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Exercice : Applications des intégrales sur un intervalle, du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe et des intégrales curvilignesOutils mathématiques pour la physique (PCSI)/Exercices/Applications des intégrales sur un intervalle, du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe et des intégrales curvilignes », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
On considère les champs de vecteurs
F
(
x
,
y
)
=
(
x
,
y
+
2
)
{\displaystyle {\bf {F}}(x,y)=(x,y+2)}
,
G
(
x
,
y
)
=
(
0
,
−
mg
)
{\displaystyle {\bf {G}}(x,y)=(0,-{\text{mg}})}
et
H
(
x
,
y
)
=
(
y
,
−
x
)
{\displaystyle {\bf {H}}(x,y)=(y,-x)}
.
Calculer les intégrales curvilignes de
F
{\displaystyle {\bf {F}}}
,
G
{\displaystyle {\bf {G}}}
et
H
{\displaystyle {\bf {H}}}
sur un arc de cycloïde :
x
=
t
−
sin
t
,
y
=
1
−
cos
t
,
0
≤
t
≤
2
π
{\displaystyle x=t-\sin t,\;y=1-\cos t,\;0\leq t\leq 2\pi }
.
Calculer l'intégrale, le long du même arc, de la fonction
f
:
R
2
→
R
,
(
x
,
y
)
↦
|
y
|
{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ,\,(x,y)\mapsto {\sqrt {|y|}}}
.
Solution
1.
∫
0
2
π
(
(
t
−
sin
t
)
(
1
−
cos
t
)
+
(
3
−
cos
t
)
sin
t
)
d
t
=
∫
0
2
π
(
t
−
t
cos
t
+
2
sin
t
)
d
t
=
2
π
2
−
[
t
sin
t
+
3
cos
t
]
0
2
π
=
2
π
2
{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\left((t-\sin t)(1-\cos t)+(3-\cos t)\sin t\right)\;\mathrm {d} t=\int _{0}^{2\pi }\left(t-t\cos t+2\sin t\right)\;\mathrm {d} t=2\pi ^{2}-\left[t\sin t+3\cos t\right]_{0}^{2\pi }=2\pi ^{2}}
.
−
mg
∫
0
2
π
sin
t
d
t
=
0
{\displaystyle -{\text{mg}}\int _{0}^{2\pi }\sin t\;\mathrm {d} t=0}
.
∫
0
2
π
(
(
1
−
cos
t
)
2
−
(
t
−
sin
t
)
sin
t
)
d
t
=
∫
0
2
π
(
2
−
2
cos
t
−
t
sin
t
)
d
t
=
4
π
−
0
+
[
t
cos
t
−
sin
t
]
0
2
π
=
6
π
{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\left((1-\cos t)^{2}-(t-\sin t)\sin t\right)\;\mathrm {d} t=\int _{0}^{2\pi }\left(2-2\cos t-t\sin t\right)\;\mathrm {d} t=4\pi -0+\left[t\cos t-\sin t\right]_{0}^{2\pi }=6\pi }
.
Mais l'énoncé est ambigu : peut-être ne signifie-t-il pas circulation, mais intégrale curviligne composante par composante, auquel cas on trouve (cf. Intégration de Riemann/Exercices/Calculs de longueurs#Exercice 2-4 pour l'élément de longueur) :
∫
0
2
π
(
t
−
sin
t
3
−
cos
t
)
2
sin
t
2
d
t
=
2
(
4
π
−
0
3
×
4
+
4
3
)
=
(
8
π
80
3
)
{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\begin{pmatrix}t-\sin t\\3-\cos t\end{pmatrix}}\;2\sin {\frac {t}{2}}\;\mathrm {d} t=2{\begin{pmatrix}4\pi -0\\3\times 4+{\frac {4}{3}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}8\pi \\{\frac {80}{3}}\end{pmatrix}}}
;
∫
0
2
π
(
0
−
m
g
)
2
sin
t
2
d
t
=
(
0
−
8
m
g
)
{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\begin{pmatrix}0\\-mg\end{pmatrix}}\;2\sin {\frac {t}{2}}\;\mathrm {d} t={\begin{pmatrix}0\\-8mg\end{pmatrix}}}
(ou directement :
(
0
−
m
g
)
×
longueur de la courbe
=
(
0
−
m
g
)
×
8
{\displaystyle {\begin{pmatrix}0\\-mg\end{pmatrix}}\times {\text{longueur de la courbe}}={\begin{pmatrix}0\\-mg\end{pmatrix}}\times 8}
).
∫
0
2
π
(
1
−
cos
t
sin
t
−
t
)
2
sin
t
2
d
t
=
(
32
3
−
8
π
)
{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\begin{pmatrix}1-\cos t\\\sin t-t\end{pmatrix}}\;2\sin {\frac {t}{2}}\;\mathrm {d} t={\begin{pmatrix}{\frac {32}{3}}\\-8\pi \end{pmatrix}}}
.
2.
∫
0
2
π
1
−
cos
t
2
sin
t
2
d
t
=
2
π
2
{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\sqrt {1-\cos t}}\;2\sin {\frac {t}{2}}\;\mathrm {d} t=2\pi {\sqrt {2}}}
.
Calculer le travail du champ vectoriel
V
=
(
x
y
,
y
z
,
x
z
)
{\displaystyle V=(xy,yz,xz)}
le long de la courbe
x
=
t
,
y
=
t
2
,
z
=
t
3
,
0
≤
t
≤
1
{\displaystyle x=t,\;y=t^{2},\;z=t^{3},\;0\leq t\leq 1}
.
Solution
∫
0
1
(
t
.
t
2
.1
+
t
2
.
t
3
.2
t
+
t
.
t
3
.3
t
2
)
d
t
∫
0
1
(
t
3
+
5
t
6
)
d
t
=
1
4
+
5
7
=
27
28
{\displaystyle \int _{0}^{1}\left(t.t^{2}.1+t^{2}.t^{3}.2t+t.t^{3}.3t^{2}\right)\;\mathrm {d} t\int _{0}^{1}\left(t^{3}+5t^{6}\right)\;\mathrm {d} t={\frac {1}{4}}+{\frac {5}{7}}={\frac {27}{28}}}
.
On considère la courbe
Γ
{\displaystyle \Gamma }
paramétrée par
γ
:
[
0
,
π
2
]
→
R
2
,
t
↦
(
cos
3
t
,
sin
3
t
)
{\displaystyle \gamma :\left[0,{\frac {\pi }{2}}\right]\to \mathbb {R} ^{2},\;t\mapsto (\cos ^{3}t,\sin ^{3}t)}
(voir à ce propos : Calcul différentiel/Exercices/Courbes paramétrées#Exercice 1 et Intégration de Riemann/Exercices/Calculs de longueurs#Exercice 2-4 ).
Soit
f
:
R
2
→
R
,
(
x
,
y
)
↦
x
{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ,\;(x,y)\mapsto x}
. Calculer
∫
Γ
f
d
γ
{\displaystyle \int _{\Gamma }f\,\mathrm {d} \gamma }
.
On considère le champ de vecteurs
F
:
R
2
→
R
2
,
(
x
,
y
)
↦
(
x
,
5
y
)
{\displaystyle F:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2},\;(x,y)\mapsto (x,5y)}
. Calculer
∫
Γ
⟨
F
,
d
γ
→
⟩
{\displaystyle \int _{\Gamma }\langle F,{\overrightarrow {\mathrm {d} \gamma }}\rangle }
.
Solution
(
x
′
)
2
+
(
y
′
)
2
=
(
−
3
cos
2
t
sin
t
)
2
+
(
3
sin
2
t
cos
t
)
2
=
(
3
cos
t
sin
t
)
2
{\displaystyle (x')^{2}+(y')^{2}=(-3\cos ^{2}t\sin t)^{2}+(3\sin ^{2}t\cos t)^{2}=(3\cos t\sin t)^{2}}
donc
∫
Γ
f
d
γ
=
∫
0
π
2
cos
3
t
|
3
cos
t
sin
t
|
d
t
=
3
∫
0
π
2
cos
4
t
sin
t
d
t
=
3
∫
1
0
u
4
(
−
d
u
)
=
3
5
{\displaystyle \int _{\Gamma }f\,\mathrm {d} \gamma =\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{3}t\left|3\cos t\sin t\right|\,\mathrm {d} t=3\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{4}t\sin t\,\mathrm {d} t=3\int _{1}^{0}u^{4}\,(-\mathrm {d} u)={\frac {3}{5}}}
.
∫
Γ
⟨
F
,
d
γ
→
⟩
=
∫
0
π
2
⟨
(
cos
3
t
,
5
sin
3
t
)
,
3
cos
t
sin
t
(
−
cos
t
,
sin
t
)
⟩
d
t
=
3
∫
0
π
2
(
−
cos
5
t
sin
t
+
5
sin
5
t
cos
t
)
d
t
=
3
∫
1
0
u
5
d
u
+
15
∫
0
1
v
5
d
v
=
15
−
3
6
=
2
{\displaystyle \int _{\Gamma }\langle F,{\overrightarrow {\mathrm {d} \gamma }}\rangle =\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\langle (\cos ^{3}t,5\sin ^{3}t),3\cos t\sin t(-\cos t,\sin t)\rangle \,\mathrm {d} t=3\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}(-\cos ^{5}t\sin t+5\sin ^{5}t\cos t)\,\mathrm {d} t=3\int _{1}^{0}u^{5}\,\mathrm {d} u+15\int _{0}^{1}v^{5}\,\mathrm {d} v={\frac {15-3}{6}}=2}
.