Leçons de niveau 14

Équation du quatrième degré/Méthodes particulières de résolution

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Méthodes particulières de résolution
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Chapitre no 4
Leçon : Équation du quatrième degré
Chap. préc. : Fonctions polynômes du quatrième degré
Chap. suiv. : Méthode de Ferrari

Exercices :

Sur les méthodes particulières
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Équation du quatrième degré/Méthodes particulières de résolution
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Dans cette leçon, nous allons étudier quelques méthodes particulières de résolution des équations du quatrième degré. Nous attirons d'emblée l'attention du lecteur sur le fait que ces méthodes ne marchent que dans des cas très particuliers. L'avantage de ces méthodes sur les méthodes générales que nous verrons dans les chapitres suivants sera qu’elles sont plus simples à utiliser et donnent la plupart du temps les racines sous une forme plus agréable.

Résolution par la recherche d'une racine évidente[modifier | modifier le wikicode]

Nous commençons par rechercher une racine évidente et une fois celle-ci trouvée, nous nous ramenons, grâce à elle, à la résolution d’une équation du troisième degré.

Recherche d'une racine évidente (12)[modifier | modifier le wikicode]

Rechercher une racine évidente, c’est essayer de trouver une racine sans utiliser de méthodes sophistiquées. On essaye de remplacer x par des nombres simples jusqu'à ce que l’équation soit vérifiée. Heureusement, cette recherche est facilitée par la propriété suivante :




Par exemple, pour l’équation :

Nous essayerons seulement les nombres : 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6, qui sont les diviseurs du terme constant 6.

Pour l’équation :

Nous rajouterons, en plus des nombres précédents, les nombres :

Factorisation du premier membre (12)[modifier | modifier le wikicode]

Soit l'équation :

supposons que l’on ait réussit à lui trouver une racine simple sous la forme :

On peut alors utiliser le théorème suivant :

Début d’un théorème


Fin du théorème


Il ne nous reste plus qu’à résoudre l'équation :

qui est du troisième degré pour trouver les trois racines manquantes.

On aura ainsi complètement résolu une équation du quatrième degré.

Équation bicarrée du quatrième degré[modifier | modifier le wikicode]



Les équations bicarrées du quatrième degré :

se résolvent simplement en posant :

Nous voyons qu’elles s'écrivent alors :

Et nous nous sommes simplement ramenés à la résolution d'une équation de second degré.

Début d’un théorème


Fin du théorème


Équations réciproques du quatrième degré[modifier | modifier le wikicode]

Équations symétriques[modifier | modifier le wikicode]

Elles sont de la forme :

En divisant tous les termes par x2, on obtient :

Que l’on peut écrire :

Posons alors :

On a alors :

L'équation devient alors :

C'est-à-dire :

Et nous nous sommes ramenés à une équation du second degré qui nous donnera deux valeurs pour z. En portant respectivement ces deux valeurs de z dans :

Nous obtiendrons deux équations du second degré de la forme :

Chacune des deux équations nous donnant deux valeurs de x. Soit en tout quatre valeurs de x qui sont les solutions de l'équation que l’on avait à résoudre initialement.

Équations antisymétriques[modifier | modifier le wikicode]

Elles sont de la forme :

En divisant tous les termes par x2, on obtient :

Que l’on peut écrire :

Posons alors :

On a alors :

L'équation devient alors :

C'est-à-dire :

Et nous nous sommes ramenés à une équation du second degré qui nous donnera deux valeurs pour z. En portant respectivement ces deux valeurs de z dans :

Nous obtiendrons deux équations du second degré de la forme :

Chacune des deux équations nous donnant deux valeurs de x. Soit en tout quatre valeurs de x qui sont les solutions de l'équation que l’on avait à résoudre initialement.

Équations quasisymétriques[modifier | modifier le wikicode]

Elles généralisent les deux cas précédents et répondent à la définition suivante :




Nous voyons que ces équation peuvent s'écrire :

En divisant tous les termes par x2, on obtient :

Que l’on peut écrire :

Posons alors :

On a alors :

L'équation devient alors :

C'est-à-dire :

Et nous nous sommes ramenés à une équation du second degré qui nous donnera deux valeurs pour z. En portant respectivement ces deux valeurs de z dans :

Nous obtiendrons deux équations du second degré de la forme :

Chacune des deux équations nous donnant deux valeurs de x. Soit en tout quatre valeurs de x qui sont les solutions de l'équation que l’on avait à résoudre initialement.