{4}}}
.
A
B
C
{\displaystyle ABC}
est un triangle équilatéral direct.
I
{\displaystyle I}
est le milieu de
[
B
C
]
{\displaystyle [BC]}
. Précisez la similitude directe :
s
1
{\displaystyle s_{1}}
de centre
B
{\displaystyle B}
qui transforme
A
{\displaystyle A}
en
I
{\displaystyle I}
;
s
2
{\displaystyle s_{2}}
de centre
I
{\displaystyle I}
qui transforme
C
{\displaystyle C}
en
A
{\displaystyle A}
;
s
3
{\displaystyle s_{3}}
de centre
C
{\displaystyle C}
qui transforme
A
{\displaystyle A}
en
G
{\displaystyle G}
, centre de gravité du triangle
A
B
C
{\displaystyle ABC}
.
Solution
En notant
a
,
b
,
c
,
i
,
g
{\displaystyle a,b,c,i,g}
les affixes de
A
,
B
,
C
,
I
,
G
{\displaystyle A,B,C,I,G}
, les hypothèses se traduisent par
c
−
a
=
1
+
i
3
2
(
b
−
a
)
{\displaystyle c-a={\frac {1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}(b-a)}
,
i
=
b
+
c
2
{\displaystyle i={\frac {b+c}{2}}}
et
g
=
a
+
b
+
c
3
{\displaystyle g={\frac {a+b+c}{3}}}
.
i
−
b
a
−
b
=
c
−
b
2
(
a
−
b
)
=
c
−
a
2
(
a
−
b
)
+
1
2
=
−
1
+
i
3
4
+
1
2
=
1
−
i
3
4
{\displaystyle {\frac {i-b}{a-b}}={\frac {c-b}{2(a-b)}}={\frac {c-a}{2(a-b)}}+{\frac {1}{2}}=-{\frac {1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{4}}+{\frac {1}{2}}={\frac {1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{4}}}
donc
s
1
{\displaystyle s_{1}}
a pour rapport
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
et pour angle
−
π
3
{\displaystyle -{\frac {\pi }{3}}}
.
a
−
i
c
−
i
=
2
a
−
b
−
c
c
−
b
=
2
(
a
−
b
)
c
−
b
−
1
=
4
1
−
i
3
−
1
=
i
3
{\displaystyle {\frac {a-i}{c-i}}={\frac {2a-b-c}{c-b}}={\frac {2(a-b)}{c-b}}-1={\frac {4}{1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}-1=\mathrm {i} {\sqrt {3}}}
donc
s
2
{\displaystyle s_{2}}
a pour rapport
3
{\displaystyle {\sqrt {3}}}
et pour angle
π
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
.
g
−
c
a
−
c
=
a
+
b
−
2
c
3
(
a
−
c
)
=
2
3
+
b
−
a
3
(
a
−
c
)
=
2
3
−
2
3
(
1
+
i
3
)
=
3
+
i
2
3
{\displaystyle {\frac {g-c}{a-c}}={\frac {a+b-2c}{3(a-c)}}={\frac {2}{3}}+{\frac {b-a}{3(a-c)}}={\frac {2}{3}}-{\frac {2}{3(1+\mathrm {i} {\sqrt {3}})}}={\frac {{\sqrt {3}}+\mathrm {i} }{2{\sqrt {3}}}}}
donc
s
3
{\displaystyle s_{3}}
a pour rapport
1
3
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}}
et pour angle
π
6
{\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}
.
A
B
C
{\displaystyle ABC}
est un triangle tel que :
{
A
B
=
a
(
A
B
→
,
A
C
→
)
=
2
π
3
(
B
C
→
,
B
A
→
)
=
π
6
.
{\displaystyle {\begin{cases}AB=a\\({\vec {AB}},{\vec {AC}})={\frac {2\pi }{3}}\\({\vec {BC}},{\vec {BA}})={\frac {\pi }{6}}.\end{cases}}}
K
{\displaystyle K}
désigne l'intersection de la droite
(
B
C
)
{\displaystyle (BC)}
et de la médiatrice du segment
[
A
B
]
{\displaystyle [AB]}
.
Montrez que le triangle
A
B
C
{\displaystyle ABC}
est isocèle.
Calculez
C
B
{\displaystyle CB}
.
Déterminez le rapport et l'angle de la similitude
s
1
{\displaystyle s_{1}}
de centre
A
{\displaystyle A}
qui transforme
K
{\displaystyle K}
en
B
{\displaystyle B}
.
Déterminez le rapport et l'angle de la similitude
s
2
{\displaystyle s_{2}}
de centre
K
{\displaystyle K}
qui transforme
A
{\displaystyle A}
en
C
{\displaystyle C}
.
Solution
(
C
A
→
,
C
B
→
)
=
π
−
(
B
C
→
,
B
A
→
)
−
(
A
B
→
,
A
C
→
)
=
π
6
=
(
B
C
→
,
B
A
→
)
{\displaystyle ({\vec {CA}},{\vec {CB}})=\pi -({\vec {BC}},{\vec {BA}})-({\vec {AB}},{\vec {AC}})={\frac {\pi }{6}}=({\vec {BC}},{\vec {BA}})}
.
C
B
=
2
A
B
cos
π
6
=
a
3
{\displaystyle CB=2AB\cos {\frac {\pi }{6}}=a{\sqrt {3}}}
.
s
1
{\displaystyle s_{1}}
a pour rapport
B
A
K
A
=
C
B
A
B
=
3
{\displaystyle {\frac {BA}{KA}}={\frac {CB}{AB}}={\sqrt {3}}}
et pour angle
(
A
K
→
,
A
B
→
)
=
(
B
A
→
,
B
K
→
)
=
−
π
6
{\displaystyle ({\vec {AK}},{\vec {AB}})=({\vec {BA}},{\vec {BK}})=-{\frac {\pi }{6}}}
.
s
2
{\displaystyle s_{2}}
a pour rapport
K
C
K
A
=
B
C
−
B
K
K
A
=
B
C
B
K
−
1
=
a
3
a
/
3
−
1
=
2
{\displaystyle {\frac {KC}{KA}}={\frac {BC-BK}{KA}}={\frac {BC}{BK}}-1={\frac {a{\sqrt {3}}}{a/{\sqrt {3}}}}-1=2}
et pour angle
(
K
A
→
,
K
C
→
)
=
π
−
(
K
B
→
,
K
A
→
)
=
2
(
B
A
→
,
B
K
→
)
=
−
π
3
{\displaystyle ({\vec {KA}},{\vec {KC}})=\pi -({\vec {KB}},{\vec {KA}})=2({\vec {BA}},{\vec {BK}})=-{\frac {\pi }{3}}}
.