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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Polynômes annulateurs de nombres sous la forme cosinus ou tangente : Polynômes annulateurs de nombres de la forme tan(kπ╱n)
Polynômes annulateurs de nombres sous la forme cosinus ou tangente/Polynômes annulateurs de nombres de la forme tan(kπ╱n) », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Ci-dessous se trouvent, dans l’ordre croissant des degrés sur
des nombres, les polynômes minimaux sur
ou
(ou sur
lorsque rien n'est précisé) de quelques nombres de la forme
pour
et k premier avec n.
Remarquons que contrairement à
, le nombre algébrique
n'est pas toujours un entier algébrique : Niven donne l'exemple de
et Calcut ajoute l'exemple
, dont il explicite le polynôme minimal. D'autres exemples sont
pour
.
Par des calculs de degrés d'extensions, on sait que le degré (sur
) de
, si n est > 2 et ≠ 4 et k premier avec n, vaut :
si n n'est pas divisible par 4 ;
si n est divisible par 4,
où
est l'indicatrice d'Euler.
Degré de
pour 3 ≤ n ≤ 143
n =
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11
|
0+
|
|
|
|
2 |
1 |
4 |
2 |
6 |
2 |
6 |
4 |
10
|
12+
|
2 |
12 |
6 |
8 |
4 |
16 |
6 |
18 |
4 |
12 |
10 |
22
|
24+
|
4 |
20 |
12 |
18 |
6 |
28 |
8 |
30 |
8 |
20 |
16 |
24
|
36+
|
6 |
36 |
18 |
24 |
8 |
40 |
12 |
42 |
10 |
24 |
22 |
46
|
48+
|
8 |
42 |
20 |
32 |
12 |
52 |
18 |
40 |
12 |
36 |
28 |
58
|
60+
|
8 |
60 |
30 |
36 |
16 |
48 |
20 |
66 |
16 |
44 |
24 |
70
|
72+
|
12 |
72 |
36 |
40 |
18 |
60 |
24 |
78 |
16 |
54 |
40 |
82
|
84+
|
12 |
64 |
42 |
56 |
20 |
88 |
24 |
72 |
22 |
60 |
46 |
72
|
96+
|
16 |
96 |
42 |
60 |
20 |
100 |
32 |
102 |
24 |
48 |
52 |
106
|
108+
|
18 |
108 |
40 |
72 |
24 |
112 |
36 |
88 |
28 |
72 |
58 |
96
|
120+
|
16 |
110 |
60 |
80 |
30 |
100 |
36 |
126 |
32 |
84 |
48 |
130
|
132+
|
20 |
108 |
66 |
72 |
32 |
136 |
44 |
138 |
24 |
92 |
70 |
120
|
Dans ce premier cas, il est très facile de déduire le polynôme minimal de
de celui de
, en utilisant l'identité
. On construit ainsi un polynôme unitaire
de degré
ayant pour racines les
nombres
, pour k premier avec n et
(ou
). Vu le degré de ces nombres,
est leur polynôme minimal.
Début de l'exemple
Fin de l'exemple
Dans ce second cas
, le degré des
est moitié moindre donc le polynôme
calculé précédemment n'est plus irréductible :
,
les deux facteurs irréductibles étant liés par
![{\displaystyle \Psi _{n,-}(X)=(-1)^{\varphi (n)/2}\Psi _{n,+}(-X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ea1badcf96e5bd814ba8127b63a0f23d9a64119)
et déterminés de la façon suivante.
Les
angles
considérés vérifient toujours
, mais aussi (k étant premier avec 4m donc impair)
. Parmi eux, la moitié — ceux pour lesquels
— vérifient
(les autres — leur opposés — vérifiant donc
). Or
s'exprime en fonction de
à l'aide d'un polynôme de Tchebychev de seconde espèce :
![{\displaystyle \sin(2m\theta )=\sin(2\theta )U_{m-1}\left(\cos(2\theta )\right)={\frac {2t}{1+t^{2}}}U_{m-1}\left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b98cb5838a5d22586f78242972d89b94f37ecbaf)
Leur polynôme minimal est donc le PGCD de polynômes :
.
Début de l'exemple
Exemples : n = 8 et n = 12
.
.
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Psi _{8}(X)&=2\left(1+X^{2}\right)^{2}C_{8}\left({\frac {1-X^{2}}{1+X^{2}}}\right)\\&=2(1-X^{2})^{2}-(1+X^{2})^{2}\\&=X^{4}-6X^{2}+1.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b27a3721c9758515a6cbffa604b551b02c10a554)
![{\displaystyle {\begin{aligned}2X(1+X^{2})U_{1}\left({\frac {1-X^{2}}{1+X^{2}}}\right)-(1+X^{2})^{2}&=4X(1-X^{2})-(1+X^{2})^{2}\\&=-X^{4}-4X^{3}-2X^{2}+4X-1.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93b35f0dbe947a5bb6f1c498c0e9868092d6f5c9)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Psi _{8,+}(X)&=\operatorname {PGCD} \left(\Psi _{8}(X),-X^{4}-4X^{3}-2X^{2}+4X-1\right)\\&=X^{2}+2X-1.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a9cd3871bfab5aa293c7b56fd05ffed9dfafbe2)
- Le polynôme minimal de
est donc
si
ou
, et
si
ou
. On peut vérifier que
.
.
.
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Psi _{12}(X)&=4\left(1+X^{2}\right)^{2}C_{12}\left({\frac {1-X^{2}}{1+X^{2}}}\right)\\&=4(1-X^{2})^{2}-3(1+X^{2})^{2}\\&=X^{4}-14X^{2}+1.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bae70072f7bd775e454c5839e1dcb386bc8ec68a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}2X(1+X^{2})^{2}U_{2}\left({\frac {1-X^{2}}{1+X^{2}}}\right)-(1+X^{2})^{3}&=2X[4(1-X^{2})^{2}-(1+X^{2})^{2}]-(1+X^{2})^{3}\\&=-X^{6}+6X^{5}-3X^{4}-20X^{3}-3X^{2}+6X-1.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/609da48c7d2446129b4566cbcc493443ccb51631)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Psi _{12,+}(X)&=\operatorname {PGCD} \left(\Psi _{12}(X),-X^{6}+6X^{5}-3X^{4}-20X^{3}-3X^{2}+6X-1\right)\\&=X^{2}-4X+1.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60b2db23cb5b6aa571671f854e7520c01f04f63c)
- Le polynôme minimal de
est donc
si
ou
, et
si
ou
. On peut vérifier que
.
Fin de l'exemple
Nous éviterons les redondances dans la liste ci-dessous, en remarquant que si
est le polynôme minimal sur K de
,
alors
- celui de son opposé,
, est
;
- celui de son inverse,
, est
.
Le cas
avec
impair se ramène ainsi au cas
.
Le polynôme minimal de
est
.
.
![{\displaystyle X^{2}-3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4828329b80ab6464ed32e1291133a178f745d810) est le polynôme minimal des nombres :
et son opposé.
|
![{\displaystyle X^{2}+2X-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cb560dfc4a960fd9ef1d32141e4b5c8e5b56e2d) est le polynôme minimal des nombres :
et l'opposé de son inverse.
|
![{\displaystyle X^{2}-4X+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a0e48b4a1e3a6af6ba92bd2f459abf137e4705e) est le polynôme minimal des nombres :
et son inverse.
|
.
![{\displaystyle X^{4}-10X^{2}+5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fea7165fa8b7df3df5059f2607fa830606ffe3e) est le polynôme minimal des nombres :
et leurs opposés.
|
![{\displaystyle X^{2}+2X(1+{\sqrt {2}})-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f92f16dd1817cf5bc1a274d1c5ccbae776077ecd) est le polynôme minimal sur des nombres :
et l'opposé de son inverse.
|
![{\displaystyle X^{2}-2X(1-{\sqrt {2}})-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51ce8d634bbe2f3cf96ec09ede0dffe5b409258e) est le polynôme minimal sur des nombres :
et l'opposé de son inverse.
|
![{\displaystyle X^{4}-4X^{3}-14X^{2}-4X+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5db6b553478c21a13d57b49adb66db2882035de5) est le polynôme minimal des nombres :
et leurs inverses.
|
![{\displaystyle X^{4}+8X^{3}+2X^{2}-8X+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81e2c93f29b74405adc216611e8f48c68a66b96d) est le polynôme minimal des nombres :
.
|
.
![{\displaystyle X^{3}+X^{2}{\sqrt {7}}-7X+{\sqrt {7}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5279f21b1cf96b6e2bc697e29ce8f1789d0abfcb) est le polynôme minimal sur des nombres :
.
|
![{\displaystyle X^{3}-3X^{2}{\sqrt {3}}-3X+{\sqrt {3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8282b183766ff8d16a7fe756d3dd6a5b2a949e8) est le polynôme minimal sur des nombres :
.
|
![{\displaystyle X^{3}-(4-{\sqrt {7}})X^{2}-(11-4{\sqrt {7}})X+8-3{\sqrt {7}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e772d00c3d84070f41279ca377053c89c475ac8) est le polynôme minimal sur des nombres :
.
|
![{\displaystyle X^{3}-3(2-{\sqrt {3}})X^{2}-3X+2-{\sqrt {3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41b19a0bb93ba2ca313e872afe613a486923c2f2) est le polynôme minimal sur des nombres :
.
|
![{\displaystyle X^{4}-6X^{3}{\sqrt {3}}+8X^{2}+2X{\sqrt {3}}-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c81ce42933cc0a9d4511a09ecd697275e1469ce8) est le polynôme minimal sur des nombres :
.
|
n=32,40,48,60
|
![{\displaystyle X^{5}-3X^{4}{\sqrt {11}}+22X^{3}-2X^{2}{\sqrt {11}}-11X+{\sqrt {11}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46cb3dbc5455f9059c4c7b88f527ca1be618c783) est le polynôme minimal sur des nombres :
.
|
n=44
|
.
![{\displaystyle (2{\sqrt {7}}+3{\sqrt {3}})x^{3}+x^{2}-(2{\sqrt {7}}+{\sqrt {3}})x+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9d090374d53b7aa4dedc544d34708729dea3f27) est (à un facteur près) le polynôme minimal sur des nombres :
.
|
![{\displaystyle (2{\sqrt {7}}-3{\sqrt {3}})x^{3}+x^{2}-(2{\sqrt {7}}-{\sqrt {3}})x+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47e9dc501bc8aa2d340ef81e46c386f8db2d33ba) est (à un facteur près) le polynôme minimal sur des nombres :
.
|
n=13,52,56,72,84
|
![{\displaystyle X^{5}-5X^{4}{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}-10X^{3}+10X^{2}{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}+5x-{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/085e017a886b00aa44465e7aa8687ac08904baf5) est le polynôme minimal sur des nombres :
.
|
![{\displaystyle X^{5}-5X^{4}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}-10X^{3}+10X^{2}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+5X-{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd8e69eb5b1f358430e5caa89e428ad333a1ba7d) est le polynôme minimal sur des nombres :
.
|
Jack S. Calcut, « Rationality and the Tangent Function », sur Oberlin College