Recherche:Polynômes annulateurs de nombres sous la forme cosinus ou tangente/Polynômes annulateurs de nombres de la forme tan(kπ╱n)

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Ci-dessous se trouvent, dans l’ordre croissant des degrés sur $\mathbb{Q}$ des nombres, les polynômes minimaux sur $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ ou $\mathbb{Q}({\sqrt{d}}_1,{\sqrt{d}}_2)$ (ou sur $\mathbb{Q}$ lorsque rien n'est précisé) de quelques nombres de la forme

$\tan (k\pi /n)$ pour $0<k<n$ et k premier avec n.

Remarquons que contrairement à $2\cos (r\pi )$, le nombre algébrique $2\tan (r\pi )$ n'est pas toujours un entier algébrique : Niven donne l'exemple de $2\tan (\pi /6)$ et Calcut ajoute l'exemple $2\tan (\pi /50)$, dont il explicite le polynôme minimal. D'autres exemples sont $2\tan (\pi /n)$ pour $n=10,14,18,22$.

Degré de tan(rπ)

Par des calculs de degrés d'extensions, on sait que le degré (sur $\mathbb{Q}$) de $\tan (k\pi /n)$, si n est > 2 et ≠ 4 et k premier avec n, vaut :

• $\phi (n)$ si n n'est pas divisible par 4 ;
• $\frac{\phi (n)}{2}$ si n est divisible par 4,

où $\phi$ est l'indicatrice d'Euler.

Degré de $\tan (k\pi /n)$ pour 3 ≤ n ≤ 143

n =	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
0+				2	1	4	2	6	2	6	4	10
12+	2	12	6	8	4	16	6	18	4	12	10	22
24+	4	20	12	18	6	28	8	30	8	20	16	24
36+	6	36	18	24	8	40	12	42	10	24	22	46
48+	8	42	20	32	12	52	18	40	12	36	28	58
60+	8	60	30	36	16	48	20	66	16	44	24	70
72+	12	72	36	40	18	60	24	78	16	54	40	82
84+	12	64	42	56	20	88	24	72	22	60	46	72
96+	16	96	42	60	20	100	32	102	24	48	52	106
108+	18	108	40	72	24	112	36	88	28	72	58	96
120+	16	110	60	80	30	100	36	126	32	84	48	130
132+	20	108	66	72	32	136	44	138	24	92	70	120

Polynôme minimal de tan(kπ/n)

Cas n non divisible par 4

Dans ce premier cas, il est très facile de déduire le polynôme minimal de $\tan (k\pi /n)$ de celui de $\cos (2k\pi /n)$, en utilisant l'identité $\cos 2\theta =\frac{1-{\tan }^2\theta }{1+{\tan }^2\theta }$. On construit ainsi un polynôme unitaire ${\mathrm{\Psi }}_n(X)\in \mathbb{Q}[X]$ de degré $\phi (n)$ ayant pour racines les $\phi (n)$ nombres $\tan (k\pi /n)$, pour k premier avec n et $0<k<n$ (ou $-n/2<k<n/2$). Vu le degré de ces nombres, ${\Psi }_n$ est leur polynôme minimal.

Début de l'exemple

Exemple : n = 11

$\phi (11)=10$ et le polynôme minimal des 10 nombres $\pm \tan (k\pi /11)$ ($1\le k\le 5$) se déduit de celui de $\cos (2\pi /11)$ qui, d'après les deux chapitres précédents, est

$C_{11}(X)=X^5+\frac{1}{2}{X}^4-X^3-\frac{3}{8}{X}^2+\frac{3}{16}X+\frac{1}{32}$.

Les 10 nombres en question ont pour polynôme minimal commun :

${\mathrm{\Psi }}_{11}(X)=-32{(1+X^2)}^5{C}_{11}\left(\frac{1-X^2}{1+X^2}\right)=X^{10}-55X^8+330X^6-462X^4+165X^2-11$.

Détail des calculs

$C_{11}(X)=2^{-5}[(2X{)}^5+(2X{)}^4-4(2X{)}^3-3(2X{)}^2+3(2X)+1]=X^5+\frac{1}{2}{X}^4-X^3-\frac{3}{8}{X}^2+\frac{3}{16}X+\frac{1}{32}$.

$\begin{array}{cc}{(1+X^2)}^5{C}_{11}\left(\frac{1-X^2}{1+X^2}\right)& ={(1-X^2)}^5+\frac{1}{2}{(1-X^2)}^4(1+X^2)-{(1-X^2)}^3{(1+X^2)}^2-\frac{3}{8}{(1-X^2)}^2{(1+X^2)}^3+\frac{3}{16}(1-X^2){(1+X^2)}^4+\frac{1}{32}{(1+X^2)}^5\\ & =1-5X^2+10X^4-10X^6+5X^8-X^{10}\\ & +\frac{1}{2}(1-3X^2+2X^4+2X^6-3X^8+X^{10})\\ & -(1-X^2-2X^4+2X^6+X^8-X^{10})\\ & -\frac{3}{8}(1+X^2-2X^4-2X^6+X^8+X^{10})\\ & +\frac{3}{16}(1+3X^2+2X^4-2X^6-3X^8-X^{10})\\ & +\frac{1}{32}(1+5X^2+10X^4+10X^6+5X^8+X^{10})\\ & =X^{10}(-1+1/2+1-3/8-3/16+1/32)\\ & +X^8(5-3/2-1-3/8-9/16+5/32)\\ & +X^6(-10+1-2+3/4-3/8+5/16)\\ & +X^4(10+1+2+3/4+3/8+5/16)\\ & +X^2(-5-3/2+1-3/8+9/16+5/32)\\ & +1+1/2-1-3/8+3/16+1/32\\ & =X^{10}(-1/32)+X^8(55/32)+X^6(-165/16)+X^4(231/16)+X^2(-165/32)+11/32\\ & =-\frac{1}{32}(X^{10}-55X^8+330X^6-462X^4+165X^2-11)\end{array}$

 

Fin de l'exemple

Cas n divisible par 4

Dans ce second cas $n=4m$, le degré des $\tan (k\pi /n)$ est moitié moindre donc le polynôme ${\Psi }_n$ calculé précédemment n'est plus irréductible :

${\mathrm{\Psi }}_n={\mathrm{\Psi }}_{n,+}\times {\mathrm{\Psi }}_{n,-}$,

les deux facteurs irréductibles étant liés par

${\mathrm{\Psi }}_{n,-}(X)=(-1{)}^{\phi (n)/2}{\mathrm{\Psi }}_{n,+}(-X)$

et déterminés de la façon suivante.

Les $\phi (n)$ angles $\theta =\frac{k\pi }{n}(\mathrm{mod}\pi )$ considérés vérifient toujours $C_n(\cos (2\theta ))=0$, mais aussi (k étant premier avec 4m donc impair) $\sin (2m\theta )=\sin (k\pi /2)=(-1{)}^{(k-1)/2}$. Parmi eux, la moitié — ceux pour lesquels $k\equiv 1mod4$ — vérifient $\sin (2m\theta )=1$ (les autres — leur opposés — vérifiant donc $\sin (2m\theta )=-1$). Or $\sin (2m\theta )$ s'exprime en fonction de $t=\tan \theta$ à l'aide d'un polynôme de Tchebychev de seconde espèce :

$\sin (2m\theta )=\sin (2\theta )U_{m-1}(\cos (2\theta ))=\frac{2t}{1+t^2}{U}_{m-1}\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)$

Leur polynôme minimal est donc le PGCD de polynômes :

${\mathrm{\Psi }}_{n,+}(X)=\mathrm{PGCD}({\mathrm{\Psi }}_n(X),2X(1+X^2{)}^{m-1}{U}_{m-1}\left(\frac{1-X^2}{1+X^2}\right)-(1+X^2{)}^m)$.

Début de l'exemple

Exemples : n = 8 et n = 12

• $n=8,m=2$.

  $C_8(X)=2^{-2}[(2X{)}^2-2]=X^2-\frac{1}{2}$.

  $\begin{array}{cc}{\mathrm{\Psi }}_8(X)& =2{(1+X^2)}^2{C}_8\left(\frac{1-X^2}{1+X^2}\right)\\ & =2(1-X^2{)}^2-(1+X^2{)}^2\\ & =X^4-6X^2+1.\end{array}$

  $\begin{array}{cc}2X(1+X^2)U_1\left(\frac{1-X^2}{1+X^2}\right)-(1+X^2{)}^2& =4X(1-X^2)-(1+X^2{)}^2\\ & =-X^4-4X^3-2X^2+4X-1.\end{array}$

  $\begin{array}{cc}{\mathrm{\Psi }}_{8,+}(X)& =\mathrm{PGCD}({\mathrm{\Psi }}_8(X),-X^4-4X^3-2X^2+4X-1)\\ & =X^2+2X-1.\end{array}$

  Le polynôme minimal de $\tan (k\pi /8)$ est donc $X^2+2X-1$ si $k=1$ ou $-3$, et $X^2-2X-1$ si $k=-1$ ou $3$. On peut vérifier que $(X^2+2X-1)(X^2-2X-1)={\mathrm{\Psi }}_8(X)$.

• $n=12,m=3$.

  $C_{12}(X)=2^{-2}[(2X{)}^2-3]=X^2-\frac{3}{4}$.

  $\begin{array}{cc}{\mathrm{\Psi }}_{12}(X)& =4{(1+X^2)}^2{C}_{12}\left(\frac{1-X^2}{1+X^2}\right)\\ & =4(1-X^2{)}^2-3(1+X^2{)}^2\\ & =X^4-14X^2+1.\end{array}$

  $\begin{array}{cc}2X(1+X^2{)}^2{U}_2\left(\frac{1-X^2}{1+X^2}\right)-(1+X^2{)}^3& =2X[4(1-X^2{)}^2-(1+X^2{)}^2]-(1+X^2{)}^3\\ & =-X^6+6X^5-3X^4-20X^3-3X^2+6X-1.\end{array}$

  $\begin{array}{cc}{\mathrm{\Psi }}_{12,+}(X)& =\mathrm{PGCD}({\mathrm{\Psi }}_{12}(X),-X^6+6X^5-3X^4-20X^3-3X^2+6X-1)\\ & =X^2-4X+1.\end{array}$

  Le polynôme minimal de $\tan (k\pi /12)$ est donc $X^2-4X+1$ si $k=1$ ou $5$, et $X^2+4X+1$ si $k=-1$ ou $-5$. On peut vérifier que $(X^2-4X+1)(X^2+4X+1)={\mathrm{\Psi }}_{12}(X)$.

Fin de l'exemple

Liste exhaustive jusqu'au degré 12

Nous éviterons les redondances dans la liste ci-dessous, en remarquant que si

$X^m+a_{m-1}{X}^{m-1}+a_{m-2}{X}^{m-2}+\dots +a_0$ est le polynôme minimal sur K de $\tan (k\pi /n)$,

alors

• celui de son opposé, $\tan \frac{(n-k)\pi }{n}$, est

  $X^m-a_{m-1}{X}^{m-1}+a_{m-2}{X}^{m-2}+\dots +(-1{)}^m{a}_0$ ;

• celui de son inverse, $\tan \frac{(n-2k)\pi }{2n}$, est

  $\frac{1}{a_0}+\frac{a_{m-1}}{a_0}X+\frac{a_{m-2}}{a_0}{X}^2+\dots +X^m$.

Le cas $n=2n^{\prime }$ avec $n^{\prime }$ impair se ramène ainsi au cas $n=n^{\prime }$.

Nombres rationnels

Le polynôme minimal de $\tan \frac{\pi }{4}$ est $X-1$.

Irrationnels quadratiques

$n=3,6,8,12$.

$X^2-3$ est le polynôme minimal des nombres : $\tan \frac{\pi }{3}$ et son opposé.	$X^2+2X-1$ est le polynôme minimal des nombres : $\tan \frac{\pi }{8}$ et l'opposé de son inverse.
$X^2-4X+1$ est le polynôme minimal des nombres : $\tan \frac{\pi }{12}$ et son inverse.

Nombres de degré 4

$n=5,10,16,20,24$.

$X^4-10X^2+5$ est le polynôme minimal des nombres : $\tan \frac{\pi }{5},\tan \frac{2\pi }{5}$ et leurs opposés.
$X^2+2X(1+\sqrt{2})-1$ est le polynôme minimal sur $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ des nombres : $\tan \frac{\pi }{16}$ et l'opposé de son inverse.	$X^2-2X(1-\sqrt{2})-1$ est le polynôme minimal sur $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ des nombres : $\tan \frac{3\pi }{16}$ et l'opposé de son inverse.
$X^4-4X^3-14X^2-4X+1$ est le polynôme minimal des nombres : $\tan \frac{\pi }{20},\tan \frac{13\pi }{20}$ et leurs inverses.	$X^4+8X^3+2X^2-8X+1$ est le polynôme minimal des nombres : $\tan \frac{\pi }{24},\tan \frac{5\pi }{24},\tan \frac{13\pi }{24},\tan \frac{17\pi }{24}$.

Nombres de degré 6

$n=7,9,14,18,28,36$.

$X^3+X^2\sqrt{7}-7X+\sqrt{7}$ est le polynôme minimal sur $\mathbb{Q}(\sqrt{7})$ des nombres : $\tan \frac{2^k\pi }{7},k=0,1,2$.	$X^3-3X^2\sqrt{3}-3X+\sqrt{3}$ est le polynôme minimal sur $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ des nombres : $\tan \frac{4^k\pi }{9},k=0,1,2$.
$X^3-(4-\sqrt{7})X^2-(11-4\sqrt{7})X+8-3\sqrt{7}$ est le polynôme minimal sur $\mathbb{Q}(\sqrt{7})$ des nombres : $\tan \frac{9^k\pi }{28},k=0,1,2$.	$X^3-3(2-\sqrt{3})X^2-3X+2-\sqrt{3}$ est le polynôme minimal sur $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ des nombres : $\tan \frac{13^k\pi }{36},k=0,1,2$.

Nombres de degré 8

$X^4-6X^3\sqrt{3}+8X^2+2X\sqrt{3}-1$ est le polynôme minimal sur $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ des nombres : $\tan \frac{7^k\pi }{15},k=0,1,2,3$.

n=32,40,48,60 Cette section est vide, insuffisamment détaillée ou incomplète. Votre aide est la bienvenue ! Comment faire ?

Nombres de degré 10

$n=11,22,44$

$X^5-3X^4\sqrt{11}+22X^3-2X^2\sqrt{11}-11X+\sqrt{11}$ est le polynôme minimal sur $\mathbb{Q}\left(\sqrt{11}\right)$ des nombres : $\tan \frac{3^k\pi }{11},k=0,1,2,3,4$.

n=44 Cette section est vide, insuffisamment détaillée ou incomplète. Votre aide est la bienvenue ! Comment faire ?

Nombres de degré 12

$n=13,21,26,42,52,56,72,84$.

$(2\sqrt{7}+3\sqrt{3})x^3+x^2-(2\sqrt{7}+\sqrt{3})x+1$ est (à un facteur près) le polynôme minimal sur $\mathbb{Q}(\sqrt{3},\sqrt{7})$ des nombres : $\tan \frac{4^k\pi }{21},k=0,1,2$.	$(2\sqrt{7}-3\sqrt{3})x^3+x^2-(2\sqrt{7}-\sqrt{3})x+1$ est (à un facteur près) le polynôme minimal sur $\mathbb{Q}(\sqrt{3},\sqrt{7})$ des nombres : $\tan \frac{2\times 4^k\pi }{21},k=0,1,2$.
n=13,52,56,72,84 Cette section est vide, insuffisamment détaillée ou incomplète. Votre aide est la bienvenue ! Comment faire ?

Exemples de nombres de degré 20

$X^5-5X^4\sqrt{5-2\sqrt{5}}-10X^3+10X^2\sqrt{5-2\sqrt{5}}+5x-\sqrt{5-2\sqrt{5}}$ est le polynôme minimal sur $\mathbb{Q}\left(\sqrt{5-2\sqrt{5}}\right)$ des nombres : $\tan \frac{6^k\pi }{25},k=0,1,2,3,4$.

$X^5-5X^4\sqrt{5+2\sqrt{5}}-10X^3+10X^2\sqrt{5+2\sqrt{5}}+5X-\sqrt{5+2\sqrt{5}}$ est le polynôme minimal sur $\mathbb{Q}\left(\sqrt{5-2\sqrt{5}}\right)$ des nombres : $\tan \frac{2\times 6^k\pi }{25},k=0,1,2,3,4$.

Lien externe

Jack S. Calcut, « Rationality and the Tangent Function », sur Oberlin College