Signaux physiques - bis (PCSI)/Filtrage linéaire : gabarit d'un filtre, 1ère partie

**Filtrage linéaire : gabarit d'un filtre, 1ère partie**
Leçon : Signaux physiques - bis (PCSI)

Chapitre n^o 8
Chap. préc. :	Filtrage linéaire : fonction de transfert harmonique et diagramme de Bode, 2ème partie
Chap. suiv. :	Filtrage linéaire : gabarit d'un filtre, 2ème partie

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Signaux physiques - bis (PCSI) : Filtrage linéaire : gabarit d'un filtre, 1ère partie
Signaux physiques - bis (PCSI)/Filtrage linéaire : gabarit d'un filtre, 1ère partie », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Définition du gabarit d'un filtre

Introduction : fonction d'un filtre

La fonction d'un filtre est de récupérer, dans un ensemble de signaux reçus, le signal utile et de le manipuler pour en retirer une information précise $($ exemple : un récepteur radio recevant un ensemble d'ondes électromagnétiques radiophoniques en sélectionne une et la traite pour la transformer en ondes sonores audibles $\dots)$

Le filtre doit donc :

éliminer tous les signaux inutiles,
transmettre sans atténuation et ni déformation $($ c.-à-d. sans déphasage pour un signal sinusoïdal $)$ et enfin
traiter l'information.

Un filtre réel ne possède pas toutes ces propriétés car

d'une part le signal utile est en général atténué et déformé $($ ou déphasé s'il est sinusoïdal $)$ et
d'autre part le passage entre les fréquences transmises et absorbées n'est pas brutal mais progressif.

Définition du gabarit d'un filtre en terme d'amplitude

Le plus simple est de le définir sur l'exemple d'un « filtre passe-bas » et pour cela il faut préciser :

la dernière fréquence passante $f_{p}$ , « le filtre doit laisser passer toutes les fréquences $f < f_{p}$ »,
le gain minimum en dB $G_{d B, sup}$ pour les fréquences passantes, « le gain associé aux fréquences passantes doit être $G_{d B, p} > G_{d B, sup}$ »,
la 1^ère fréquence absorbée ^[1] $f_{a}$ , « le filtre doit arrêter toutes les fréquences $f < f_{a}$ »,
le gain maximum en dB $G_{d B, inf}$ pour les fréquences absorbées, « le gain associé aux fréquences absorbéees doit être $G_{d B, a} < G_{d B, inf}$ ».

Par exemple si on choisit $G_{d B, sup} = - 3 d B$ ^[2] et $G_{d B, inf} = - 60 d B$ , cela signifie

que toutes les fréquences passantes sont telles que $G_{d B, p} = 20 \log [\frac{S_{p}}{E}] > - 3 d B = 20 \log [\frac{1}{\sqrt{2}}]$ soit « $S_{p} > \frac{E}{\sqrt{2}} ≃ 0, 7 E$ » et
que toutes les fréquences absorbées sont telles que $G_{d B, p} = 20 \log [\frac{S_{a}}{E}] < - 60 d B = 20 \log [1 0^{- 3}]$ soit « $S_{a} < 1 0^{- 3} E = 0, 001 E$ » ;

sur cet exemple l'« intervalle passant $[0; f_{p}]$ » est l'« intervalle passant à $- 3 d B$ », sa largeur $Δ f = f_{p}$ est la « bande passante à $- 3 d B$ » ^[3].

Influence de la phase sur un filtre

Tout filtre agissant sur un signal sinusoïdal introduit un déphasage qui dépend de la fréquence et ceci même dans l'intervalle passant ; ce déphasage est équivalent à un décalage temporel en effet « $s (t)$ $= S_{0} \sqrt{2} \cos (ω t + φ_{s}) = S_{0} \sqrt{2} \cos [ω (t + \frac{φ_{s}}{ω})] = S_{0} \sqrt{2} \cos [ω (t + Δ t_{s})]$ », « le déphasage $φ_{s}$ étant équivalent à un décalage temporel $Δ t_{s} = \frac{φ_{s}}{ω}$ »^[4].

Remarque : ne sachant pas construire de filtre analogique simple qui présente simultanément un filtrage idéal en amplitude sans déformer le signal utile par intervention d'un déphasage sur les composantes sinusoïdales, on construit en pratique les filtres en tenant compte uniquement du gabarit en amplitude sans tenir compte de la déformation due au déphasage des composantes sinusoïdales $\dots$

Remarque : et si le déphasage devient primordial, on construit un filtre qui présente une grande régularité en déphasage correspondant à un retard temporel identique pour chaque fréquence, en n'accordant que peu d'importance à la qualité du filtrage en terme d'amplitude $\dots$

Établissement du gabarit d'un 1^er ordre fondamental, condition pour l'utiliser en moyenneur ou en intégrateur

La notion de « moyenneur » pour un filtre passe-bas agissant sur un signal d'entrée périodique à composante permanente correspond au filtre laissant passer la composante permanente et arrêtant tous les autres harmoniques,
celle d'« intégrateur » pour un même filtre correspond au filtre laissant passer la composante permanente et intégrant tous les autres harmoniques.

Cahier des charges du passe-bas (traité sur un exemple)

On cherche à réaliser le filtrage passe-bas suivant :

les fréquences jusqu'à $1, 9 k H z$ doivent passer à travers le filtre sans être amplifiées et ne pas être atténuées de plus de $3 d B$ ,
les fréquences supérieures à $6, 2 k H z$ doivent être filtrées et atténuées d'au moins $9 d B$ .

Choix de l'ordre du filtre (pour l'exemple précédent)

Gabarit d'un 1^er ordre fondamental de dernière fréquence passante de $1, 9 k H z$ et de 1^ère fréquence absorbée $6, 2 k H z$ , le gain minimal pour les fréquences passantes étant $- 3 d B$ et le gain maximal pour les fréquences absorbées $- 9 d B$

On le détermine en « calculant la pente nécessaire dans la zone de transition », la valeur absolue de celle-ci donnant un minorant de la pente nécessaire dans la zone absorbante $($ voir exemple ci-contre $)$ ;

dans la zone de transition on passe « de $f_{p} = 1, 9 k H z$ à $f_{a} = 6, 2 k H z$ » soit « $\log (\frac{f_{a}}{f_{p}}) = \log (\frac{6, 2}{1, 9}) ≃ 0, 51 décade$ associée à une chute de $9 - 3 = 6 d B$ » $\Rightarrow$ « une pente dans cette zone intermédiaire de $\frac{- 6 d B}{0, 51 décade} ≃$ $- 11, 8 d B / décade$ » d'où

le « choix d'une pente de

- 20 d B / décade

dans la zone absorbante »
c.-à-d. le « choix d'un 1^er ordre fondamental »^[5].

Choix de la fréquence caractéristique du filtre (c.-à-d., dans le cas présent, de sa fréquence de coupure à -3dB) pour l'exemple précédent

Compte-tenu de la valeur $f_{p} = 1, 9 k H z$ avec $G_{d B, sup} = - 3 d B$ , la fréquence de coupure à $- 3 d B$ , $f_{c}$ doit vérifier « $f_{c} ⩾ f_{p}$ » ;

compte-tenu de la valeur $f_{a} = 6, 2 k H z$ avec $G_{d B, inf} = - 9 d B$ , la fréquence de coupure à $- 3 d B$ , $f_{c}$ doit vérifier « $f_{c} ⩽ \frac{f_{a}}{2, 82}$ » ${$ en effet l'abscisse de la droite de pente $- 20 d B / décade$ passant par le point $(f_{a} = 6, 2 k H z, G_{d B, inf} = - 9 d B)$ est séparé de $f_{a} = 6, 2 k H z$ de $\frac{- 9 d B}{- 20 d B / décade}$ $≃ 0, 45 décade$ soit un rapport entre l'abscisse cherchée et $f_{a} = 6, 2 k H z$ de $1 0^{0, 45} ≃ 2, 82}$ .

En conclusion la fréquence de coupure à

- 3 d B

doit satisfaire
«

f_{p} = 1, 9 k H z ⩽ f_{c} ⩽ \frac{f_{a}}{2, 82} = \frac{6, 2 k H z}{2, 82} ≃ 2, 2 k H z

».

Choix des éléments constitutifs du filtre sur l'exemple précédent

On choisit un « $R C$ série » avec « sortie aux bornes de $C$ », tel que $1, 9 k H z ⩽ f_{c} = \frac{1}{2 π R C} ⩽ 2, 2 k H z$ soit, en inversant et divisant tous les membres par $2 π$ après rétablissement en unités S.I.^[6], « $72 1 0^{- 5} s ≃ \frac{1}{2, 2 1 0^{3} \times 2 π} ⩽ R C ⩽ \frac{1}{2, 2 1 0^{3} \times 2 π} ≃ 84 1 0^{- 5} s$ » et finalement

«

τ = R C \underset{\sim}{\in} [72 μ s; 84 μ s]

» ;

     on peut par exemple choisir $≻$ « $R = 1 k Ω$ et $72 n F ≲ C ≲ 84 n F$ » ou
     on peut par exemple choisir $≻$ « $R = 2 k Ω$ et $36 n F ≲ C ≲ 42 n F$ » ou encore
     on peut par exemple choisir $≻$ « $R = 10 k Ω$ et $7, 2 n F ≲ C ≲ 8, 4 n F$ » $\dots$

     Avec « $R = 1 k Ω$ et $C ≃ 80 n F$ », on obtient une « fréquence de coupure à $- 3 d B$ , $f_{c} ≃ 2, 0 k H z$ » et
     Avec « $R = 1 k Ω$ et $C ≃ 80 n F$ », on obtient $≻$ « pour $f_{p} = 1, 9 k H z$ , le gain en dB vaut $G_{d B} (f_{p}) = 20 \log [\frac{1}{\sqrt{1 + {(R C ω_{p})}^{2}}}] = - 10 \log [1 + {(\frac{f_{p}}{f_{c}})}^{2}]$ »^[7] soit pratiquement « $G_{d B} (f_{p})$ $≃ - 10 \log [1 + {(\frac{1, 9}{2, 0})}^{2}] ≃ - 2, 79 d B ≃ - 2, 8 d B > - 3 d B = G_{d B, sup}$ » alors que
     Avec « $R = 1 k Ω$ et $C ≃ 80 n F$ », on obtient $≻$ « pour $f_{a} = 6, 2 k H z$ , le gain en dB vaut $G_{d B} (f_{a}) = 20 \log [\frac{1}{\sqrt{1 + {(R C ω_{a})}^{2}}}] = - 10 \log [1 + {(\frac{f_{a}}{f_{c}})}^{2}]$ »^[7] soit pratiquement « $G_{d B} (f_{a})$ $≃ - 10 \log [1 + {(\frac{6, 2}{2, 0})}^{2}] ≃ - 10, 26 d B ≃ - 10, 3 d B < - 9 d B = G_{d B, inf}$ ».

Condition pour utiliser le filtre comme intégrateur ou moyenneur sur l'exemple précédent

Utilisation d'un 1^er ordre fondamental de fréquence de coupure à $- 3 d B$ , $f_{c} ≃ 2, 0 k H z$ fonctionnant en intégrateur avec un signal d'entrée créneau de fréquence $f = 20, 0 k H z$

Utilisation d'un 1^er ordre fondamental de fréquence de coupure à $- 3 d B$ , $f_{c} ≃ 2, 0 k H z$ fonctionnant en intégrateur à composante permanente avec un signal d'entrée créneau de fréquence $f = 20, 0 k H z$ autour d'une composante permanente

Le filtre se comportera comme un « intégrateur » si les harmoniques d'un signal d'entrée à valeur moyenne nulle sont tous dans la zone intégrative à savoir $f ≳ 10 f_{c}$ ${$ le choix d'une fréquence de coupure à $- 3 d B$ égale à $f_{c} ≃$ $2, 0 k H z$ , donne une zone intégrative $[20 k H z, + \infty [$ mais le « signal ne sera réellement intégré que s'il est d'amplitude notable » ^[8] $}$ voir ci-contre à gauche ;

le filtre agissant sur un signal d'entrée à valeur moyenne non nulle laissera passer sans atténuation la composante permanente de ce signal et, dans la mesure où les autres harmoniques du signal d'entrée sont tous dans la zone intégrative à savoir $f ≳ 10 f_{c}$ , il se comportera comme un « intégrateur à composante permanente » $\dots$ à condition que « l'amplitude des harmoniques intégrés soit de valeur notable » ^[8] voir ci-contre à droite.

Utilisation d'un 1^er ordre fondamental de fréquence de coupure à $- 3 d B$ , $f_{c} ≃ 2, 0 k H z$ fonctionnant en moyenneur avec un signal d'entrée créneau de fréquence $f = 200, 0 k H z$ autour d'une composante permanente

Le filtre agissant sur un signal d'entrée à valeur moyenne non nulle laissant passer sans atténuation la composante permanente de ce signal, se comportera comme « moyenneur $($ à composante permanente $)$ »^[9] si les autres harmoniques du signal d'entrée sont tous dans la zone intégrative mais tels que « la fréquence du signal d'entrée^[10] soit suffisamment éloignée de la borne inférieure » de façon à ce que l'amplitude des formes intégrées des harmoniques de rang non nul soit trop petite pour être observée, voir ci-contre à droite ;

justification : si la fréquence du signal d'entrée est de $200 k H z ≃ 100 f_{c}$ , cela donne un gain en dB de $- 40 d B$ pour l'harmonique fondamental soit une atténuation d'un facteur $100$ et par suite une amplitude de la forme intégrée de l'harmonique fondamental pouvant être considérée inobservable si l'amplitude d'entrée reste de valeur raisonnable $[$ par exemple une amplitude de $1 V$ conduit à une amplitude de la forme intégrée de l'harmonique fondamental de $10 m V$ de valeur comparable à celle des parasites $]$ ,
justification : l'intégration des harmoniques de rang supérieur donnant une atténuation encore plus faible, ceux-ci sont évidemment encore moins observables $[$ par exemple l'harmonique de rang $10$ conduirait à une atténuation d'un facteur $1000]$ .

Établissement du gabarit d'un 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul, condition pour l'utiliser en dérivateur

Cahier des charges du passe-haut (traité sur un exemple)

On cherche à réaliser le filtrage passe-haut suivant :

les fréquences jusqu'à $1, 9 k H z$ doivent être filtrées et atténuées d'au moins $9 d B$ ,
les fréquences supérieures à $6, 2 k H z$ doivent passer à travers le filtre sans être amplifiées et ne pas être atténuées de plus de $3 d B$ .

Choix de l'ordre du filtre (pour l'exemple précédent)

Gabarit d'un 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul de dernière fréquence absorbée de $1, 9 k H z$ et de 1^ère fréquence passante $6, 2 k H z$ , le gain maximal pour les fréquences absorbées étant $- 9 d B$ et le gain minimal pour les fréquences passantes étant $- 3 d B$

On le détermine en « calculant la pente nécessaire dans la zone de transition », celle-ci donnant un minorant de la pente nécessaire dans la zone absorbante $($ voir exemple ci-contre $)$ ;

dans la zone de transition on passe « de $f_{a} = 1, 9 k H z$ à $f_{p} = 6, 2 k H z$ » soit « $\log (\frac{f_{p}}{f_{a}}) = \log (\frac{6, 2}{1, 9}) ≃ 0, 51 décade$ associée à une croissance de $9 - 3 = 6 d B$ » $\Rightarrow$ « une pente dans cette zone intermédiaire de $\frac{6 d B}{0, 51 décade} ≃$ $11, 8 d B / décade$ » d'où

le « choix d'une pente de

+ 20 d B / décade

dans la zone absorbante »
c.-à-d. le « choix d'un 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul »^[11].

Choix de la fréquence caractéristique du filtre (c.-à-d., dans le cas présent, de sa fréquence de coupure à -3dB) pour l'exemple précédent

Compte-tenu de la valeur $f_{p} = 6, 2 k H z$ avec $G_{d B, sup} = - 3 d B$ , la fréquence de coupure à $- 3 d B$ , $f_{c}$ doit vérifier « $f_{c} ⩽ f_{p}$ » ;

compte-tenu de la valeur $f_{a} = 1, 9 k H z$ avec $G_{d B, inf} = - 9 d B$ , la fréquence de coupure à $- 3 d B$ , $f_{c}$ doit vérifier « $f_{c} ⩾ 2, 82 \times f_{a}$ » ${$ en effet l'abscisse de la droite de pente $+ 20 d B / décade$ passant par le point $(f_{a} = 1, 9 k H z, G_{d B, inf} = - 9 d B)$ est séparé de $f_{p} = 6, 2 k H z$ de $\frac{9 d B}{20 d B / décade}$ $≃ 0, 45 décade$ soit un rapport entre l'abscisse cherchée et $f_{a} = 1, 9 k H z$ de $1 0^{0, 45} ≃ 2, 82}$ .

En conclusion la fréquence de coupure à

- 3 d B

doit satisfaire
«

2, 82 \times f_{a} = 2, 82 \times 1, 9 k H z ≃ 5, 4 k H z ⩽ f_{c} ⩽ f_{p} = 6, 2 k H z

».

Choix des éléments constitutifs du filtre sur l'exemple précédent

On choisit un « $R C$ série » avec « sortie aux bornes de $R$ », tel que $5, 4 k H z ⩽ f_{c} = \frac{1}{2 π R C} ⩽ 6, 2 k H z$ soit, en inversant et divisant tous les membres par $2 π$ après rétablissement en unités S.I.^[6], « $2, 5 1 0^{- 5} s ≃ \frac{1}{6, 2 1 0^{3} \times 2 π} ⩽ R C ⩽ \frac{1}{5, 4 1 0^{3} \times 2 π} ≃ 3, 0 1 0^{- 5} s$ » et finalement

«

τ = R C \underset{\sim}{\in} [25 μ s; 30 μ s]

» ;

     on peut par exemple choisir $≻$ « $R = 1 k Ω$ et $25 n F ≲ C ≲ 30 n F$ » ou
     on peut par exemple choisir $≻$ « $R = 2 k Ω$ et $12, 5 n F ≲ C ≲ 15 n F$ » ou encore
     on peut par exemple choisir $≻$ « $R = 10 k Ω$ et $2, 5 n F ≲ C ≲ 3, 0 n F$ » $\dots$

     Avec « $R = 1 k Ω$ et $C ≃ 29 n F$ », on obtient une « fréquence de coupure à $- 3 d B$ , $f_{c} ≃ 5, 5 k H z$ » et
     Avec « $R = 1 k Ω$ et $C ≃ 29 n F$ », on obtient $≻$ « pour $f_{a} = 1, 9 k H z$ , le gain en dB vaut $G_{d B} (f_{a}) = 20 \log [\frac{R C ω_{a}}{\sqrt{1 + {(R C ω_{a})}^{2}}}] = - 10 \log [1 + {(\frac{f_{c}}{f_{a}})}^{2}]$ »^[12] soit en pratique « $G_{d B} (f_{a})$ $≃ - 10 \log [1 + {(\frac{5, 5}{1, 9})}^{2}] ≃ - 9, 72 d B ≃ - 9, 7 d B < - 9 d B = G_{d B, inf}$ » alors que
     Avec « $R = 1 k Ω$ et $C ≃ 29 n F$ », on obtient $≻$ « pour $f_{p} = 6, 2 k H z$ , le gain en dB vaut $G_{d B} (f_{p}) = 20 \log [\frac{R C ω_{p}}{\sqrt{1 + {(R C ω_{p})}^{2}}}] = - 10 \log [1 + {(\frac{f_{c}}{f_{p}})}^{2}]$ »^[12] soit en pratique « $G_{d B} (f_{p})$ $≃ - 10 \log [1 + {(\frac{5, 5}{6, 2})}^{2}] ≃ - 2, 52 d B ≃ - 2, 5 d B > - 3 d B = G_{d B, sup}$ ».

Condition pour utiliser le filtre comme dérivateur sur l'exemple précédent

Utilisation d'un 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul de fréquence de coupure à $- 3 d B$ , $f_{c} ≃ 5, 5 k H z$ fonctionnant en dérivateur inobservable avec un signal d'entrée triangulaire de fréquence $f = 20, 0 k H z$

Le filtre se comportera comme un « dérivateur » si les 1^ers harmoniques qui importent pour construire le signal dérivé d'un signal d'entrée à valeur moyenne nulle sont tous dans la zone dérivative à savoir $n_{min construction dérivé} f ≲ \frac{f_{c}}{10}$ ou $f ≲ \frac{f_{c}}{10 n_{min construction dérivé}}$ , $n_{min construction dérivé}$ étant le rang minimal de l'harmonique du signal d'entrée nécessaire à la construction du signal dérivé par synthèse de Fourier^[13] ${$ le choix d'une fréquence de coupure à $- 3 d B$ égale à $f_{c} ≃ 5, 5 k H z$ , donne une zone dérivative $[0, 550 H z]$ mais le « signal ne sera réellement dérivé que s'il est d'amplitude notable $($ laquelle doit être le plus souvent très grande $)$ » ^[14] $}$ , ci-contre à gauche un signal de sortie inobservable avec une amplitude du signal d'entrée de $1 V$ ${$ l'amplitude théorique du signal de sortie serait de $2 m V$ inférieure à celle des parasites^[15] $}$ ;

Utilisation d'un 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul de fréquence de coupure à $- 3 d B$ , $f_{c} ≃ 5, 5 k H z$ fonctionnant en dérivateur peu observable avec un signal d'entrée triangulaire de fréquence $f = 200, 0 H z$

en fait la condition $f ≲ \frac{f_{c}}{10 n_{min construction dérivé}}$ de dérivation étant beaucoup trop stricte, on l'élargit à $f ≲ \frac{f_{c}}{n_{min construction dérivé}}$ $\Rightarrow$ une dérivation possible à condition que l'amplitude du signal dérivé ne soit pas trop faible^[16], ci-contre à droite le signal de sortie peu observable avec une amplitude du signal d'entrée de $1 V$ ${$ l'amplitude théorique du signal de sortie étant de $20 m V$ de même ordre de grandeur que celle des parasites $}$ ;

si on augmente la sensibilité d'observation dans les mêmes conditions de fréquence et d'amplitude du signal d'entrée que celles de la figure ci-contre à droite, on observe effectivement un signal de sortie assimilable à un créneau, voir ci-contre à gauche le signal $($ théorique $)$ sans la présence de parasites^[17] ;

Utilisation d'un 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul de fréquence de coupure à $- 3 d B$ , $f_{c} ≃ 5, 5 k H z$ fonctionnant en dérivateur distordu avec un signal d'entrée triangulaire de fréquence $f = 2, 0 k H z$

une autre façon d'observer le signal de sortie sans parasites dans les mêmes conditions de fréquence du signal d'entrée que celles de la figure ci-contre à gauche ou plus haut à droite, consiste à augmenter l'amplitude du signal d'entrée, celle du signal de sortie l'étant alors en même proportion, ce dernier devient observable malgré la présence de parasites dont les amplitudes sont plus faibles ${$ par exemple, avec une amplitude du signal d'entrée de $10 V$ celle du signal de sortie devient égale à $200 m V$ assez nettement supérieure à celle des parasites d'où une observation possible $}$ non représenté mais ressemblerait à la figure ci-contre à gauche ;

si on élargit encore la condition de dérivation d'un facteur $10$ , la dérivation se devine encore mais avec une distorsion un peu trop importante : voir ci-contre à droite l'observation de la tentative de dérivation d'un signal triangulaire de fréquence voisine de $\frac{f_{c}}{3} ≃$ $2, 0 k H z$ avec une distorsion importante mais une amplitude notable.

Établissement du gabarit d'un 2^ème ordre du type « réponse en intensité d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante », condition pour l'utiliser en dérivateur, intégrateur ou sélecteur d'harmonique

Cahier des charges d'un passe-bande (traité sur un exemple)

On cherche à réaliser le filtrage passe-bande^[18] suivant :

les fréquences entre $161, 6 k H z$ et $162, 4 k H z$ doivent passer à travers le filtre et ne pas être atténuées de plus de $3 d B$ ,
les fréquences inférieures à $112 k H z$ et supérieures à $212 k H z$ doivent être filtrées et atténuées d'au moins $40 d B$ .

Choix des caractéristiques du filtre (c.-à-d., dans le cas présent, de sa fréquence de résonance et de sa bande passante à -3dB) pour l'exemple précédent

Nous ne cherchons pas l'ordre du filtre car, parmi les filtres considérés d'ordre un ou deux, seuls les filtres d'ordre deux peuvent être un passe-bande.

Gabarit d'un 2^ème ordre du type réponse en intensité traversant un $R L C$ série soumis à une tension d'amplitude constante, de fréquences passantes comprises entre $161, 6 k H z$ et $162, 4 k H z$ , de fréquences absorbées au-dessous de $112 k H z$ et au-dessus de $212 k H z$ , le gain minimal pour les fréquences passantes étant $- 3 d B$ et le gain maximal pour les fréquences absorbées $- 40 d B$

La « fréquence centrale étant $f_{0} = 162, 0 k H z$ », les « fréquences de coupure à $- 3 d B$ basse et haute doivent être respectivement $<$ à $f_{p}^{-} = 161, 6 k H z$ et $>$ à $f_{p}^{+} = 162, 4 k H z$ », la « bande passante à $- 3 d B$ étant $>$ à $f_{p}^{+} - f_{p}^{-} = 0, 8 k H z$ », l'« acuité de la résonance doit donc être $<$ à $\frac{f_{0}}{f_{p}^{+} - f_{p}^{-}} = \frac{162, 0}{0, 8} ≃$ $202, 5$ » c.-à-d. « $Q ≲ 202, 5 ≃ 203$ » ;

compte-tenu du fait que « $\frac{f_{a}^{-}}{f_{0}} = \frac{112}{162} ≃ 0, 69 ≴ \frac{1}{10}$ » et « $\frac{f_{a}^{+}}{f_{0}} = \frac{212}{162} ≃ 1, 31 ≵ 10$ », « nous ne pouvons pas a priori considérer que les points ${f_{a}^{-} = 112 k H z; G_{d B} (f_{a}^{-})}$ et ${f_{a}^{+} = 212 k H z; G_{d B} (f_{a}^{+})}$ se trouvent respectivement sur l'asymptote B.F^[19]. ou H.F^[20]. de la courbe de gain du diagramme de Bode ^[21] du filtre » $\Rightarrow$ les conditions ${\begin{matrix} G_{d B} (f_{a}^{-}) < - 40 d B \\ G_{d B} (f_{a}^{+}) < - 40 d B \end{matrix}}$ nécessitent d'utiliser l'expression complète du gain en dB du filtre à savoir « $G_{d B} (f) = 20 \log [\frac{1}{\sqrt{1 + Q^{2} {(\frac{f}{f_{0}} - \frac{f_{0}}{f})}^{2}}}]$ »^[22] ou « $G_{d B} (f) =$ $- 10 \log [1 + Q^{2} {(\frac{f}{f_{0}} - \frac{f_{0}}{f})}^{2}]$ » d'où la réécriture des conditions ${\begin{matrix} G_{d B} (f_{a}^{-}) < - 40 d B \\ G_{d B} (f_{a}^{+}) < - 40 d B \end{matrix}}$ « ${\begin{matrix} \log [1 + Q^{2} {(\frac{f_{a}^{-}}{f_{0}} - \frac{f_{0}}{f_{a}^{-}})}^{2}] > 4 \\ \log [1 + Q^{2} {(\frac{f_{a}^{+}}{f_{0}} - \frac{f_{0}}{f_{a}^{+}})}^{2}] > 4 \end{matrix}}$ » soit « ${\begin{matrix} 1 + Q^{2} {(\frac{f_{a}^{-}}{f_{0}} - \frac{f_{0}}{f_{a}^{-}})}^{2} > 1 0^{4} \\ 1 + Q^{2} {(\frac{f_{a}^{+}}{f_{0}} - \frac{f_{0}}{f_{a}^{+}})}^{2} > 1 0^{4} \end{matrix}}$ » ou « ${\begin{matrix} Q | \frac{f_{a}^{-}}{f_{0}} - \frac{f_{0}}{f_{a}^{-}} | > 100 \\ Q | \frac{f_{a}^{+}}{f_{0}} - \frac{f_{0}}{f_{a}^{+}} | > 100 \end{matrix}}$ » et finalement « $Q ≳ {\begin{matrix} \frac{100}{\frac{1}{0, 69} - 0, 69} ≃ 131, 7 ≃ 132 \\ \frac{100}{1, 31 - \frac{1}{1, 31}} ≃ 182, 9 ≃ 183 \end{matrix}}$ », ces deux conditions étant réalisées si « $Q ≳ 183$ » ;

en conclusion le facteur de qualité du filtre devant satisfaire «

183 ≲ Q ≲ 203

», nous choisirons «

Q ≃ 200

».

nous vérifions que les valeurs du gain en décibels du filtre pour les fréquences $f_{a}^{-} = 112 k H z$ et $f_{a}^{+} = 212 k H z$ satisfont le cahier des charges avec cette valeur de facteur de qualité car

nous vérifions que les valeurs du gain en décibels du filtre $≻$ « $G_{d B} (f_{a}^{-}) = - 10 \log [1 + 20 0^{2} {(0, 69 - \frac{1}{0, 69})}^{2}] ≃ - 43, 6 d B < - 40 d B$ » et

nous vérifions que les valeurs du gain en décibels du filtre $≻$ « $G_{d B} (f_{a}^{+}) = - 10 \log [1 + 20 0^{2} {(1, 31 - \frac{1}{1, 31})}^{2}] ≃ - 40, 8 d B < - 40 d B$ ».

Choix des éléments constitutifs du filtre sur l'exemple précédent

On choisit donc un « $R L C$ série » avec « sortie aux bornes de $R$ », tel que $f_{0} = \frac{1}{2 π \sqrt{L C}} = 162 k H z$ soit « $L C = \frac{1}{{(2 π \times 162 1 0^{3})}^{2}} ≃$ $9, 65 1 0^{- 13} s^{2}$ » ;

     on peut, par exemple, choisir $≻$ « $L = 100 m H$ et $C = 9, 7 p F$ » ou
     on peut, par exemple, choisir $≻$ « $L = 10 m H$ ^[23] et $C = 97 p F$ » ou encore
     on peut, par exemple, choisir $≻$ « $L = 1 m H$ ^[23] et $C = 0, 97 n F$ » $\dots$

Le facteur de qualité permet de choisir $R$ par l'intermédiaire $Q = \frac{L ω_{0}}{R} = \frac{L 2 π f_{0}}{R}$ soit « $R = \frac{L 2 π f_{0}}{Q}$ » donnant,

avec le choix de «

L = 100 m H

et

C = 9, 7 p F

»,
«

R = \frac{0, 1 \times 2 π \times 162 1 0^{3}}{200} ≃ 510 Ω

».

Condition pour utiliser le filtre comme dérivateur, intégrateur ou sélecteur d'harmonique sur l'exemple précédent

Utilisation d'un 2^ème ordre du type réponse en intensité traversant un $R L C$ série soumis à une tension d'amplitude constante, de fréquence propre $162 k H z$ et de facteur de qualité $200$ , fonctionnant en dérivateur à signal de sortie totalement inobservable avec un signal d'entrée triangulaire de fréquence $f = 1, 1 k H z$

Le filtre deviendra « dérivateur » si les 1^ers harmoniques nécessaires pour construire le signal dérivé d'un signal d'entrée sont tous dans la zone dérivative soit « $n_{min construction dérivé} f ≲ \frac{f_{0}}{5}$ »^[24] ou « $f ≲ \frac{f_{0}}{5 n_{min construction dérivé}}$ » ${$ le choix d'une fréquence propre égale à $f_{0} ≃ 162 k H z$ donne une zone dérivative $[0; 32, 4 k H z]$ mais le « signal ne sera réellement dérivé que s'il est d'amplitude notable $($ cette exigence étant, le plus souvent, trop élevée pour aboutir à une observation $)$ » ^[25] $}$ .

ci-contre à gauche le signal de sortie créneau espéré avec une amplitude du signal d'entrée triangulaire de $1 V$ totalement inobservable car son amplitude théorique serait de $20 μ V$ approximativement mille fois plus faible que celle des parasites^[26],

ci-contre à droite, avec la même amplitude du signal d'entrée triangulaire de $1 V$ , le signal de sortie créneau attendu en absence de parasites et avec un facteur de loupe de $50000$ autrement dit d'observation totalement illusoire^[27] ;

le filtre se comportera comme un « intégrateur » si la fréquence du signal d'entrée est dans la zone intégrative à savoir $f ≳ 5 f_{0}$ ^[28] ${$ le choix d'une fréquence propre égale à $f_{0} ≃ 162 k H z$ , donne une zone intégrative $[810 k H z; + \infty [$ mais le « signal ne sera réellement intégré que s'il est d'amplitude notable $($ laquelle devrait être le plus souvent relativement grande pour aboutir à une observation $)$ » ^[29] $}$ ,

ci-contre à gauche le signal de sortie triangulaire espéré avec une amplitude du signal d'entrée créneau de $1 V$ totalement inobservable car son amplitude théorique serait de $1, 4 μ V$ approximativement dix fois plus faible que celle des parasites^[30],

ci-contre à droite, avec la même amplitude du signal d'entrée créneau de $1 V$ , le signal de sortie triangulaire attendu en absence de parasites et avec un facteur de loupe de $700$ autrement dit d'observation totalement illusoire^[27] ;

     le filtre se comportera comme un « sélecteur d'harmonique » si le signal d'entrée est de fréquence telle que
      $≻$ l'harmonique souhaité a une fréquence dans la zone passante et
      $≻$ chaque harmonique immédiatement voisin, une fréquence dans les zones absorbantes,
     par exemple, pour un signal d'entrée créneau de fréquence $f$ , nous sélectionnons :
$▸$ l'harmonique fondamental si « $f \in [161, 6 k H z; 162, 4 k H z]$ », celui de rang $3$ de fréquence « $3 f \in [484, 8 k H z; 487, 2 k H z]$ » étant largement au-dessus de $212 k H z$ ci-contre à gauche simultanément avec l'observation du signal d'entrée créneau de fréquence $162 k H z$ ;
$▸$ l'harmonique de rang $3$ si « $3 f \in [161, 6 k H z; 162, 4 k H z]$ $\Leftrightarrow$ $f \in [\frac{161, 6 k H z}{3} ≃ 53, 9 k H z; \frac{162, 4 k H z}{3} ≃ 54, 1 k H z]$ » $\Rightarrow$ l'harmonique fondamental est au-dessous de $112 k H z$ et celui de rang $5$ de fréquence « $5 f \in [269, 3 k H z; 270, 7 k H z]$ » au-dessus de $212 k H z$ ci-contre à droite simultanément avec l'observation du signal d'entrée créneau de fréquence $54 k H z$ ^[32] ;

▸

l'harmonique de rang

5

si «

5 f \in [161, 6 k H z; 162, 4 k H z]

\Leftrightarrow

f \in [\frac{161, 6 k H z}{5} ≃ 32, 3 k H z; \frac{162, 4 k H z}{5} ≃ 32, 5 k H z]

», celui de rang

3

de fréquence «

3 f \in [97, 0 k H z; 97, 4 k H z]

» étant au-dessous de

112 k H z

et celui de rang

7

de fréquence «

7 f \in [226, 2 k H z; 227, 4 k H z]

» au-dessus de

212 k H z

, observation de l'harmonique de rang

5

du signal d'entrée créneau de fréquence

32, 4 k H z

^[32] non représentée car n'apportant rien de nouveau relativement à l'observation de l'harmonique de rang

3

ci-dessus à droite ;

$▸$ l'harmonique de rang $7$ si « $7 f \in [161, 6 k H z; 162, 4 k H z]$ $\Leftrightarrow$ $f \in [\frac{161, 6 k H z}{7} ≃ 23, 1 k H z; \frac{162, 4 k H z}{7} ≃ 23, 2 k H z]$ » $\Rightarrow$ celui de rang $5$ de fréquence « $5 f \in [115, 4 k H z; 116, 0 k H z]$ » étant légèrement au-dessus de $112 k H z$ $($ théoriquement hors de la zone absorbante inférieure mais considéré comme étant néanmoins absorbé $)$ et celui de rang $9$ dont la fréquence vérifie l'encadrement « $9 f \in [207, 8 k H z; 208, 8 k H z]$ » étant légèrement au-dessous de $212 k H z$ $($ théoriquement hors de la zone absorbante supérieure mais considéré comme étant néanmoins absorbé $)$ ,
ci-contre à gauche observation de l'harmonique de rang $7$ très légèrement distordu ${$ distorsions $($ inobservables sur la figure de gauche mais légèrement perceptibles sur celle de droite $)$ dues à la « présence très atténuée des harmoniques de rangs $5$ et $9$ »^[34] $}$ simultanément avec le signal d'entrée créneau de fréquence $23, 1 k H z$ ^[32] et
ci-contre à droite observation de l'harmonique de rang $7$ très légèrement distordu avec une croissance de sensibilité d'un facteur $7$ permettant d'observer la très légère distorsion mais sans représentation simultanée du signal d'entrée créneau de fréquence $23, 1 k H z$ ^[32] ;

▸

pour les harmoniques de rang supérieur, la distorsion va être lentement croissante en effet

▸

si on souhaite observer l'harmonique de rang

2 n + 1

on choisit la fréquence

f

du signal créneau telle que «

(2 n + 1) f =

162 k H z

\Leftrightarrow

f = \frac{162}{2 n + 1} k H z

» dont on déduit que les harmoniques immédiatement voisins

▸

de rang

2 n - 1

de fréquence «

(2 n - 1) f = \frac{2 n - 1}{2 n + 1} 162 k H z =

(1 - \frac{2}{2 n + 1}) 162 k H z

» et

▸

de rang

2 n + 3

de fréquence «

(2 n + 3) f = \frac{2 n + 3}{2 n + 1} 162 k H z =

(1 + \frac{2}{2 n + 1}) 162 k H z

»

▸

vont être de fréquence pénétrant d'autant plus dans les zones non absorbantes entourant la zone passante que

n

est grand et

▸

donc contribuer d'autant plus à la distorsion de l'harmonique de rang

2 n + 1

{

le gain en dB appliqué aux harmoniques de rangs

2 n - 1

et

2 n + 3

,

↗

légèrement avec

n

, leur fréquence se rapprochant lentement de

f_{0}}

mais

▸

l'amplitude des harmoniques d'un créneau, en étant

\propto

à l'inverse de leur rang, est légèrement

↘

avec

n

ce qui ralentit l'effet de distorsion due à la

↗

du gain en dB appliqué aux harmoniques de rangs

2 n - 1

et

2 n + 3

d'où

▸

une distorsion simplement « lentement croissante avec

n

» ;

▸

\dots

$▸$ l'harmonique de rang $19$ si « $19 f \in [161, 6 k H z; 162, 4 k H z]$ $\Leftrightarrow$ $f \in [\frac{161, 6 k H z}{19} ≃ 8, 51 k H z; \frac{162, 4 k H z}{19} ≃ 8, 55 k H z]$ » $\Rightarrow$ celui de rang $17$ dont la fréquence vérifie l'encadrement « $17 f \in [144, 6 k H z; 145, 3 k H z]$ » étant au-dessus de $112 k H z$ $($ hors de la zone absorbante inférieure $)$ et celui de rang $21$ de fréquence « $21 f \in [178, 6 k H z; 179, 5 k H z]$ » étant au-dessous de $212 k H z$ $($ hors de la zone absorbante supérieure $)$ ,
ci-contre à gauche observation de l'harmonique de rang $19$ très légèrement distordu ${$ distorsions $($ inobservables sur la figure de gauche mais perceptibles sur celle de droite $)$ dues à la « présence atténuée des harmoniques de rangs $17$ et $21$ »^[36] $}$ simultanément avec le signal d'entrée créneau de fréquence $8, 53 k H z$ ^[32] et
ci-contre à droite observation de l'harmonique de rang $19$ légèrement distordu avec une croissance de sensibilité d'un facteur $16$ permettant d'observer la légère distorsion mais sans représentation simultanée du signal d'entrée créneau de fréquence $8, 53 k H z$ ^[32].

   Remarque : pour déterminer la limite théorique^[37] du « sélectionneur d'harmonique de rang $2 p + 1, p \in ℕ^{*}$ d'un créneau symétrique » sans avoir à les essayer tous, nous pouvons admettre que
         Remarque : pour déterminer la limite théorique « la sélection cessera si les harmoniques de rang $2 p - 1$ et $2 p + 1$ sont séparés de moins de $49, 6 k H z$ ^[38] » soit « $(2 p + 1) f - (2 p - 1) f =$ $49, 6 k H z$ » donnant « $f = 24, 8 k H z$ avec $(2 p + 1) f = 161, 6 k H z$ ^[39] » soit finalement « $2 p + 1 = \frac{161, 6}{24, 8} ≃ 6, 52$ » établissant que
         Remarque : pour déterminer la limite théorique « le 1^er harmonique théoriquement non sélectionnable est celui de rang $7$ », « le dernier sélectionnable étant celui de rang $5$ »^[40] $\dots$
     Remarque : Ainsi on peut théoriquement sélectionner les harmoniques d'un créneau jusqu'au rang $5$ inclus à condition que leur amplitude soit « acceptable » ^[41].

Établissement du gabarit d'un 2^ème ordre du type « réponse en charge d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante », condition pour l'utiliser en moyenneur ou double intégrateur

Cahier des charges d'un passe-bas du 2^ème ordre (traité sur un exemple)

On cherche à réaliser le filtrage passe-bas suivant :

les fréquences jusqu'à $1, 9 k H z$ doivent passer à travers le filtre sans être amplifiées et ne pas être atténuées de plus de $3 d B$ ,
les fréquences supérieures à $6, 2 k H z$ doivent être filtrées et atténuées d'au moins $20 d B$ .

Choix de l'ordre du filtre sur l'exemple précédent

Gabarit d'un 2^ème ordre du type réponse en charge d'un $R L C$ série soumis à une tension d'amplitude constante, de dernière fréquence passante $1, 9 k H z$ et de 1^ère fréquence absorbée $6, 2 k H z$ , le gain minimal pour les fréquences passantes étant $- 3 d B$ et le gain maximal pour les fréquences absorbées $- 20 d B$

On le détermine en « calculant la pente nécessaire dans la zone de transition », la valeur absolue de celle-ci donnant un minorant de la pente nécessaire dans la zone absorbante $($ voir exemple ci-contre $)$ ;

dans la zone de transition on passe « de $f_{p} = 1, 9 k H z$ à $f_{a} = 6, 2 k H z$ » soit « $\log (\frac{f_{a}}{f_{p}}) = \log (\frac{6, 2}{1, 9}) ≃ 0, 51 décade$ associée à une chute de $20 - 3 = 17 d B$ » $\Rightarrow$ « une pente dans cette zone intermédiaire de $\frac{- 17 d B}{0, 51 décade} ≃$ $- 33, 3 d B / décade$ »

d'où le « choix d'une pente de

- 40 d B / décade

dans la zone absorbante » c.-à-d.
le « choix d'un 2^ème ordre “ du type réponse en charge d'un

R L C

série soumis à une tension d'amplitude constante ” »^[42].

Choix des caractéristiques du filtre (c.-à-d., dans le cas présent, de sa fréquence propre et de son facteur de qualité) pour l'exemple précédent

Compte-tenu de la valeur $f_{p} = 1, 9 k H z$ avec $G_{d B, sup} = - 3 d B$ , la fréquence de coupure à $- 3 d B$ , $f_{c}$ doit vérifier « $f_{c} ≳ f_{p}$ » ;

compte-tenu de la valeur $f_{a} = 6, 2 k H z$ avec $G_{d B, inf} = - 20 d B$ , la fréquence de coupure à $- 3 d B$ , $f_{c}$ doit vérifier « $f_{c} ≲ \frac{f_{a}}{3, 16}$ » ${$ en effet l'abscisse de la droite de pente $- 40 d B / décade$ passant par le point $(f_{a} = 6, 2 k H z, G_{d B, inf} = - 20 d B)$ est séparé de $f_{a} = 6, 2 k H z$ de $\frac{- 20 d B}{- 40 d B / décade}$ $≃ 0, 5 décade$ soit un rapport entre l'abscisse cherchée et $f_{a} = 6, 2 k H z$ de $1 0^{0, 5} ≃ 3, 16}$ .

En conclusion la fréquence de coupure à

- 3 d B

doit satisfaire
«

f_{p} = 1, 9 k H z ≲ f_{c} ≲ \frac{f_{a}}{3, 16} = \frac{6, 2 k H z}{3, 16} ≃ 1, 96 k H z

» ;

pour obtenir un passe-bas il faut que le facteur de qualité $Q$ ne soit pas trop élevé^[43] et le choix de « $Q ⩽ \frac{1}{\sqrt{2}} ≃ 0, 707$ correspondra à un passe-bas sans résonance ».

Choix des éléments constitutifs du filtre sur l'exemple précédent

On choisit donc un « $R L C$ série » avec « sortie aux bornes de $C$ », tel que la fréquence de coupure à $- 3 d B$ , $f_{c} \underset{\sim}{\in} [1, 9 k H z; 1, 96 k H z]$ et le facteur de qualité $Q \in] 0; \frac{1}{\sqrt{2}} ≃ 0, 707]$ ;

si nous choisissons la plus grande valeur du facteur de qualité compatible avec l'encadrement précédent c.-à-d. « $Q = \frac{1}{\sqrt{2}} ≃ 0, 707$ », la fréquence de coupure à $- 3 d B$ se confond alors avec la fréquence propre c.-à-d. « $f_{c} = f_{0} = \frac{1}{2 π \sqrt{L C}}$ » ${$ en effet « la fonction de transfert $\underline{A} (j f) = \frac{1}{1 - \frac{f^{2}}{f_{0}^{2}} + j \frac{f}{Q f_{0}}}$ se réécrit ${\underline{A}}_{(Q = \frac{1}{\sqrt{2}})} (j f) = \frac{1}{1 - \frac{f^{2}}{f_{0}^{2}} + j \sqrt{2} \frac{f}{f_{0}}}$ » $\Rightarrow$ « un gain $G_{(Q = \frac{1}{\sqrt{2}})} (f)$ $= \frac{1}{\sqrt{{(1 - \frac{f^{2}}{f_{0}^{2}})}^{2} + 2 \frac{f^{2}}{f_{0}^{2}}}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{f^{4}}{f_{0}^{4}}}}$ » d'où, « par définition de la fréquence de coupure à $- 3 d B$ , $G_{(Q = \frac{1}{\sqrt{2}})} (f_{c}) = \frac{G_{(Q = \frac{1}{\sqrt{2}}, max)}}{\sqrt{2}}$ », l'équation « $\frac{1}{\sqrt{1 + \frac{f_{c}^{4}}{f_{0}^{4}}}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ » $\Rightarrow$ « $f_{c} = f_{0}$ » $}$ ;

     ainsi « pour $Q = \frac{1}{\sqrt{2}}$ », nous en déduisons un encadrement pour la fréquence propre « $1, 9 k H z ≲ f_{0} = \frac{1}{2 π \sqrt{L C}} ≲ 1, 96 k H z$ » soit, en inversant et divisant tous les membres par $2 π$ et en élevant au carré après rétablissement en unités S.I.^[6], « $\frac{1}{{(1, 96 1 0^{3} \times 2 π)}^{2}} ≲ L C ≲ \frac{1}{{(1, 9 1 0^{3} \times 2 π)}^{2}}$ » ou encore « $6, 59 1 0^{- 9} s^{2} ≲ L C ≲ 7, 02 1 0^{- 9} s^{2}$ » ;
     ainsi « pour $Q = \frac{1}{\sqrt{2}}$ », nous pouvons, par exemple, choisir $≻$ « $L = 100 m H$ et $66 n F ≲ C ≲ 70 n F$ » ou
     ainsi « pour $Q = \frac{1}{\sqrt{2}}$ », nous pouvons, par exemple, choisir $≻$ « $L = 10 m H$ ^[23] et $0, 66 μ F ≲ C ≲ 0, 70 μ F$ » ou encore
     ainsi « pour $Q = \frac{1}{\sqrt{2}}$ », nous pouvons, par exemple, choisir $≻$ « $L = 1 m H$ ^[23] et $6, 6 μ F ≲ C ≲ 7, 0 μ F$ » $\dots$

Le facteur de qualité permet de choisir $R$ par l'intermédiaire $Q = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{L ω_{0}}{R} = \frac{L 2 π f_{0}}{R}$ soit « $R = \frac{L 2 π f_{0}}{Q} = L 2 \sqrt{2} π f_{0}$ » donnant,

avec le choix «

L = 100 m H

et

C = 70 n F

»,

R = 0, 1 \times 2 \times \sqrt{2} \times π \times 1, 9 1 0^{3} ≃ 1, 69 1 0^{3} Ω

soit finalement «

R ≃ 1, 69 k Ω

» ;

     nous vérifions alors que le gain en dB pour $f_{p} = f_{c} = 1, 9 k H z$ vaut « $G_{d B} (f_{p}) = - 3 d B = G_{d B, max}$ » ainsi que
     nous vérifions alors que le gain en dB pour $f_{a} = 6, 2 k H z$ vaut « $G_{d B} (f_{a}) = - 10 \log [1 + \frac{f_{a}^{4}}{f_{0}^{4}}] = - 10 \log [1 + \frac{(6, 2)^{4}}{(1, 9)^{4}}] ≃ - 20, 6 d B$ »^[44] effectivement tel que
     nous vérifions alors que le gain en dB pour $f_{a} = 6, 2 k H z$ vaut « $G_{d B} (f_{a}) ≃ - 20, 6 d B ≲ - 20 d B = G_{d B, inf}$ ».

Remarque : un facteur de qualité strictement inférieur à $\frac{1}{\sqrt{2}}$ pourrait être envisagé mais la condition portant sur la fréquence de coupure à $- 3 d B$ $($ qui ne s'identifie plus avec la fréquence propre^[45] $)$ nécessiterait de déterminer l'« expression de $f_{c}$ en fonction de $f_{0}$ et $Q$ » ^[46] pour en déduire un encadrement sur $f_{0}$ compte-tenu de la valeur de $Q$ souhaitée $\dots$ la fin serait alors identique à celle présentée ci-dessus.

Condition pour utiliser le filtre comme double intégrateur ou moyenneur sur l'exemple précédent

Utilisation d'un 2^ème ordre du type réponse en charge d'un $R L C$ série soumis à une tension d'amplitude constante, de fréquence propre $1, 9 k H z$ et de facteur de qualité $Q ≃ 0, 71$ , fonctionnant en double-intégrateur peu observable avec un signal d'entrée créneau de fréquence $f = 19 k H z$

Le filtre se comportera comme un « double intégrateur » si les harmoniques d'un signal d'entrée à valeur moyenne nulle sont tous dans la zone double-intégrative à savoir $f ≳ 10 f_{c}$ ${$ le choix d'une fréquence propre égale à $f_{0} = 1, 9 k H z$ , donne une zone double-intégrative $[19 k H z, + \infty [$ mais le « signal ne sera réellement bi-intégré que s'il est d'amplitude notable » ^[47] $}$ ,

ci-contre à gauche où le signal d'entrée est un créneau d'amplitude $1 V$ , de fréquence $f = 19 k H z$ et le signal de sortie $($ inobservable sans effet de loupe $)$ est une succession de portions paraboliques de concavités inversées, correspondant aux deux intégrations successives du signal créneau,
ci-contre à droite, avec la même amplitude du signal d'entrée créneau de $1 V$ , le signal de sortie attendu “ succession de portions paraboliques de concavités inversées^[27] ” en absence de parasites et avec un facteur de loupe de $80$ , l'amplitude du signal de sortie de $12 m V$ étant de même ordre de grandeur que celle des parasites^[48] ;

autre exemple d'utilisation de la double intégration d'un signal d'entrée construit en simulant la dérivation temporelle d'un créneau d'amplitude $U_{m}$ à savoir « deux pics de Dirac^[49] d'impulsion $2 U_{m}$ ^[50] inversés séparés de $\frac{T}{2}$ » de fréquence $f = 19 k H z$ :

ci-contre à gauche, le signal d'entrée “ répétition périodique des deux pics de Dirac^[49] d'impulsion $2 U_{m}$ ^[50] inversés séparés de $\frac{T}{2}$ ” avec superposition du signal de sortie peu visible sans effet de loupe car d'amplitude trop faible et
ci-contre à droite, avec la même amplitude du signal d'entrée “ répétition périodique des deux pics de Dirac^[49] d'impulsion $2 U_{m}$ ^[50] inversés séparés de $\frac{T}{2}$ ” que celle du signal d'entrée présentée dans la figure de gauche, le signal de sortie triangulaire attendu après une double intégration du signal d'entrée^[27] ” en absence de parasites et avec un facteur de loupe de $100$ , l'amplitude du signal de sortie de $11 m V$ étant de même ordre de grandeur que celle des parasites ;

le filtre agissant sur un signal d'entrée à valeur moyenne non nulle laissera passer sans atténuation la composante permanente de ce signal $($ le filtre étant un passe-bas $)$ et, dans la mesure où les autres harmoniques du signal d'entrée seraient tous dans la zone double-intégrative à savoir $f ≳ 10 f_{c}$ , il devrait se comporter comme un « double-intégrateur à composante permanente » $\dots$ à condition que « l'amplitude de harmoniques doublement intégrés soit de valeur notable » ^[47] voir

ci-contre à gauche où le signal d'entrée créneau est d'amplitude $10 V$ avec une composante permanente de $0, 5 V$ et le signal de sortie est une succession de portions paraboliques de concavités inversées^[51] avec une composante permanente de $0, 5 V$ et
ci-contre à droite, avec la même amplitude du signal d'entrée créneau de $10 V$ et la même composante permanente de $0, 5 V$ , le signal de sortie attendu “ succession de portions paraboliques de concavités inversées^[27] ” en absence de parasites et avec un facteur de loupe de $80$ , le signal de sortie décalé de la composante permanente de $500 m V$ étant d'amplitude $120 m V$ est telle que l'ajout physique $($ incontournable $)$ des parasites devient nettement moins gênant.

     Le filtre agissant sur un signal d'entrée à valeur moyenne non nulle laissant passer sans atténuation la composante permanente de ce signal, se comportera comme un « moyenneur $($ à composante permanente $)$ »^[9] si les autres harmoniques du signal d'entrée sont tous dans la zone double-intégrative mais tels que
      $≻$ « la fréquence du signal d'entrée^[10] soit suffisamment éloignée de la borne inférieure » ou que
      $≻$ « l'amplitude de variation du signal d'entrée ne soit pas trop grande »
     de façon à ce que l'amplitude des formes bi-intégrées des harmoniques de rang non nul soit trop petite pour être observée^[52] voir

ci-dessous à droite^[53] l'oscillogramme avec signal d'entrée et signal de sortie alors que
ci-dessous à gauche le signal de sortie est représenté seul avec une même sensibilité permettant d'observer la composante permanente, le calcul étant fait en ignorant l'ajout des inévitables parasites $\dots$

Établissement du gabarit d'un 2^ème ordre du type « réponse en tension aux bornes de la bobine parfaite d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante », condition pour l'utiliser en double dérivateur

Le 2^ème ordre du type « réponse en tension aux bornes de la bobine parfaite d'un $R L C$ série soumis à une tension d'amplitude constante » a d'abord été introduit dans l'exercice « réponse en tension aux bornes de la bobine (parfaite) d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable, lien avec la réponse en tension aux bornes du condensateur » de la série $4$ dans le cadre de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) » avant d'être prolongé dans le paragraphe « définition d'une fonction de transfert du 2^ème ordre “ du type réponse en u_L d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable ” pour la fonction de transfert “ amplification complexe en tension ” » du chap. $7$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) » mais il n'est pas explicitement inscrit dans le programme de physique de PCSI $\dots$

Cahier des charges d'un passe-haut du 2^ème ordre (traité sur un exemple)

On cherche à réaliser le filtrage passe-haut suivant :

les fréquences jusqu'à $1, 9 k H z$ doivent être filtrées et atténuées d'au moins $20 d B$ ,
les fréquences supérieures à $6, 2 k H z$ doivent passer à travers le filtre sans être amplifiées et ne pas être atténuées de plus de $3 d B$ .

Choix de l'ordre du filtre sur l'exemple précédent

Gabarit d'un 2^ème ordre du type réponse en tension aux bornes de la bobine $($ parfaite $)$ d'un $R L C$ série soumis à une tension d'amplitude constante, de dernière fréquence absorbée de $1, 9 k H z$ et de 1^ère fréquence passante $6, 2 k H z$ , le gain minimal pour les fréquences passantes étant $- 3 d B$ et le gain maximal pour les fréquences absorbées $- 20 d B$

On le détermine en « calculant la pente nécessaire dans la zone de transition », la valeur absolue de celle-ci donnant un minorant de la pente nécessaire dans la zone absorbante $($ voir exemple ci-contre $)$ ;

dans la zone de transition on passe « de $f_{a} = 1, 9 k H z$ à $f_{p} = 6, 2 k H z$ » soit « $\log (\frac{f_{p}}{f_{a}}) = \log (\frac{6, 2}{1, 9}) ≃ 0, 51 décade$ associée à une chute de $20 - 3 = 17 d B$ » $\Rightarrow$ « une pente dans cette zone intermédiaire de $\frac{17 d B}{0, 51 décade} ≃$ $33, 3 d B / décade$ » d'où

le « choix d'une pente de

+ 40 d B / décade

dans la zone absorbante » c.-à-d.
le « choix d'un 2^ème ordre “ du type réponse en

u_{L}

d'un

R L C

série soumis à une tension d'amplitude constante ” »^[54].

Choix des caractéristiques du filtre (c.-à-d., dans le cas présent, de sa fréquence propre et de son facteur de qualité) pour l'exemple précédent

Compte-tenu de la valeur $f_{p} = 6, 2 k H z$ avec $G_{d B, sup} = - 3 d B$ , la fréquence de coupure à $- 3 d B$ , $f_{c}$ doit vérifier « $f_{c} ≲ f_{p}$ » ;

compte-tenu de la valeur $f_{a} = 1, 9 k H z$ avec $G_{d B, inf} = - 20 d B$ , la fréquence de coupure à $- 3 d B$ , $f_{c}$ doit vérifier « $f_{c} ≳ \frac{f_{a}}{0, 316}$ » ${$ en effet l'abscisse de la droite de pente $+ 40 d B / décade$ passant par le point $(f_{a} = 1, 9 k H z, G_{d B, inf} = - 20 d B)$ est séparé de $f_{a} = 1, 9 k H z$ de $\frac{- 20 d B}{+ 40 d B / décade}$ $≃ - 0, 5 décade$ soit un rapport entre l'abscisse cherchée et $f_{a} = 1, 9 k H z$ de $1 0^{- 0, 5} ≃ 0, 316}$ .

En conclusion la fréquence de coupure à

- 3 d B

doit satisfaire
«

\frac{f_{a}}{0, 316} = \frac{1, 9 k H z}{0, 316} ≃ 6, 0 k H z ≲ f_{c} ≲ f_{p} = 6, 2 k H z

» ;

pour obtenir un passe-haut il faut que le facteur de qualité $Q$ ne soit pas trop élevé^[43] et le choix de « $Q ⩽ \frac{1}{\sqrt{2}} ≃ 0, 707$ correspondra à un passe-haut sans résonance ».

Choix des éléments constitutifs du filtre sur l'exemple précédent

On choisit donc un « $R L C$ série » avec « sortie aux bornes de $L$ »^[55], tel que la fréquence de coupure à $- 3 d B$ , $f_{c} \underset{\sim}{\in} [6, 0 k H z; 6, 2 k H z]$ et le facteur de qualité $Q \in] 0; \frac{1}{\sqrt{2}} ≃ 0, 707]$ ;

si nous choisissons la plus grande valeur du facteur de qualité compatible avec l'encadrement précédent c.-à-d. « $Q = \frac{1}{\sqrt{2}} ≃ 0, 707$ », la fréquence de coupure à $- 3 d B$ se confond alors avec la fréquence propre c.-à-d. « $f_{c} = f_{0} = \frac{1}{2 π \sqrt{L C}}$ » ${$ en effet « la fonction de transfert $\underline{A} (j f) = \frac{- \frac{f^{2}}{f_{0}^{2}}}{1 - \frac{f^{2}}{f_{0}^{2}} + j \frac{f}{Q f_{0}}}$ se réécrit ${\underline{A}}_{(Q = \frac{1}{\sqrt{2}})} (j f) = \frac{- \frac{f^{2}}{f_{0}^{2}}}{1 - \frac{f^{2}}{f_{0}^{2}} + j \sqrt{2} \frac{f}{f_{0}}}$ » $\Rightarrow$ « un gain $G_{(Q = \frac{1}{\sqrt{2}})} (f)$ $= \frac{\frac{f^{2}}{f_{0}^{2}}}{\sqrt{{(1 - \frac{f^{2}}{f_{0}^{2}})}^{2} + 2 \frac{f^{2}}{f_{0}^{2}}}} = \frac{\frac{f^{2}}{f_{0}^{2}}}{\sqrt{1 + \frac{f^{4}}{f_{0}^{4}}}}$ » d'où, « par définition de la fréquence de coupure à $- 3 d B$ , $G_{(Q = \frac{1}{\sqrt{2}})} (f_{c}) = \frac{G_{(Q = \frac{1}{\sqrt{2}}, max)}}{\sqrt{2}}$ », l'équation « $\frac{1}{\sqrt{1 + \frac{f_{0}^{4}}{f_{c}^{4}}}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ » $\Rightarrow$ « $f_{c} = f_{0}$ » $}$ ;

     ainsi « pour $Q = \frac{1}{\sqrt{2}}$ », nous en déduisons un encadrement pour la fréquence propre « $6, 0 k H z ≲ f_{0} = \frac{1}{2 π \sqrt{L C}} ≲ 6, 2 k H z$ » soit, en inversant et divisant tous les membres par $2 π$ et en élevant au carré après rétablissement en unités S.I.^[6], « $\frac{1}{{(6, 2 1 0^{3} \times 2 π)}^{2}} ≲ L C ≲ \frac{1}{{(6, 0 1 0^{3} \times 2 π)}^{2}}$ » ou encore « $6, 59 1 0^{- 10} s^{2} ≲ L C ≲ 7, 04 1 0^{- 10} s^{2}$ » ;
     ainsi « pour $Q = \frac{1}{\sqrt{2}}$ », nous pouvons, par exemple, choisir $≻$ « $L = 100 m H$ et $6, 6 n F ≲ C ≲ 7, 0 n F$ » ou
     ainsi « pour $Q = \frac{1}{\sqrt{2}}$ », nous pouvons, par exemple, choisir $≻$ « $L = 10 m H$ ^[23] et $66 n F ≲ C ≲ 70 n F$ » ou encore
     ainsi « pour $Q = \frac{1}{\sqrt{2}}$ », nous pouvons, par exemple, choisir $≻$ « $L = 1 m H$ ^[23] et $0, 66 μ F ≲ C ≲ 0, 70 μ F$ » $\dots$

Le facteur de qualité permet de choisir $R$ par l'intermédiaire $Q = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{L ω_{0}}{R} = \frac{L 2 π f_{0}}{R}$ soit « $R = \frac{L 2 π f_{0}}{Q} = L 2 \sqrt{2} π f_{0}$ » donnant,

avec le choix «

L = 100 m H

et

C = 7, 0 n F

»,

R = 0, 1 \times 2 \times \sqrt{2} \times π \times 6, 2 1 0^{3} ≃ 5, 51 1 0^{3} Ω

soit finalement «

R ≃ 5, 51 k Ω

» ;

     nous vérifions alors que le gain en dB pour $f_{p} = f_{c} = 6, 2 k H z$ vaut « $G_{d B} (f_{p}) = - 3 d B = G_{d B, max}$ » ainsi que
     nous vérifions alors que le gain en dB pour $f_{a} = 1, 9 k H z$ vaut « $G_{d B} (f_{a}) = - 10 \log [1 + \frac{f_{0}^{4}}{f_{a}^{4}}] = - 10 \log [1 + \frac{(6, 2)^{4}}{(1, 9)^{4}}] ≃ - 20, 6 d B$ »^[56] effectivement tel que
     nous vérifions alors que le gain en dB pour $f_{a} = 6, 2 k H z$ vaut « $G_{d B} (f_{a}) ≃ - 20, 6 d B ≲ - 20 d B = G_{d B, inf}$ ».

Remarque : un facteur de qualité strictement inférieur à $\frac{1}{\sqrt{2}}$ pourrait être envisagé mais la condition portant sur la fréquence de coupure à $- 3 d B$ $($ qui ne s'identifie plus avec la fréquence propre^[45] $)$ nécessiterait de déterminer l'« expression de $f_{c}$ en fonction de $f_{0}$ et $Q$ » ^[57] pour en déduire un encadrement sur $f_{0}$ compte-tenu de la valeur de $Q$ souhaitée $\dots$ la fin serait alors identique à celle présentée ci-dessus.

Condition pour l'utiliser comme double dérivateur

Utilisation d'un 2^ème ordre du type réponse en $u_{L}$ d'un $R L C$ série soumis à une tension d'amplitude constante, de fréquence propre $6, 2 k H z$ et de facteur de qualité $Q ≃ 0, 71$ , fonctionnant en double-dérivateur inobservable avec un signal d'entrée biparabolique à concavités opposées séparées de $\frac{T}{2}$ de fréquence $f = 20 H z$ et d'amplitude $10 V$

Le filtre se comportera comme un « double-dérivateur » si les 1^ers harmoniques qui importent pour construire le signal doublement dérivé d'un signal d'entrée à valeur moyenne nulle sont tous dans la zone double-dérivative c.-à-d. « $n_{min construct. dble dérivé} f ≲ \frac{f_{c}}{10}$ » ou « $f ≲ \frac{f_{c}}{10 n_{min construct. dble dérivé}}$ » ${$ le choix d'une fréquence de coupure à $- 3 d B$ égale à $f_{c} ≃ 6, 2 k H z$ , donne une zone double-dérivative $[0, 620 H z]$ mais le « signal ne sera réellement doublement dérivé que s'il est d'amplitude notable $($ le plus souvent trop grande pour aboutir à une observation $)$ » ^[58] $}$ ,

ci-contre à gauche le signal de sortie avec un signal d'entrée formé de portions paraboliques à concavités opposées séparées de $\frac{T}{2}$ de $10 V$ d'amplitude et de fréquence $f = 20 H z$ est inobservable car son amplitude théorique serait de l'ordre de $100 μ V$ largement inférieure à celle des parasites,
ci-contre à droite le signal de sortie calculé en absence de parasites et représenté seul avec un facteur de loupe de $100000$ ;

     en pratique, la condition de fréquence imposée au signal d'entrée pour réaliser une double-dérivation est beaucoup trop stricte, il suffit de constater que
     en pratique l'harmonique fondamental est dans la zone double-dérivative c.-à-d. « $f ≲ \frac{f_{c}}{10}$ »,
     en pratique les harmoniques suivants du signal doublement dérivé de rang « $2 p + 1 ⩽ n_{min construct. dble dérivé}$ , $p \in ℕ^{*}$ » étant dans la zone intermédiaire tels que « $(2 p + 1) f ≳ \frac{f_{c}}{10}$ » et subissant donc une double-dérivation imparfaite voir l'exemple

ci-contre à gauche avec un signal d'entrée biparabolique à concavités opposées séparées de $\frac{T}{2}$ de fréquence $f = 600 H z$ $≃ \frac{f_{0}}{10}$ et d'amplitude $10 V$ dans lequel la variation du signal de sortie est peu visible et
ci-contre à droite, avec le même signal d'entrée biparabolique à concavités opposées séparées de $\frac{T}{2}$ de fréquence $f = 600 H z$ et d'amplitude $10 V$ , le signal de sortie calculé en absence de parasites étant représenté seul avec un facteur de loupe de $100$ , l'amplitude calculée du signal de sortie étant $≃ 80 m V$ ^[59] ;

autre exemple d'utilisation de la double dérivation d'un signal d'entrée montrant le caractère beaucoup trop strict de la condition de fréquence imposée à ce dernier pour réaliser la double-dérivation d'un signal triangulaire d'amplitude égale à $10 V$ , cette condition de fréquence $($ beaucoup trop stricte $)$ serait « $f_{max pour dble dériv} =$ $\frac{f_{c}}{10 n_{min construct. dble dérivé}} = \frac{6, 2 1 0^{3}}{10 \times 300} ≃ 2, 0 H z$ »^[60] alors que la condition de fréquence moins stricte « $f_{max pour dble dériv prat}$ $≃ 60, 0 H z$ » suffit ${$ correspondant aux seuls harmoniques de rang $<$ à $10$ dans la zone double-dérivative $}$ ,

ci-contre à gauche un signal d'entrée triangulaire de fréquence $f =$ $60 H z$ et d'amplitude $10 V$ avec un faible signal de sortie à peine observable et
ci-contre à droite, avec le même signal d'entrée triangulaire de fréquence $f =$ $60 H z$ et d'amplitude $10 V$ , le signal de sortie calculé en absence de parasites représenté seul avec un facteur de loupe de $200$ , l'amplitude calculée du signal étant $≃ 50 m V$ ^[61].

En complément, établissement du gabarit d'un 2^ème ordre du type « réponse en tension aux bornes de l'ensemble bobine parfaite et condensateur d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante », condition pour l'utiliser en réjecteur d'un harmonique

Cahier des charges d'un réjecteur de fréquences (traité sur un exemple)

On cherche à réaliser le filtrage coupe-bande^[62] suivant :

les fréquences inférieures à $112 k H z$ et supérieures à $212 k H z$ doivent passer à travers le filtre et ne pas être atténuées de plus de $3 d B$ ,
les fréquences entre $161, 6 k H z$ et $162, 4 k H z$ doivent être filtrées et atténuées d'au moins $40 d B$ .

Choix des caractéristiques du filtre (c.-à-d., dans le cas présent, de sa fréquence d'antirésonance et de sa bande non passante à -3dB) pour l'exemple précédent

Nous ne cherchons pas l'ordre du filtre car, parmi les filtres considérés d'ordre un ou deux, seuls les filtres d'ordre deux peuvent être un coupe-bande.

Gabarit d'un 2^ème ordre du type réponse en $u_{L C}$ aux bornes d'un $R L C$ série soumis à une tension d'amplitude constante, de fréquences passantes au-dessous de $112 k H z$ et au-dessus de $212 k H z$ , de fréquences absorbées comprises entre $161, 6 k H z$ et $162, 4 k H z$ , le gain minimal pour les fréquences passantes étant $- 3 d B$ et le gain maximal pour les fréquences absorbées $- 40 d B$

La « fréquence centrale étant la fréquence d'antirésonance $f_{0} = 162, 0 k H z$ », les « fréquences de coupure à $- 3 d B$ basse et haute doivent être respectivement $<$ à $f_{p}^{-} = 112 k H z$ et $>$ à $f_{p}^{+} = 212 k H z$ », la « bande non passante à $- 3 d B$ étant donc $>$ à $f_{p}^{+} - f_{p}^{-} =$ $100 k H z$ », l'« acuité de l'antirésonance doit être $<$ à $\frac{f_{0}}{f_{p}^{+} - f_{p}^{-}}$ $= \frac{162, 0}{100} ≃ 1, 62$ » c.-à-d. « $Q ≲ 1, 62$ »^[63]^,^[64] ;

« le gain en dB sur la plage absorbante devant être $≲$ à $- 40 d B$ », on en déduit que « $G_{d B} (f_{0})$ est nécessairement $≲$ à $- 40 d B$ », on affine ce gain en admettant une chute supplémentaire de $3 d B$ soit « $G_{d B} (f_{0}) ≲ - 43 d B$ »^[65] ou « $\log [G (f_{0})] ≲ \frac{- 43}{20} = - 2, 15$ » soit « $G (f_{0}) ≲ 1 0^{- 2, 15} ≃ 7, 1 1 0^{- 3}$ » ou encore « $G_{0} | α | Q ≲ 7, 1 1 0^{- 3}$ »^[66] ;

                                                  en conclusion le facteur de qualité du filtre doit satisfaire « $Q ≲ 1, 62$ » et
                                                  en conclusion le cœfficient $α$ associé au facteur de qualité
                                                  en conclusion le facteur de qualité du filtre doit satisfaire « $| α | Q ≲ 7, 1 1 0^{- 3}$ si $G_{0} = 1$ »^[66].

Choix des éléments constitutifs du filtre sur l'exemple précédent

On choisit, comme 2^ème ordre, un « $R L C$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » avec « sortie ouverte aux bornes de l'ensemble “ bobine réelle $(r L$ série $)$ – condensateur ”, $r ≃ 10 Ω$ étant la résistance de la bobine réelle », d'amplification complexe en tension sous forme canonique usuelle^[67] « $\underline{A_{r L C série}} (j ω) = \frac{1 - L C ω^{2} + j r C ω}{1 - L C ω^{2} + j R C ω}$ »^[68] dont on déduit :

la fréquence propre $($ d'antirésonance $)$ vaut $f_{0} = \frac{1}{2 π \sqrt{L C}} = 162 k H z$ soit $L C = \frac{1}{{(2 π \times 162 1 0^{3})}^{2}} ≃$ $9, 65 1 0^{- 13} s^{2}$ ;
on peut, par exemple, choisir $≻$ « $L = 100 m H$ et $C = 9, 7 p F$ » ou
on peut, par exemple, choisir $≻$ « $L = 10 m H$ ^[23] et $C = 97 p F$ » ou encore
on peut, par exemple, choisir $≻$ « $L = 1 m H$ ^[23] et $C = 0, 97 n F$ » puis
le facteur de qualité permettant de choisir $R$ ^[69] par l'intermédiaire $Q = \frac{1}{R C ω_{0}} = \frac{L ω_{0}}{R} = \frac{L 2 π f_{0}}{R}$ soit $R = \frac{L 2 π f_{0}}{Q}$ donnant, avec la condition sur l'acuité de l'antirésonance à savoir $Q ≲ 1, 62$ , une valeur de résistance minimale « $R ≳ \frac{L_{en H} \times 2 π \times 162 1 0^{3}}{1, 62} ≃ 6, 3 1 0^{5} L_{en H}$ » ainsi que
la forme canonique réduite usuelle^[67] « $\underline{A_{r L C série}} (j x) = \frac{1 - x^{2} + j α x}{1 - x^{2} + j \frac{x}{Q}}$ avec $x = \frac{f}{f_{0}}$ »^[70] et « $α = r C ω_{0}$ »^[71] $\Rightarrow$ le « gain à la fréquence d'antirésonance $G (f_{0}) = \frac{r}{R} = α Q$ » et par suite, la réécriture de la « condition sur la profondeur du puits d'absorption $| α | Q ≲ 7, 1 1 0^{- 3}$ »^[72] selon « $G (f_{0}) = \frac{r}{R} ≲ 7, 1 1 0^{- 3}$ » d'où « $R ≳ \frac{r_{en Ω}}{7, 1 1 0^{- 3}} ≃ 141 r_{en Ω} ≃ 1, 41 k Ω$ » ${$ cette condition sera moins stricte que celle portant sur l'acuité de l'antirésonance si « $6, 3 1 0^{5} L_{en H}$ est plus grande que $1, 41 k Ω$ » soit « $L_{en H} ≳ \frac{1, 41 1 0^{3}}{6, 3 1 0^{5}} ≃ 2, 24 1 0^{- 3} H = 2, 24 m H$ » $}$ .

En conclusion on choisit, pour satisfaire la fréquence d'antirésonance et l'acuité de cette dernière ainsi que la profondeur du puits d'absorption, les valeurs suivantes

«

L = 100 m H

,

C = 9, 7 p F

et

R = R_{min} ≃ 6, 3 1 0^{5} \times 0, 1 ≃ 63 k Ω

».

Nous vérifions que les valeurs du gain en décibels du filtre satisfont le cahier des charges pour les fréquences $f_{p}^{-} = 112 k H z$ et $f_{p}^{+} = 212 k H z$ puisqu'elles correspondent respectivement aux fréquences de coupure à $- 3 d B$ basse et haute ainsi que
nous vérifions que les valeurs du gain en décibels du filtre satisfont le cahier des charges pour les fréquences $f_{a}^{-} = 161, 6 k H z$ et $f_{a}^{+} = 162, 4 k H z$ avec le « facteur de qualité $Q ≃ 1, 62$ » et l'expression du « gain en dB en fonction de la fréquence $G_{d B} (f) = 10 l o g {{[1 - {(\frac{f}{f_{0}})}^{2}]}^{2} + {(\frac{r}{R})}^{2} \frac{f^{2}}{Q^{2} f_{0}^{2}}} - 10 l o g {{[1 - {(\frac{f}{f_{0}})}^{2}]}^{2} + \frac{f^{2}}{Q^{2} f_{0}^{2}}}$ »,

nous vérifions que $≻$ « $G_{d B} (f_{a}^{-}) = 10 l o g {{[1 - {(\frac{161, 6}{162})}^{2}]}^{2} + {(\frac{10}{6, 3 1 0^{3}})}^{2} {(\frac{161, 6}{1, 62 \times 162})}^{2}} - 10 l o g {{[1 - {(\frac{161, 6}{162})}^{2}]}^{2} + {(\frac{161, 6}{1, 62 \times 162})}^{2}}$ $≃ - 41, 8 d B < - 40 d B$ » et

nous vérifions que $≻$ « $G_{d B} (f_{a}^{+}) = 10 l o g {{[1 - {(\frac{162, 4}{162})}^{2}]}^{2} + {(\frac{10}{6, 3 1 0^{3}})}^{2} {(\frac{162, 4}{1, 62 \times 162})}^{2}} - 10 l o g {{[1 - {(\frac{162, 4}{162})}^{2}]}^{2} + {(\frac{162, 4}{1, 62 \times 162})}^{2}}$ $≃ - 41, 8 d B < - 40 d B$ »,

nous vérifions que le gain en décibels à la fréquence d'antirésonance valant « $G_{d B} (f_{0}) = 20 \log (\frac{r}{R}) ≃ 20 \log (\frac{10}{6, 3 1 0^{3}}) ≃ - 56 d B$ ».

Condition pour utiliser le filtre comme réjecteur d'un harmonique sur l'exemple précédent

Le filtre se comportera comme « réjecteur d'un harmonique » si les harmoniques du signal d'entrée sont la zone passante $($ à gauche et à droite $)$ à l'exception de l'harmonique que l'on veut rejeter qui doit être dans la zone absorbante ;

pour rejeter l'harmonique fondamental du signal d'entrée ^[73] de fréquence $f$ , il faut que la fréquence de l'harmonique fondamental soit dans la zone absorbante « $f \in [161, 6 k H z; 162, 4 k H z]$ » et
pour rejeter l'harmonique fondamental du signal d'entrée de fréquence $f$ , il faut que celle de l'harmonique suivant c.-à-d. de rang $3$ soit dans la zone passante à droite « $3 f ⩾ 212 k H z$ » réalisé ici car « $3 f \in [3 \times 161, 6 k H z ≃ 484, 8 k H z; 3 \times 162, 4 k H z ≃ 487, 2 k H z]$ » ;
pour rejeter l'harmonique de rang $3$ du signal d'entrée^[73] de fréquence $f$ , il faut que la fréquence de l'harmonique de rang $3$ soit dans la zone absorbante « $3 f \in [161, 6 k H z; 162, 4 k H z]$ » nécessitant, pour fréquence du signal d'entrée^[73], « $f \in [\frac{161, 6 k H z}{3} ≃ 53, 9 k H z; \frac{162, 4 k H z}{3} ≃ 54, 1 k H z]$ »,
pour rejeter l'harmonique de rang $3$ du signal d'entrée de fréquence $f$ , il faut que celle de l'harmonique fondamental^[74] soit dans la zone passante de gauche à savoir « $f ⩽ 112 k H z$ » C.Q.F.V^[75]. et
pour rejeter l'harmonique de rang $3$ du signal d'entrée de fréquence $f$ , il faut que celle de l'harmonique de rang $5$ dans la zone passante de droite « $5 f ⩾ 212 k H z$ », réalisée ici car « $5 f \in [\frac{5}{3} \times 161, 6 k H z ≃ 269, 3 k H z; \frac{5}{3} \times 162, 4 k H z ≃ 270, 7 k H z]$ » ;
pour rejeter l'harmonique de rang $5$ du signal d'entrée^[73] de fréquence $f$ , il faut que la fréquence de l'harmonique de rang $5$ soit dans la zone absorbante « $5 f \in [161, 6 k H z; 162, 4 k H z]$ » nécessitant, pour fréquence du signal d'entrée^[73], « $f \in [\frac{161, 6 k H z}{5} ≃ 32, 3 k H z; \frac{162, 4 k H z}{5} ≃ 32, 5 k H z]$ »,
pour rejeter l'harmonique de rang $5$ du signal d'entrée de fréquence $f$ , il faut que celle de l'harmonique de rang $3$ soit dans la zone passante de gauche à savoir « $3 f ⩽ 112 k H z$ », réalisée ici car « $3 f \in [\frac{3}{5} \times 161, 6 k H z ≃ 97, 0 k H z; \frac{3}{5} \times 162, 4 k H z ≃ 97, 4 k H z]$ » et
pour rejeter l'harmonique de rang $5$ du signal d'entrée de fréquence $f$ , il faut que celle de l'harmonique de rang $7$ soit dans la zone passante de droite à savoir « $7 f ⩾ 212 k H z$ », réalisée ici car « $7 f \in [\frac{7}{5} \times 161, 6 k H z ≃ 226, 2 k H z; \frac{7}{5} \times 162, 4 k H z ≃ 227, 4 k H z]$ » ;
pour rejeter l'harmonique de rang $7$ du signal d'entrée^[73] de fréquence $f$ , il faut que la fréquence de l'harmonique de rang $7$ soit dans la zone absorbante « $7 f \in [161, 6 k H z; 162, 4 k H z]$ » nécessitant, pour fréquence du signal d'entrée^[73], « $f \in [\frac{161, 6 k H z}{7} ≃ 23, 1 k H z; \frac{162, 4 k H z}{7} ≃ 23, 2 k H z]$ »,
                  pour rejeter l'harmonique de rang $7$ du signal d'entrée de fréquence $f$ , il faut que celle de l'harmonique de rang $5$ soit dans la zone passante de gauche à savoir « $5 f ⩽ 112 k H z$ », non réalisée ici car « $5 f \in [\frac{5}{7} \times 161, 6 k H z ≃ 115, 4 k H z; \frac{5}{7} \times 162, 4 k H z ≃ 116, 0 k H z]$ » soit « $5 f ⩽̸ 112 k H z$ » et
                  pour rejeter l'harmonique de rang $7$ du signal d'entrée de fréquence $f$ , il faut que celle de l'harmonique de rang $9$ soit dans la zone passante de droite à savoir « $9 f ⩾ 212 k H z$ », non réalisée ici car « $9 f \in [\frac{9}{7} \times 161, 6 k H z ≃ 207, 8 k H z; \frac{9}{7} \times 162, 4 k H z ≃ 208, 8 k H z]$ » soit « $9 f ⩾̸ 212 k H z$ » ;
                  pour rejeter l'harmonique de rang $7$ du signal d'entrée de fréquence $f$ , ainsi avec un signal d'entrée de fréquence $f \in [23, 1 k H z; 23, 2 k H z]$ , l'harmonique de rang $7$ est effectivement rejeté mais les harmoniques de rangs $5$ et $9$ sont également très partiellement rejetés ;
il est donc possible avec ce filtre de rejeter un harmonique d'un signal créneau ou triangulaire jusqu'au rang $5$ inclus, au-delà il y aura plus d'un harmonique rejeté $\dots$

     Ci-dessous le signal de sortie du filtre avec un signal d'entrée créneau dans le but de rejeter l'harmonique fondamental à gauche,
     Ci-dessous le signal de sortie du filtre avec un signal d'entrée créneau dans le but de rejeter l'harmonique de rang $3$ au centre et
     Ci-dessous le signal de sortie du filtre avec un signal d'entrée créneau dans le but de rejeter l'harmonique de rang $5$ à droite
     Ci-dessous le signal de sortie du filtre en magenta est à comparer au signal représenté en pointillés calculé par synthèse de Fourier^[13] sur tous les harmoniques du signal d'entrée créneau à l'exception de l'harmonique rejeté ${$ l'observation d'un écart à partir de la réjection de l'harmonique de rang $3$ pouvant être interprétée à l'aide du phénomène de Gibbs ^[76] $[$ on rappelle que ce phénomène apparaît lors de la tentative de reconstitution de discontinuités du signal ou de sa dérivée $($ correspondant aux pointes du signal $)$ , phénomène se manifestant par un dépassement au niveau des discontinuités ou par un arrondi au niveau de pointes à reconstituer $]}$ :

Utilisation d'un 2^ème ordre “ réponse en $u_{r L C série}$ aux bornes d'un $R L C$ série soumis à une tension d'amplitude constante ”, de fréquence propre $f_{0} = 162 k H z$ , de facteur de qualité $Q = 1, 62$ et d'atténuation à l'antirésonance de $56 d B$ , fonctionnant en réjecteur de l'harmonique fondamental d'un signal d'entrée créneau de fréquence $f = 162 k H z$ , signal de sortie en magenta $($ à comparer à la partie en pointillés obtenue par synthèse de Fourier^[13] en retirant l'harmonique fondamental $)$

Utilisation d'un 2^ème ordre du type réponse en $u_{L C}$ aux bornes d'un $R L C$ série soumis à une tension d'amplitude constante, de fréquence propre $162 k H z$ , de facteur de qualité $Q = 1, 62$ et d'atténuation à l'antirésonance de $56 d B$ , fonctionnant en réjecteur de l'harmonique fondamental d'un signal d'entrée triangulaire de fréquence $f = 162 k H z$ , signal de sortie en magenta $($ à comparer à la partie en pointillés obtenue par synthèse de Fourier^[13] en retirant l'harmonique fondamental $)$

     ci-contre le signal de sortie du filtre avec un signal d'entrée triangulaire dans le but de rejeter l'harmonique fondamental à gauche et
     ci-contre le signal l'harmonique de rang $3$ à droite
     ci-contre le signal de sortie du filtre en magenta est à comparer au signal représenté en pointillés calculé par synthèse de Fourier^[13] sur tous les harmoniques du signal triangulaire à l'exception de l'harmonique rejeté :

     remarque 1 : on observe l'importance de l'harmonique fondamental dans un triangulaire car,
     remarque 1 : d'une part, le signal de sortie avec réjection du fondamental ne laisse pas deviner le signal origine triangulaire et
     remarque 1 : d'autre part, le signal de sortie avec réjection du fondamental est de faible amplitude alors que
     remarque 1 : le signal de sortie avec réjection de l'harmonique de rang $3$ est semblable au signal origine triangulaire avec une amplitude voisine ${$ la comparaison du signal de sortie du filtre en magenta avec le signal représenté en pointillés calculé par synthèse de Fourier^[13] sur tous les harmoniques du signal d'entrée triangulaire à l'exception de l'harmonique de rang $3$ conduit à l'observation d'un faible écart pouvant être interprétée à l'aide du phénomène de Gibbs^[76] $[$ apparition d'arrondi au niveau des pointes à reconstituer $($ se manifeste lors de discontinuité de la dérivée du signal origine $)$ suivi d'un retard au niveau des pentes $]}$ :

     remarque 2 : pour déterminer la limite théorique du réjecteur d'harmonique sans avoir à les essayer tous, nous pouvons admettre que
     remarque 2 : pour déterminer la limite théorique « la réjection cessera si les harmoniques de rang $2 p - 1$ et $2 p + 1$ sont séparés de moins de $49, 6 k H z$ ^[77] » soit « $(2 p + 1) f - (2 p - 1) f =$ $49, 6 k H z$ » donnant « $f = 24, 8 k H z$ avec $(2 p + 1) f = 161, 6 k H z$ ^[78] » soit finalement « $2 p + 1 = \frac{161, 6}{24, 8} ≃ 6, 52$ » établissant que
     remarque 2 : pour déterminer la limite théorique « le 1^er harmonique théoriquement non rejetable seul est celui de rang $7$ », « le dernier rejetable seul étant celui de rang $5$ »^[79] $\dots$
     remarque 2 : Ainsi on peut théoriquement rejeter un seul harmonique d'un triangulaire jusqu'au rang $5$ inclus à condition que leur amplitude soit « faible » ^[80].

Mise en cascade de filtres et intérêt de réaliser des filtres à faible impédance de sortie et forte impédance d'entrée

Voir le paragraphe « Mise en cascade de filtres et intérêt de réaliser des filtres à faible impédance de sortie et forte impédance d'entrée » du chap. $9$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».

Étude du filtrage linéaire d'un signal non sinusoïdal à partir de son spectre

Voir le paragraphe « Étude du filtrage linéaire d'un signal non sinusoïdal à partir de son spectre » du chap. $9$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».

Retour sur la réponse d'un système linéaire à un échelon, notion de réponse indicielle

Voir le paragraphe « Retour sur la réponse d'un système linéaire à un échelon, notion de réponse indicielle » du chap. $9$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».

Exemple de filtrage non linéaire : redressement simple ou double alternance et propriétés d'un filtre non linéaire « enrichissement du spectre »

Voir le paragraphe « Exemple de filtrage non linéaire : redressement simple ou double alternance et propriétés d'un filtre non linéaire “ enrichissement du spectre ” » du chap. $9$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».

Quelques notions de filtrage en mécanique

Voir le paragraphe « Quelques notions de filtrage en mécanique » du chap. $9$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».

Notes et références

↑ Ou suffisamment atténuée pour être considérée comme absorbée.
↑ Choix très fréquent.
↑ On rencontre de plus en plus souvent la confusion entre l'intervalle passant et la bande passante, cette dernière étant employée pour désigner l'intervalle passant $\dots$ mais a priori c'est incorrect.
↑ Une avance de phase $φ_{s} > 0$ correspondant à une avance temporelle $Δ t_{s} > 0$ .
↑ Qui est effectivement un passe-bas.
↑ ^6,0 ^6,1 ^6,2 et ^6,3 Système International d'unités.
↑ ^7,0 et ^7,1 En effet « $G (f) = | \underline{A} (j ω) | = | \frac{1}{1 + j R C ω} | = \frac{1}{\sqrt{1 + {(R C ω)}^{2}}}$ » et « $R C ω = R C 2 π f = \frac{f}{f_{c}}$ » $\Rightarrow$ « $G (f) = \frac{1}{\sqrt{1 + {(\frac{f}{f_{c}})}^{2}}}$ » d'où « $G_{d B} (f) = 20 \log [G (f)] =$ $20 \log [\frac{1}{\sqrt{1 + {(\frac{f}{f_{c}})}^{2}}}] = - 10 \log [1 + {(\frac{f}{f_{c}})}^{2}]$ ».
↑ ^8,0 et ^8,1 Pour cela la fréquence du signal d'entrée doit rester proche de la borne inférieure soit $10 f_{c} ≃ 20 k H z$ , cette fréquence donnant un gain en dB de $- 20 d B$ soit une atténuation d'un facteur $10$ ce qui est acceptable alors que
Pour cela une fréquence de $200 k H z ≃ 100 f_{c}$ donnerait un gain en dB de $- 40 d B$ soit une atténuation d'un facteur $100$ ce qui nécessiterait une amplitude d'entrée importante pour que le signal de sortie soit acceptable et
Pour cela une fréquence de $2 M H z ≃ 1000 f_{c}$ donnerait un gain en dB de $- 60 d B$ soit une atténuation d'un facteur $1000$ ce qui serait totalement inobservable.
↑ ^9,0 et ^9,1 Si le signal d'entrée est à valeur moyenne nulle et que les conditions de fonctionnement d'un moyenneur exposées ci-après sont réalisées le filtre serait un « moyenneur $($ sans composante permanente $)$ », la sortie ne donnant alors rien c.-à-d. la moyenne nulle du signal d'entrée.
↑ ^10,0 et ^10,1 Qui est aussi la fréquence de l'harmonique fondamental.
↑ Qui est effectivement un passe-haut.
↑ ^12,0 et ^12,1 En effet « $G (f) = | \underline{A} (j ω) | = | \frac{j R C ω}{1 + j R C ω} | = \frac{R C ω}{\sqrt{1 + {(R C ω)}^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{{(R C ω)}^{2}}}}$ » et « $R C ω = R C 2 π f = \frac{f}{f_{c}}$ » $\Rightarrow$ « $G (f) = \frac{1}{\sqrt{1 + {(\frac{f_{c}}{f})}^{2}}}$ » d'où « $G_{d B} (f) =$ $20 \log [G (f)] = 20 \log [\frac{1}{\sqrt{1 + {(\frac{f_{c}}{f})}^{2}}}] = - 10 \log [1 + {(\frac{f_{c}}{f})}^{2}]$ ».
↑ ^13,0 ^13,1 ^13,2 ^13,3 ^13,4 ^13,5 ^13,6 ^13,7 et ^13,8 Joseph Fourier (1768 – 1830) mathématicien et physicien français connu pour ses travaux sur la décomposition de fonctions périodiques en séries trigonométriques convergentes et leur application au problème de la propagation de la chaleur $\dots$
↑ Pour cela la fréquence du signal d'entrée doit rester proche de la borne inférieure soit $\frac{f_{c}}{10 n_{min construction dérivé}} ≃ \frac{550 H z}{n_{min construction dérivé}}$ soit, pour un signal d'entrée triangulaire donnant un créneau comme signal dérivé pour lequel on estime qu'il faut approximativement les $30$ 1^ers harmoniques pour le construire ${$ voir le paragraphe « nombre minimal de 1^ers harmoniques nécessaire pour reconstruire un signal créneau symétrique » du chap. $2$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » $}$ , une borne inférieure $\frac{f_{c}}{10 \times n_{min construction dérivé}} ≃ \frac{550 H z}{30} ≃ 20 H z$ ,
cette fréquence donnant un gain en dB pour l'harmonique de rang $30$ approximativement de $- 20 d B$ soit une atténuation d'un facteur $10$ mais
cette fréquence donnant un gain en dB pour l'harmonique fondamental approximativement de $- 20 d B - 20 l o g (30) ≃ - 50 d B$ soit une atténuation d'un facteur $1 0^{(\frac{50}{20})} ≃ 300$ ce qui nécessite une amplitude du signal d'entrée très importante pour que le signal dérivé soit visible $\dots$ C'est donc un problème très limitant pour obtenir une dérivation avec un minimum de distorsion.
↑ Même si l'amplitude du signal d'entrée était de $10 V$ celle du signal de sortie serait de $20 m V$ de même ordre de grandeur que celle des parasites.
↑ Pour cela la fréquence du signal d'entrée doit rester proche de la nouvelle borne inférieure soit $\frac{f_{c}}{n_{min construction dérivé}} ≃ \frac{5500 H z}{n_{min construction dérivé}}$ soit, pour un signal d'entrée triangulaire donnant un créneau comme signal dérivé pour lequel on estime qu'il faut approximativement les $30$ 1^ers harmoniques pour le construire ${$ voir le paragraphe « nombre minimal de 1^ers harmoniques nécessaire pour reconstruire un signal créneau symétrique » du chap. $2$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » $}$ , une borne inférieure $\frac{f_{c}}{n_{min construction dérivé}} ≃ \frac{5500 H z}{30} ≃ 200 H z$ ,
cette fréquence donnant un gain en dB pour l'harmonique de rang $30$ approximativement de $- 3 d B$ soit une atténuation d'un facteur $\sqrt{2} ≃ 1, 4$ mais
cette fréquence donnant un gain en dB pour l'harmonique fondamental approximativement de $- 3 d B - 20 l o g (30) ≃ - 32 d B$ soit une atténuation d'un facteur $1 0^{(\frac{32}{20})} ≃ 40$ ce qui reste acceptable pour une observation $\dots$ Il reste à vérifier que la dérivation se fait avec un minimum de distorsion.
↑ Ce qui resterait du signal de sortie après élimination des parasites.
↑ Exemple de filtre nécessaire pour capter les grandes ondes de France Inter de fréquence centrale $162 k H z$ sur un intervalle de largeur $0, 80 k H z$ .
↑ Basse Fréquence.
↑ Haute Fréquence.
↑ Hendrik Wade Bode (1905 - 1982) est un ingénieur, chercheur et inventeur américain d'origine néerlandaise qui a été un pionnier de la régulation moderne et des télécommunications ; il a révolutionné ces domaines dans leurs contenus mais aussi dans leurs méthodes d'application $($ plus particulièrement connu pour avoir mis au point le diagramme de Bode qui constitue une méthode de représentation de l'amplitude et de la phase d'un système $)$ .
↑ Voir le paragraphe « tracé de la courbe de gain du diagramme de Bode (d'un 2^ème ordre du type réponse en u_R d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable) » du chap. $7$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) » en considérant que ce 2^ème ordre est en fait la réponse en $u_{R}$ d'un $R L C$ série et non simplement « du type réponse en $u_{R}$ d'un $R L C$ série » d'où la fonction de transfert écrite sous sa forme canonique réduite pratique « $\underline{H} (j x) = \frac{α Q}{1 + j Q (x - \frac{1}{x})}$ avec $α Q = 1$ et $x = \frac{f}{f_{0}}$ ».
↑ ^23,0 ^23,1 ^23,2 ^23,3 ^23,4 ^23,5 ^23,6 et ^23,7 Les faibles valeurs d'inductances étant plus difficiles à fabriquer coûtent plus chers et sont donc à éviter si possible.
↑ Le contact entre l'asymptote B.F. de la courbe de gain du diagramme de Bode et la courbe de gain se faisant entre $\frac{f_{0}}{10}$ et $f_{0}$ $($ il y a en effet moins d'une décade entre la fréquence de résonance et la fréquence en deçà de laquelle la courbe de gain du diagramme de Bode se confond avec celle du diagramme de Bode asymptotique B.F. $)$ est estimé à la fréquence $\frac{f_{0}}{5}$ .
↑ Pour cela la fréquence du signal d'entrée doit rester proche de la borne inférieure soit « $\frac{f_{0}}{5 n_{min construction dérivé}} ≃ \frac{32, 4 k H z}{n_{min construction dérivé}}$ » c.-à-d., pour un signal d'entrée triangulaire donnant un créneau comme signal dérivé pour lequel on estime qu'il faut approximativement les $30$ 1^ers harmoniques pour le construire ${$ voir le paragraphe « nombre minimal de 1^ers harmoniques nécessaire pour reconstruire un signal créneau symétrique » du chap. $2$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » $}$ , une borne inférieure $\frac{f_{0}}{5 \times n_{min construction dérivé}} ≃ \frac{32, 4 k H z}{30} ≃ 1, 08 k H z ≃ 1, 1 k H z$ ,
   Pour cela cette fréquence donnant un gain en dB pour l'harmonique de rang $30$ approximativement de $20 \log (\frac{1}{5}) - 20 \log (200) ≃ - 60 d B$ soit une atténuation d'un facteur $1000$ et
   Pour cela cette fréquence donnant un gain en dB pour l'harmonique fondamental approximativement de $20 \log (\frac{1}{5 \times 30}) - 20 \log (200) ≃ - 90 d B$ soit une atténuation d'un facteur $1 0^{(\frac{90}{20})} ≃$ $30000$ ce qui nécessite une amplitude du signal d'entrée excessivement trop importante pour que le signal dérivé soit visible $\dots$ C'est donc un problème crucial empêchant quasiment toute dérivation avec un minimum de distorsion, la raison en étant le grand facteur de qualité du filtre $\dots$
   Si on veut obtenir un dérivateur du 2^ème ordre utilisable, on choisira un facteur de qualité nettement moindre, sa grande valeur n'ayant d'importance que dans le caractère « sélectionneur d'harmoniques » $\dots$
↑ Il faudrait une amplitude du signal d'entrée de $1000 V$ pour que celle du signal de sortie soit de $20 m V$ de même ordre de grandeur que celle des parasites $\dots$
↑ ^27,0 ^27,1 ^27,2 ^27,3 et ^27,4 Le signal a été reconstruit par logiciel de calcul.
↑ Le contact entre l'asymptote H.F. de la courbe de gain du diagramme de Bode et la courbe de gain se faisant entre $f_{0}$ et $10 f_{0}$ $($ il y a en effet moins d'une décade entre la fréquence de résonance et la fréquence au delà de laquelle la courbe de gain du diagramme de Bode se confond avec celle du diagramme de Bode asymptotique H.F. $)$ est estimé à la fréquence $5 f_{0}$ .
↑ Pour cela la fréquence du signal d'entrée doit rester proche de la borne inférieure soit « $5 f_{0} ≃ 810 k H z$ » ${$ en effet il suffit que la fréquence de l'harmonique fondamental soit dans la zone intégrative, celle de tous les harmoniques de rang supérieur $($ donc de fréquence plus grande $)$ nécessaire à la construction du signal intégré l'étant aussi bien évidemment $}$ ,
   Pour cela cette fréquence donnant un gain en dB pour l'harmonique fondamental approximativement de $- 20 \log (5) - 20 \log (200) ≃ - 60 d B$ soit une atténuation d'un facteur $1000$ et,
   Pour cela cette fréquence donnant un gain en dB pour l'harmonique de rang $3$ approximativement de $- 20 \log (3 \times 5) - 20 \log (200) ≃ - 70 d B$ soit une atténuation d'un facteur $1 0^{(\frac{70}{20})} ≃$ $3000$ ce qui nécessite une amplitude du signal d'entrée relativement importante pour que le signal intégré soit visible ${$ on rappelle que le signal intégré d'un créneau est triangulaire et qu'on estime qu'il faut approximativement les $3$ 1^ers harmoniques pour construire un signal triangulaire $[$ voir le paragraphe « nombre minimal de 1^ers harmoniques nécessaire pour reconstruire un signal triangulaire symétrique » du chap. $2$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » $]}$ $\dots$ C'est donc un problème crucial gênant quasiment toute intégration avec un minimum de distorsion, la raison en étant le grand facteur de qualité du filtre $\dots$
   Si on veut obtenir un intégrateur du 2^ème ordre utilisable on choisira un facteur de qualité nettement moindre, sa grande valeur n'ayant d'importance que dans le caractère « sélectionneur d'harmoniques » $\dots$
↑ Il faudrait une amplitude du signal d'entrée de $10 V$ pour que celle du signal de sortie soit de $14 m V$ de même ordre de grandeur que celle des parasites $\dots$
↑ C.-à-d. $\frac{162 k H z}{3} = 54 k H z$ .
↑ ^32,0 ^32,1 ^32,2 ^32,3 ^32,4 et ^32,5 En principe la détermination expérimentale des harmoniques d'un signal d'entrée se fait avec la fréquence de ce dernier fixée, la fréquence propre du filtre utilisé croissant suivant l'harmonique que l'on cherche à visualiser,
ainsi pour un signal d'entrée de fréquence $f$ , la fréquence propre $f_{0}$ du filtre est adaptée à $f$ pour détecter l'harmonique principal et à $n f$ pour observer l'harmonique de rang $n$ mais
pour des raisons pratiques évidentes nous choisissons de maintenir la fréquence propre du filtre fixée et de faire décroître la fréquence du signal d'entrée suivant l'harmonique souhaitée $\dots$
↑ C.-à-d. $\frac{162 k H z}{7} ≃ 23, 1 k H z$ .
↑ L'harmonique de rang $5$ de fréquence voisine de $116 k H z$ étant proche de la zone dérivative de gauche $[0; 32, 4 k H z]$ subit une dérivation avec distorsion avant de sortir avec une atténuation proche d'un facteur $100$ $($ le gain en dB étant proche de $- 40 d B)$ alors que
l'harmonique de rang $9$ de fréquence voisine de $209 k H z$ étant proche de la zone intégrative de droite $[810 k H z; + \infty [$ subit une intégration avec distorsion avant de sortir avec également une atténuation proche d'un facteur $100$ $($ le gain en dB étant aussi proche de $- 40 d B)$ ,
les deux s'ajoutant théoriquement au signal de sortie souhaité dû à l'harmonique de rang $7$ mais étant pratiquement négligeable.
↑ C.-à-d. $\frac{162 k H z}{19} ≃ 8, 53 k H z$ .
↑ L'harmonique de rang $17$ de fréquence voisine de $145 k H z$ étant dans la zone dérivative de gauche $[0; 32, 4 k H z]$ subit une dérivation avec distorsion avant de sortir avec une atténuation proche d'un facteur $45$ ${$ le gain en dB étant $≃ - 10 \log [1 + 20 0^{2} {(\frac{145}{162} - \frac{162}{145})}^{2}] ≃ - 33 d B$ soit un gain de $1 0^{(- \frac{33}{20})} ≃ 2, 2 1 0^{- 2}}$ alors que
l'harmonique de rang $21$ de fréquence voisine de $179 k H z$ étant dans la zone intégrative de droite $[810 k H z; + \infty [$ subit une intégration avec distorsion avant de sortir avec une atténuation proche d'un facteur $40$ ${$ le gain en dB étant $≃ - 10 \log [1 + 20 0^{2} {(\frac{179}{162} - \frac{162}{179})}^{2}] ≃ - 32 d B$ soit un gain de $1 0^{(- \frac{32}{20})} ≃ 2, 5 1 0^{- 2}}$ ,
les deux s'ajoutant pratiquement au signal de sortie souhaité dû à l'harmonique de rang $19$ en étant observable même si la distorsion reste faible.
↑ Mais nous avons vu, sur l'exemple du créneau, que cette limite théorique pouvait être beaucoup trop stricte, la limite pratique étant nettement plus élevée à condition de tolérer une certaine distorsion.
↑ Écart le plus faible entre la zone absorbante inférieure et la zone passante $161, 6 - 112 = 49, 6 k H z$ .
↑ Et « $(2 p - 1) f = 112 k H z$ ».
↑ Nous aurions pu également dire que « la sélection cessera si les harmoniques de rang $2 p + 3$ et $2 p + 1$ sont séparés de moins de $49, 6 k H z$ $($ correspondant à l'écart le plus faible entre la zone absorbante supérieure et la zone passante $212 - 162, 4 = 49, 6 k H z)$ » soit « $(2 p + 3) f - (2 p + 1) f =$ $49, 6 k H z$ » donnant « $f = 24, 8 k H z$ avec $(2 p + 1) f = 161, 6 k H z$ $($ et « $(2 p - 3) f$ $= 212 k H z$ » $)$ » soit finalement « $2 p + 1 = \frac{161, 6}{24, 8} ≃ 6, 52$ » c.-à-d. le même résultat $\dots$
↑ Or l'amplitude de l'harmonique de rang $k = 5$ d'un créneau valant $\frac{4 U_{m}}{π k} ≃ 0, 255 U_{m}$ l'est ainsi que les suivants ${$ voir le paragraphe « exemple d'un signal créneau symétrique (valeur des amplitudes de la représentation fréquentielle …) » du chap. $2$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » $}$ .
↑ Qui est « effectivement un passe-bas sous réserve d'une valeur de facteur de qualité $<$ à $1, 31$ », sinon il s'agit d'un passe-bande de fréquence de résonance $<$ à la fréquence propre ${$ voir le paragraphe « rappel des propriétés de la “ réponse en u_C d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable ” pour la fonction de transfert “ amplification complexe en tension ” » du chap. $7$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) » et pour plus de détails celui intitulé « nature du filtre “ réponse en charge du R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable ” suivant le facteur de qualité » du chap. $4$ de la même leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) », les propriétés d'un 2^ème ordre “ du type réponse en charge d'un $R L C$ série soumis à une tension d'amplitude constante ” étant les mêmes que celles d'un 2^ème ordre “ réponse en charge d'un $R L C$ série soumis à une tension d'amplitude constante ” $}$ .
↑ ^43,0 et ^43,1 Plus précisément $Q ≲ 1, 31$ .
↑ On rappelle qu'avec $Q = \frac{1}{\sqrt{2}}$ la fonction de transfert s'écrivant ${\underline{A}}_{(Q = \frac{1}{\sqrt{2}})} (j f) = \frac{1}{1 - \frac{f^{2}}{f_{0}^{2}} + j \sqrt{2} \frac{f}{f_{0}}}$ $\Rightarrow$ $G_{(Q = \frac{1}{\sqrt{2}})} (f) =$ $\frac{1}{\sqrt{{(1 - \frac{f^{2}}{f_{0}^{2}})}^{2} + 2 \frac{f^{2}}{f_{0}^{2}}}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{f^{4}}{f_{0}^{4}}}}$ .
↑ ^45,0 et ^45,1 L'identification n'étant applicable que pour $Q = \frac{1}{\sqrt{2}}$ .
↑ Pour cela on exprime le gain linéaire à partir de la fonction de transfert $\underline{A} (j f) = \frac{1}{1 - \frac{f^{2}}{f_{0}^{2}} + j \frac{f}{Q f_{0}}}$ soit « $G (f) = \frac{1}{\sqrt{{(1 - \frac{f^{2}}{f_{0}^{2}})}^{2} + \frac{f^{2}}{Q^{2} f_{0}^{2}}}}$ » et
   Pour cela on écrit que « $G (f_{c}) = \frac{G_{max}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ » ce qui donne l'« équation bicarrée en $x_{c} = \frac{f_{c}}{f_{0}}$ $[$ c.-à-d. du 2^ème degré en $x_{c}^{2} = \frac{f_{c}^{2}}{f_{0}^{2}}]$ suivante $x_{c}^{4} + (\frac{1}{Q^{2}} - 2) x_{c}^{2} - 1 = 0$ » ;
   Pour cela on conserve la solution positive « $x_{c}^{2} = \sqrt{1 + {(\frac{1}{2 Q^{2}} - 1)}^{2}} - (\frac{1}{2 Q^{2}} - 1)$ » $\Rightarrow$ « $f_{c} = f_{0} \sqrt{\sqrt{1 + {(\frac{1}{2 Q^{2}} - 1)}^{2}} - (\frac{1}{2 Q^{2}} - 1)}$ » soit, par exemple,
   Pour cela « pour $Q = \frac{1}{2}$ , $f_{c} ≃ 1, 48 f_{0}$ » $\dots$
↑ ^47,0 et ^47,1 Pour cela la fréquence du signal d'entrée doit rester proche de la borne inférieure soit $10 f_{0} ≃ 19 k H z$ , cette fréquence donnant un gain en dB de $- 40 d B$ soit une atténuation d'un facteur $100$ nécessitant une amplitude d'entrée importante pour que le signal de sortie soit acceptable alors que
Pour cela une fréquence de $190 k H z ≃ 100 f_{c}$ donnerait un gain en dB de $- 80 d B$ soit une atténuation d'un facteur $10000$ , ce qui serait totalement inobservable.
↑ Si l'amplitude du signal d'entrée était de $10 V$ , celle du signal de sortie serait de $120 m V$ et par suite les parasites deviendraient nettement moins gênants.
↑ ^49,0 ^49,1 ^49,2 ^49,3 et ^49,4 Paul Adrien Maurice Dirac (1902 - 1984) physicien et mathématicien britannique, colauréat du prix Nobel de physique en $1933$ , on lui doit des avancées cruciales dans le domaine de la mécanique statistique et de la physique quantique des atomes, il démontra l'équivalence physique entre la mécanique ondulatoire de Schrödinger et la mécanique matricielle de Heisenberg, deux présentations de la même mécanique quantique et enfin, pour les besoins du formalisme quantique, il inventa la notion, sans fondement mathématique précis, connue de nos jours sous le nom de distribution de Dirac et dont la description rigoureuse fut établie par le mathématicien français Laurent Schwartz dans sa théorie des distributions ; Paul Dirac fut colauréat du prix Nobel de Physique en $1933$ pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique, l'autre moitié du prix Nobel étant décernée à Erwin Schrödinger pour la formulation de l'équation d'onde dite de Schrödinger.
   Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (1887 - 1961) physicien, philosophe et théoricien scientifique autrichien est à l'origine du développement d'un des formalismes théoriques de la mécanique quantique $($ connu sous le nom de mécanique ondulatoire $)$ ; la formulation de l'équation d'onde connue sous le nom d'équation de Schrödinger lui a valu de partager le prix Nobel de physique en $1933$ avec Paul Dirac lequel a été honoré pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique ; on doit encore à Erwin Schrödinger l'expérience de pensée proposée à Albert Einstein en $1935$ et connue sous le nom chat de Schrödinger.
   Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en $1896$ puis suisse en $1901$ ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en $1905$ , la relativité générale en $1916$ ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en $1921$ pour son explication de l'effet photoélectrique.
   Werner Heisenberg (1901 - 1976) physicien allemand, l'un des fondateurs de la mécanique quantique, a obtenu le prix Nobel de physique en $1932$ pour la création d'une forme de mécanique quantique $($ connue sous le nom de mécanique matricielle $)$ , dont l’application a mené, entre autres, à la découverte des variétés allotropiques de l'hydrogène $($ le dihydrogène existe sous deux formes allotropiques « ortho » où les spins sont parallèles et « para » où ils sont antiparallèles, le dihydrogène ortho étant présent à $75 %$ à température élevée et sa proportion diminuant quand sa température diminue $)$ .
   Laurent Schwartz (1915 - 2002) mathématicien français, ayant été le premier français à obtenir la médaille Fields $($ équivalent du prix Nobel en mathématiques $)$ en $1950$ pour ses travaux sur la théorie des distributions $($ sorte de prolongement des fonctions dans des domaines avec discontinuité $\dots)$
↑ ^50,0 ^50,1 ^50,2 ^50,3 et ^50,4 Correspondant à la valeur absolue du saut du signal créneau lors des discontinuités de 1^ère espèce de ce dernier.
↑ Peu visible car la sensibilité étant la même que celle du signal d'entrée est trop petite pour l'observation du signal de sortie.
↑ Si la fréquence du signal d'entrée est de $190 k H z ≃ 100 f_{c}$ , cela donne un gain en dB de $- 40 d B$ pour l'harmonique fondamental soit une atténuation d'un facteur $100$ et par suite une amplitude de la forme bi-intégrée de l'harmonique fondamental pouvant être considérée inobservable si l'amplitude d'entrée reste de valeur raisonnable $[$ par exemple une amplitude de $1 V$ conduit à une amplitude de la forme bi-intégrée de l'harmonique fondamental de $10 m V$ de même valeurs que celle des parasites $]$ , la double intégration des harmoniques de rang supérieur donnant une atténuation encore plus faible sont évidemment encore moins observables $[$ par exemple l'harmonique de rang $10$ conduirait à une atténuation d'un facteur $10000]$ .
↑ Nous sommes dans le cas où la fréquence du signal d'entrée est égale à la fréquence de la borne inférieure du domaine « double-intégrateur » mais l'amplitude de variation du signal d'entrée $1 V$ étant de même ordre de grandeur que sa valeur moyenne $0, 5 V$ , l'amplitude des formes bi-intégrées des harmoniques de rang non nul ne dépassant pas $12 m V$ la bi-intégration n'est pas observable $($ sans compter que les parasites sont d'amplitude de même ordre de grandeur $)$ .
↑ Qui est « effectivement un passe-haut sous réserve d'une valeur de facteur de qualité $<$ à $1, 31$ », sinon il s'agit d'un passe-bande de fréquence de résonance $>$ à la fréquence propre ${$ voir le paragraphe « rappel des propriétés de la “ réponse en u_L d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable ” pour la fonction de transfert “ amplification complexe en tension ” » du chap. $7$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) », les propriétés d'un 2^ème ordre “ du type réponse en tension aux bornes de la bobine $($ parfaite $)$ d'un $R L C$ série soumis à une tension d'amplitude constante ” étant les mêmes que celles d'un 2^ème ordre “ réponse en tension aux bornes de la bobine $($ parfaite $)$ d'un $R L C$ série soumis à une tension d'amplitude constante ” $}$ .
↑ Plus exactement sortie aux bornes de la bobine réelle comprenant aussi une partie résistive mais la résistance de la bobine ne dépassant pas quelques ohms pourra être négligée si la résistance totale est de quelques kiloohms.
↑ On rappelle qu'avec $Q = \frac{1}{\sqrt{2}}$ la fonction de transfert s'écrivant ${\underline{A}}_{(Q = \frac{1}{\sqrt{2}})} (j f) = \frac{- \frac{f^{2}}{f_{0}^{2}}}{1 - \frac{f^{2}}{f_{0}^{2}} + j \sqrt{2} \frac{f}{f_{0}}}$ $\Rightarrow$ $G_{(Q = \frac{1}{\sqrt{2}})} (f) =$ $\frac{\frac{f^{2}}{f_{0}^{2}}}{\sqrt{{(1 - \frac{f^{2}}{f_{0}^{2}})}^{2} + 2 \frac{f^{2}}{f_{0}^{2}}}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{f_{0}^{4}}{f^{4}}}}$ .
↑ Pour cela on exprime le gain linéaire à partir de la fonction de transfert $\underline{A} (j f) = \frac{- \frac{f^{2}}{f_{0}^{2}}}{1 - \frac{f^{2}}{f_{0}^{2}} + j \frac{f}{Q f_{0}}}$ soit « $G (f) = \frac{\frac{f^{2}}{f_{0}^{2}}}{\sqrt{{(1 - \frac{f^{2}}{f_{0}^{2}})}^{2} + \frac{f^{2}}{Q^{2} f_{0}^{2}}}}$ » et
   Pour cela on écrit que « $G (f_{c}) = \frac{G_{max}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ » ce qui donne l'« équation bicarrée en $x_{c} = \frac{f_{c}}{f_{0}}$ $[$ c.-à-d. du 2^ème degré en $x_{c}^{2} = \frac{f_{c}^{2}}{f_{0}^{2}}]$ suivante $x_{c}^{4} + (\frac{1}{Q^{2}} - 2) x_{c}^{2} + 1 = 2 x_{c}^{4}$ » ou, en divisant les deux membres par $x_{c}^{4}$ après simplification évidente, l'« équation bicarrée en $ξ_{c} = \frac{1}{x_{c}} = \frac{f_{0}}{f_{c}}$ » suivante « $ξ_{c}^{4} + (\frac{1}{Q^{2}} - 2) ξ_{c}^{2} - 1 = 0$ » ;
   Pour cela on conserve la solution positive « $ξ_{c}^{2} = \sqrt{1 + {(\frac{1}{2 Q^{2}} - 1)}^{2}} - (\frac{1}{2 Q^{2}} - 1)$ » $\Rightarrow$ « $f_{c} = \frac{f_{0}}{\sqrt{\sqrt{1 + {(\frac{1}{2 Q^{2}} - 1)}^{2}} - (\frac{1}{2 Q^{2}} - 1)}}$ » soit, par exemple,
   Pour cela « pour $Q = \frac{1}{2}$ , $f_{c} ≃ 0, 68 f_{0}$ » $\dots$
↑ Pour cela la fréquence du signal d'entrée doit rester proche de la borne inférieure soit « $\frac{f_{c}}{10 n_{min construct. dble dérivé}} ≃ \frac{620 H z}{n_{min construct. dble dérivé}}$ » c.-à-d. pour un signal d'entrée périodique formé de portions paraboliques de concavités opposées donnant un créneau comme signal doublement dérivé pour lequel on estime qu'il faut approximativement les $30$ 1^ers harmoniques pour le construire ${$ voir le paragraphe « nombre minimal de 1^ers harmoniques nécessaire pour reconstruire un signal créneau symétrique » du chap. $2$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » $}$ , une borne inférieure valant $\frac{f_{c}}{10 \times n_{min construct. dble dérivé}} ≃ \frac{620 H z}{30} ≃ 20 H z$ ,
Pour cela cette fréquence donnant un gain en dB pour l'harmonique de rang $30$ approximativement de $- 10 \log [1 + (10)^{4}] ≃ - 40 d B$ soit une atténuation d'un facteur $100$ mais
Pour cela cette fréquence donnant un gain en dB pour l'harmonique fondamental approximativement de $- 10 l o g [1 + (300)^{4}] ≃ - 100 d B$ soit une atténuation d'un facteur $1 0^{5}$ ce qui, globalement, nécessite une amplitude du signal d'entrée trop importante pour que le signal doublement dérivé soit visible $\dots$ C'est donc un problème excessivement limitant pour obtenir une double dérivation avec un minimum de distorsion.
↑ C.-à-d. en gros quatre fois plus grande que celle des parasites
↑ Pour un signal d'entrée triangulaire donnant deux pics de Dirac inversés séparés de $\frac{T}{2}$ comme signal doublement dérivé pour lequel on estime qu'il faut approximativement les $300$ 1^ers harmoniques pour le construire ${$ voir le paragraphe « nombre minimal de 1^ers harmoniques nécessaire pour reconstruire un signal créneau symétrique (à retenir) » du chap. $2$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » dans lequel on observe la propriété que le nombre minimal de 1^ers harmoniques pour construire le signal dérivé d'un signal donné est approximativement $10$ fois plus grand que celui nécessaire pour construire le signal donné $}$ , une borne inférieure valant « $\frac{f_{c}}{10 \times n_{min construct. dble dérivé}} ≃ \frac{620 H z}{300} ≃ 2, 0 H z$ »,
Pour un signal d'entrée triangulaire cette fréquence donnant un gain en dB pour l'harmonique de rang $300$ de $≃ - 10 \log [1 + (10)^{4}] ≃ - 40 d B$ soit une atténuation d'un facteur $100$ mais
Pour un signal d'entrée triangulaire cette fréquence donnant un gain en dB pour l'harmonique fondamental de $≃ - 10 l o g [1 + (3000)^{4}] ≃ - 140 d B$ soit une atténuation d'un facteur $1 0^{7}$ ce qui, globalement, nécessite une amplitude du signal d'entrée beaucoup trop importante pour que le signal doublement dérivé soit visible $\dots$ C'est donc un problème excessivement limitant pour obtenir une double dérivation avec un minimum de distorsion.
↑ C.-à-d. au moins deux fois plus grande que celle des parasites
↑ Exemple de filtre nécessaire pour éliminer les grandes ondes de France Inter de fréquence centrale $162 k H z$ sur un intervalle de largeur $0, 80 k H z$ .
↑ Nous avons établi, dans le paragraphe « variation du gain en tension du système “ condensateur - bobine parfaite ” du R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante en fonction de la fréquence, nature “ coupe-bande ” du filtre, bande non passante à -3dB et acuité de l'antirésonance » du chap. $7$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) » que l'acuité de l'antirésonance $𝒜_{antirésonance}$ est égale au facteur de qualité $Q$ , ce résultat se généralisant aisément à tout 2^ème ordre « du type réponse en $u_{L C}$ d'un $R L C$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante ».
↑ Nous avons établi, dans la solution de la question « condition pour que le filtre soit un coupe-bande (ou réjecteur de fréquences), bande non passante à -3dB et acuité d'antirésonance » d'un exercice de la série « 7 » de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) » que l'acuité de l'antirésonance $𝒜_{antirésonance}$ d'un « coupe-bande du 2^ème ordre avec gain minimal non nul » de forme canonique réduite usuelle $($ appellation personnelle $)$ $\underline{H} (j x) = \frac{H_{0} (1 - x^{2} + j α x)}{1 - x^{2} + j \frac{x}{Q}}$ » ${$ établie dans la solution de la question « détermination de la forme canonique réduite usuelle d'un 2^ème ordre “ du type coupe-bande avec gain minimal non nul ” » $}$ est égale à « $\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{Q^{2}} - 2 α^{2}}} = \frac{Q}{\sqrt{1 - 2 Q^{2} α^{2}}}$ s'identifiant à $Q$ à $1 %$ près » si « $2 Q^{2} α^{2} ≪ 1$ c.-à-d. $≲ 1 0^{- 2}$ ou $Q | α | ≲ 0, 07$ » ;
nous vérifions, dans la suite de ce paragraphe, que « $| α | Q$ doit être $≲ 7, 1 1 0^{- 3}$ avec $G_{0} = 1$ » d'où la validation de l'hypothèse identifiant l'acuité de l'antirésonance $𝒜_{antirésonance}$ avec le facteur de qualité $Q$ à $1 %$ près.
↑ Ce n'est qu'une proposition d'approche parmi d'autres : « de $f_{a}^{-} = 161, 6 k H z$ à $f_{0} = 162 k H z$ », « $G_{d B}$ est $↘$ » puis
Ce n'est qu'une proposition d'approche parmi d'autres : « de $f_{0} = 162 k H z$ à $f_{a}^{+} = 162, 4 k H z$ », « $G_{d B}$ est $↗$ »,
Ce n'est qu'une proposition d'approche parmi d'autres : on estime la variation de $G_{d B}$ entre les fréquences $f_{a}^{\pm}$ et $f_{0}$ à $3 d B$ mais ce n'est pas la seule possibilité $\dots$
↑ ^66,0 et ^66,1 Voir la solution de la question « détermination de la forme canonique réduite usuelle d'un 2^ème ordre “ du type coupe-bande avec gain minimal non nul ” » d'un exercice de la série « 7 » de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) » précisant la forme canonique réduite usuelle $($ appellation personnelle $)$ $\underline{H} (j x) = \frac{H_{0} (1 - x^{2} + j α x)}{1 - x^{2} + j \frac{x}{Q}}$ » d'un 2^ème ordre “ du type coupe-bande avec gain minimal non nul ” dont on déduit « $G (x_{0} = 1) = G_{0} | α | Q$ » où $x = \frac{f}{f_{0}}$ est la fréquence réduite ${$ on rappelle que les valeurs du gain explicité en fonction de la fréquence $f$ restent les mêmes que celles de ce gain exprimé en fonction de la fréquence réduite $x$ mais les fonctions donnant les valeurs à partir de $f$ différant des fonctions donnant les valeurs à partir $x$ devraient mathématiquement porter des noms différents, toutefois, usuellement en physique, on confond la notation de la fonction et de la valeur, d'où la même notation et par suite « $G (x_{0} = 1) = G_{0} | α | Q$ » se réécrit, par abus, « $G (f_{0})$ $= G_{0} | α | Q$ » $}$ .
↑ ^67,0 et ^67,1 La forme d'une fonction de transfert est dite « usuelle » $($ appellation personnelle $)$ quand elle est écrite sous forme d'un quotient irréductible de polynômes en $j ω$ $($ ou $j x$ , $x$ étant la pulsation réduite, c.-à-d. sans dimension $)$ .
↑ La démarche pour déterminer l'amplification complexe en tension de sortie ouverte aux bornes de l'ensemble « bobine réelle $(r L$ série $)$ – condensateur » d'un $R L C$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace fixée et de fréquence variable est la même que celle utilisée dans le paragraphe « établissement de l'amplification complexe en tension de sortie ouverte aux bornes de l'ensemble “ condensateur - bobine parfaite ” d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » du chap. $7$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) », il suffit alors de remplacer l'impédance complexe de l'association série “ condensateur - bobine parfaite ” $\underline{Z_{L C série}} (j ω) = \frac{1}{j C ω} + j L ω = \frac{1 - L C ω^{2}}{j C ω}$ par l'impédance complexe de l'association série “ condensateur - bobine réelle ” $\underline{Z_{r L C série}} (j ω) = \frac{1}{j C ω} + j L ω + r = \frac{1 - L C ω^{2} + j r C ω}{j C ω}$ , soit :
la fonction de transfert s'obtenant en reconnaissant la sortie ouverte d'un P.D.T. $($ pont diviseur de tension $)$ ${$ voir le paragraphe « le résultat le plus utilisé : P.D.T. en sortie ouverte alimenté en entrée par u_e(t) » du chap. $3$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) » $}$ « $\underline{U_{r L C série}} (j ω) = \frac{\underline{Z_{r L C série}} (j ω)}{(R - r) + \underline{Z_{r L C série}} (j ω)} \underline{U_{e}}$ » $[R$ étant la résistance totale, la résistance d'attaque du P.D.T. $($ en série avec l'ensemble “ condensateur - bobine réelle ” quand le P.D.T. est en sortie ouverte $)$ est $R - r]$ $\Rightarrow$ $\underline{A_{r L C série}} (j ω) = \frac{\underline{U_{r L C série}} (j ω)}{\underline{U_{e}}} = \frac{\frac{1 - L C ω^{2} + j r C ω}{j C ω}}{(R - r) + \frac{1 - L C ω^{2} + j r C ω}{j C ω}}$ et finalement, en multipliant haut et bas par $j C ω$ et après simplification évidente, « $\underline{A_{r L C série}} (j ω) = \frac{1 - L C ω^{2} + j r C ω}{1 - L C ω^{2} + j R C ω}$ » ;
on reconnaît la fonction de transfert d'un “ coupe-bande à gain minimal non nul ” définie dans l'exercice « coupe-bande du 2^ème ordre avec gain minimal non nul » de la série « 7 » de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) » « $\underline{H} (j ω) = \frac{H_{0} (1 - β^{'} ω^{2}) + j γ^{'} ω}{1 - β^{'} ω^{2} + j α^{'} ω}$ » avec un transfert statique $H_{0} = 1$ , $β^{'} = L C$ , $α^{'} = R C$ et $γ^{'} = r C$ , la condition pour que ce soit effectivement un coupe-bande étant « $| γ^{'} | < | H_{0} | \frac{α^{'}}{\sqrt{2}}$ » se réécrit « $r C < \frac{R C}{\sqrt{2}}$ » ou « $R > r \sqrt{2}$ » correspondant à la « résistance d'attaque du P.D.T. $($ en série avec l'ensemble “ condensateur - bobine réelle ” quand le P.D.T. est en sortie ouverte $)$ $R - r > r (\sqrt{2} - 1) ≃ 4 Ω$ avec $r = 10 Ω$ » condition réalisable très facilement.
↑ Résistance totale incluant la résistance $r$ de la bobine.
↑ Après introduction de la pulsation réduite $x = \frac{ω}{ω_{0}}$ qui est encore la fréquence réduite $x = \frac{\frac{ω}{2 π}}{\frac{ω_{0}}{2 π}} = \frac{f}{f_{0}}$ , les valeurs des grandeurs complexes dépendant de la pulsation restent les mêmes mais les fonctions donnant les valeurs à partir de la pulsation réduite différant des fonctions donnant les valeurs à partir de la pulsation devraient mathématiquement porter des noms différents ; comme usuellement en physique on confond la notation de la fonction et de la valeur, nous conservons la même notation et écrivons par exemple $\underline{A_{r L C série}} (j ω) = \underline{A_{r L C série}} (j x) \dots$
↑ Voir la solution de la question « détermination de la forme canonique réduite usuelle d'un 2^ème ordre “ du type coupe-bande avec gain minimal non nul ” $\underline{H} (j x) = \frac{H_{0} (1 - x^{2} + j α x)}{1 - x^{2} + j \frac{x}{Q}}$ » de la série 7 d'exercices de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) », la forme canonique usuelle de cet exercice « $\underline{H} (j ω) = \frac{H_{0} (1 - β^{'} ω^{2}) + j γ^{'} ω}{1 - β^{'} ω^{2} + j α^{'} ω}$ » satisfaisant, dans le cas « $\underline{A_{r L C série}} (j ω) =$ $\frac{1 - L C ω^{2} + j r C ω}{1 - L C ω^{2} + j R C ω}$ », à $H_{0} = 1$ , $β^{'} = L C = \frac{1}{ω_{0}^{2}}$ , $α^{'} = R C = \frac{1}{Q ω_{0}}$ et $γ^{'} = r C$ , la réduction canonique exposée dans la « solution de la question précédemment citée » conduisant à « $α$ $= \frac{γ^{'} ω_{0}}{H_{0}}$ » soit, dans le cas « $\underline{A_{r L C série}} (j ω) = \frac{1 - L C ω^{2} + j r C ω}{1 - L C ω^{2} + j R C ω}$ », à « $α = r C ω_{0}$ ».
↑ Voir le paragraphe « choix des caractéristiques du filtre (c.-à-d., dans le cas présent, de sa fréquence d'antirésonance et de sa bande non passante à -3dB) pour l'exemple précédent » plus haut dans ce chapitre.
↑ ^73,0 ^73,1 ^73,2 ^73,3 ^73,4 ^73,5 et ^73,6 « Créneau impair symétrique » ou « triangulaire pair symétrique », ces derniers n'ayant que des harmoniques de rang impair.
↑ Également la fréquence du signal d'entrée.
↑ Ce Qu'il Fallait Vérifier.
↑ ^76,0 et ^76,1 Josiah Willard Gibbs (1839 - 1903) physico-chimiste mathématicien américain, a appliqué la thermodynamique dans la chimie physique, la rendant ainsi raisonnée et rigoureuse ;
          avec James Clerk Maxwell (1831 - 1879) physicien et mathématicien écossais et Ludwig Eduard Boltzmann (1844 - 1906) physicien et philosophe autrichien, il est l'un des fondateurs de la mécanique statistique qui explique les lois de la thermodynamique à l'aide des propriétés statistiques des grands ensembles des particules ;
          en mathématiques il est aussi, avec Oliver Heaviside (1850 - 1925) physicien britannique autodidacte, l'un des fondateurs de l'analyse vectorielle ;
          l'observation connue sous le nom « phénomène de Gibbs » a été découvert en $1848$ par Henry Wilbraham (1825 - 1883) mathématicien anglais et redécouvert par J.W.Gibbs en $1899$ , c'est ce dernier qui trouva la cause mathématique de ce phénomène que l'on observe lors de l'étude des séries et transformées de Fourier.
↑ Écart le plus faible entre la zone passante inférieure et la zone absorbante $161, 6 - 112 = 49, 6 k H z$ .
↑ Et « $(2 p - 1) f = 112 k H z$ ».
↑ Nous aurions pu également dire que « la réjection cessera si les harmoniques de rang $2 p + 3$ et $2 p + 1$ sont séparés de moins de $49, 6 k H z$ $($ correspondant à l'écart le plus faible entre la zone passante supérieure et la zone absorbante $212 - 162, 4 = 49, 6 k H z)$ » soit « $(2 p + 3) f - (2 p + 1) f =$ $49, 6 k H z$ » donnant « $f = 24, 8 k H z$ avec $(2 p + 1) f = 161, 6 k H z$ $($ et « $(2 p - 3) f$ $= 212 k H z$ » $)$ » soit finalement « $2 p + 1 = \frac{161, 6}{24, 8} ≃ 6, 52$ » c.-à-d. le même résultat $\dots$
↑ Or l'amplitude de l'harmonique de rang $k = 5$ d'un triangulaire valant $\frac{8 U_{m}}{π^{2} k^{2}} ≃ 0, 032 U_{m}$ l'est ainsi que les suivants ${$ voir le paragraphe « exemple d'un signal triangulaire symétrique (valeur des amplitudes de la représentation fréquentielle …) » du chap. $2$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » $}$ .

Signaux physiques - bis (PCSI)

Filtrage linéaire : fonction de transfert harmonique et diagramme de Bode, 2^ème partie

Filtrage linéaire : gabarit d'un filtre, 2^ème partie

[absorbée-1] Ou suffisamment atténuée pour être considérée comme absorbée.

[2] Choix très fréquent.

[3] On rencontre de plus en plus souvent la confusion entre l'intervalle passant et la bande passante, cette dernière étant employée pour désigner l'intervalle passant $\dots$ mais a priori c'est incorrect.

[4] Une avance de phase $φ_{s} > 0$ correspondant à une avance temporelle $Δ t_{s} > 0$ .

[5] Qui est effectivement un passe-bas.

[S.I.-6] 6,0 ^6,1 ^6,2 et ^6,3 Système International d'unités.

[justification_du_gain_en_dB_-_passe-bas-7] 7,0 et ^7,1 En effet « $G (f) = | \underline{A} (j ω) | = | \frac{1}{1 + j R C ω} | = \frac{1}{\sqrt{1 + {(R C ω)}^{2}}}$ » et « $R C ω = R C 2 π f = \frac{f}{f_{c}}$ » $\Rightarrow$ « $G (f) = \frac{1}{\sqrt{1 + {(\frac{f}{f_{c}})}^{2}}}$ » d'où « $G_{d B} (f) = 20 \log [G (f)] =$ $20 \log [\frac{1}{\sqrt{1 + {(\frac{f}{f_{c}})}^{2}}}] = - 10 \log [1 + {(\frac{f}{f_{c}})}^{2}]$ ».

[position_de_fréquence_d'entrée_dans_zone_intégrative-8] 8,0 et ^8,1 Pour cela la fréquence du signal d'entrée doit rester proche de la borne inférieure soit $10 f_{c} ≃ 20 k H z$ , cette fréquence donnant un gain en dB de $- 20 d B$ soit une atténuation d'un facteur $10$ ce qui est acceptable alors que
Pour cela une fréquence de $200 k H z ≃ 100 f_{c}$ donnerait un gain en dB de $- 40 d B$ soit une atténuation d'un facteur $100$ ce qui nécessiterait une amplitude d'entrée importante pour que le signal de sortie soit acceptable et
Pour cela une fréquence de $2 M H z ≃ 1000 f_{c}$ donnerait un gain en dB de $- 60 d B$ soit une atténuation d'un facteur $1000$ ce qui serait totalement inobservable.

[moyenneur-9] 9,0 et ^9,1 Si le signal d'entrée est à valeur moyenne nulle et que les conditions de fonctionnement d'un moyenneur exposées ci-après sont réalisées le filtre serait un « moyenneur $($ sans composante permanente $)$ », la sortie ne donnant alors rien c.-à-d. la moyenne nulle du signal d'entrée.

[fréquence_harmonique_fondamental-10] 10,0 et ^10,1 Qui est aussi la fréquence de l'harmonique fondamental.

[11] Qui est effectivement un passe-haut.

[justification_du_gain_en_dB_-_passe-haut-12] 12,0 et ^12,1 En effet « $G (f) = | \underline{A} (j ω) | = | \frac{j R C ω}{1 + j R C ω} | = \frac{R C ω}{\sqrt{1 + {(R C ω)}^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{{(R C ω)}^{2}}}}$ » et « $R C ω = R C 2 π f = \frac{f}{f_{c}}$ » $\Rightarrow$ « $G (f) = \frac{1}{\sqrt{1 + {(\frac{f_{c}}{f})}^{2}}}$ » d'où « $G_{d B} (f) =$ $20 \log [G (f)] = 20 \log [\frac{1}{\sqrt{1 + {(\frac{f_{c}}{f})}^{2}}}] = - 10 \log [1 + {(\frac{f_{c}}{f})}^{2}]$ ».

[Fourier-13] 13,0 ^13,1 ^13,2 ^13,3 ^13,4 ^13,5 ^13,6 ^13,7 et ^13,8 Joseph Fourier (1768 – 1830) mathématicien et physicien français connu pour ses travaux sur la décomposition de fonctions périodiques en séries trigonométriques convergentes et leur application au problème de la propagation de la chaleur $\dots$

[position_de_fréquence_d'entrée_dans_zone_dérivative-14] Pour cela la fréquence du signal d'entrée doit rester proche de la borne inférieure soit $\frac{f_{c}}{10 n_{min construction dérivé}} ≃ \frac{550 H z}{n_{min construction dérivé}}$ soit, pour un signal d'entrée triangulaire donnant un créneau comme signal dérivé pour lequel on estime qu'il faut approximativement les $30$ 1^ers harmoniques pour le construire ${$ voir le paragraphe « nombre minimal de 1^ers harmoniques nécessaire pour reconstruire un signal créneau symétrique » du chap. $2$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » $}$ , une borne inférieure $\frac{f_{c}}{10 \times n_{min construction dérivé}} ≃ \frac{550 H z}{30} ≃ 20 H z$ ,
cette fréquence donnant un gain en dB pour l'harmonique de rang $30$ approximativement de $- 20 d B$ soit une atténuation d'un facteur $10$ mais
cette fréquence donnant un gain en dB pour l'harmonique fondamental approximativement de $- 20 d B - 20 l o g (30) ≃ - 50 d B$ soit une atténuation d'un facteur $1 0^{(\frac{50}{20})} ≃ 300$ ce qui nécessite une amplitude du signal d'entrée très importante pour que le signal dérivé soit visible $\dots$ C'est donc un problème très limitant pour obtenir une dérivation avec un minimum de distorsion.

[15] Même si l'amplitude du signal d'entrée était de $10 V$ celle du signal de sortie serait de $20 m V$ de même ordre de grandeur que celle des parasites.

[position_pratique_de_fréquence_d'entrée_dans_zone_dérivative-16] Pour cela la fréquence du signal d'entrée doit rester proche de la nouvelle borne inférieure soit $\frac{f_{c}}{n_{min construction dérivé}} ≃ \frac{5500 H z}{n_{min construction dérivé}}$ soit, pour un signal d'entrée triangulaire donnant un créneau comme signal dérivé pour lequel on estime qu'il faut approximativement les $30$ 1^ers harmoniques pour le construire ${$ voir le paragraphe « nombre minimal de 1^ers harmoniques nécessaire pour reconstruire un signal créneau symétrique » du chap. $2$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » $}$ , une borne inférieure $\frac{f_{c}}{n_{min construction dérivé}} ≃ \frac{5500 H z}{30} ≃ 200 H z$ ,
cette fréquence donnant un gain en dB pour l'harmonique de rang $30$ approximativement de $- 3 d B$ soit une atténuation d'un facteur $\sqrt{2} ≃ 1, 4$ mais
cette fréquence donnant un gain en dB pour l'harmonique fondamental approximativement de $- 3 d B - 20 l o g (30) ≃ - 32 d B$ soit une atténuation d'un facteur $1 0^{(\frac{32}{20})} ≃ 40$ ce qui reste acceptable pour une observation $\dots$ Il reste à vérifier que la dérivation se fait avec un minimum de distorsion.

[17] Ce qui resterait du signal de sortie après élimination des parasites.

[18] Exemple de filtre nécessaire pour capter les grandes ondes de France Inter de fréquence centrale $162 k H z$ sur un intervalle de largeur $0, 80 k H z$ .

[B.F.-19] Basse Fréquence.

[H.F.-20] Haute Fréquence.

[Bode-21] Hendrik Wade Bode (1905 - 1982) est un ingénieur, chercheur et inventeur américain d'origine néerlandaise qui a été un pionnier de la régulation moderne et des télécommunications ; il a révolutionné ces domaines dans leurs contenus mais aussi dans leurs méthodes d'application $($ plus particulièrement connu pour avoir mis au point le diagramme de Bode qui constitue une méthode de représentation de l'amplitude et de la phase d'un système $)$ .

[Bode_d'un_passe-bande-22] Voir le paragraphe « tracé de la courbe de gain du diagramme de Bode (d'un 2^ème ordre du type réponse en u_R d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable) » du chap. $7$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) » en considérant que ce 2^ème ordre est en fait la réponse en $u_{R}$ d'un $R L C$ série et non simplement « du type réponse en $u_{R}$ d'un $R L C$ série » d'où la fonction de transfert écrite sous sa forme canonique réduite pratique « $\underline{H} (j x) = \frac{α Q}{1 + j Q (x - \frac{1}{x})}$ avec $α Q = 1$ et $x = \frac{f}{f_{0}}$ ».

[éviter_les_faibles_valeurs_de_L-23] 23,0 ^23,1 ^23,2 ^23,3 ^23,4 ^23,5 ^23,6 et ^23,7 Les faibles valeurs d'inductances étant plus difficiles à fabriquer coûtent plus chers et sont donc à éviter si possible.

[24] Le contact entre l'asymptote B.F. de la courbe de gain du diagramme de Bode et la courbe de gain se faisant entre $\frac{f_{0}}{10}$ et $f_{0}$ $($ il y a en effet moins d'une décade entre la fréquence de résonance et la fréquence en deçà de laquelle la courbe de gain du diagramme de Bode se confond avec celle du diagramme de Bode asymptotique B.F. $)$ est estimé à la fréquence $\frac{f_{0}}{5}$ .

[position_de_fréquence_d'entrée_dans_zone_dérivative_-_bis-25] Pour cela la fréquence du signal d'entrée doit rester proche de la borne inférieure soit « $\frac{f_{0}}{5 n_{min construction dérivé}} ≃ \frac{32, 4 k H z}{n_{min construction dérivé}}$ » c.-à-d., pour un signal d'entrée triangulaire donnant un créneau comme signal dérivé pour lequel on estime qu'il faut approximativement les $30$ 1^ers harmoniques pour le construire ${$ voir le paragraphe « nombre minimal de 1^ers harmoniques nécessaire pour reconstruire un signal créneau symétrique » du chap. $2$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » $}$ , une borne inférieure $\frac{f_{0}}{5 \times n_{min construction dérivé}} ≃ \frac{32, 4 k H z}{30} ≃ 1, 08 k H z ≃ 1, 1 k H z$ ,
Pour cela cette fréquence donnant un gain en dB pour l'harmonique de rang $30$ approximativement de $20 \log (\frac{1}{5}) - 20 \log (200) ≃ - 60 d B$ soit une atténuation d'un facteur $1000$ et
Pour cela cette fréquence donnant un gain en dB pour l'harmonique fondamental approximativement de $20 \log (\frac{1}{5 \times 30}) - 20 \log (200) ≃ - 90 d B$ soit une atténuation d'un facteur $1 0^{(\frac{90}{20})} ≃$ $30000$ ce qui nécessite une amplitude du signal d'entrée excessivement trop importante pour que le signal dérivé soit visible $\dots$ C'est donc un problème crucial empêchant quasiment toute dérivation avec un minimum de distorsion, la raison en étant le grand facteur de qualité du filtre $\dots$
Si on veut obtenir un dérivateur du 2^ème ordre utilisable, on choisira un facteur de qualité nettement moindre, sa grande valeur n'ayant d'importance que dans le caractère « sélectionneur d'harmoniques » $\dots$

[26] Il faudrait une amplitude du signal d'entrée de $1000 V$ pour que celle du signal de sortie soit de $20 m V$ de même ordre de grandeur que celle des parasites $\dots$

[signal_reconstruit_par_logiciel-27] 27,0 ^27,1 ^27,2 ^27,3 et ^27,4 Le signal a été reconstruit par logiciel de calcul.

[28] Le contact entre l'asymptote H.F. de la courbe de gain du diagramme de Bode et la courbe de gain se faisant entre $f_{0}$ et $10 f_{0}$ $($ il y a en effet moins d'une décade entre la fréquence de résonance et la fréquence au delà de laquelle la courbe de gain du diagramme de Bode se confond avec celle du diagramme de Bode asymptotique H.F. $)$ est estimé à la fréquence $5 f_{0}$ .

[position_de_fréquence_d'entrée_dans_zone_intégrative_-_ter-29] Pour cela la fréquence du signal d'entrée doit rester proche de la borne inférieure soit « $5 f_{0} ≃ 810 k H z$ » ${$ en effet il suffit que la fréquence de l'harmonique fondamental soit dans la zone intégrative, celle de tous les harmoniques de rang supérieur $($ donc de fréquence plus grande $)$ nécessaire à la construction du signal intégré l'étant aussi bien évidemment $}$ ,
Pour cela cette fréquence donnant un gain en dB pour l'harmonique fondamental approximativement de $- 20 \log (5) - 20 \log (200) ≃ - 60 d B$ soit une atténuation d'un facteur $1000$ et,
Pour cela cette fréquence donnant un gain en dB pour l'harmonique de rang $3$ approximativement de $- 20 \log (3 \times 5) - 20 \log (200) ≃ - 70 d B$ soit une atténuation d'un facteur $1 0^{(\frac{70}{20})} ≃$ $3000$ ce qui nécessite une amplitude du signal d'entrée relativement importante pour que le signal intégré soit visible ${$ on rappelle que le signal intégré d'un créneau est triangulaire et qu'on estime qu'il faut approximativement les $3$ 1^ers harmoniques pour construire un signal triangulaire $[$ voir le paragraphe « nombre minimal de 1^ers harmoniques nécessaire pour reconstruire un signal triangulaire symétrique » du chap. $2$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » $]}$ $\dots$ C'est donc un problème crucial gênant quasiment toute intégration avec un minimum de distorsion, la raison en étant le grand facteur de qualité du filtre $\dots$
Si on veut obtenir un intégrateur du 2^ème ordre utilisable on choisira un facteur de qualité nettement moindre, sa grande valeur n'ayant d'importance que dans le caractère « sélectionneur d'harmoniques » $\dots$

[30] Il faudrait une amplitude du signal d'entrée de $10 V$ pour que celle du signal de sortie soit de $14 m V$ de même ordre de grandeur que celle des parasites $\dots$

[31] C.-à-d. $\frac{162 k H z}{3} = 54 k H z$ .

[principe_d'utilisation-32] 32,0 ^32,1 ^32,2 ^32,3 ^32,4 et ^32,5 En principe la détermination expérimentale des harmoniques d'un signal d'entrée se fait avec la fréquence de ce dernier fixée, la fréquence propre du filtre utilisé croissant suivant l'harmonique que l'on cherche à visualiser,
ainsi pour un signal d'entrée de fréquence $f$ , la fréquence propre $f_{0}$ du filtre est adaptée à $f$ pour détecter l'harmonique principal et à $n f$ pour observer l'harmonique de rang $n$ mais
pour des raisons pratiques évidentes nous choisissons de maintenir la fréquence propre du filtre fixée et de faire décroître la fréquence du signal d'entrée suivant l'harmonique souhaitée $\dots$

[33] C.-à-d. $\frac{162 k H z}{7} ≃ 23, 1 k H z$ .

[34] L'harmonique de rang $5$ de fréquence voisine de $116 k H z$ étant proche de la zone dérivative de gauche $[0; 32, 4 k H z]$ subit une dérivation avec distorsion avant de sortir avec une atténuation proche d'un facteur $100$ $($ le gain en dB étant proche de $- 40 d B)$ alors que
l'harmonique de rang $9$ de fréquence voisine de $209 k H z$ étant proche de la zone intégrative de droite $[810 k H z; + \infty [$ subit une intégration avec distorsion avant de sortir avec également une atténuation proche d'un facteur $100$ $($ le gain en dB étant aussi proche de $- 40 d B)$ ,
les deux s'ajoutant théoriquement au signal de sortie souhaité dû à l'harmonique de rang $7$ mais étant pratiquement négligeable.

[35] C.-à-d. $\frac{162 k H z}{19} ≃ 8, 53 k H z$ .

[36] L'harmonique de rang $17$ de fréquence voisine de $145 k H z$ étant dans la zone dérivative de gauche $[0; 32, 4 k H z]$ subit une dérivation avec distorsion avant de sortir avec une atténuation proche d'un facteur $45$ ${$ le gain en dB étant $≃ - 10 \log [1 + 20 0^{2} {(\frac{145}{162} - \frac{162}{145})}^{2}] ≃ - 33 d B$ soit un gain de $1 0^{(- \frac{33}{20})} ≃ 2, 2 1 0^{- 2}}$ alors que
l'harmonique de rang $21$ de fréquence voisine de $179 k H z$ étant dans la zone intégrative de droite $[810 k H z; + \infty [$ subit une intégration avec distorsion avant de sortir avec une atténuation proche d'un facteur $40$ ${$ le gain en dB étant $≃ - 10 \log [1 + 20 0^{2} {(\frac{179}{162} - \frac{162}{179})}^{2}] ≃ - 32 d B$ soit un gain de $1 0^{(- \frac{32}{20})} ≃ 2, 5 1 0^{- 2}}$ ,
les deux s'ajoutant pratiquement au signal de sortie souhaité dû à l'harmonique de rang $19$ en étant observable même si la distorsion reste faible.

[37] Mais nous avons vu, sur l'exemple du créneau, que cette limite théorique pouvait être beaucoup trop stricte, la limite pratique étant nettement plus élevée à condition de tolérer une certaine distorsion.

[38] Écart le plus faible entre la zone absorbante inférieure et la zone passante $161, 6 - 112 = 49, 6 k H z$ .

[39] Et « $(2 p - 1) f = 112 k H z$ ».

[40] Nous aurions pu également dire que « la sélection cessera si les harmoniques de rang $2 p + 3$ et $2 p + 1$ sont séparés de moins de $49, 6 k H z$ $($ correspondant à l'écart le plus faible entre la zone absorbante supérieure et la zone passante $212 - 162, 4 = 49, 6 k H z)$ » soit « $(2 p + 3) f - (2 p + 1) f =$ $49, 6 k H z$ » donnant « $f = 24, 8 k H z$ avec $(2 p + 1) f = 161, 6 k H z$ $($ et « $(2 p - 3) f$ $= 212 k H z$ » $)$ » soit finalement « $2 p + 1 = \frac{161, 6}{24, 8} ≃ 6, 52$ » c.-à-d. le même résultat $\dots$

[41] Or l'amplitude de l'harmonique de rang $k = 5$ d'un créneau valant $\frac{4 U_{m}}{π k} ≃ 0, 255 U_{m}$ l'est ainsi que les suivants ${$ voir le paragraphe « exemple d'un signal créneau symétrique (valeur des amplitudes de la représentation fréquentielle …) » du chap. $2$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » $}$ .

[42] Qui est « effectivement un passe-bas sous réserve d'une valeur de facteur de qualité $<$ à $1, 31$ », sinon il s'agit d'un passe-bande de fréquence de résonance $<$ à la fréquence propre ${$ voir le paragraphe « rappel des propriétés de la “ réponse en u_C d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable ” pour la fonction de transfert “ amplification complexe en tension ” » du chap. $7$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) » et pour plus de détails celui intitulé « nature du filtre “ réponse en charge du R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable ” suivant le facteur de qualité » du chap. $4$ de la même leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) », les propriétés d'un 2^ème ordre “ du type réponse en charge d'un $R L C$ série soumis à une tension d'amplitude constante ” étant les mêmes que celles d'un 2^ème ordre “ réponse en charge d'un $R L C$ série soumis à une tension d'amplitude constante ” $}$ .

[condition_pour_ne_pas_être_un_passe-bande-43] 43,0 et ^43,1 Plus précisément $Q ≲ 1, 31$ .

[44] On rappelle qu'avec $Q = \frac{1}{\sqrt{2}}$ la fonction de transfert s'écrivant ${\underline{A}}_{(Q = \frac{1}{\sqrt{2}})} (j f) = \frac{1}{1 - \frac{f^{2}}{f_{0}^{2}} + j \sqrt{2} \frac{f}{f_{0}}}$ $\Rightarrow$ $G_{(Q = \frac{1}{\sqrt{2}})} (f) =$ $\frac{1}{\sqrt{{(1 - \frac{f^{2}}{f_{0}^{2}})}^{2} + 2 \frac{f^{2}}{f_{0}^{2}}}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{f^{4}}{f_{0}^{4}}}}$ .

[condition_d'identification_de_fc_avec_f0-45] 45,0 et ^45,1 L'identification n'étant applicable que pour $Q = \frac{1}{\sqrt{2}}$ .

[46] Pour cela on exprime le gain linéaire à partir de la fonction de transfert $\underline{A} (j f) = \frac{1}{1 - \frac{f^{2}}{f_{0}^{2}} + j \frac{f}{Q f_{0}}}$ soit « $G (f) = \frac{1}{\sqrt{{(1 - \frac{f^{2}}{f_{0}^{2}})}^{2} + \frac{f^{2}}{Q^{2} f_{0}^{2}}}}$ » et
Pour cela on écrit que « $G (f_{c}) = \frac{G_{max}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ » ce qui donne l'« équation bicarrée en $x_{c} = \frac{f_{c}}{f_{0}}$ $[$ c.-à-d. du 2^ème degré en $x_{c}^{2} = \frac{f_{c}^{2}}{f_{0}^{2}}]$ suivante $x_{c}^{4} + (\frac{1}{Q^{2}} - 2) x_{c}^{2} - 1 = 0$ » ;
Pour cela on conserve la solution positive « $x_{c}^{2} = \sqrt{1 + {(\frac{1}{2 Q^{2}} - 1)}^{2}} - (\frac{1}{2 Q^{2}} - 1)$ » $\Rightarrow$ « $f_{c} = f_{0} \sqrt{\sqrt{1 + {(\frac{1}{2 Q^{2}} - 1)}^{2}} - (\frac{1}{2 Q^{2}} - 1)}$ » soit, par exemple,
Pour cela « pour $Q = \frac{1}{2}$ , $f_{c} ≃ 1, 48 f_{0}$ » $\dots$

[position_de_fréquence_d'entrée_dans_zone_double-intégrative-47] 47,0 et ^47,1 Pour cela la fréquence du signal d'entrée doit rester proche de la borne inférieure soit $10 f_{0} ≃ 19 k H z$ , cette fréquence donnant un gain en dB de $- 40 d B$ soit une atténuation d'un facteur $100$ nécessitant une amplitude d'entrée importante pour que le signal de sortie soit acceptable alors que
Pour cela une fréquence de $190 k H z ≃ 100 f_{c}$ donnerait un gain en dB de $- 80 d B$ soit une atténuation d'un facteur $10000$ , ce qui serait totalement inobservable.

[48] Si l'amplitude du signal d'entrée était de $10 V$ , celle du signal de sortie serait de $120 m V$ et par suite les parasites deviendraient nettement moins gênants.

[Dirac-49] 49,0 ^49,1 ^49,2 ^49,3 et ^49,4 Paul Adrien Maurice Dirac (1902 - 1984) physicien et mathématicien britannique, colauréat du prix Nobel de physique en $1933$ , on lui doit des avancées cruciales dans le domaine de la mécanique statistique et de la physique quantique des atomes, il démontra l'équivalence physique entre la mécanique ondulatoire de Schrödinger et la mécanique matricielle de Heisenberg, deux présentations de la même mécanique quantique et enfin, pour les besoins du formalisme quantique, il inventa la notion, sans fondement mathématique précis, connue de nos jours sous le nom de distribution de Dirac et dont la description rigoureuse fut établie par le mathématicien français Laurent Schwartz dans sa théorie des distributions ; Paul Dirac fut colauréat du prix Nobel de Physique en $1933$ pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique, l'autre moitié du prix Nobel étant décernée à Erwin Schrödinger pour la formulation de l'équation d'onde dite de Schrödinger.
Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (1887 - 1961) physicien, philosophe et théoricien scientifique autrichien est à l'origine du développement d'un des formalismes théoriques de la mécanique quantique $($ connu sous le nom de mécanique ondulatoire $)$ ; la formulation de l'équation d'onde connue sous le nom d'équation de Schrödinger lui a valu de partager le prix Nobel de physique en $1933$ avec Paul Dirac lequel a été honoré pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique ; on doit encore à Erwin Schrödinger l'expérience de pensée proposée à Albert Einstein en $1935$ et connue sous le nom chat de Schrödinger.
Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en $1896$ puis suisse en $1901$ ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en $1905$ , la relativité générale en $1916$ ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en $1921$ pour son explication de l'effet photoélectrique.
Werner Heisenberg (1901 - 1976) physicien allemand, l'un des fondateurs de la mécanique quantique, a obtenu le prix Nobel de physique en $1932$ pour la création d'une forme de mécanique quantique $($ connue sous le nom de mécanique matricielle $)$ , dont l’application a mené, entre autres, à la découverte des variétés allotropiques de l'hydrogène $($ le dihydrogène existe sous deux formes allotropiques « ortho » où les spins sont parallèles et « para » où ils sont antiparallèles, le dihydrogène ortho étant présent à $75 %$ à température élevée et sa proportion diminuant quand sa température diminue $)$ .
Laurent Schwartz (1915 - 2002) mathématicien français, ayant été le premier français à obtenir la médaille Fields $($ équivalent du prix Nobel en mathématiques $)$ en $1950$ pour ses travaux sur la théorie des distributions $($ sorte de prolongement des fonctions dans des domaines avec discontinuité $\dots)$

[impulsion_des_pics_de_Dirac-50] 50,0 ^50,1 ^50,2 ^50,3 et ^50,4 Correspondant à la valeur absolue du saut du signal créneau lors des discontinuités de 1^ère espèce de ce dernier.

[51] Peu visible car la sensibilité étant la même que celle du signal d'entrée est trop petite pour l'observation du signal de sortie.

[position_de_fréquence_d'entrée_dans_zone_double-intégrative_-_bis-52] Si la fréquence du signal d'entrée est de $190 k H z ≃ 100 f_{c}$ , cela donne un gain en dB de $- 40 d B$ pour l'harmonique fondamental soit une atténuation d'un facteur $100$ et par suite une amplitude de la forme bi-intégrée de l'harmonique fondamental pouvant être considérée inobservable si l'amplitude d'entrée reste de valeur raisonnable $[$ par exemple une amplitude de $1 V$ conduit à une amplitude de la forme bi-intégrée de l'harmonique fondamental de $10 m V$ de même valeurs que celle des parasites $]$ , la double intégration des harmoniques de rang supérieur donnant une atténuation encore plus faible sont évidemment encore moins observables $[$ par exemple l'harmonique de rang $10$ conduirait à une atténuation d'un facteur $10000]$ .

[53] Nous sommes dans le cas où la fréquence du signal d'entrée est égale à la fréquence de la borne inférieure du domaine « double-intégrateur » mais l'amplitude de variation du signal d'entrée $1 V$ étant de même ordre de grandeur que sa valeur moyenne $0, 5 V$ , l'amplitude des formes bi-intégrées des harmoniques de rang non nul ne dépassant pas $12 m V$ la bi-intégration n'est pas observable $($ sans compter que les parasites sont d'amplitude de même ordre de grandeur $)$ .

[54] Qui est « effectivement un passe-haut sous réserve d'une valeur de facteur de qualité $<$ à $1, 31$ », sinon il s'agit d'un passe-bande de fréquence de résonance $>$ à la fréquence propre ${$ voir le paragraphe « rappel des propriétés de la “ réponse en u_L d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable ” pour la fonction de transfert “ amplification complexe en tension ” » du chap. $7$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) », les propriétés d'un 2^ème ordre “ du type réponse en tension aux bornes de la bobine $($ parfaite $)$ d'un $R L C$ série soumis à une tension d'amplitude constante ” étant les mêmes que celles d'un 2^ème ordre “ réponse en tension aux bornes de la bobine $($ parfaite $)$ d'un $R L C$ série soumis à une tension d'amplitude constante ” $}$ .

[55] Plus exactement sortie aux bornes de la bobine réelle comprenant aussi une partie résistive mais la résistance de la bobine ne dépassant pas quelques ohms pourra être négligée si la résistance totale est de quelques kiloohms.

[56] On rappelle qu'avec $Q = \frac{1}{\sqrt{2}}$ la fonction de transfert s'écrivant ${\underline{A}}_{(Q = \frac{1}{\sqrt{2}})} (j f) = \frac{- \frac{f^{2}}{f_{0}^{2}}}{1 - \frac{f^{2}}{f_{0}^{2}} + j \sqrt{2} \frac{f}{f_{0}}}$ $\Rightarrow$ $G_{(Q = \frac{1}{\sqrt{2}})} (f) =$ $\frac{\frac{f^{2}}{f_{0}^{2}}}{\sqrt{{(1 - \frac{f^{2}}{f_{0}^{2}})}^{2} + 2 \frac{f^{2}}{f_{0}^{2}}}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{f_{0}^{4}}{f^{4}}}}$ .

[57] Pour cela on exprime le gain linéaire à partir de la fonction de transfert $\underline{A} (j f) = \frac{- \frac{f^{2}}{f_{0}^{2}}}{1 - \frac{f^{2}}{f_{0}^{2}} + j \frac{f}{Q f_{0}}}$ soit « $G (f) = \frac{\frac{f^{2}}{f_{0}^{2}}}{\sqrt{{(1 - \frac{f^{2}}{f_{0}^{2}})}^{2} + \frac{f^{2}}{Q^{2} f_{0}^{2}}}}$ » et
Pour cela on écrit que « $G (f_{c}) = \frac{G_{max}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ » ce qui donne l'« équation bicarrée en $x_{c} = \frac{f_{c}}{f_{0}}$ $[$ c.-à-d. du 2^ème degré en $x_{c}^{2} = \frac{f_{c}^{2}}{f_{0}^{2}}]$ suivante $x_{c}^{4} + (\frac{1}{Q^{2}} - 2) x_{c}^{2} + 1 = 2 x_{c}^{4}$ » ou, en divisant les deux membres par $x_{c}^{4}$ après simplification évidente, l'« équation bicarrée en $ξ_{c} = \frac{1}{x_{c}} = \frac{f_{0}}{f_{c}}$ » suivante « $ξ_{c}^{4} + (\frac{1}{Q^{2}} - 2) ξ_{c}^{2} - 1 = 0$ » ;
Pour cela on conserve la solution positive « $ξ_{c}^{2} = \sqrt{1 + {(\frac{1}{2 Q^{2}} - 1)}^{2}} - (\frac{1}{2 Q^{2}} - 1)$ » $\Rightarrow$ « $f_{c} = \frac{f_{0}}{\sqrt{\sqrt{1 + {(\frac{1}{2 Q^{2}} - 1)}^{2}} - (\frac{1}{2 Q^{2}} - 1)}}$ » soit, par exemple,
Pour cela « pour $Q = \frac{1}{2}$ , $f_{c} ≃ 0, 68 f_{0}$ » $\dots$

[position_de_fréquence_d'entrée_dans_zone_double_dérivative-58] Pour cela la fréquence du signal d'entrée doit rester proche de la borne inférieure soit « $\frac{f_{c}}{10 n_{min construct. dble dérivé}} ≃ \frac{620 H z}{n_{min construct. dble dérivé}}$ » c.-à-d. pour un signal d'entrée périodique formé de portions paraboliques de concavités opposées donnant un créneau comme signal doublement dérivé pour lequel on estime qu'il faut approximativement les $30$ 1^ers harmoniques pour le construire ${$ voir le paragraphe « nombre minimal de 1^ers harmoniques nécessaire pour reconstruire un signal créneau symétrique » du chap. $2$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » $}$ , une borne inférieure valant $\frac{f_{c}}{10 \times n_{min construct. dble dérivé}} ≃ \frac{620 H z}{30} ≃ 20 H z$ ,
Pour cela cette fréquence donnant un gain en dB pour l'harmonique de rang $30$ approximativement de $- 10 \log [1 + (10)^{4}] ≃ - 40 d B$ soit une atténuation d'un facteur $100$ mais
Pour cela cette fréquence donnant un gain en dB pour l'harmonique fondamental approximativement de $- 10 l o g [1 + (300)^{4}] ≃ - 100 d B$ soit une atténuation d'un facteur $1 0^{5}$ ce qui, globalement, nécessite une amplitude du signal d'entrée trop importante pour que le signal doublement dérivé soit visible $\dots$ C'est donc un problème excessivement limitant pour obtenir une double dérivation avec un minimum de distorsion.

[59] C.-à-d. en gros quatre fois plus grande que celle des parasites

[position_de_fréquence_d'entrée_dans_zone_double_dérivative_-_bis-60] Pour un signal d'entrée triangulaire donnant deux pics de Dirac inversés séparés de $\frac{T}{2}$ comme signal doublement dérivé pour lequel on estime qu'il faut approximativement les $300$ 1^ers harmoniques pour le construire ${$ voir le paragraphe « nombre minimal de 1^ers harmoniques nécessaire pour reconstruire un signal créneau symétrique (à retenir) » du chap. $2$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » dans lequel on observe la propriété que le nombre minimal de 1^ers harmoniques pour construire le signal dérivé d'un signal donné est approximativement $10$ fois plus grand que celui nécessaire pour construire le signal donné $}$ , une borne inférieure valant « $\frac{f_{c}}{10 \times n_{min construct. dble dérivé}} ≃ \frac{620 H z}{300} ≃ 2, 0 H z$ »,
Pour un signal d'entrée triangulaire cette fréquence donnant un gain en dB pour l'harmonique de rang $300$ de $≃ - 10 \log [1 + (10)^{4}] ≃ - 40 d B$ soit une atténuation d'un facteur $100$ mais
Pour un signal d'entrée triangulaire cette fréquence donnant un gain en dB pour l'harmonique fondamental de $≃ - 10 l o g [1 + (3000)^{4}] ≃ - 140 d B$ soit une atténuation d'un facteur $1 0^{7}$ ce qui, globalement, nécessite une amplitude du signal d'entrée beaucoup trop importante pour que le signal doublement dérivé soit visible $\dots$ C'est donc un problème excessivement limitant pour obtenir une double dérivation avec un minimum de distorsion.

[61] C.-à-d. au moins deux fois plus grande que celle des parasites

[62] Exemple de filtre nécessaire pour éliminer les grandes ondes de France Inter de fréquence centrale $162 k H z$ sur un intervalle de largeur $0, 80 k H z$ .

[acuité_de_l'antirésonance_d'un_coupe-bande_à_gain_infini_à_l'antirésonance-63] Nous avons établi, dans le paragraphe « variation du gain en tension du système “ condensateur - bobine parfaite ” du R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante en fonction de la fréquence, nature “ coupe-bande ” du filtre, bande non passante à -3dB et acuité de l'antirésonance » du chap. $7$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) » que l'acuité de l'antirésonance $𝒜_{antirésonance}$ est égale au facteur de qualité $Q$ , ce résultat se généralisant aisément à tout 2^ème ordre « du type réponse en $u_{L C}$ d'un $R L C$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante ».

[acuité_de_l'antirésonance_d'un_coupe-bande_à_gain_fini_à_l'antirésonance-64] Nous avons établi, dans la solution de la question « condition pour que le filtre soit un coupe-bande (ou réjecteur de fréquences), bande non passante à -3dB et acuité d'antirésonance » d'un exercice de la série « 7 » de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) » que l'acuité de l'antirésonance $𝒜_{antirésonance}$ d'un « coupe-bande du 2^ème ordre avec gain minimal non nul » de forme canonique réduite usuelle $($ appellation personnelle $)$ $\underline{H} (j x) = \frac{H_{0} (1 - x^{2} + j α x)}{1 - x^{2} + j \frac{x}{Q}}$ » ${$ établie dans la solution de la question « détermination de la forme canonique réduite usuelle d'un 2^ème ordre “ du type coupe-bande avec gain minimal non nul ” » $}$ est égale à « $\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{Q^{2}} - 2 α^{2}}} = \frac{Q}{\sqrt{1 - 2 Q^{2} α^{2}}}$ s'identifiant à $Q$ à $1 %$ près » si « $2 Q^{2} α^{2} ≪ 1$ c.-à-d. $≲ 1 0^{- 2}$ ou $Q | α | ≲ 0, 07$ » ;
nous vérifions, dans la suite de ce paragraphe, que « $| α | Q$ doit être $≲ 7, 1 1 0^{- 3}$ avec $G_{0} = 1$ » d'où la validation de l'hypothèse identifiant l'acuité de l'antirésonance $𝒜_{antirésonance}$ avec le facteur de qualité $Q$ à $1 %$ près.

[65] Ce n'est qu'une proposition d'approche parmi d'autres : « de $f_{a}^{-} = 161, 6 k H z$ à $f_{0} = 162 k H z$ », « $G_{d B}$ est $↘$ » puis
Ce n'est qu'une proposition d'approche parmi d'autres : « de $f_{0} = 162 k H z$ à $f_{a}^{+} = 162, 4 k H z$ », « $G_{d B}$ est $↗$ »,
Ce n'est qu'une proposition d'approche parmi d'autres : on estime la variation de $G_{d B}$ entre les fréquences $f_{a}^{\pm}$ et $f_{0}$ à $3 d B$ mais ce n'est pas la seule possibilité $\dots$

[coupe-bande_avec_gain_minimal_non_nul-66] 66,0 et ^66,1 Voir la solution de la question « détermination de la forme canonique réduite usuelle d'un 2^ème ordre “ du type coupe-bande avec gain minimal non nul ” » d'un exercice de la série « 7 » de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) » précisant la forme canonique réduite usuelle $($ appellation personnelle $)$ $\underline{H} (j x) = \frac{H_{0} (1 - x^{2} + j α x)}{1 - x^{2} + j \frac{x}{Q}}$ » d'un 2^ème ordre “ du type coupe-bande avec gain minimal non nul ” dont on déduit « $G (x_{0} = 1) = G_{0} | α | Q$ » où $x = \frac{f}{f_{0}}$ est la fréquence réduite ${$ on rappelle que les valeurs du gain explicité en fonction de la fréquence $f$ restent les mêmes que celles de ce gain exprimé en fonction de la fréquence réduite $x$ mais les fonctions donnant les valeurs à partir de $f$ différant des fonctions donnant les valeurs à partir $x$ devraient mathématiquement porter des noms différents, toutefois, usuellement en physique, on confond la notation de la fonction et de la valeur, d'où la même notation et par suite « $G (x_{0} = 1) = G_{0} | α | Q$ » se réécrit, par abus, « $G (f_{0})$ $= G_{0} | α | Q$ » $}$ .

[usuelle-67] 67,0 et ^67,1 La forme d'une fonction de transfert est dite « usuelle » $($ appellation personnelle $)$ quand elle est écrite sous forme d'un quotient irréductible de polynômes en $j ω$ $($ ou $j x$ , $x$ étant la pulsation réduite, c.-à-d. sans dimension $)$ .

[ArLC_série-68] La démarche pour déterminer l'amplification complexe en tension de sortie ouverte aux bornes de l'ensemble « bobine réelle $(r L$ série $)$ – condensateur » d'un $R L C$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace fixée et de fréquence variable est la même que celle utilisée dans le paragraphe « établissement de l'amplification complexe en tension de sortie ouverte aux bornes de l'ensemble “ condensateur - bobine parfaite ” d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » du chap. $7$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) », il suffit alors de remplacer l'impédance complexe de l'association série “ condensateur - bobine parfaite ” $\underline{Z_{L C série}} (j ω) = \frac{1}{j C ω} + j L ω = \frac{1 - L C ω^{2}}{j C ω}$ par l'impédance complexe de l'association série “ condensateur - bobine réelle ” $\underline{Z_{r L C série}} (j ω) = \frac{1}{j C ω} + j L ω + r = \frac{1 - L C ω^{2} + j r C ω}{j C ω}$ , soit :
la fonction de transfert s'obtenant en reconnaissant la sortie ouverte d'un P.D.T. $($ pont diviseur de tension $)$ ${$ voir le paragraphe « le résultat le plus utilisé : P.D.T. en sortie ouverte alimenté en entrée par u_e(t) » du chap. $3$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) » $}$ « $\underline{U_{r L C série}} (j ω) = \frac{\underline{Z_{r L C série}} (j ω)}{(R - r) + \underline{Z_{r L C série}} (j ω)} \underline{U_{e}}$ » $[R$ étant la résistance totale, la résistance d'attaque du P.D.T. $($ en série avec l'ensemble “ condensateur - bobine réelle ” quand le P.D.T. est en sortie ouverte $)$ est $R - r]$ $\Rightarrow$ $\underline{A_{r L C série}} (j ω) = \frac{\underline{U_{r L C série}} (j ω)}{\underline{U_{e}}} = \frac{\frac{1 - L C ω^{2} + j r C ω}{j C ω}}{(R - r) + \frac{1 - L C ω^{2} + j r C ω}{j C ω}}$ et finalement, en multipliant haut et bas par $j C ω$ et après simplification évidente, « $\underline{A_{r L C série}} (j ω) = \frac{1 - L C ω^{2} + j r C ω}{1 - L C ω^{2} + j R C ω}$ » ;
on reconnaît la fonction de transfert d'un “ coupe-bande à gain minimal non nul ” définie dans l'exercice « coupe-bande du 2^ème ordre avec gain minimal non nul » de la série « 7 » de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) » « $\underline{H} (j ω) = \frac{H_{0} (1 - β^{'} ω^{2}) + j γ^{'} ω}{1 - β^{'} ω^{2} + j α^{'} ω}$ » avec un transfert statique $H_{0} = 1$ , $β^{'} = L C$ , $α^{'} = R C$ et $γ^{'} = r C$ , la condition pour que ce soit effectivement un coupe-bande étant « $| γ^{'} | < | H_{0} | \frac{α^{'}}{\sqrt{2}}$ » se réécrit « $r C < \frac{R C}{\sqrt{2}}$ » ou « $R > r \sqrt{2}$ » correspondant à la « résistance d'attaque du P.D.T. $($ en série avec l'ensemble “ condensateur - bobine réelle ” quand le P.D.T. est en sortie ouverte $)$ $R - r > r (\sqrt{2} - 1) ≃ 4 Ω$ avec $r = 10 Ω$ » condition réalisable très facilement.

[69] Résistance totale incluant la résistance $r$ de la bobine.

[abus_de_notation-70] Après introduction de la pulsation réduite $x = \frac{ω}{ω_{0}}$ qui est encore la fréquence réduite $x = \frac{\frac{ω}{2 π}}{\frac{ω_{0}}{2 π}} = \frac{f}{f_{0}}$ , les valeurs des grandeurs complexes dépendant de la pulsation restent les mêmes mais les fonctions donnant les valeurs à partir de la pulsation réduite différant des fonctions donnant les valeurs à partir de la pulsation devraient mathématiquement porter des noms différents ; comme usuellement en physique on confond la notation de la fonction et de la valeur, nous conservons la même notation et écrivons par exemple $\underline{A_{r L C série}} (j ω) = \underline{A_{r L C série}} (j x) \dots$

[expression_de_alpha-71] Voir la solution de la question « détermination de la forme canonique réduite usuelle d'un 2^ème ordre “ du type coupe-bande avec gain minimal non nul ” $\underline{H} (j x) = \frac{H_{0} (1 - x^{2} + j α x)}{1 - x^{2} + j \frac{x}{Q}}$ » de la série 7 d'exercices de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) », la forme canonique usuelle de cet exercice « $\underline{H} (j ω) = \frac{H_{0} (1 - β^{'} ω^{2}) + j γ^{'} ω}{1 - β^{'} ω^{2} + j α^{'} ω}$ » satisfaisant, dans le cas « $\underline{A_{r L C série}} (j ω) =$ $\frac{1 - L C ω^{2} + j r C ω}{1 - L C ω^{2} + j R C ω}$ », à $H_{0} = 1$ , $β^{'} = L C = \frac{1}{ω_{0}^{2}}$ , $α^{'} = R C = \frac{1}{Q ω_{0}}$ et $γ^{'} = r C$ , la réduction canonique exposée dans la « solution de la question précédemment citée » conduisant à « $α$ $= \frac{γ^{'} ω_{0}}{H_{0}}$ » soit, dans le cas « $\underline{A_{r L C série}} (j ω) = \frac{1 - L C ω^{2} + j r C ω}{1 - L C ω^{2} + j R C ω}$ », à « $α = r C ω_{0}$ ».

[72] Voir le paragraphe « choix des caractéristiques du filtre (c.-à-d., dans le cas présent, de sa fréquence d'antirésonance et de sa bande non passante à -3dB) pour l'exemple précédent » plus haut dans ce chapitre.

[signal_d'entrée-73] 73,0 ^73,1 ^73,2 ^73,3 ^73,4 ^73,5 et ^73,6 « Créneau impair symétrique » ou « triangulaire pair symétrique », ces derniers n'ayant que des harmoniques de rang impair.

[fréquence_de_l'harmonique_fondamental-74] Également la fréquence du signal d'entrée.

[C.Q.F.V.-75] Ce Qu'il Fallait Vérifier.

[Gibbs-76] 76,0 et ^76,1 Josiah Willard Gibbs (1839 - 1903) physico-chimiste mathématicien américain, a appliqué la thermodynamique dans la chimie physique, la rendant ainsi raisonnée et rigoureuse ;
avec James Clerk Maxwell (1831 - 1879) physicien et mathématicien écossais et Ludwig Eduard Boltzmann (1844 - 1906) physicien et philosophe autrichien, il est l'un des fondateurs de la mécanique statistique qui explique les lois de la thermodynamique à l'aide des propriétés statistiques des grands ensembles des particules ;
en mathématiques il est aussi, avec Oliver Heaviside (1850 - 1925) physicien britannique autodidacte, l'un des fondateurs de l'analyse vectorielle ;
l'observation connue sous le nom « phénomène de Gibbs » a été découvert en $1848$ par Henry Wilbraham (1825 - 1883) mathématicien anglais et redécouvert par J.W.Gibbs en $1899$ , c'est ce dernier qui trouva la cause mathématique de ce phénomène que l'on observe lors de l'étude des séries et transformées de Fourier.

[77] Écart le plus faible entre la zone passante inférieure et la zone absorbante $161, 6 - 112 = 49, 6 k H z$ .

[78] Et « $(2 p - 1) f = 112 k H z$ ».

[79] Nous aurions pu également dire que « la réjection cessera si les harmoniques de rang $2 p + 3$ et $2 p + 1$ sont séparés de moins de $49, 6 k H z$ $($ correspondant à l'écart le plus faible entre la zone passante supérieure et la zone absorbante $212 - 162, 4 = 49, 6 k H z)$ » soit « $(2 p + 3) f - (2 p + 1) f =$ $49, 6 k H z$ » donnant « $f = 24, 8 k H z$ avec $(2 p + 1) f = 161, 6 k H z$ $($ et « $(2 p - 3) f$ $= 212 k H z$ » $)$ » soit finalement « $2 p + 1 = \frac{161, 6}{24, 8} ≃ 6, 52$ » c.-à-d. le même résultat $\dots$

[80] Or l'amplitude de l'harmonique de rang $k = 5$ d'un triangulaire valant $\frac{8 U_{m}}{π^{2} k^{2}} ≃ 0, 032 U_{m}$ l'est ainsi que les suivants ${$ voir le paragraphe « exemple d'un signal triangulaire symétrique (valeur des amplitudes de la représentation fréquentielle …) » du chap. $2$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » $}$ .

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Définition du gabarit d'un filtre

Introduction : fonction d'un filtre

Définition du gabarit d'un filtre en terme d'amplitude

Influence de la phase sur un filtre

Établissement du gabarit d'un 1er ordre fondamental, condition pour l'utiliser en moyenneur ou en intégrateur

Cahier des charges du passe-bas (traité sur un exemple)

Choix de l'ordre du filtre (pour l'exemple précédent)

Choix de la fréquence caractéristique du filtre (c.-à-d., dans le cas présent, de sa fréquence de coupure à -3dB) pour l'exemple précédent

Choix des éléments constitutifs du filtre sur l'exemple précédent

Condition pour utiliser le filtre comme intégrateur ou moyenneur sur l'exemple précédent

Établissement du gabarit d'un 1er ordre non fondamental à transfert statique nul, condition pour l'utiliser en dérivateur

Cahier des charges du passe-haut (traité sur un exemple)

Choix de l'ordre du filtre (pour l'exemple précédent)

Choix de la fréquence caractéristique du filtre (c.-à-d., dans le cas présent, de sa fréquence de coupure à -3dB) pour l'exemple précédent

Choix des éléments constitutifs du filtre sur l'exemple précédent

Condition pour utiliser le filtre comme dérivateur sur l'exemple précédent

Établissement du gabarit d'un 2ème ordre du type « réponse en intensité d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante », condition pour l'utiliser en dérivateur, intégrateur ou sélecteur d'harmonique

Cahier des charges d'un passe-bande (traité sur un exemple)

Choix des caractéristiques du filtre (c.-à-d., dans le cas présent, de sa fréquence de résonance et de sa bande passante à -3dB) pour l'exemple précédent

Choix des éléments constitutifs du filtre sur l'exemple précédent

Condition pour utiliser le filtre comme dérivateur, intégrateur ou sélecteur d'harmonique sur l'exemple précédent

Établissement du gabarit d'un 2ème ordre du type « réponse en charge d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante », condition pour l'utiliser en moyenneur ou double intégrateur

Cahier des charges d'un passe-bas du 2ème ordre (traité sur un exemple)

Choix de l'ordre du filtre sur l'exemple précédent

Choix des caractéristiques du filtre (c.-à-d., dans le cas présent, de sa fréquence propre et de son facteur de qualité) pour l'exemple précédent

Choix des éléments constitutifs du filtre sur l'exemple précédent

Condition pour utiliser le filtre comme double intégrateur ou moyenneur sur l'exemple précédent

Établissement du gabarit d'un 2ème ordre du type « réponse en tension aux bornes de la bobine parfaite d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante », condition pour l'utiliser en double dérivateur

Cahier des charges d'un passe-haut du 2ème ordre (traité sur un exemple)

Choix de l'ordre du filtre sur l'exemple précédent

Choix des caractéristiques du filtre (c.-à-d., dans le cas présent, de sa fréquence propre et de son facteur de qualité) pour l'exemple précédent

Choix des éléments constitutifs du filtre sur l'exemple précédent

Condition pour l'utiliser comme double dérivateur

En complément, établissement du gabarit d'un 2ème ordre du type « réponse en tension aux bornes de l'ensemble bobine parfaite et condensateur d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante », condition pour l'utiliser en réjecteur d'un harmonique

Cahier des charges d'un réjecteur de fréquences (traité sur un exemple)

Choix des caractéristiques du filtre (c.-à-d., dans le cas présent, de sa fréquence d'antirésonance et de sa bande non passante à -3dB) pour l'exemple précédent

Choix des éléments constitutifs du filtre sur l'exemple précédent

Condition pour utiliser le filtre comme réjecteur d'un harmonique sur l'exemple précédent

Mise en cascade de filtres et intérêt de réaliser des filtres à faible impédance de sortie et forte impédance d'entrée

Étude du filtrage linéaire d'un signal non sinusoïdal à partir de son spectre

Retour sur la réponse d'un système linéaire à un échelon, notion de réponse indicielle

Exemple de filtrage non linéaire : redressement simple ou double alternance et propriétés d'un filtre non linéaire « enrichissement du spectre »

Quelques notions de filtrage en mécanique

Notes et références

Établissement du gabarit d'un 1^er ordre fondamental, condition pour l'utiliser en moyenneur ou en intégrateur

Établissement du gabarit d'un 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul, condition pour l'utiliser en dérivateur

Établissement du gabarit d'un 2^ème ordre du type « réponse en intensité d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante », condition pour l'utiliser en dérivateur, intégrateur ou sélecteur d'harmonique

Établissement du gabarit d'un 2^ème ordre du type « réponse en charge d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante », condition pour l'utiliser en moyenneur ou double intégrateur

Cahier des charges d'un passe-bas du 2^ème ordre (traité sur un exemple)

Établissement du gabarit d'un 2^ème ordre du type « réponse en tension aux bornes de la bobine parfaite d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante », condition pour l'utiliser en double dérivateur

Cahier des charges d'un passe-haut du 2^ème ordre (traité sur un exemple)

En complément, établissement du gabarit d'un 2^ème ordre du type « réponse en tension aux bornes de l'ensemble bobine parfaite et condensateur d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante », condition pour l'utiliser en réjecteur d'un harmonique