Signaux physiques - bis (PCSI)/Exercices/Filtrage linéaire : fonction de transfert harmonique et diagramme de Bode, 2ème partie

Réponse en u_C(t) d'une association parallèle R C soumise, à travers un bobine parfaite d'inductance propre L, à une f.e.m. sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable

Schéma d'une « association parallèle d'un conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ et d'un condensateur de capacité $\;C\;$» montée en série avec une bobine parfaite d'inductance propre $\;L$, le tout étant sous tension sinusoïdale

     On considère le circuit ci-contre constitué d'une « association parallèle d'un conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ et d'un condensateur de capacité $\;C\;$» montée en série avec une bobine parfaite d'inductance propre $\;L$ ; il est alimenté par un générateur de tension sinusoïdale $\;u(t)=U_{0}\,{\sqrt {2}}\cos(\omega \,t)\;$.

Détermination de l'amplification complexe en tension de sortie ouverte aux bornes de l'association parallèle R C, réduction canonique et précision du type de filtre

     Cherchant à déterminer la tension commune $\;u_{C}(t)\;$ aux bornes de l'« association parallèle constituée du conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ et du condensateur de capacité $\;C\;$» dans le r.s.f. imposé par le générateur, on adopte le traitement complexe du problème et on demande d'exprimer l'amplification complexe en tension de sortie ouverte aux bornes de $\;R\,C\;$ montées en parallèle «$\;{\underline {A}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {u_{C}}}(t)}{{\underline {u}}(t)}}={\dfrac {{\underline {U_{C}}}(j\,\omega )}{U_{0}}}\;$» $\;{\big \{}{\underline {U_{C}}}(j\,\omega )\;$ étant la tension efficace complexe aux bornes de $\;R\,C\;$ montées en parallèle et $\;{\underline {U_{0}}}=U_{0}\;$ la tension efficace complexe imposée par le générateur, valeur réelle par absence de phase à l'origine de la tension instantanée${\big \}}\;$ en fonction des données du problème ;

     en faire la réduction canonique ;

     de quel type de 2^ème ordre s'agit-il, du type « réponse en $\;u_{R}$, en $\;u_{C}\;$ ou en $\;u_{L}\;$ d'un $\;R\,L\,C\;$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » ?

Solution

Schéma en complexe d'une « association parallèle d'un conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ et d'un condensateur d'impédance complexe $\;{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )\;$» montée en série avec une bobine parfaite d'impédance complexe $\;{\underline {Z_{L}}}(j\,\omega )$, le tout étant sous tension instantanée complexe

     On considère le circuit représenté en complexe ci-contre, alimenté par un générateur imposant une tension instantanée complexe égale à $\;{\underline {u}}(t)=$ $U_{0}\,{\sqrt {2}}\,\exp(j\,\omega \,t)\;$, les impédances complexes de la bobine parfaite et du condensateur étant respectivement $\;{\underline {Z_{L}}}(j\,\omega )=j\,L\,\omega \;$ et $\;{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )={\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}$ ;

     on reconnaît, dans la partie ci-contre en tiretés, un P.D.T. $\;{\big [}$en sortie ouverte aux bornes de «$\;R\,\parallel \,{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )\;$»${\big ]}\;$ et alimenté en entrée par le générateur de tension soit, en remplaçant $\;R\,\parallel \,{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )\;$ par son impédance complexe équivalente «$\;{\underline {Z_{R\,\parallel \,C\,{\text{éq}}}}}(j\,\omega )={\dfrac {R\,{\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}}{R+{\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}}}={\dfrac {R}{1+j\,R\,C\,\omega }}\;$», l'expression de la tension instantanée complexe aux bornes du dipôle $\;R\,\parallel \,C\;$ égale à «$\;{\underline {u_{C}}}(t)={\dfrac {{\underline {Z_{R\,\parallel \,C\,{\text{éq}}}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{R\,\parallel \,C\,{\text{éq}}}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{L}}}(j\,\omega )}}\,{\underline {u}}(t)={\dfrac {\dfrac {R}{1+j\,R\,C\,\omega }}{{\dfrac {R}{1+j\,R\,C\,\omega }}+j\,L\,\omega }}\,{\underline {u}}(t)=$ ${\dfrac {R}{R+j\left(1+j\,R\,C\,\omega \right)L\,\omega }}\,{\underline {u}}(t)\;$» $\;{\Bigg \{}$ou «$\;{\underline {U_{C}}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {Z_{R\,\parallel \,C\,{\text{éq}}}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{R\,\parallel \,C\,{\text{éq}}}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{L}}}(j\,\omega )}}\,U_{0}\;{\overset {\cdots }{\;=\;}}\;{\dfrac {R}{R+j\left(1+j\,R\,C\,\omega \right)L\,\omega }}\,U_{0}\;$» en valeurs efficaces complexes${\Bigg \}}\;$ d'où l'amplification complexe en tension $\;{\underline {A}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {u_{C}}}(t)}{{\underline {u}}(t)}}={\dfrac {{\underline {U_{C}}}(j\,\omega )}{U_{0}}}\;$ s'écrivant «$\;{\underline {A}}(j\,\omega )={\dfrac {R}{R+j\left(1+j\,R\,C\,\omega \right)L\,\omega }}\;$» soit, en développant le dénominateur et en divisant haut et bas par $\;R\;$ pour normaliser la fonction de transfert «$\;{\underline {A}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {U_{C}}}(j\,\omega )}{U_{0}}}={\dfrac {1}{1\,-\,L\,C\,\omega ^{2}\,+\,j\,{\dfrac {L}{R}}\,\omega }}\;$».

     On reconnaît par le dénominateur de la fonction de transfert normalisée écrite sous sa forme usuelle un 2^ème ordre et par son numérateur un 2^ème ordre « du type réponse en$\;u_{C}\;$d'un$\;R\,L\,C\;$série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante ».

     L'identification du « dénominateur de la fonction de transfert écrite sous forme canonique réduite usuelle avec $\;1-x^{2}+j\,{\dfrac {x}{Q}}\;$ ${\bigg (}x={\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}\;$ étant la pulsation réduite${\bigg )}\;$ c'est-à-dire avec $\;1-\left({\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}\right)^{\!\!2}+j\,{\dfrac {\omega }{Q\;\omega _{0}}}\;$» nous permet d'obtenir la réduction canonique du l'amplification complexe en tension d'où :

• la « pulsation propre $\;\omega _{0}\in \mathbb {R} ^{+\,*}\;$ homogène à une pulsation » par identification du terme en $\;\omega ^{2}\;$ soit $\;-L\,C\,\omega ^{2}=-{\dfrac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}\;$ d'où «$\;\omega _{0}={\dfrac {1}{\sqrt {L\,C}}}\;$» et
• le « facteur de qualité $\;Q\in \mathbb {R} ^{+\,*}\;$ sans dimension » par identification du terme en $\;\omega \;$ soit $\;j\,{\dfrac {L\,\omega }{R}}=j\,{\dfrac {\omega }{Q\,\omega _{0}}}\;$ d'où «$\;Q={\dfrac {R}{L\,\omega _{0}}}\;$».

     le numérateur de la fonction de transfert définit le « transfert statique $\;A_{0}=1\;$» ;

     finalement la forme canonique réduite usuelle de la fonction de transfert s'écrit «$\;{\underline {A}}(j\,x)={\dfrac {{\underline {U_{C}}}(j\,x)}{U_{0}}}={\dfrac {1}{1-x^{2}+j\,{\dfrac {x}{Q}}}}\;$» avec «$\;x={\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}\in \mathbb {R} ^{+}\;$ sans dimension ».

 

Établissement de la condition de résonance de la réponse en tension aux bornes de l'association parallèle R C

     Déduire de la tension efficace complexe $\;{\underline {U_{C}}}(j\,x)={\underline {A}}(j\,x)\;U_{0}\;$ la tension efficace $\;U_{C}(x)=G(x)\;U_{0}\;$ puis

     déterminer la condition de résonance de la tension commune $\;u_{C}(t)\;$ aux bornes de l'association parallèle constituée du conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ et du condensateur de capacité $\;C$ ; on rappellera la valeur de la pulsation de résonance dans ce cas.

Solution

     De la tension efficace complexe de sortie $\;{\underline {U_{C}}}(j\,x)={\underline {A}}(j\,x)\;U_{0}={\dfrac {U_{0}}{1-x^{2}+j\,{\dfrac {x}{Q}}}}\;$ on déduit, en en prenant le module, la tension efficace de sortie $\;U_{C}(x)\;$ soit «$\;U_{C}(x)=\vert {\underline {U_{C}}}(j\,x)\vert ={\dfrac {U_{0}}{\sqrt {\left(1-x^{2}\right)^{2}+{\dfrac {x^{2}}{Q^{2}}}}}}\;$» ;      comme on reconnaît un système du 2^ème ordre « du type réponse en $\;u_{C}(t)\;$ d'un $\;R\,L\,C\;$ série soumis à une tension efficace constante », dont l'étude se mène de la même façon que celle de la réponse en $\;u_{C}(t)\;$ d'un $\;R\,L\,C\;$ série soumis à une tension efficace constante $\;{\big (}$voir le paragraphe « recherche d'une éventuelle résonance en charge (ou en tension aux bornes du condensateur) du “ R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable ” » du chap.$4$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) »${\big )}$, on en déduit la propriété suivante :il y a résonance en$\;u_{C}(t)\;$pour «$\;Q\geqslant {\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\;$» et
la pulsation réduite$\;{\big (}$ou fréquence réduite${\big )}\;$de résonance est «$\;x_{r}={\sqrt {1-{\dfrac {1}{2\,Q^{2}}}}}<1\;$».

     La condition de résonance «$\;Q\geqslant {\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\;$» se réécrit «$\;{\dfrac {R}{L\,\omega _{0}}}\geqslant {\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;R\geqslant {\dfrac {L\,\omega _{0}}{\sqrt {2}}}\;$» ou, avec $\;\omega _{0}={\dfrac {1}{\sqrt {L\,C}}}$, la réécriture de la condition de résonance «$\;R\geqslant {\sqrt {\dfrac {L}{2\,C}}}\;$» ;

     la pulsation réduite $\;{\big (}$ou fréquence réduite${\big )}\;$ de résonance «$\;x_{r}={\sqrt {1-{\dfrac {1}{2\,Q^{2}}}}}\;$» se réécrit «$\;x_{r}={\sqrt {1-{\dfrac {L^{2}\,\omega _{0}^{2}}{2\,R^{2}}}}}\;$» ou encore, avec $\;\omega _{0}^{2}={\dfrac {1}{L\,C}}$, selon $\;x_{r}={\sqrt {1-{\dfrac {L}{2\,R^{2}\,C}}}}\;$ donnant une fréquence de résonance «$\;f_{r}=f_{0}\;{\sqrt {1-{\dfrac {L}{2\,R^{2}\,C}}}}<f_{0}\;$» ou «$\;f_{r}={\dfrac {1}{2\,\pi }}\;{\sqrt {{\dfrac {1}{L\,C}}-{\dfrac {1}{2\,R^{2}\,C^{2}}}}}<{\dfrac {1}{2\,\pi \,{\sqrt {L\,C}}}}=f_{0}\;$».

 

Sous la condition de résonance trouvée, tracé du diagramme de Bode associé à l'amplification complexe en tension ouverte aux bornes de l'association parallèle R C en fonction de la fréquence réduite

     Dans le cas où il y a résonance, représenter le diagramme de Bode associé à l'amplification complexe en tension $\;{\underline {A}}(j\,x)={\dfrac {{\underline {u_{C}}}(t)}{{\underline {u}}(t)}}={\dfrac {{\underline {U_{C}}}(j\,x)}{U_{0}}}\;$ en fonction de la fréquence réduite $\;x={\dfrac {f}{f_{0}}}=$ ${\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}$ $\;{\bigg \{}f_{0}={\dfrac {\omega _{0}}{2\;\pi }}\;$ étant la fréquence propre${\bigg \}}$, on rapelle que la tension efficace $\;U_{0}\;$ est une constante.

Solution

     Dans le cas où il y a résonance, le diagramme de Bode est celui vu dans le paragraphe « fonction de transfert du 2^ème ordre “ du type réponse en tension aux bornes du condensateur d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable ” » du chap.$7$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) » avec $\;H_{0}=1\;$ et les mêmes propriétés que celles rappelées dans le paragraphe « rappel des propriétés de la “ réponse en i_C d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable ” pour la fonction de transfert “ amplification complexe en tension ” » du chap.$7$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) » à savoir :

     $\;\succ \;$pour la courbe de gain :

• une asymptote B.F. de pente nulle, plus exactement avec $\;A_{0}=1$, d'équation «$\;G_{dB,\,{\text{asymptote}}\,B.F.}=0\;$»,
• une asymptote H.F. de pente $\;-40\,dB\,/\,{\text{décade}}$, plus exactement d'équation «$\;G_{dB,\,{\text{asymptote}}\,H.F.}=-40\,\log(x)\;$»,
• avec un « maximum pour la pulsation réduite de résonance $\;x_{r}<1\;$ de valeur $\;G_{dB,\,{\text{max}}}=20\,\log \!\left[{\dfrac {1}{\sqrt {\left(1-x_{r}^{2}\right)^{2}+{\dfrac {x_{r}^{2}}{Q^{2}}}}}}\right]=-10\,\log \!\left[\left(1-x_{r}^{2}\right)^{2}+{\dfrac {x_{r}^{2}}{Q^{2}}}\right]\;$» ou $\;G_{dB,\,{\text{max}}}=-10\,\log \!\left[{\dfrac {1}{4\,Q^{4}}}+{\dfrac {1}{Q^{2}}}-{\dfrac {1}{2\,Q^{4}}}\right]$ $=-10\,\log \!\left[{\dfrac {1}{Q^{2}}}-{\dfrac {1}{4\,Q^{4}}}\right]\;$ que l'on peut réécrire encore «$\;G_{dB,\,{\text{max}}}=20\,\log(Q)-10\,\log \!\left(1-{\dfrac {1}{4\,Q^{2}}}\right)\;$»,
• voir le paragraphe « tracé de la courbe de gain du diagramme de Bode (d'un 2^ème ordre du “ type réponse en u_C d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable ”) » du chap.$7$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) » ;

     $\;\succ \;$pour la courbe de phase :

• une asymptote B.F. de valeur nulle, plus exactement d'équation «$\;\varphi _{{\text{asymptote}}\,B.F.}=0\;$»,
• une asymptote H.F. de valeur $\;-\pi$, plus exactement d'équation «$\;\varphi _{{\text{asymptote}}\,H.F.}=-\pi \;$»,
• avec, « à la fréquence réduite propre $\;x_{0}=1$, la valeur $\;\varphi (x_{0}=1)=-{\dfrac {\pi }{2}}\;$»,
• voir le paragraphe « tracé de la courbe de phase du diagramme de Bode (d'un 2^ème ordre du “ type réponse en u_C d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable ”) » du chap.$7$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».

 

Modélisation du filtre d'antenne d'un récepteur

Schéma de modélisation d'une antenne et de l'étage d'entrée d'un récepteur, le signal d'entrée proportionnel au signal reçu par l'antenne étant sinusoïdal de pulsation $\;\omega \;$ et de valeur de crête $\;E_{m}$

     « L'association d'une antenne et de l'étage d'entrée d'un récepteur » est modélisée par le schéma électrique équivalent ci-contre dans lequel le condensateur est variable de capacité $\;C\;$ à déterminer, avec les valeurs numériques $\;L=5\,mH$, $\;r=40\,\Omega \;$ ${\big (}$à cette résistance est ajoutée une résistance additionnelle donnant une valeur totale de résistance notée $\;R\;$ sur le schéma${\big )}$ ;

     la source de tension résultant du signal reçu par l'antenne étant proportionnelle à ce dernier est de « f.e.m. $\;e(t)$ que l'on suppose sinusoïdale de forme $\;e(t)=E_{m}\,\cos(\omega \,t)\;$ avec $\;E_{m}=100\,\mu V\;$ pour valeur de crête » ;

     « la tension $\;s(t)\;$ aux bornes du condensateur » modélise la tension disponible à l'étage d'entrée du récepteur.

Détermination de la plage de variation de la capacité du condensateur pour pouvoir capter un ensemble de canaux de fréquences fixées

     Pour un ensemble de canaux susceptibles d'être captés, on prélève le signal $\;s(t)\;$ aux bornes du condensateur ;
     « pour un canal donné, on doit ajuster la valeur de $\;C\;$» pour obtenir une « résonance aiguë autour de la fréquence centrale du canal ».

     Quelle plage de variation de la valeur de $\;C\;$ faut-il prévoir si « l'ensemble des canaux susceptibles d'être captés s'étalent entre $\;150\,kHz\;$ et $\;300\,kHz\;$» ?

Solution

     Il convient bien sûr de refaire le schéma représenté ci-dessus en complexe en remplaçant les tensions instantanées $\;e(t)\;$ et $\;s(t)\;$ par leurs expressions complexes associées $\;{\underline {e}}(t)\;$ et $\;{\underline {s}}(t)\;$ en représentant la bobine parfaite d'inductance propre $\;L\;$ et le condensateur de capacité $\;C\;$ chacun par un rectangle à côté duquel on met leur impédance complexe respective soit $\;{\underline {Z_{L}}}(j\,\omega )=j\,L\,\omega \;$ pour l'un et $\;{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )={\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}\;$ pour l'autre.

     S'agissant de la réponse en $\;u_{C}(t)\;$ d'un $\;R\,L\,C\;$ série soumis à une tension d'amplitude constante, de pulsation propre $\;\omega _{0}={\dfrac {1}{\sqrt {L\,C}}}\;$ et de facteur de qualité $\;Q=$ ${\dfrac {L\,\omega _{0}}{R}}={\dfrac {1}{R\,C\,\omega _{0}}}$,
     S'agissant de la réponse en $\;\color {transparent}{u_{C}(t)}\;$ d'un $\;\color {transparent}{R\,L\,C}\;$ série il y a résonance si $\;Q\geqslant {\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\;$ avec une « pulsation de résonance $\;\omega _{r}=\omega _{0}\,{\sqrt {1-{\dfrac {1}{2\,Q^{2}}}}}<\omega _{0}\;$», résonance d'autant plus aiguë que$\;Q\;$est grand ;

     S'agissant de la réponse en $\;\color {transparent}{u_{C}(t)}\;$ d'un $\;\color {transparent}{R\,L\,C}\;$ série supposant la « résonance aiguë », cela nécessite une grande valeur de $\;Q\;$ d'où une « fréquence de résonance $\;f_{r}={\dfrac {\omega _{r}}{2\,\pi }}\simeq {\dfrac {\omega _{0}}{2\,\pi }}={\dfrac {1}{2\,\pi \,{\sqrt {L\,C}}}}\;$» ;

     pour obtenir «$\;150\,10^{3}\,Hz\lesssim f_{r}\lesssim 300\,10^{3}\,Hz\;$» il faut choisir $\;C\;$ telle que «$\;150\,10^{3}\,Hz\lesssim {\dfrac {1}{2\,\pi \,{\sqrt {L\,C}}}}\lesssim 300\,10^{3}\,Hz\;$» dont on déduit, en élevant au carré après avoir multiplié par $\;2\,\pi \,{\sqrt {L}}$,
     pour obtenir «$\;\color {transparent}{150\,10^{3}\,Hz\lesssim f_{r}\lesssim 300\,10^{3}\,Hz}\;$» il faut choisir $\;\color {transparent}{C}\;$ telle que «$\;9\,10^{10}\times \pi ^{2}\times L\lesssim {\dfrac {1}{C}}\lesssim 36\,10^{10}\times \pi ^{2}\times L\;$» ou encore, en inversant et remplaçant $\;L\;$ par sa valeur,
     pour obtenir «$\;\color {transparent}{150\,10^{3}\,Hz\lesssim f_{r}\lesssim 300\,10^{3}\,Hz}\;$» il faut choisir $\;\color {transparent}{C}\;$ telle que «$\;{\dfrac {1}{36\,10^{10}\times \pi ^{2}\times 5\,10^{-3}}}\simeq 5,6\,10^{-11}\,F\lesssim C\lesssim {\dfrac {1}{9\,10^{10}\times \pi ^{2}\times 5\,10^{-3}}}\simeq 2,25\,10^{-10}\,F\;$» soit finalement
     pour obtenir «$\;\color {transparent}{150\,10^{3}\,Hz\lesssim f_{r}\lesssim 300\,10^{3}\,Hz}\;$» il faut choisir $\;\color {transparent}{C}\;$ telle que «$\;56\,pF\lesssim C\lesssim 225\,pF\;$» $\;{\big \{}$le canal de plus faible fréquence correspondant à la valeur de plus grande capacité${\big \}}$.

 

Choix de la résistance R pour allier sensibilité et sélectivité du récepteur envers un canal fixé

     Dans la suite on raisonne sur un canal de fréquence $\;162\,kHz\;$ ;

     on introduit l'aspect « sensibilité » du récepteur envers un canal comme étant la possibilité du récepteur de pouvoir capter toutes les fréquences de ce canal pour avoir accès à toute l'information contenue dans ce canal et

     on introduit l'aspect « sélectivité » du récepteur envers un canal comme étant la possibilité de réglage du récepteur pour ne pas capter une partie d'un éventuel signal d'un canal adjacent.

     Montrer qu'il existe un compromis sur le choix de la résistance $\;R\;$ pour tenir compte des aspects « sensibilité » et « sélectivité » du récepteur.

Solution

     Dans la mesure où le facteur de qualité $\;Q\;$ est grand, l'acuité de la résonance est sensiblement la même que celle du passe-bande du 2^ème ordre de réponse en $\;u_{R}\;$ du $\;R\,L\,C\;$ série soumis à une tension d'amplitude constante c'est-à-dire «$\;{\mathcal {A}}_{C,\,Q\,\gg \,1}={\dfrac {f_{r,\,Q\,\gg \,1}}{\left(\Delta f\right)_{Q\,\gg \,1}}}\simeq {\dfrac {f_{0}}{\dfrac {f_{0}}{Q}}}=Q\;$», et ainsi la sélectivité sera d'autant plus grande que le facteur de qualité $\;Q={\dfrac {L\;\omega _{0}}{R}}\;$ le sera c'est-à-dire que la résistance$\;R\;$sera faible ;

     toutefois il ne faut pas avoir une trop grande sélectivité de façon à pouvoir récupérer toute l'information au voisinage de la fréquence centrale $\;f_{r,\,Q\,\gg \,1}\simeq f_{0}$,
     toutefois une très faible valeur de résistance $\;R\;$ entraînant certes une très bonne sélectivité mais une médiocre sensibilité dans la mesure où la très grande valeur du facteur de qualité $\;Q\;$ implique une faible valeur de bande passante à $\;-3\;dB\;$ «$\;\left(\Delta f\right)_{Q\,\gg \,1}\simeq {\dfrac {f_{0}}{Q}}\;$» $\Rightarrow$ une perte d'information pour les fréquences du signal capté trop éloignée de la fréquence centrale $\;f_{r,\,Q\,\gg \,1}\simeq f_{0}$ ;

     ainsi pour maintenir une sensibilité non trop faible en gardant une bonne sélectivité il est nécessaire de choisir une résistance suffisamment faible mais non trop petite.

 

Détermination de la résistance R et de la capacité C pour une valeur de bande passante à -3dB fixée

     La bande passante à $\;-3\;dB\;$ ayant pour valeur $\;10\,kHz$, déterminer les valeurs de $\;R\;$ et $\;C\;$ qui conviennent.

Solution

     Pour avoir une fréquence de résonance de «$\;f_{r}=162\,kHz\;$ correspondant à $\;Q\;$ grand », il faut « choisir $\;C\;$ telle que $\;{\dfrac {1}{2\,\pi \,{\sqrt {L\,C}}}}\simeq 162\,10^{3}\,Hz\;$» $\Rightarrow$ «$\;C\simeq {\dfrac {1}{4\,\pi ^{2}\left(162\,10^{3}\right)^{2}L}}\simeq {\dfrac {1}{4\,\pi ^{2}\left(162\,10^{3}\right)^{2}\!\times 5\,10^{-3}}}$ $\;{\big \{}$l'inductance propre de la bobine étant $\;L=5\,mH{\big \}}\;$ d'où $\;C\simeq 1,93\,10^{-10}\,F\;$» soit finalement un choix de capacité $\;C\simeq 193\,pF\;$ pour un canal centré sur $\;f_{r}=162\,kHz$ ;      la bande passante à $\;-3\;dB\;$ c'est-à-dire la largeur de l'intervalle passant $\;\Delta f=10\,kHz\;$ entraîne une acuité de résonance à grand facteur de qualité $\;{\mathcal {A}}_{C,\,Q\,\gg \,1}={\dfrac {f_{r,\,Q\,\gg \,1}}{\left(\Delta f\right)_{Q\,\gg \,1}}}\simeq {\dfrac {f_{0}}{\Delta f}}\;$ ce dernier rapport s'identifiant à $\;Q\;$ d'où «$\;Q\simeq {\dfrac {f_{0}}{\Delta f}}\simeq {\dfrac {162}{10}}=16,2\;$» soit encore $\;Q={\dfrac {L\,\omega _{0}}{R}}\simeq 16,2\;$ $\Rightarrow$ «$\;R\simeq {\dfrac {L\,2\,\pi \,f_{0}}{Q}}\simeq {\dfrac {5\,10^{-3}\times 2\,\pi \,\times 162\,10^{3}}{16,2}}\;$» soit finalement une résistance «$\;R\simeq 314\,\Omega \;$» nécessitant une « résistance additionnelle de $\;274\,\Omega \;$».

 

Détermination de la valeur de crête de la tension captée à l'entrée du récepteur

     Quelle est la valeur de crête $\;S_{m}\;$ de la tension captée à l'entrée du récepteur et proportionnelle au signal sélectionné dans le canal choisi précédemment ?

Solution

     Dans les conditions où $\;Q\simeq 16,2\;$ est grand, le signal reçu centré sur la fréquence de résonance $\;f_{r}=162\,kHz\;$ a pour amplitude «$\;S_{m}\simeq Q\,E_{m}\;$» soit numériquement $\;S_{m}\simeq 16,2\times 100\,10^{-6}\,V\;$ et finalement la valeur de crête $\;S_{m}\;$ de la tension captée à l'entrée du récepteur égale à «$\;S_{m}\simeq 1,62\,mV\;$».

 

Coupe-bande du 2^ème ordre avec gain minimal non nul

     Une fonction de transfert du 2^ème ordre est dite « du type coupe-bande avec un gain minimal non nul » ssi sa forme normalisée usuelle s'écrit selon

«$\;{\underline {H}}(j\,\omega )={\dfrac {H_{0}\left(1-\beta '\,\omega ^{2}\right)+j\,\gamma '\,\omega }{1-\beta '\,\omega ^{2}+j\,\alpha '\,\omega }}\;$» avec «$\;H_{0}\;\in \,\mathbb {R} ^{*}\;$ transfert statique homogène au transfert harmonique »,
«$\;\beta '\in \mathbb {R} ^{+\,*}\;$ homogène au carré d'une constante de temps », «$\;\alpha '\in \mathbb {R} ^{+\,*}\;$ homogène à une constante de temps » et
«$\;\gamma '\in \mathbb {R} ^{*}\;$ homogène au transfert harmonique multiplié par une constante de temps » telle que «$\;\vert \gamma '\vert <\vert H_{0}\vert \;{\dfrac {\alpha '}{\sqrt {2}}}\;$».

Détermination de la forme canonique réduite usuelle d'un 2^ème ordre du « type coupe-bande avec gain minimal non nul »

     Définir la « pulsation propre $\;\omega _{0}\;$» ainsi que le « facteur de qualité $\;Q\;$» du filtre du 2^ème ordre introduit puis

     en déduire que la forme canonique réduite de ce filtre s'écrit «$\;{\underline {H}}(j\,x)={\dfrac {H_{0}\left(1-x^{2}+j\,\alpha \,x\right)}{1-x^{2}+j\,{\dfrac {x}{Q}}}}\;$» en introduisant la « pulsation réduite $\;x={\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}$» et la grandeur «$\;\alpha ={\dfrac {\gamma '\;\omega _{0}}{H_{0}}}\;$» toutes deux sans dimension.

Solution

     L'identification du « dénominateur de la fonction de transfert “ du type coupe-bande avec un gain minimal non nul ” écrite sous forme canonique réduite usuelle avec $\;1-x^{2}+j\,{\dfrac {x}{Q}}\;$ ${\bigg (}\!x={\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}\;$ étant la pulsation réduite$!{\bigg )}\;$ c'est-à-dire avec $\;1-\left({\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}\right)^{\!\!2}+j\,{\dfrac {\omega }{Q\;\omega _{0}}}\;$» nous permet d'obtenir la réduction canonique du dénominateur de cette fonction de transfert $\;{\big \{}$son numérateur se réécrivant «$\;H_{0}\left(1-x^{2}\right)+j\,\gamma '\,\omega _{0}\,x\;$»${\big \}}\;$ d'où :

• la « pulsation propre $\;\omega _{0}\in \mathbb {R} ^{+\,*}\;$ homogène à une pulsation » par identification du terme en $\;\omega ^{2}\;$ soit $\;-\beta '\;\omega ^{2}=-\left({\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}\right)^{\!\!2}\;\forall \;\omega \;$ d'où «$\;\omega _{0}={\dfrac {1}{\sqrt {\beta '}}}\;$» et
• le « facteur de qualité $\;Q\in \mathbb {R} ^{+\,*}\;$ sans dimension » par identification du terme en $\;\omega \;$ soit $\;j\;\alpha '\;\omega =j\;{\dfrac {\omega }{Q\;\omega _{0}}}\;\forall \;\omega \;$ d'où «$\;Q={\dfrac {1}{\alpha '\;\omega _{0}}}$» ;

     l'identification du numérateur de la fonction de transfert “ du type coupe-bande avec un gain minimal non nul ” réécrit selon «$\;H_{0}\left(1-x^{2}\right)+j\,\gamma '\,\omega _{0}\,x\;$» avec celui de la forme canonique réduite à déterminer «$\;H_{0}\left(1-x^{2}+j\,\alpha \,x\right)\;$» définit le « cœfficient $\;\alpha \;$ sans dimension », $\;j\,\gamma '\,\omega _{0}\,x=H_{0}\;j\,\alpha \,x\;\forall \;x\;$ $\Rightarrow$ «$\;\alpha ={\dfrac {\gamma '\;\omega _{0}}{H_{0}}}\;$» ;

     finalement la forme canonique réduite usuelle de la fonction de transfert « du type coupe-bande avec un gain minimal non nul » s'écrit «$\;{\underline {H}}(j\,x)={\dfrac {H_{0}\left(1-x^{2}+j\,\alpha \,x\right)}{1-x^{2}+j\,{\dfrac {x}{Q}}}}\;$» avec
le « transfert statique $\;H_{0}\in \,\mathbb {R} ^{*}\;$ de même homogénéité que le transfert harmonique »,
et trois grandeurs sans dimension qui sont «$\;x\in \mathbb {R} ^{+}\;$ la pulsation réduite »,
«$\;Q\in \mathbb {R} ^{+\,*}\;$ le facteur de qualité » et «$\;\alpha ={\dfrac {\gamma '\;\omega _{0}}{H_{0}}}\in \,\mathbb {R} ^{*}\;$» telle que $\;\vert \alpha \vert <{\dfrac {1}{Q\;{\sqrt {2}}}}\;$.

 

Détermination de la forme canonique réduite pratique d'un 2^ème ordre du « type coupe-bande avec gain minimal non nul »

     Une forme canonique est dite « pratique » quand elle est mise sous une forme telle que l'étude du gain associé est rendue la plus simple possible ; nous admettrons que, dans le cas présent, c'est-à-dire celui d'une fonction de transfert du 2^ème ordre « du type coupe-bande avec un gain minimal non nul »,
        la forme canonique « pratique » d'une telle fonction de transfert du 2^ème ordre nécessite une transformation mettant son dénominateur en fonction de la grandeur $\;X(x)=x-{\dfrac {1}{x}}\;$ fonction $\;\nearrow \;$ de la pulsation réduite, son numérateur étant alors constant ou fonction uniquement de $\;X(x)$ ;

     déterminer la forme canonique réduite « pratique » de ce filtre en divisant haut et bas par $\;1-x^{2}\;$ puis en divisant le terme du numérateur et du dénominateur autre que $\;1\;$ par $\;j\,{\dfrac {x}{Q}}$.

Solution

     Pour obtenir la forme canonique réduite « pratique » de la fonction de transfert du 2^ème ordre « du type coupe-bande avec un gain minimal non nul », on procède en deux temps :

• dans un 1^er temps on divise haut et bas par $\;1-x^{2}\;$ soit «$\;{\underline {H}}(j\,x)=H_{0}\;{\dfrac {1+{\dfrac {j\,\alpha \,x}{1-x^{2}}}}{1+{\dfrac {j\,x}{Q\left(1-x^{2}\right)}}}}\;$» puis
• dans un 2^ème temps on transforme le terme du numérateur et du dénominateur autre que $\;1$, à savoir $\;{\dfrac {j\,\alpha \,x}{1-x^{2}}}\;$ pour le numérateur et $\;{\dfrac {j\,x}{Q\left(1-x^{2}\right)}}\;$ pour le dénominateur, en divisant haut et bas par $\;{\dfrac {j\,x}{Q}}\;$ soit $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\dfrac {j\,\alpha \,x}{1-x^{2}}}={\dfrac {\alpha \,Q}{j\,Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)}}\\{\dfrac {j\,{\dfrac {x}{Q}}}{1-x^{2}}}={\dfrac {1}{j\,Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)}}\end{array}}\right\rbrace \;$ d'où la forme canonique réduite « pratique » de cette fonction de transfert «$\;{\underline {H}}(j\,x)=H_{0}\;{\dfrac {1+{\dfrac {\alpha \,Q}{j\,Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)}}}{1+{\dfrac {1}{j\,Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)}}}}=H_{0}\;{\dfrac {1+{\dfrac {\alpha \,Q}{j\,Q\,X(x)}}}{1+{\dfrac {1}{j\,Q\,X(x)}}}}\;$»
  où «$\;X(x)=x-{\dfrac {1}{x}}\;$ est une grandeur $\;\nearrow \;$ de $\;x\;$».

 

Expression du gain d'un 2^ème ordre du « type coupe-bande avec gain minimal non nul » et sa variation en fonction de la fréquence réduite

     Exprimer le gain $\;G(x)\;$ de ce filtre et

     étudier sa variation en fonction de la fréquence réduite $\;{\big (}$ou pulsation réduite${\big )}\;$ et

     vérifier que la grandeur sortante entre en antirésonance pour la fréquence propre du filtre.

Solution

     Le gain s'écrit donc «$\;G(x)=\vert {\underline {H}}(j\,x)\vert =\vert H_{0}\vert \;{\sqrt {\dfrac {1+{\dfrac {\alpha ^{2}\,Q^{2}}{Q^{2}\,X^{2}(x)}}}{1+{\dfrac {1}{Q^{2}\,X^{2}(x)}}}}}=\vert H_{0}\vert \;{\sqrt {\dfrac {Q^{2}\,X^{2}(x)+\alpha ^{2}\,Q^{2}}{Q^{2}\,X^{2}(x)+1}}}=\vert H_{0}\vert \;{\sqrt {\dfrac {X^{2}(x)+\alpha ^{2}}{X^{2}(x)+{\dfrac {1}{Q^{2}}}}}}\;$» soit finalement, en posant «$\;k(X^{2})={\dfrac {X^{2}+\alpha ^{2}}{X^{2}+{\dfrac {1}{Q^{2}}}}}\;$», «$\;G(X)=\vert H_{0}\vert \;{\sqrt {k(X^{2})}}\;$» dans laquelle
«$\;k(X^{2})={\dfrac {X^{2}+\alpha ^{2}}{X^{2}+{\dfrac {1}{Q^{2}}}}}\;$» ;

     pour étudier la variation du gain $\;G(X)\;$ par rapport à $\;X$, on évalue la dérivée de la fonction $\;k\;$ par rapport à $\;X^{2}\;$ soit «$\;{\dfrac {dk}{dX^{2}}}(X^{2})={\dfrac {\left(X^{2}+{\dfrac {1}{Q^{2}}}\right)-\left(X^{2}+\alpha ^{2}\right)}{\left(X^{2}+{\dfrac {1}{Q^{2}}}\right)^{\!2}}}\;$» donnant, après simplification évidente, «$\;{\dfrac {dk}{dX^{2}}}(X^{2})$ $={\dfrac {{\dfrac {1}{Q^{2}}}-\alpha ^{2}}{\left(X^{2}+{\dfrac {1}{Q^{2}}}\right)^{\!2}}}>0\;$ si $\;\vert \alpha \vert <{\dfrac {1}{Q}}\;$» c'est-à-dire que «$\;k(X^{2})\;$ est une fonction $\;\nearrow \;$ de $\;X^{2}\;$» ;

     Dans le cas où «$\;\vert \alpha \vert <{\dfrac {1}{Q}}\;$», $\;\succ \;$pour «$\;x\nearrow \;$ de $\;0\;$ à $\;1\;$» $\Rightarrow$ $\;X(x)\nearrow \;$ de $\;-\infty \;$ à $\;0\;$ $\Rightarrow$ $\;X^{2}(x)\searrow \;$ de $\;+\infty \;$ à $\;0\;$ $\Rightarrow$ $\;k(X^{2})\searrow \;$ de $\;1\;$ à $\;\alpha ^{2}\,Q^{2}\;$ et par suite
            Dans le cas où «$\;\color {transparent}{\vert \alpha \vert <{\dfrac {1}{Q}}}\;$», $\;\color {transparent}{\succ }\;$pour «$\;\color {transparent}{x\nearrow }\;$ de $\;\color {transparent}{0}\;$ à $\;\color {transparent}{1}\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\;\color {transparent}{X(x)\nearrow }\;$ de $\;\color {transparent}{-\infty }\;$ à $\;\color {transparent}{0}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\;\color {transparent}{X^{2}(x)\searrow }\;$ de $\;\color {transparent}{+\infty }\;$ à $\;\color {transparent}{0}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ le gain «$\;G(X)=\vert H_{0}\vert \;{\sqrt {k(X^{2})}}$ $\searrow \;$ de $\;\vert H_{0}\vert \;$ à $\;\vert H_{0}\vert \,\vert \alpha \vert \,Q\;$» ;

            Dans le cas où «$\;\color {transparent}{\vert \alpha \vert <{\dfrac {1}{Q}}}\;$», $\;\succ \;$pour «$\;x\nearrow \;$ de $\;1\;$ à $\;+\infty \;$» $\Rightarrow$ $\;X(x)\nearrow \;$ de $\;0\;$ à $\;+\infty \;$ $\Rightarrow$ $\;X^{2}(x)\nearrow \;$ de $\;0\;$ à $\;+\infty \;$ $\Rightarrow$ $\;k(X^{2})\nearrow \;$ de $\;\alpha ^{2}\,Q^{2}\;$ à $\;1\;$ et par suite
            Dans le cas où «$\;\color {transparent}{\vert \alpha \vert <{\dfrac {1}{Q}}}\;$», $\;\color {transparent}{\succ }\;$pour «$\;\color {transparent}{x\nearrow }\;$ de $\;\color {transparent}{1}\;$ à $\;\color {transparent}{+\infty }\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\;\color {transparent}{X(x)\nearrow }\;$ de $\;\color {transparent}{0}\;$ à $\;\color {transparent}{+\infty }\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\;\color {transparent}{X^{2}(x)\nearrow }\;$ de $\;\color {transparent}{0}\;$ à $\;\color {transparent}{+\infty }\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ le gain «$\;G(X)=\vert H_{0}\vert \;{\sqrt {k(X^{2})}}\nearrow \;$ de $\;\vert H_{0}\vert \,\vert \alpha \vert \,Q\;$ à $\;\vert H_{0}\vert \;$» ;

            Dans le cas où «$\;\color {transparent}{\vert \alpha \vert <{\dfrac {1}{Q}}}\;$», en résumé, nous constatons que le gain est $\;\searrow$ puis $\;\nearrow$ de part et d'autre de son minimum obtenu pour la fréquence propre,
            Dans le cas où «$\;\color {transparent}{\vert \alpha \vert <{\dfrac {1}{Q}}}\;$», en résumé, nous constatons que le gain est $\;\color {transparent}{\searrow }$ puis $\;\color {transparent}{\nearrow }$ de part et d'autre de son minimum de valeur «$\;G_{\text{min}}=G(x=1)=\vert H_{0}\vert \,\vert \alpha \vert \,Q\neq 0\;$»,
            Dans le cas où «$\;\color {transparent}{\vert \alpha \vert <{\dfrac {1}{Q}}}\;$», en résumé, nous constatons que le gain est $\;\color {transparent}{\searrow }$ puis $\;\color {transparent}{\nearrow }$ de part et d'autre de son les gains à B.F. et à H.F. étant égaux à «$\;\vert H_{0}\vert \;$».

 

Condition pour que le filtre soit un coupe-bande (ou réjecteur de fréquences), bande non passante à -3dB et acuité d'antirésonance

     Déterminer la condition pour que ce filtre soit un coupe-bande $\;{\big (}$ou réjecteur de fréquences${\big )}\;$ ainsi que

     Déterminer la bande non passante à $\;-3\;dB$ «$\;B.n.P._{-3dB}\;$» et

     Déterminer l'acuité de l'antirésonance «$\;{\mathcal {A}}_{\text{antirésonance}}={\dfrac {f_{0}}{B.n.P._{-3dB}}}\;$».

Solution

     Pour que ce filtre soit un coupe-bande $\;{\big (}$ou réjecteur de fréquences${\big )}\;$ il faut et il suffit que les fréquences de coupure basse et haute à $\;-3\;dB\;$ existent c'est-à-dire
          Pour que ce filtre soit un coupe-bande $\;\color {transparent}{\big (}$ou réjecteur de fréquences$\color {transparent}{\big )}\;$ il faut et il suffit «$\;G(x_{c})={\dfrac {\vert H_{0}\vert }{\sqrt {2}}}>G_{\text{min}}=G(x=1)=\vert H_{0}\vert \,\vert \alpha \vert \,Q\;$» ou encore «$\;\vert \alpha \vert \,Q<{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\;$» soit finalement le filtre est un coupe-bande$\;{\big (}$ou réjecteur de fréquences${\big )}\;$ de fréquence d'antirésonance $\;f_{0}\;$ ssi «$\;\vert \alpha \vert <{\dfrac {1}{Q\,{\sqrt {2}}}}\;$» ;

     le « domaine passant à $\;-3\;dB\;$»  étant «$\;\left[0\,;\,f_{c,\,b}\right]\cup \left[f_{c,\,h}\,;\,+\infty \right[\;$» ne permet pas de définir une « bande passante à $\;-3\;dB\;$»  mais
           le « domaine passant à $\;\color {transparent}{-3\;dB}\;$» étant «$\;\color {transparent}{\left[0\,;\,f_{c,\,b}\right]\cup \left[f_{c,\,h}\,;\,+\infty \right[}\;$» autorise la définition d'une « bande non passante à $\;-3\;dB\;$» «$\;B.n.P._{-3dB}=f_{c,\,h}-f_{c,\,b}\;$» ;

     les fréquences réduites de coupure à $\;-3\;dB\;$ sont définies par «$\;G(x_{c})={\dfrac {\vert H_{0}\vert }{\sqrt {2}}}\;$ avec $\;G(x)=\vert H_{0}\vert \;{\sqrt {k\!\left[X^{2}(x)\right]}}\;$ où $\;k\!\left[X^{2}(x)\right]={\dfrac {X^{2}(x)+\alpha ^{2}}{X^{2}(x)+{\dfrac {1}{Q^{2}}}}}\;$ dans laquelle $\;X(x)=x-{\dfrac {1}{x}}\;$» d'où
     les fréquences réduites de coupure à $\;\color {transparent}{-3\;dB}\;$ sont définies par l'équation en $\;x_{c}\;$ suivante «$\;k\!\left[X^{2}(x_{c})\right]={\dfrac {1}{2}}\;$ ou $\;{\dfrac {X^{2}(x_{c})+\alpha ^{2}}{X^{2}(x_{c})+{\dfrac {1}{Q^{2}}}}}={\dfrac {1}{2}}\;$» se réduisant en $\;X^{2}(x_{c})={\dfrac {1}{Q^{2}}}-2\,\alpha ^{2}\;$ d'où
     les fréquences réduites de coupure à $\;\color {transparent}{-3\;dB}\;$ sont définies par les équations en $\;x_{c,\,h}\;$ ou $\;x_{c,\,b}\;$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x_{c,\,h}-{\dfrac {1}{x_{c,\,h}}}={\sqrt {{\dfrac {1}{Q^{2}}}-2\,\alpha ^{2}}}\\x_{c,\,b}-{\dfrac {1}{x_{c,\,b}}}=-{\sqrt {{\dfrac {1}{Q^{2}}}-2\,\alpha ^{2}}}\end{array}}\right\rbrace \;$» c'est-à-dire
     les fréquences réduites de coupure à $\;\color {transparent}{-3\;dB}\;$ sont définies par les « mêmes équations que celles recherchant les fréquences réduites de coupure à $\;-3\;dB\;$ du filtre passe-bande du 2^ème ordre “ réponse en intensité d'un $\;R\,L\,C\;$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante ” » à condition de « substituer $\;{\sqrt {{\dfrac {1}{Q^{2}}}-2\,\alpha ^{2}}}\;$ à $\;{\dfrac {1}{Q}}\;$», on en déduit donc
     les fréquences réduites de coupure à $\;\color {transparent}{-3\;dB}\;$ sont définies par « la bande non passante à $\;-3\;dB\;$» «$\;B.n.P._{-3dB}=f_{c,\,h}-f_{c,\,b}=f_{0}\;{\sqrt {{\dfrac {1}{Q^{2}}}-2\,\alpha ^{2}}}\;$» par substitution de $\;{\sqrt {{\dfrac {1}{Q^{2}}}-2\,\alpha ^{2}}}\;$ à $\;{\dfrac {1}{Q}}\;$ dans l'expression de la bande passante à $\;-3\;dB\;$ du filtre « passe-bande du 2^ème ordre “ réponse en intensité d'un $\;R\,L\,C\;$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante ” », d'où
     les fréquences réduites de coupure à $\;\color {transparent}{-3\;dB}\;$ sont définies par l'expression de l'acuité de l'antirésonance «$\;{\mathcal {A}}_{\text{antirésonance}}={\dfrac {f_{0}}{B.n.P._{-3dB}}}={\dfrac {1}{\sqrt {{\dfrac {1}{Q^{2}}}-2\,\alpha ^{2}}}}\;$»,
     les fréquences réduites de coupure à $\;\color {transparent}{-3\;dB}\;$ sont définies par « l'intervalle non passant à $\;-3\;dB\;$ étant d'autant plus étroit que $\;\vert \alpha \vert \;$ est proche de $\;{\dfrac {1}{Q\;{\sqrt {2}}}}\;$».

 

Tracé de la courbe de gain du diagramme de Bode

     Tracer la courbe de gain du diagramme de Bode de ce filtre en fonction de la fréquence réduite $\;x\;$ avec un transfert statique $\;H_{0}=1$, un facteur de qualité $\;Q=0,25\;$ et un cœfficient $\;\alpha =1\;$ en

     précisant les équations des asymptotes B.F. et H.F. ainsi que la valeur minimale du gain en dB,

     précisant les valeurs des fréquences réduites de coupure à $\;-3\;dB\;$ et l'acuité d'antirésonance.

Solution

Tracé de la courbe de gain du diagramme de Bode d'un 2^ème ordre « du type coupe-bande à gain minimal non nul » pour un transfert statique $\;H_{0}=1$, un cœfficient $\;\alpha =1\;$ et un facteur de qualité $\;Q=0,25$

     Ci-contre la courbe de gain du diagramme de Bode d'un 2^ème ordre du « type coupe-bande à gain minimal non nul » avec

• un « transfert statique $\;H_{0}=1\;$»,
• un « facteur de qualité $\;Q=0,25\;$» et
• le « cœfficient de $\;j\,x\;$ du numérateur après mise en facteur du transfert statique $\;\alpha =1\;$» ;

     en plus des asymptotes B.F. et H.F. de la courbe de gain du diagramme de Bode de ce 2^ème ordre du « type coupe-bande à gain minimal non nul », asymptotes d'équation commune «$\;G_{dB,\,{\text{asymptote}}\,B.F.}=G_{dB,\,{\text{asymptote}}\,H.F.}=$ $20\,\log \!\left[\vert H_{0}\vert \right]=0\;$», il y a
     en plus un « minimum de gain en dB d'abscisse $\;x=x_{0}=1\;$ et d'ordonnée $\;G_{dB,\,{\text{min}}}=G_{dB}(x_{0}=1)=20\,\log \!\left[\vert H_{0}\vert \right]+20\,\log \!\left[\vert \alpha \vert \;Q\right]\simeq$ $0+20\,\log \!\left[1\times 0,25\right]\simeq -12\;dB\;$» traduisant l'existence d'une antirésonance à gain non nul $\;{\big (}$ou à gain en dB fini${\big )}$ ;

     avec ce facteur de qualité et le cœfficient $\;\alpha \;$, les fréquences réduites de coupure à $\;-3\;dB\;$ valent $\;{\Bigg \{}$on rappelle que ces expressions ont été déterminées plus haut dans cet exercice et qu'elle s'obtiennent à partir des expressions des fréquences réduites de coupure à $\;-3\;dB\;$ d'un filtre « passe-bande du 2^ème ordre “ réponse en intensité d'un $\;R\,L\,C\;$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante ” » en remplaçant $\;{\dfrac {1}{Q}}\;$ par $\;{\dfrac {1}{Q_{\text{eff}}}}={\sqrt {{\dfrac {1}{Q^{2}}}-2\,\alpha ^{2}}}\simeq 3,74\;$${\Bigg \}}$,
          avec ce facteur de qualité et le cœfficient $\;\color {transparent}{\alpha }\;$, $\succ \;$«$\;x_{c,\,b}=-{\dfrac {1}{2\;Q_{\text{eff}}}}+{\sqrt {1+{\dfrac {1}{4\;Q_{\text{eff}}^{2}}}}}\simeq 0,25\;$» et
          avec ce facteur de qualité et le cœfficient $\;\color {transparent}{\alpha }\;$, $\succ \;$«$\;x_{c,\,h}={\dfrac {1}{2\;Q_{\text{eff}}}}+{\sqrt {1+{\dfrac {1}{4\;Q_{\text{eff}}^{2}}}}}\simeq 3,99\;$»,
          avec ce facteur de qualité et le cœfficient $\;\color {transparent}{\alpha }\;$, la bande non passante à $\;-3\;dB\;$ en fréquence réduite étant «$\;B.n.P._{-3dB,\,{\text{réduite}}}=x_{c,\,h}-x_{c,\,b}\simeq 3,74={\dfrac {1}{Q_{\text{eff}}}}\;$» et
          avec ce facteur de qualité et le cœfficient $\;\color {transparent}{\alpha }\;$, la valeur de l'acuité d'antirésonance «$\;{\mathcal {A}}_{\text{antirésonance}}=$ ${\dfrac {f_{0}}{B.n.P._{-3dB}}}={\dfrac {1}{B.n.P._{-3dB,\,{\text{réduite}}}}}\simeq {\dfrac {1}{3,74}}\simeq Q_{\text{eff}}={\dfrac {1}{\sqrt {{\dfrac {1}{Q^{2}}}-2\,\alpha ^{2}}}}\;$».

     Remarques : en partant de la forme canonique réduite « pratique » de la fonction de transfert «$\;{\underline {H}}(j\,x)=H_{0}\;{\dfrac {1+{\dfrac {\alpha \,Q}{j\,Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)}}}{1+{\dfrac {1}{j\,Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)}}}}\;$», on obtient l'« équation de la courbe de gain du diagramme de Bode sous la forme $\;G_{dB}(x)=20\,\log \!\left[\vert H_{0}\vert \right]+20\log \!\left[{\dfrac {\sqrt {1+{\dfrac {\alpha ^{2}\;Q^{2}}{Q^{2}\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)^{\!2}}}}}{\sqrt {1+{\dfrac {1}{Q^{2}\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)^{\!2}}}}}}\right]\;$» montrant
     Remarques : l'invariance du gain en dB lors du changement de $\;x\;$ en $\;{\dfrac {1}{x}}\;$ ou,
     Remarques : l'invariance du gain en dB lors du changement de $\;\log(x)\;$ en $\;-\log(x)$, ce qui établit que
     Remarques : la courbe de gain du diagramme de Bode est invariante par symétrie axiale relativement à la droite$\;x=1$ ;
     Remarques : les fréquences de coupure à $\;-3\;dB\;$ étant définies par la « même valeur du gain $\;G(x_{c})={\dfrac {G_{\text{max}}}{\sqrt {2}}}\;$», on en déduit que
     Remarques : « les points de la courbe de gain du diagramme de Bode correspondant aux deux fréquences de coupure à $\;-3\;dB\;$ sont symétriques relativement à l'axe de symétrie » et par conséquent
     Remarques : « les fréquences de coupure à $\;-3\;dB\;$ ont des logarithmes opposés ».

 

Étude de la variation de la phase du filtre en fonction de la fréquence réduite et tracé de la courbe de phase du diagramme de Bode de ce dernier

     Exprimer la phase du filtre à partir de la forme canonique réduite pratique de sa fonction de transfert soit $\;\varphi =\varphi \!\left[X(x)\right]\;$ puis

     étudier sa variation en fonction de la fréquence réduite $\;x$ ;

     tracer la courbe de phase du diagramme de Bode de ce filtre en fonction de la fréquence réduite $\;x\;$ avec un transfert statique $\;H_{0}=1$, un facteur de qualité $\;Q=0,25\;$ et un cœfficient $\;\alpha =1\;$ en

     précisant les équations des asymptotes B.F. et H.F. ainsi que

     précisant les valeurs des fréquences réduites correspondant à un minimum ou un maximum de phase avec la valeur de ces derniers.

Solution

     À partir de la forme canonique réduite « pratique » de la fonction de transfert «$\;{\underline {H}}(j\,x)=H_{0}\;{\dfrac {1-j\,{\dfrac {\alpha \,Q}{Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)}}}{1-j\,{\dfrac {1}{Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)}}}}\;$» on en déduit, en prenant l'argument de cette dernière, l'expression de la phase $\;\varphi (x)\;$ d'un 2^ème ordre « du type coupe-bande à gain minimal non nul » soit «$\;\varphi (x)=$ $\mathrm {arg} \!\left[\vert {\underline {H}}(j\,x)\vert \right]=\mathrm {arg} \!\left[H_{0}\right]-\arctan \!\left[{\dfrac {\alpha }{x-{\dfrac {1}{x}}}}\right]+\arctan \!\left[{\dfrac {1}{Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)}}\right]\;$» qui s'écrit encore, suivant le signe du transfert statique $\;H_{0}$, selon «$\;\varphi (x)=$ $\left\lbrace {\begin{array}{r}-\arctan \!\left[{\dfrac {\alpha }{x-{\dfrac {1}{x}}}}\right]+\arctan \!\left[{\dfrac {1}{Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)}}\right]\;\;{\text{si}}\;H_{0}>0\\\pi -\arctan \!\left[{\dfrac {\alpha }{x-{\dfrac {1}{x}}}}\right]+\arctan \!\left[{\dfrac {1}{Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)}}\right]\;\;{\text{si}}\;H_{0}<0\end{array}}\right\rbrace \;$», expression s'appliquant pour $\;x\neq 1$ ;

     l'étude de la variation de la phase relativement à la fréquence réduite $\;x\;$ utilise le fait que l'expression «$\;\Phi (x)=\arctan \!\left[{\dfrac {1}{Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)}}\right]-\arctan \!\left[{\dfrac {\alpha }{x-{\dfrac {1}{x}}}}\right]\;$» est aussi une fonction de la grandeur «$\;X(x)=$ $x-{\dfrac {1}{x}}\;$» $\;{\big (}$fonction $\;\nearrow \;$ de $\;x\;$${\big )}\;$ soit «$\;\Phi (X)=\arctan \!\left[{\dfrac {1}{Q\;X}}\right]-\arctan \!\left[{\dfrac {\alpha }{X}}\right]\;$» de dérivée par rapport à $\;X\;$ s'évaluant selon «$\;{\dfrac {d\Phi }{dX}}(X)={\dfrac {-{\dfrac {1}{Q\,X^{2}}}}{1+{\dfrac {1}{Q^{2}\,X^{2}}}}}-{\dfrac {-{\dfrac {\alpha }{X^{2}}}}{1+{\dfrac {\alpha ^{2}}{X^{2}}}}}={\dfrac {-Q}{Q^{2}\,X^{2}+1}}-{\dfrac {-\alpha }{X^{2}+\alpha ^{2}}}=$ ${\dfrac {-Q\left(X^{2}+\alpha ^{2}\right)+\alpha \left(Q^{2}\,X^{2}+1\right)}{\left(Q^{2}\,X^{2}+1\right)\left(X^{2}+\alpha ^{2}\right)}}={\dfrac {\left(1-\alpha \,Q\right)\left(\alpha -Q\,X^{2}\right)}{\left(Q^{2}\,X^{2}+1\right)\left(X^{2}+\alpha ^{2}\right)}}\left\lbrace {\begin{array}{c c c}>0\!&\!{\text{pour}}\!&\!X^{2}<{\dfrac {\alpha }{Q}}\\<0\!&\!{\text{pour}}\!&\!X^{2}>{\dfrac {\alpha }{Q}}\end{array}}\right\rbrace \;$ » $\;{\bigg \{}$en effet «$\;1-\alpha \,Q>0\;$ pour $\;\alpha <0\;$» et la condition pour que le filtre soit un coupe-bande $\;{\big (}$ou réjecteur de fréquences${\big )}\;$ étant «$\;\vert \alpha \vert <{\dfrac {1}{Q\,{\sqrt {2}}}}\;$» Voir la solution de la question « condition pour que le filtre soit un coupe-bande (ou réjecteur de fréquences), bande non passante à -3dB et acuité d'antirésonance » plus haut dans cet exercice.</ref> se réécrit, pour $\;\alpha >0$, «$\;\alpha <{\dfrac {1}{Q\,{\sqrt {2}}}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;\alpha \,Q<{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}<1\;$» d'où «$\;1-\alpha \,Q>0\;$ pour $\;\alpha >0\;$ sous condition de coupe-bande $\;{\big (}$ou réjecteur de fréquences${\big )}\;$ »${\bigg \}}\;$ on en déduit $\;\Phi (X)\left\lbrace {\begin{array}{c c c}\nearrow \!&\!{\text{pour}}\!&\!X^{2}<{\dfrac {\alpha }{Q}}\\\searrow \!&\!{\text{pour}}\!&\!X^{2}>{\dfrac {\alpha }{Q}}\end{array}}\right\rbrace \;$ » $\;{\bigg \{}$dans le cas $\;\alpha <0$, $\;{\dfrac {\alpha }{Q}}\;$ étant $\;<0$, on a $\;X^{2}>{\dfrac {\alpha }{Q}}\;\forall \;X\;$ et par suite $\;\Phi (X)\searrow {\bigg \}}$, soit finalement, en supposant $\;\alpha >0\;$ et en définissant les valeurs de fréquences réduites $\;x_{l}\;$ correspondant à une modification de sens de variation de $\;\Phi (X)\;$ «$\;{\bigg \vert }x_{l}-{\dfrac {1}{x_{l}}}{\bigg \vert }={\sqrt {\dfrac {\alpha }{Q}}}\;$» $\;{\bigg \{}$on suppose bien sûr que la condition de coupe-bande $\;{\big (}$ou réjecteur de fréquences${\big )}\;$ est vérifiée c'est-à-dire «$\;\alpha <{\dfrac {1}{Q\,{\sqrt {2}}}}\;$${\bigg \}}$ :

     l'étude de la variation de la phase relativement à la fréquence réduite $\;\color {transparent}{x}\;$ $\succ \;$« pour $\;x\nearrow \;$ de $\;0\;$ à $\;x_{l,\,b}\;$» $\Rightarrow$ $\;X(x)\nearrow \;$ de $\;-\infty \;$ à $\;-{\sqrt {\dfrac {\alpha }{Q}}}\;$ $\Rightarrow$ $\;X^{2}(x)\searrow \;$ de $\;+\infty \;$ à $\;{\dfrac {\alpha }{Q}}\;$ d'où
     l'étude de la variation de la phase relativement à la fréquence réduite $\;\color {transparent}{x}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$« pour $\;\color {transparent}{x\nearrow }\;$ de $\;\color {transparent}{0}\;$ à $\;\color {transparent}{x_{l,\,b}}\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\Phi (X)\searrow \;$ de $\;0\;$ à $\;\Phi \!\left(-{\sqrt {\dfrac {\alpha }{Q}}}\right)\;$» et
     l'étude de la variation de la phase relativement à la fréquence réduite $\;\color {transparent}{x}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$« pour $\;\color {transparent}{x\nearrow }\;$ de $\;\color {transparent}{0}\;$ à $\;\color {transparent}{x_{l,\,b}}\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\varphi (x)\left\lbrace {\begin{array}{c c c c c c}\searrow \!&\!{\text{de}}\!&\!0\!&\!{\text{à}}\!&\!\Phi \!\left(-{\sqrt {\dfrac {\alpha }{Q}}}\right)\!&\!{\text{si}}\;H_{0}>0\\\searrow \!&\!{\text{de}}\!&\!\pi \!&\!{\text{à}}\!&\!\pi +\Phi \!\left(-{\sqrt {\dfrac {\alpha }{Q}}}\right)\!&\!{\text{si}}\;H_{0}<0\end{array}}\right\rbrace \;$»,

     l'étude de la variation de la phase relativement à la fréquence réduite $\;\color {transparent}{x}\;$ $\succ \;$« pour $\;x\nearrow \;$ de $\;x_{l,\,b}\;$ à $\;x_{l,\,h}\;$» $\Rightarrow$ $\;X(x)\nearrow \;$ de $\;-{\sqrt {\dfrac {\alpha }{Q}}}\;$ à $\;{\sqrt {\dfrac {\alpha }{Q}}}\;$ $\Rightarrow$ $\;X^{2}(x)\searrow \;$ de $\;{\dfrac {\alpha }{Q}}\;$ à $\;0\;$ puis $\;\nearrow \;$ de $\;0\;$ à $\;{\dfrac {\alpha }{Q}}\;$ d'où
     l'étude de la variation de la phase relativement à la fréquence réduite $\;\color {transparent}{x}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$« pour $\;\color {transparent}{x\nearrow }\;$ de $\;\color {transparent}{x_{l,\,b}}\;$ à $\;\color {transparent}{x_{l,\,h}}\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\Phi (X)\nearrow \;$ de $\;\Phi \!\left(-{\sqrt {\dfrac {\alpha }{Q}}}\right)\;$ à $\;\Phi \!\left({\sqrt {\dfrac {\alpha }{Q}}}\right)\;$ en passant par la valeur $\;0\;$ pour $\;x=1\;$» et
     l'étude de la variation de la phase relativement à la fréquence réduite $\;\color {transparent}{x}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$« pour $\;\color {transparent}{x\nearrow }\;$ de $\;\color {transparent}{x_{l,\,b}}\;$ à $\;\color {transparent}{x_{l,\,h}}\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\varphi (x)\left\lbrace {\begin{array}{c c c c c c}\nearrow \!&\!{\text{de}}\!&\!\Phi \!\left(-{\sqrt {\dfrac {\alpha }{Q}}}\right)\!&\!{\text{à}}\!&\!\Phi \!\left({\sqrt {\dfrac {\alpha }{Q}}}\right)\!&\!{\text{si}}\;H_{0}>0\\\nearrow \!&\!{\text{de}}\!&\!\pi +\Phi \!\left(-{\sqrt {\dfrac {\alpha }{Q}}}\right)\!&\!{\text{à}}\!&\!\pi +\Phi \!\left({\sqrt {\dfrac {\alpha }{Q}}}\right)\!&\!{\text{si}}\;H_{0}<0\end{array}}\right\rbrace \;$» en passant par la valeur «$\;\varphi (x=1)=\left\lbrace {\begin{array}{c c}0\!&\!{\text{si}}\;H_{0}>0\\\pi \!&\!{\text{si}}\;H_{0}<0\end{array}}\right\rbrace \;$»,

     l'étude de la variation de la phase relativement à la fréquence réduite $\;\color {transparent}{x}\;$ $\succ \;$« pour $\;x\nearrow \;$ de $\;x_{l,\,h}\;$ à $\;+\infty \;$» $\Rightarrow$ $\;X(x)\nearrow \;$ de $\;{\sqrt {\dfrac {\alpha }{Q}}}\;$ à $\;+\infty \;$ $\Rightarrow$ $\;X^{2}(x)\nearrow \;$ de $\;{\dfrac {\alpha }{Q}}\;$ à $\;+\infty \;$ d'où
     l'étude de la variation de la phase relativement à la fréquence réduite $\;\color {transparent}{x}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$« pour $\;\color {transparent}{x\nearrow }\;$ de $\;\color {transparent}{x_{l,\,h}}\;$ à $\;\color {transparent}{+\infty }\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\Phi (X)\searrow \;$ de $\;\Phi \!\left({\sqrt {\dfrac {\alpha }{Q}}}\right)\;$ à $\;0\;$» et
     l'étude de la variation de la phase relativement à la fréquence réduite $\;\color {transparent}{x}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$« pour $\;\color {transparent}{x\nearrow }\;$ de $\;\color {transparent}{x_{l,\,h}}\;$ à $\;\color {transparent}{+\infty }\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\varphi (x)\left\lbrace {\begin{array}{c c c c c c}\searrow \!&\!{\text{de}}\!&\!\Phi \!\left({\sqrt {\dfrac {\alpha }{Q}}}\right)\!&\!{\text{à}}\!&\!0\!&\!{\text{si}}\;H_{0}>0\\\searrow \!&\!{\text{de}}\!&\!\pi +\Phi \!\left({\sqrt {\dfrac {\alpha }{Q}}}\right)\!&\!{\text{à}}\!&\!\pi \!&\!{\text{si}}\;H_{0}<0\end{array}}\right\rbrace \;$».

Tracé de la courbe de phase du diagramme de Bode d'un 2^ème ordre « du type coupe-bande à gain minimal non nul » pour un transfert statique $\;H_{0}=1$, un cœfficient $\;\alpha =1\;$ et un facteur de qualité $\;Q=0,25$

     Ci-contre la courbe de phase du diagramme de Bode d'un 2^ème ordre du « type coupe-bande à gain minimal non nul » avec

• un « transfert statique $\;H_{0}=1\;$»,
• un « facteur de qualité $\;Q=0,25\;$» et
• le « cœfficient de $\;j\,x\;$ du numérateur après mise en facteur du transfert statique $\;\alpha =1\;$» ;

     en plus des asymptotes B.F. et H.F. de la courbe de phase du diagramme de Bode de ce 2^ème ordre du « type coupe-bande à gain minimal non nul », asymptotes d'équation commune «$\;\varphi _{{\text{asymptote}}\,B.F.}=\varphi _{{\text{asymptote}}\,H.F.}=0\;$», il y a
     en plus en posant «$\;{\dfrac {1}{{Q'}_{\text{eff}}}}={\sqrt {\dfrac {\alpha }{Q}}}=2\;$», une $\;\searrow \;$ sur l'intervalle $\;\left[0\,;\,x_{l,\,b}=-{\dfrac {1}{2\;{Q'}_{\text{eff}}}}+{\sqrt {1+{\dfrac {1}{4\;{Q'}_{\text{eff}}^{2}}}}}\simeq 0,41\right]\;$ avec «$\;\varphi (x_{l,\,b})\simeq$ $-0,64\,rad\;$» suivi d'une $\;\nearrow \;$ sur l'intervalle $\;\left[x_{l,\,b}\simeq 0,41\,;\,x_{l,\,h}={\dfrac {1}{2\;{Q'}_{\text{eff}}}}+{\sqrt {1+{\dfrac {1}{4\;{Q'}_{\text{eff}}^{2}}}}}\simeq 2,41\right]\;$ avec «$\;\varphi (x_{l,\,h})$ $\simeq 0,64\,rad\;$» et d'une $\;\searrow \;$ finale sur l'intervalle $\;\left[x_{l,\,h}\simeq 2,41\,;\,+\infty \right[$.

     Remarques : Avec un transfert statique négatif mais en gardant un cœfficient $\;\alpha >0$, la courbe de phase serait celle tracée ci-contre après une translation de $\;\pi \;$ parallèlement à l'axe des phases dans le sens croissant de ce dernier ;

     Remarques : à partir de «$\;\varphi (x)=\left\lbrace {\begin{array}{r}-\arctan \!\left[{\dfrac {\alpha }{x-{\dfrac {1}{x}}}}\right]+\arctan \!\left[{\dfrac {1}{Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)}}\right]\;\;{\text{si}}\;H_{0}>0\\\pi -\arctan \!\left[{\dfrac {\alpha }{x-{\dfrac {1}{x}}}}\right]+\arctan \!\left[{\dfrac {1}{Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)}}\right]\;\;{\text{si}}\;H_{0}<0\end{array}}\right\rbrace \;$» c'est-à-dire à partir de l'équation de la courbe de phase du diagramme de Bode d'un 2^ème ordre « du type coupe-bande à gain minimal non nul », on remarque que
     Remarques : à partir de «$\;\color {transparent}{\varphi (x)}$ les expressions $\;\arctan \!\left[{\dfrac {\alpha }{x-{\dfrac {1}{x}}}}\right]\;$ et $\;\arctan \!\left[{\dfrac {1}{Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)}}\right]\;$ deviennent leurs opposées lors du changement de $\;x\;$ en $\;{\dfrac {1}{x}}\;$ ou,
     Remarques : à partir de «$\;\color {transparent}{\varphi (x)}$ les expressions $\;\;\color {transparent}{\arctan \!\left[x-{\dfrac {1}{x}}\right]}\;\;$ et $\;\;\color {transparent}{\arctan \!\left[Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)\right]}\;\;\,$ deviennent leurs opposées lors du changement de $\;\log(x)\;$ en $\;-\log(x)$, ce qui établit que
     Remarques : à partir de «$\;\color {transparent}{\varphi (x)}$ la courbe de phase du diagramme de Bode est invariante par symétrie centrale de centre$\;\left(x=1\,,\,\varphi =0\right)\;$ si $\;H_{0}\;$ est $\;>0\;$ ou
           Remarques : à partir de «$\;\color {transparent}{\varphi (x)}$ la courbe de phase du diagramme de Bode est invariante par symétrie centrale de centre$\;\left(x=1\,,\,\varphi =\pi \right)\;$ si $\;H_{0}\;$ est $\;<0$.

     Remarque concernant le cas$\;\alpha <0$ : dans ce cas $\;{\dfrac {d\Phi }{dX}}(X)<0\;\;\forall \;X\;$ entraînant une $\;\searrow \;$ de $\;\Phi (X)\;$ sur tout le domaine, mais on note alors une « discontinuité de 1^ère espèce de $\;\Phi (X)\;$ pour $\;X=0\;$ ${\big [}$ou pour $\;x=1{\big ]}\;$ de saut égal à $\;\Delta \Phi (X=0)=\Phi (X=0^{+})-\Phi (X=0^{-})=\Phi (x=1^{+})-\Phi (x=1^{-})=+2\;\pi \;$» en effet
     Remarque concernant le cas$\;\color {transparent}{\alpha <0}$ : $\succ \;$« si $\;X\rightarrow 0^{-}\;$ ou $\;x\rightarrow 1^{-}\;$», on a $\;\arctan \!\left[{\dfrac {\alpha }{x-{\dfrac {1}{x}}}}\right]\rightarrow {\dfrac {\pi }{2}}\;$ et $\;\arctan \!\left[{\dfrac {1}{Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)}}\right]\rightarrow -{\dfrac {\pi }{2}}\;$ d'où «$\;\Phi (x)\rightarrow -\pi \;$» et «$\;\varphi (x)\rightarrow \left\lbrace {\begin{array}{r}-\pi \;\;{\text{si}}\;H_{0}>0\\0\;\;{\text{si}}\;H_{0}<0\end{array}}\right\rbrace \;$» alors que
     Remarque concernant le cas$\;\color {transparent}{\alpha <0}$ : $\succ \;$« si $\;X\rightarrow 0^{+}\;$ ou $\;x\rightarrow 1^{+}\;$», on a $\;\arctan \!\left[{\dfrac {\alpha }{x-{\dfrac {1}{x}}}}\right]\rightarrow -{\dfrac {\pi }{2}}\;$ et $\;\arctan \!\left[{\dfrac {1}{Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)}}\right]\rightarrow {\dfrac {\pi }{2}}\;$ d'où «$\;\Phi (x)\rightarrow \pi \;$» et «$\;\varphi (x)\rightarrow \left\lbrace {\begin{array}{r}\pi \;\;{\text{si}}\;H_{0}>0\\2\,\pi \;\;{\text{si}}\;H_{0}<0\end{array}}\right\rbrace \;$» ;      Remarque concernant le cas $\;\color {transparent}{\alpha <0}$ : au final « si $\;H_{0}>0\;$ et $\;\alpha <0\;$», la phase $\;\varphi (x)\searrow \;$ de $\;0\;$ à $\;-\pi$, fait un saut de $\;2\,\pi \;$ pour le passage par $\;x=1$, puis $\;\searrow \;$ de $\;\pi \;$ à $\;0$ ;

     Remarque concernant le cas $\;\color {transparent}{\alpha <0}$ : au final « si $\;H_{0}<0\;$ et $\;\alpha <0\;$», la phase $\;\varphi (x)\searrow \;$ de $\;\pi \;$ à $\;0$, fait un saut de $\;2\,\pi \;$ pour le passage par $\;x=1$, puis $\;\searrow \;$ de $\;2\,\pi \;$ à $\;\pi$.

 

Exemple de coupe-bande de gain minimal non nul : réseau en T ponté

Schéma d'un Q.L.P. en sortie ouverte composé d'un « réseau en $\;T\;$» ponté, le $\;T\;$ ayant ses bras $\;{\big (}$chacun étant un condensateur de capacité $\;C{\big )}\;$ entre la borne d'entrée $\;E\;$ et la borne de sortie $\;S\;$ supérieures et son tronc $\;{\big (}$un conducteur ohmique de résistance $\;r{\big )}\;$ relié à la borne commune $\;M\;$ d'entrée et de sortie inférieure, le pontage entre $\;E\;$ et $\;S\;$ étant réalisé par un conducteur ohmique de résistance $\;R$

     On considère le « réseau en $\;T\;$» ponté représenté ci-contre soumis à une tension sinusoïdale $\;u_{e}(t)\;$ de pulsation $\;\omega \;$ et de valeur efficace $\;U_{e}\;$ ;
     on pose «$\;a={\dfrac {R}{r}}\;$» $\;{\big (}$sans dimension${\big )}\;$ et «$\;\tau ={\sqrt {r\,R}}\,C\;$» $\;{\big (}$homogène à un temps${\big )}$.

Détermination de l'expression de l'amplification complexe en tension du réseau en T ponté en sortie ouverte en fonction des grandeurs caractéristiques du réseau et de la pulsation du r.s.f. puis établissement de sa forme canonique et vérification de la nature vraisemblable « coupe-bande à gain minimal non nul » du filtre

     Déterminer l'amplification complexe en tension «$\;{\underline {A}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {u_{s}}}(t)}{{\underline {u_{e}}}(t)}}={\dfrac {{\underline {U_{s}}}(j\,\omega )}{\underline {U_{e}}}}\;$» en fonction de la pulsation du r.s.f. et des données du réseau quand ce dernier est en sortie ouverte $\;{\big [}{\underline {u_{s}}}(t)\;$ étant la tension instantanée complexe de sortie ouverte associée à la tension sinusoïdale, $\;{\underline {U_{s}}}(j\,\omega )\;$ la tension efficace complexe correspondante${\big ]}$ ;

     mettre cette fonction de transfert sous forme canonique, on précisera la « pulsation propre $\;\omega _{0}\;$», le « facteur de qualité $\;Q\;$» et on introduira la pulsation réduite $\;x={\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}\;$ ${\big [}$ou encore fréquence réduite${\big ]}$ ;

     compte-tenu de la forme de la fonction de transfert, vérifier qu'il s'agit vraisemblablement d'un « coupe-bande à gain minimal non nul » si toutefois la condition de réjection de fréquences est réalisée.

Solution

Schéma en complexe d'un Q.L.P. en sortie ouverte composé d'un « réseau en $\;T\;$» ponté, le $\;T\;$ ayant ses bras $\;{\big [}$de même impédance complexe $\;{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega ){\big ]}\;$ entre la borne d'entrée $\;E\;$ et la borne de sortie $\;S\;$ supérieures et son tronc $\;{\big [}$de résistance $\;r{\big ]}\;$ relié à la borne commune $\;M\;$ d'entrée et de sortie inférieure, le pontage entre $\;E\;$ et $\;S\;$ étant de résistance $\;R$

     Voir le schéma du « réseau en $\;T\;$» ponté reproduit en complexe associé au r.s.f. de pulsation $\;\omega \;$ ci-contre dans lequel l'impédance complexe $\;{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )\;$ est celle des condensateurs de capacité $\;C\;$ soit $\;{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )={\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}$, les tensions instantanées complexes d'entrée et de sortie ouverte étant liées aux tensions efficaces complexes associées par «$\;{\underline {u_{e}}}(t)={\underline {U_{e}}}\,{\sqrt {2}}\,\exp \!\left[j\,\omega \,t\right]\;$» et «$\;{\underline {u_{s}}}(t)={\underline {U_{s}}}(j\,\omega )\,{\sqrt {2}}\,\exp \!\left[j\,\omega \,t\right]\;$».

     Le théorème de Millman appliqué en $\;S\;$ donne $\;{\big (}$en valeurs efficaces complexes${\big )}\;$ «$\;{\underline {V_{S}}}(j\,\omega )={\dfrac {{\dfrac {\underline {U_{e}}}{R}}+j\,C\,\omega \;{\underline {V_{A}}}(j\,\omega )}{{\dfrac {1}{R}}+j\,C\,\omega }}\;$» soit «$\;{\underline {U_{s}}}(j\,\omega )={\underline {V_{S}}}(j\,\omega )-{\underline {V_{M}}}={\dfrac {{\underline {U_{e}}}+j\,R\,C\,\omega \;{\underline {V_{A}}}(j\,\omega )}{1+j\,R\,C\,\omega }}\;$» ;      on applique de nouveau le théorème de Millman en $\;A\;$ ${\big (}$en valeurs efficaces complexes${\big )}\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\underline {V_{A}}}(j\,\omega )={\dfrac {j\,C\,\omega \;{\underline {U_{e}}}+{\dfrac {\underline {0}}{r}}+j\,C\,\omega \;{\underline {U_{s}}}(j\,\omega )}{j\,C\,\omega +{\dfrac {1}{r}}+j\,C\,\omega }}\;$» soit «$\;{\underline {V_{A}}}(j\,\omega )={\dfrac {j\,r\,C\,\omega \,\left[{\underline {U_{e}}}+{\underline {U_{s}}}(j\,\omega )\right]}{1+2\,j\,r\,C\,\omega }}\;$» ;      on reporte l'expression de $\;{\underline {V_{A}}}(j\,\omega )\;$ dans celle de $\;{\underline {U_{s}}}(j\,\omega )\;$» et on obtient «$\;{\underline {U_{s}}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {U_{e}}}+j\,R\,C\,\omega \,{\dfrac {j\,r\,C\,\omega \,\left[{\underline {U_{e}}}+{\underline {U_{s}}}(j\,\omega )\right]}{1+2\,j\,r\,C\,\omega }}}{1+j\,R\,C\,\omega }}={\dfrac {\left(1+2\,j\,r\,C\,\omega \right)\,{\underline {U_{e}}}-r\,R\,C^{2}\,\omega ^{2}\,\left[{\underline {U_{e}}}+{\underline {U_{s}}}(j\,\omega )\right]}{\left(1+j\,R\,C\,\omega \right)\left(1+2\,j\,r\,C\,\omega \right)}}$
     on reporte l'expression de $\;\color {transparent}{{\underline {V_{A}}}(j\,\omega )}\;$ dans celle de $\;\color {transparent}{{\underline {U_{s}}}(j\,\omega )}\;$» et on obtient «$\;\color {transparent}{{\underline {U_{s}}}(j\,\omega )}$ $={\dfrac {\left(1+2\,j\,r\,C\,\omega -r\,R\,C^{2}\,\omega ^{2}\right)\,{\underline {U_{e}}}-r\,R\,C^{2}\,\omega ^{2}\;{\underline {U_{s}}}(j\,\omega )}{\left(1+j\,R\,C\,\omega \right)\left(1+2\,j\,r\,C\,\omega \right)}}\;$» qui se réécrit en regroupant les termes en $\;{\underline {U_{s}}}(j\,\omega )\;$ dans un même membre et en laissant en $\,{\underline {U_{e}}}\;$ dans l'autre membre «$\;{\underline {U_{s}}}(j\,\omega )\,\left[\left(1+j\,R\,C\,\omega \right)\left(1+2\,j\,r\,C\,\omega \right)+r\,R\,C^{2}\,\omega ^{2}\right]=\left(1+2\,j\,r\,C\,\omega -r\,R\,C^{2}\,\omega ^{2}\right)\,{\underline {U_{e}}}\;$ soit, après simplification élémentaire «$\;{\underline {A}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {U_{s}}}(j\,\omega )}{\underline {U_{e}}}}={\dfrac {1+2\,j\,r\,C\,\omega -r\,R\,C^{2}\,\omega ^{2}}{1+j\left(R+2\,r\right)C\,\omega -r\,R\,C^{2}\,\omega ^{2}}}\;$».

     L'identification du « dénominateur de la fonction de transfert écrite sous forme canonique réduite usuelle avec $\;1-x^{2}+j\,{\dfrac {x}{Q}}\;$ ${\bigg (}x={\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}\;$ étant la pulsation réduite${\bigg )}\;$ c'est-à-dire avec $\;1-\left({\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}\right)^{\!\!2}+j\,{\dfrac {\omega }{Q\;\omega _{0}}}\;$» nous permet d'obtenir la réduction canonique du l'amplification complexe en tension d'où :

• la « pulsation propre $\;\omega _{0}\in \mathbb {R} ^{+\,*}\;$ homogène à une pulsation » par identification du terme en $\;\omega ^{2}\;$ soit $\;-r\,R\,C^{2}\,\omega ^{2}=-{\dfrac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}\;$ d'où «$\;\omega _{0}={\dfrac {1}{{\sqrt {r\,R}}\,C}}={\dfrac {1}{\tau }}\;$» et
• le « facteur de qualité $\;Q\in \mathbb {R} ^{+\,*}\;$ sans dimension » par identification du terme en $\;\omega \;$ soit $\;j\,\left(R+2\,r\right)\,C\,\omega =j\,{\dfrac {\omega }{Q\,\omega _{0}}}\;$ d'où «$\;Q={\dfrac {1}{\left(R+2\,r\right)\,C\,\omega _{0}}}\;$» ou, en factorisant le dénominateur de l'expression de $\;Q\;$ par $\;r\;$ et en introduisant la grandeur sans dimension $\;a={\dfrac {R}{r}}$, «$\;Q={\dfrac {1}{\left(a+2\right)\,r\,C\,\omega _{0}}}\;$» soit enfin, avec «$\;\omega _{0}={\dfrac {1}{{\sqrt {r\,R}}\,C}}\;$ $\Rightarrow$ $\;C\;\omega _{0}={\dfrac {1}{\sqrt {r\,R}}}\;$ $\Rightarrow$ $\;r\;C\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {r}{R}}}={\dfrac {1}{\sqrt {a}}}\;$», «$\;Q={\dfrac {\sqrt {a}}{a+2}}\;$» ;

     l'identification du « numérateur de la fonction de transfert écrite sous forme canonique réduite usuelle $\;1-x^{2}+2\,j\,r\,C\,\omega _{0}\,x\;$» $\;{\bigg \{}$en effet $\;x={\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}\;$ $\Rightarrow$ $\;\omega =\omega _{0}\;x{\bigg \}}\;$ avec celui de la forme canonique réduite à déterminer «$\;A_{0}\left(1-x^{2}+j\,\alpha \,x\right)\;$» définit le « transfert statique $\;A_{0}=1\;$» et le « cœfficient $\;\alpha \;$ sans dimension », $\;j\;2\,r\,C\,\omega _{0}\,x=j\,\alpha \,x\;\forall \;x\;$ $\Rightarrow$ «$\;\alpha =2\,r\,C\,\omega _{0}=2\;{\sqrt {\dfrac {r}{R}}}={\dfrac {2}{\sqrt {a}}}\;$» ;

     finalement la forme canonique réduite usuelle de la fonction de transfert « amplification complexe en tension du réseau en $\;T\;$ ponté en sortie ouverte » s'écrit «$\;{\underline {A}}(j\,x)={\dfrac {A_{0}\left(1-x^{2}+j\,\alpha \,x\right)}{1-x^{2}+j\,{\dfrac {x}{Q}}}}\;$» avec
la « pulsation propre $\;\omega _{0}={\dfrac {1}{{\sqrt {r\,R}}\,C}}={\dfrac {1}{\tau }}\;$ homogène à l'inverse d'un temps »
et quatre grandeurs sans dimension qui sont «$\;A_{0}=1\;$ le transfert statique », «$\;x={\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}\;$ la pulsation réduite »,
«$\;Q={\dfrac {\sqrt {a}}{a+2}}\;$ le facteur de qualité » et «$\;\alpha ={\dfrac {2}{\sqrt {a}}}\;$ le cœfficient de $\;A_{0}\;j\;x\;$ du numérateur ».

     On vérifie qu'il s'agit vraisemblablement d'un « coupe-bande à gain minimal non nul » si toutefois la condition de réjection de fréquences $\;\vert \alpha \vert <{\dfrac {1}{Q\,{\sqrt {2}}}}\;$ est réalisée.

 

Détermination de la condition pour que le réseau en T ponté en sortie ouverte soit effectivement un coupe-bande à gain minimal non nul

     Déterminer la condition pour que le filtre soit effectivement un « coupe-bande à gain minimal non nul ».

Solution

     Le numérateur de la forme canonique réduite usuelle de la fonction de transfert « amplification complexe en tension du réseau en $\;T\;$ ponté en sortie ouverte » étant «$\;A_{0}\,\left(1-x^{2}+j\,\alpha \,x\right)\;$ avec $\;A_{0}=1\;$»,
     la condition pour que le réseau en $\;T\;$ ponté en sortie ouverte soit effectivement un « coupe-bande à gain minimal non nul » s'écrit, compte-tenu de $\;\alpha >0$, «$\;\alpha <{\dfrac {1}{Q\,{\sqrt {2}}}}\;$» ou, en reportant les expressions de $\;\alpha ={\dfrac {2}{\sqrt {a}}}\;$ et $\;Q={\dfrac {\sqrt {a}}{a+2}}$, la réécriture de la condition de coupe-bande $\;{\big (}$ou de réjection de fréquences${\big )}\;$ «$\;{\dfrac {2}{\sqrt {a}}}<{\dfrac {1}{{\dfrac {\sqrt {a}}{a+2}}\,{\sqrt {2}}}}\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;a+2>2\;{\sqrt {2}}\;$» soit finalement la condition de réjection en fréquences $\;{\big (}$ou de coupe-bande${\big )}\;$ suivante «$\;a={\dfrac {R}{r}}>2\left({\sqrt {2}}-1\right)\simeq 0,828\;$».

 

Détermination de la bande non passante à -3dB et de l'acuité de l'antirésonance

     Déterminer la bande non passante à $\;-3\;dB\;$ en fréquence réduite $\;B.n.P._{-3dB,\,{\text{réduite}}}\;$ puis

     Déterminer l'acuité de l'antirésonance «$\;{\mathcal {A_{\text{antirésonance}}}}={\dfrac {f_{0}}{B.n.P._{-3dB}}}={\dfrac {1}{B.n.P._{-3dB,\,{\text{réduite}}}}}\;$».

Solution

     La bande non passante à $\;-3\;dB\;$ étant, dans le cas général, égale à «$\;B.n.P._{-3dB}=f_{c,\,h}-f_{c,\,b}=f_{0}\;{\sqrt {{\dfrac {1}{Q^{2}}}-2\,\alpha ^{2}}}\;$», elle se réécrit ici, avec $\;\alpha ={\dfrac {2}{\sqrt {a}}}\;$ et $\;Q={\dfrac {\sqrt {a}}{a+2}}$,
     La bande non passante à $\;\color {transparent}{-3\;dB}\;$ étant, «$\;B.n.P._{-3dB}=f_{0}\;{\sqrt {{\dfrac {\left(a+2\right)^{2}}{a}}-{\dfrac {8}{a}}}}=f_{0}\;{\sqrt {\dfrac {a^{2}+4\,a-4}{a}}}\;$» soit finalement une bande non passante à $\;-3\;dB$ égale à «$\;B.n.P._{-3dB}=f_{0}\;{\sqrt {\dfrac {a^{2}+4\,a-4}{a}}}={\dfrac {1}{2\,\pi \,\tau }}\;{\sqrt {\dfrac {a^{2}+4\,a-4}{a}}}\;$» ;

     on en déduit l'acuité de l'antirésonance «$\;{\mathcal {A}}_{\text{antirésonance}}={\dfrac {f_{0}}{B.n.P._{-3dB}}}={\dfrac {1}{\sqrt {{\dfrac {1}{Q^{2}}}-2\,\alpha ^{2}}}}\;$» se réécrivant avec $\;Q={\dfrac {\sqrt {a}}{a+2}}\;$ selon «$\;{\mathcal {A}}_{\text{antirésonance}}={\dfrac {f_{0}}{B.n.P._{-3dB}}}={\sqrt {\dfrac {a}{a^{2}+4\,a-4}}}\;$».

 

Lien entre « passe-bande » et « coupe-bande de gain minimal non nul » de même fréquence propre

     Déterminer le lien entre un « passe-bande » et « coupe-bande de gain minimal non nul » de même fréquence propre.

Solution

     On peut réécrire la fonction de transfert « du type coupe-bande du 2^ème ordre avec gain minimal non nul » exprimée sous sa forme canonique réduite usuelle «$\;{\underline {H_{{\text{coupe-bande à gain minimal }}\neq 0}}}(j\,x)\;$» selon «$\;{\underline {H_{{\text{coupe-bande à gain minimal }}\neq 0}}}(j\,x)={\dfrac {H_{0}\left(1-x^{2}+j\,\alpha \,x\right)}{1-x^{2}+j\,{\dfrac {x}{Q}}}}=H_{0}-{\dfrac {j\,H_{0}\left({\dfrac {1}{Q}}-\alpha \right)x}{1-x^{2}+j\,{\dfrac {x}{Q}}}}\;$»
     où la fonction de transfert que l'on ôte à $\;H_{0}\;$ est celle d'un 2^ème ordre « du type réponse en tension aux bornes du conducteur ohmique d'un $\;R\,L\,C\;$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » écrite sous sa forme canonique réduite usuelle selon «$\;{\underline {H_{\text{passe-bande}}}}(j\,x)={\dfrac {j\,H_{0}\left({\dfrac {1}{Q}}-\alpha \right)x}{1-x^{2}+j\,{\dfrac {x}{Q}}}}\;$» $\;{\big (}$c'est celle d'un passe-bande à fréquence de résonance égale à la fréquence propre du filtre${\big )}\;$ d'où «$\;{\underline {H_{{\text{coupe-bande à gain minimal }}\neq 0,\;{\text{d'antirésonance }}x=1}}}(j\,x)=H_{0}-{\underline {H_{{\text{passe-bande de résonance }}x=1}}}(j\,x)\;$» ;

     en conclusion on peut obtenir « un coupe-bande de fréquence propre, de facteur de qualité et de transfert statique fixés » en retirant, « du passe-tout de même transfert statique », « un passe-bande de mêmes fréquence propre et facteur de qualité », le gain maximal du passe-bande fixant la valeur du gain minimal du coupe-bande.

 

Circuit à deux cellules R C

Schéma d'un Q.L.P. à deux cellules $\;R\,C\;$ alimenté en r.s.f. par une tension $\;e(t)$, de tension de sortie ouverte $\;s(t)$

     Le circuit ci-contre comportant deux conducteurs ohmiques de résistance identique $\;R\;$ et deux condensateurs supposés parfaits de capacité identique $\;C\;$ est alimenté en r.s.f. par la tension $\;e(t)=E_{0}\,{\sqrt {2}}\,\cos(\omega \,t)$ ;

     nous supposerons, dans tout l'exercice, que la sortie indiquée sur le schéma reste ouverte.

Détermination de la tension de sortie ouverte à B.F. et à H.F. par équivalence B.F. et H.F. des dipôles utilisés

     Sans faire de calcul, que dire de la tension de sortie $\;s(t)\;$ à B.F. ?

     Sans faire de calcul, que dire de la tension de sortie $\;s(t)\;$ à H.F. ?

Solution

     À B.F., les condensateurs étant équivalents à des interrupteurs ouverts, l'intensité du courant d'entrée $\;i_{e,\,B.F.}(t)\;$ est égale à celle de sortie laquelle est nulle $\;i_{s}(t)=0\;$ d'où
           À B.F., une intensité de courant d'entrée également nulle $\;i_{e,\,B.F.}(t)=0\;$ et par suite, une absence de tension aux bornes des conducteurs ohmiques ;
           À B.F., or la tension aux bornes des conducteurs ohmiques s'exprimant selon $\;{\underline {e}}(t)-{\underline {s}}(t)\;$ on en déduit «$\;{\underline {s_{B.F.}}}(t)={\underline {e_{B.F.}}}(t)\;$».

     À H.F., les condensateurs étant équivalents à des courts-circuits, on en déduit que la tension de sortie est nulle ou «$\;{\underline {s_{H.F.}}}(t)=0\;\;\forall \;{\underline {e_{H.F.}}}(t)\;$».

 

Détermination de l'amplification complexe en tension de sortie ouverte du filtre

     Par utilisation du théorème de Millman au point $\;A$, évaluer le potentiel efficace complexe en ce point $\;{\underline {V_{A}}}(j\,\omega )\;$ en fonction entre autres des tensions efficaces complexes d'entrée et de sortie.

     Par utilisation du théorème de Millman au point $\;S$, en déduire l'expression de la tension efficace complexe de sortie $\;{\underline {S}}(j\,\omega )\;$ en fonction de celle d'entrée $\;{\underline {E}}$, $\;R\;$ et $\;C$, puis

     donner l'expression de l'amplification complexe en tension de sortie ouverte du filtre $\;{\underline {A}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {S}}(j\,\omega )}{\underline {E}}}$.

Solution

     Il convient bien sûr de refaire le schéma ci-dessus en complexe associée au r.s.f. de pulsation $\;\omega \;$ en remplaçant les tensions instantanées d'entrée et de sortie sinusoïdales par leur expression instantanée complexe associée $\;{\big [}$avec la tension efficace complexe d'entrée égale à $\;E_{0}\;$ par absence de phase à l'origine de la tension instantanée sinusoïdale d'entrée${\big ]}\;$ et en représentant les condensateurs de capacité $\;C\;$ par un rectangle à côté duquel on met leur impédance complexe $\;{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )={\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}$.

     Le Théorème de Millman appliqué en $\;A\;$ ${\big (}$en valeurs efficaces complexes${\big )}\;$ nous conduit à «$\;{\underline {V_{A}}}(j\,\omega )={\dfrac {{\dfrac {E_{0}}{R}}+{\dfrac {{\underline {S}}(j\,\omega )}{R}}+{\dfrac {0}{\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}}}{{\dfrac {1}{R}}+{\dfrac {1}{R}}+{\dfrac {1}{\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}}}}\;$» soit «$\;{\underline {V_{A}}}(j\,\omega )={\dfrac {E_{0}+{\underline {S}}(j\,\omega )}{2+j\,R\,C\,\omega }}\;$» ;

     l'application du théorème de Millman en $\;S\;$ ${\big (}$toujours en valeurs efficaces complexes${\big )}\;$ donne «$\;{\underline {V_{S}}}(j\,\omega )={\dfrac {{\dfrac {{\underline {V_{A}}}(j\,\omega )}{R}}+{\dfrac {0}{\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}}}{{\dfrac {1}{R}}+{\dfrac {1}{\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}}}}\;$» lequel $\;={\underline {S}}(j\,\omega )\;$ soit «$\;{\underline {S}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {V_{A}}}(j\,\omega )}{1+j\,R\,C\,\omega }}\;$» ;

     on reporte alors l'expression de $\;{\underline {V_{A}}}(j\,\omega )\;$ dans celle de $\;{\underline {S}}(j\,\omega )\;$ et on trouve «$\;{\underline {S}}(j\,\omega )={\dfrac {\dfrac {E_{0}+{\underline {S}}(j\,\omega )}{2+j\,R\,C\,\omega }}{1+j\,R\,C\,\omega }}\;$» soit encore «$\;{\underline {S}}(j\,\omega )\left[\left(1+j\,R\,C\,\omega \right)\left(2+j\,R\,C\,\omega \right)\right]=E_{0}+{\underline {S}}(j\,\omega )\;$» ou
     on reporte alors l'expression de $\;\color {transparent}{{\underline {V_{A}}}(j\,\omega )}\;$ dans celle de $\;\color {transparent}{{\underline {S}}(j\,\omega )}\;$ et on trouve «$\;{\underline {S}}(j\,\omega )\left[\left(2+3\,j\,R\,C\,\omega -R^{2}\,C^{2}\,\omega ^{2}\right)-1\right]=E_{0}\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\underline {S}}(j\,\omega )={\dfrac {E_{0}}{1-R^{2}\,C^{2}\,\omega ^{2}+3\,j\,R\,C\,\omega }}\;$» dont on déduit l'amplification complexe en tension «$\;{\underline {A}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {S}}(j\,\omega )}{E_{0}}}={\dfrac {1}{1-R^{2}\,C^{2}\,\omega ^{2}+3\,j\,R\,C\,\omega }}\;$».

     Remarque : dans la mesure où la chaîne de deux étages $\;{\big (}$même en étant identiques${\big )}\;$ n'est pas fermée sur l'impédance complexe itérative de chaque étage ce n'était pas judicieux d'utiliser la décomposition du filtre en ses deux étages en écrivant «$\;{\underline {A}}(j\,\omega )={\underline {A_{2}}}(j\,\omega )\;{\underline {A_{1}}}(j\,\omega )\;$», la complication qui s'en suivrait, évoquée dans le paragraphe « simplification apparente mais, sauf cas très particulier, complication réelle » du chap.$7$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) » est explicitée ci-dessous, en effet

• si la détermination de l'amplification complexe en tension du 2^ème étage ne présente aucune difficulté dans la mesure où, la sortie étant ouverte, on reconnaît un P.D.T. en sortie ouverte d'où $\;{\big (}$en valeurs efficaces complexes${\big )}\;$ «$\;{\underline {S}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )}{R+{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )}}\,\left[{\underline {V_{A}}}(j\,\omega )\;{\cancel {-\;{\underline {V_{M}}}}}\right]={\dfrac {\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}{R+{\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}}}\;{\underline {V_{A}}}(j\,\omega )={\dfrac {1}{1+j\,R\,C\,\omega }}\;{\underline {V_{A}}}(j\,\omega )\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\underline {A_{2}}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {S}}(j\,\omega )}{{\underline {V_{A}}}(j\,\omega )\;{\cancel {-\;{\underline {V_{M}}}}}}}={\dfrac {1}{1+j\,R\,C\,\omega }}\;$»,
• celle du 1^er étage nécessite de déterminer au préalable son impédance complexe d'utilisation c'est-à-dire l'« impédance complexe d'entrée du 2^ème étage soit $\;{\underline {Z_{e,\,2}}}(j\,\omega )=$ $R+{\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}={\dfrac {1+j\,R\,C\,\omega }{j\,C\,\omega }}\;$» pour ensuite « reconnaître dans le 1^er étage un P.D.T. fermé sur $\;{\underline {Z_{e,\,2}}}(j\,\omega )\;$» que nous traiterons selon la méthode exposée dans le paragraphe « 1^ère résolution : remplacer l'impédance complexe du P.D.T. en parallèle sur l'impédance complexe de la charge de sortie par son impédance complexe équivalente » du chap.$3$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) » c'est-à-dire,
  celle du 1^er étage nécessite de évaluer « l'impédance complexe équivalente $\;{\underline {Z_{{\text{éq}},\,1}}}(j\,\omega )\;$ de l'association parallèle $\;{\underline {Z_{e,\,2}}}(j\,\omega )\;$ et $\;{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )\;$» selon «$\;{\underline {Z_{{\text{éq}},\,1}}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {Z_{e,\,2}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{e,\,2}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )}}\;$» ou «$\;{\underline {Z_{{\text{éq}},\,1}}}(j\,\omega )=$ ${\dfrac {{\dfrac {1+j\,R\,C\,\omega }{j\,C\,\omega }}\;{\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}}{{\dfrac {1+j\,R\,C\,\omega }{j\,C\,\omega }}+{\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}}}={\dfrac {1+j\,R\,C\,\omega }{j\,C\,\omega \left(2+j\,R\,C\,\omega \right)}}\;$» puis
  celle du 1^er étage nécessite de reconnaître un P.D.T. en sortie ouverte aux bornes de $\;{\underline {Z_{{\text{éq}},\,1}}}(j\,\omega )\;$ d'où $\;{\big (}$en valeurs efficaces complexes${\big )}\;$ «$\;{\underline {V_{A}}}(j\,\omega )\;{\cancel {-\;{\underline {V_{M}}}}}={\dfrac {{\underline {Z_{{\text{éq}},\,1}}}(j\,\omega )}{R+{\underline {Z_{{\text{éq}},\,1}}}(j\,\omega )}}\;E_{0}\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\underline {A_{1}}}(j\,\omega )=$ ${\dfrac {{\underline {V_{A}}}(j\,\omega )\;{\cancel {-\;{\underline {V_{M}}}}}}{E_{0}}}={\dfrac {{\underline {Z_{{\text{éq}},\,1}}}(j\,\omega )}{R+{\underline {Z_{{\text{éq}},\,1}}}(j\,\omega )}}={\dfrac {\dfrac {1+j\,R\,C\,\omega }{j\,C\,\omega \left(2+j\,R\,C\,\omega \right)}}{R+{\dfrac {1+j\,R\,C\,\omega }{j\,C\,\omega \left(2+j\,R\,C\,\omega \right)}}}}={\dfrac {1+j\,R\,C\,\omega }{1-R^{2}\,C^{2}\,\omega ^{2}+3\,j\,R\,C\,\omega }}\;$» et
• finalement «$\;{\underline {A}}(j\,\omega )={\underline {A_{2}}}(j\,\omega )\;{\underline {A_{1}}}(j\,\omega )={\dfrac {1}{1+j\,R\,C\,\omega }}\;{\dfrac {1+j\,R\,C\,\omega }{1-R^{2}\,C^{2}\,\omega ^{2}+3\,j\,R\,C\,\omega }}={\dfrac {1}{1-R^{2}\,C^{2}\,\omega ^{2}+3\,j\,R\,C\,\omega }}\;$» C.Q.F.V..

 

Vérification des résultats de la 1^ère question

     Retrouver les résultats de la 1^ère question.

Solution

     À B.F. on a «$\;{\underline {A}}(j\,\omega )\sim 1\;$» en conservant le terme de plus grand module du dénominateur soit «$\;{\underline {S_{B.F.}}}(j\,\omega )\sim E_{0}\;$ en valeurs efficaces complexes » ou
           À B.F. on a «$\;\color {transparent}{{\underline {A}}(j\,\omega )\sim 1}\;$» en conservant le terme de plus grand module du dénominateur soit «$\;{\underline {s_{B.F.}}}(t)\sim {\underline {e_{B.F.}}}(t)\;$ en valeurs instantanées complexes » C.Q.F.V. ;

     à H.F. on a «$\;{\underline {A}}(j\,\omega )\sim {\dfrac {1}{-R^{2}\,C^{2}\,\omega ^{2}}}\;$» en conservant le terme de plus grand module du dénominateur soit «$\;{\underline {S_{H.F.}}}(j\,\omega )\sim -{\dfrac {E_{0}}{R^{2}\,C^{2}\,\omega ^{2}}}\rightarrow 0\;$ quand $\;\omega \rightarrow +\infty \;$ en valeurs efficaces complexes » ou
           À H.F. on a «$\;\color {transparent}{{\underline {A}}(j\,\omega )\sim {\dfrac {1}{-R^{2}\,C^{2}\,\omega ^{2}}}}\;$» en conservant le terme de plus grand module du dénominateur soit «$\;{\underline {s_{H.F.}}}(t)\sim 0\;$ quand $\;\omega \rightarrow +\infty \;$ en valeurs instantanées complexes » C.Q.F.V..

 

Réduction canonique de la fonction de transfert du filtre et nature de ce dernier

     Faire une réduction canonique de l'amplification complexe en tension de sortie ouverte $\;{\underline {A}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {S}}(j\,\omega )}{\underline {E}}}\;$ et

     déterminer la nature du filtre.

Solution

     À partir de «$\;{\underline {A}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {S}}(j\,\omega )}{E_{0}}}={\dfrac {1}{1-R^{2}\,C^{2}\,\omega ^{2}+3\,j\,R\,C\,\omega }}\;$» on vérifie qu'il s'agit d'une fonction de transfert $\;{\big (}$amplification complexe en tension${\big )}\;$ de 2^ème ordre « du type réponse en $\;u_{C}(t)\;$ d'un $\;R\,L\,C\;$ série soumis à une tension de valeur efficace constante », de forme canonique réduite usuelle «$\;{\underline {A}}(j\,x)={\dfrac {A_{0}}{1-x^{2}+j\,{\dfrac {x}{Q}}}}\;$» dans laquelle «$\;x={\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}\;$ est la pulsation réduite » avec «$\;\omega _{0}\;$ la pulsation propre », «$\;Q\;$ étant le facteur de qualité » et «$\;A_{0}\;$ le transfert statique $\;{\big (}$ou amplification statique en tension${\big )}\;$» ;

     l'identification du « dénominateur de la fonction de transfert écrite sous forme canonique réduite usuelle avec $\;1-x^{2}+j\,{\dfrac {x}{Q}}\;$ c'est-à-dire avec $\;1-\left({\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}\right)^{\!\!2}+j\,{\dfrac {\omega }{Q\;\omega _{0}}}\;$» nous permet d'obtenir la réduction canonique du l'amplification complexe en tension d'où :

• la « pulsation propre $\;\omega _{0}\in \mathbb {R} ^{+\,*}\;$ homogène à une pulsation » par identification du terme en $\;\omega ^{2}\;$ soit $\;-R^{2}\,C^{2}\,\omega ^{2}=-{\dfrac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}\;$ d'où «$\;\omega _{0}={\dfrac {1}{R\;C}}\;$» et
• le « facteur de qualité $\;Q\in \mathbb {R} ^{+\,*}\;$ sans dimension » par identification du terme en $\;\omega \;$ soit $\;j\,3\,R\,C\,\omega =j\,{\dfrac {\omega }{Q\,\omega _{0}}}\;$ d'où «$\;Q={\dfrac {1}{3\,R\,C\,\omega _{0}}}\;$» ou,
  le « facteur de qualité $\;\color {transparent}{Q\in \mathbb {R} ^{+\,*}}\;$ sans dimension » avec la définition de la pulsation propre $\;\omega _{0}={\dfrac {1}{R\;C}}\;$ $\Rightarrow$ $\;R\,C\,\omega _{0}=1$, «$\;Q={\dfrac {1}{3}}\;$» ;

     le numérateur de la fonction de transfert définit le « transfert statique $\;A_{0}=1\;$».

« le facteur de qualité $\;Q={\dfrac {1}{3}}\;$ étant inférieur à $\;{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\;$», on en déduit qu'il s'agit d'un « passe-bas ».

 

Tracé du diagramme de Bode du filtre

     Tracer le diagramme de Bode du filtre en fonction de la fréquence réduite.

Solution

     Le filtre étant un passe-bas, le diagramme de Bode est celui vu dans le paragraphe « fonction de transfert du 2^ème ordre “ du type réponse en tension aux bornes du condensateur d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable ” pour un facteur de qualité $\;\lesssim {\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\;$» du chap.$7$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) » avec $\;H_{0}=1\;$ à savoir :

     $\;\succ \;$ pour la courbe de gain :

• « une asymptote B.F. de pente nulle », plus exactement avec $\;A_{0}=1$, d'« équation $\;G_{dB,\,{\text{asymptote}}\,B.F.}=0\;$»,
• « une asymptote H.F. de pente $\;-40\,dB\,/\,{\text{décade}}\;$», plus exactement d'« équation $\;G_{dB,\,{\text{asymptote}}\,H.F.}=-40\,\log(x)\;$»,
• avec, « pour la pulsation réduite propre $\;x_{0}=1$, une valeur $\;G_{dB}(x_{0}=1)=20\,\log \!\left[Q\right]=20\,\log \!\left[{\dfrac {1}{3}}\right]\simeq -9,5\,dB\;$»,
• voir le paragraphe « tracé de la courbe de gain du diagramme de Bode (d'un 2^ème ordre du “ type réponse en u_C d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable ”) » du chap.$7$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) » ;

     $\;\succ \;$ pour la courbe de phase :

• « une asymptote B.F. de valeur nulle », plus exactement d'« équation $\;\varphi _{{\text{asymptote}}\,B.F.}=0\;$»,
• « une asymptote H.F. de valeur $\;-\pi \;$», plus exactement d'« équation $\;\varphi _{{\text{asymptote}}\,H.F.}=-\pi \;$»,
• avec, « à la fréquence réduite propre $\;x_{0}=1$, la valeur $\;\varphi (x_{0}=1)=-{\dfrac {\pi }{2}}\;$»,
• voir le paragraphe « tracé de la courbe de phase du diagramme de Bode (d'un 2^ème ordre du “ type réponse en u_C d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable ”) » du chap.$7$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».