Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Exercices/Applications des intégrales sur un intervalle, du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe et des intégrales curvilignes

Calculs d'intégrales curvilignes sur un arc de cycloïde connu par ses équations cartésiennes paramétriques

     Dans un espace affine euclidien à deux dimensions $\;{\mathcal {E}}_{2}\;$ de direction $\;V\;$ avec $\;\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\right)\;$ comme base orthonormée,
     Dans un espace affine euclidien à deux dimensions $\;\color {transparent}{{\mathcal {E}}_{2}}\;$ on considère l'arc de cycloïde $\;(\Gamma )\;$ d'équations cartésiennes paramétriques «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x=t-\sin(t)\\y=1-\cos(t)\\t\,\in \,\left[0\,,\,2\,\pi \right]\end{array}}\right\rbrace \;$» .

Calculs d'intégrales curvilignes de champs de vecteurs sur l'arc de cycloïde connu par ses équations cartésiennes paramétriques

     Considérant les champs de vecteurs définis en $\;M\;(x\,,\,y)\,\in {\mathcal {E}}_{2}$, «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c c r c l}{\vec {F}}(M)\!\!&=&\!\!x\;{\vec {u}}_{x}\!\!&+&\!\!(y+2)\;{\vec {u}}_{y}\\{\vec {G}}(M)\!\!&=&\!\!&&\!\!m\,g\;{\vec {u}}_{y}\\{\vec {H}}(M)\!\!&=&\!\!y\;{\vec {u}}_{x}\!\!&-&\!\!x\;{\vec {u}}_{y}\end{array}}\right\rbrace \;$»,
     Considérant les champs de vecteurs évaluer les intégrales curvilignes de chacun de ces champs sur l'arc de cycloïde $\;(\Gamma )\;$ précédemment défini.

Solution

     $\bullet \;$«$\;\displaystyle \int \limits _{(\Gamma )}{\vec {F}}\left[M(s)\right]\,ds\;$» dans laquelle $\;s\;$ est l'abscisse curviligne de $\;M\;$ sur $\;(\Gamma )$, l'origine étant $\;A\;$ position de $\;M\;$ pour $\;t=0\;$ et le sens sur $\;(\Gamma )$, le sens $\;\nearrow \;$ de $\;t$, avec $\;\vert ds\vert =\Vert {\overrightarrow {dM}}\Vert ={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}\;$ dans lequel $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}dx\!\!&=&\!\!dt-\cos(t)\,dt\\dy\!\!&=&\!\!\sin(t)\,dt\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;\vert ds\vert ={\sqrt {[1-\cos(t)]^{2}+\sin ^{2}(t)}}\;\vert dt\vert ={\sqrt {2\;[1-\cos(t)]}}\;\vert dt\vert ={\sqrt {4\;\sin ^{2}\left({\dfrac {t}{2}}\right)}}\;\vert dt\vert =2\;\sin \left({\dfrac {t}{2}}\right)\;\vert dt\vert \;$ d'où «$\;ds=2\;\sin \left({\dfrac {t}{2}}\right)\;dt\;$», le sens sur $\;(\Gamma )\;$ étant le sens $\;\nearrow \;$ de $\;t$, soit «$\;\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }\left\lbrace x(t)\;{\vec {u}}_{x}+\left[y(t)+2\right]\;{\vec {u}}_{y}\right\rbrace \;2\;\sin \left({\dfrac {t}{2}}\right)\;dt=\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }\left[t-\sin(t)\right]2\;\sin \left({\dfrac {t}{2}}\right)\;dt\right\rbrace \;{\vec {u}}_{x}+\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }\left[3-\cos(t)\right]2\;\sin \left({\dfrac {t}{2}}\right)\;dt\right\rbrace \;{\vec {u}}_{y}\;$»,
     $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{\displaystyle \int \limits _{(\Gamma )}{\vec {F}}\left[M(s)\right]\,ds}\;$» $\succ \;$la composante sur ${\vec {u}}_{x}\;$ étant $\;\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }2\;t\;\sin \left({\dfrac {t}{2}}\right)\;dt-\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }2\;\sin(t)\;\sin \left({\dfrac {t}{2}}\right)\;dt=I_{1}-I_{2}\;$ avec $\;I_{1}\;$ s'intégrant par parties et $\;I_{2}\;$ à l'aide de $\;\sin(t)=2\,\sin \left({\dfrac {t}{2}}\right)\cos \left({\dfrac {t}{2}}\right)$ $\Rightarrow$
     $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{\displaystyle \int \limits _{(\Gamma )}{\vec {F}}\left[M(s)\right]\,ds}\;$» $\color {transparent}{\succ }\;$la composante sur $\color {transparent}{{\vec {u}}_{x}}$ étant $\;I_{1}=\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }2\;t\;\sin \left({\dfrac {t}{2}}\right)\;dt=\left[2\;t\;\left\lbrace -2\,\cos \left({\dfrac {t}{2}}\right)\right\rbrace \right]_{0}^{2\,\pi }-\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }-2\,\cos \left({\dfrac {t}{2}}\right)\,dt=8\,\pi +\left[4\,\sin \left({\dfrac {t}{2}}\right)\right]_{0}^{2\,\pi }=8\,\pi \;$ et
     $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{\displaystyle \int \limits _{(\Gamma )}{\vec {F}}\left[M(s)\right]\,ds}\;$» $\color {transparent}{\succ }\;$la composante sur $\color {transparent}{{\vec {u}}_{x}}$ étant $\;I_{2}=\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }2\;\sin(t)\;\sin \left({\dfrac {t}{2}}\right)\;dt=\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }4\;\sin ^{2}\left({\dfrac {t}{2}}\right)\,\cos \left({\dfrac {t}{2}}\right)\;dt=\left[{\dfrac {8}{3}}\,\sin ^{3}\left({\dfrac {t}{2}}\right)\right]_{0}^{2\,\pi }=0\;$ d'où
     $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{\displaystyle \int \limits _{(\Gamma )}{\vec {F}}\left[M(s)\right]\,ds}\;$» $\color {transparent}{\succ }\;$« la composante sur ${\vec {u}}_{x}\;$ vaut $\;8\,\pi \;$» et
     $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{\displaystyle \int \limits _{(\Gamma )}{\vec {F}}\left[M(s)\right]\,ds}\;$» $\succ \;$la composante sur ${\vec {u}}_{y}\;$ se réécrivant $\;\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }\left\lbrace 2+\left[1-\cos(t)\right]\right\rbrace \,2\;\sin \left({\dfrac {t}{2}}\right)\;dt=\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }4\;\sin \left({\dfrac {t}{2}}\right)\;dt+\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }4\;\sin ^{3}\left({\dfrac {t}{2}}\right)\;dt={I'}_{\!1}+{I'}_{\!2}\;$ soit
     $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{\displaystyle \int \limits _{(\Gamma )}{\vec {F}}\left[M(s)\right]\,ds}\;$» $\color {transparent}{\succ }\;$la composante sur $\color {transparent}{{\vec {u}}_{y}}$ se réécrivant ${I'}_{\!1}=\left[-8\,\cos \left({\dfrac {t}{2}}\right)\right]_{0}^{2\,\pi }=16\;$ et
     $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{\displaystyle \int \limits _{(\Gamma )}{\vec {F}}\left[M(s)\right]\,ds}\;$» $\color {transparent}{\succ }\;$la composante sur $\color {transparent}{{\vec {u}}_{y}}$ se réécrivant ${I'}_{\!2}=\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }4\;\left\lbrace 1-\cos ^{2}\left({\dfrac {t}{2}}\right)\right\rbrace \sin \left({\dfrac {t}{2}}\right)\;dt=\left[-8\,\cos \left({\dfrac {t}{2}}\right)\right]_{0}^{2\,\pi }+\left[{\dfrac {8}{3}}\,\cos ^{3}\left({\dfrac {t}{2}}\right)\right]_{0}^{2\,\pi }=16-{\dfrac {16}{3}}={\dfrac {32}{3}}\;$ d'où
     $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{\displaystyle \int \limits _{(\Gamma )}{\vec {F}}\left[M(s)\right]\,ds}\;$» $\color {transparent}{\succ }\;$« la composante sur ${\vec {u}}_{y}\;$ vaut $\;{\dfrac {80}{3}}\;$» et finalement «$\;\displaystyle \int \limits _{(\Gamma )}{\vec {F}}\left[M(s)\right]\,ds=8\;\pi \;{\vec {u}}_{x}+{\dfrac {80}{3}}\;{\vec {u}}_{y}\;$».      $\bullet \;$«$\;\displaystyle \int \limits _{(\Gamma )}{\vec {G}}\left[M(s)\right]\,ds\;$» avec «$\;ds=2\;\sin \left({\dfrac {t}{2}}\right)\;dt\;$» déterminée précédemment $\Rightarrow$ «$\;\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }m\,g\;{\vec {u}}_{y}\;2\;\sin \left({\dfrac {t}{2}}\right)\;dt=\left[-4\,m\,g\;\cos \left({\dfrac {t}{2}}\right)\right]_{0}^{2\,\pi }\;{\vec {u}}_{y}=8\;m\;g\;{\vec {u}}_{y}\;$» d'où finalement «$\;\displaystyle \int \limits _{(\Gamma )}{\vec {G}}\left[M(s)\right]\,ds=8\;m\;g\;{\vec {u}}_{y}\;$».      $\bullet \;$«$\;\displaystyle \int \limits _{(\Gamma )}{\vec {H}}\left[M(s)\right]\,ds\;$» avec «$\;ds=2\;\sin \left({\dfrac {t}{2}}\right)\;dt\;$» $\,{\big (}$voir ci-dessus${\big )}\,$ $\Rightarrow$ «$\;\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }\left\lbrace \left[1-\cos(t)\right]\;{\vec {u}}_{x}-\left[t-\sin(t)\right]\;{\vec {u}}_{y}\right\rbrace \,2\;\sin \left({\dfrac {t}{2}}\right)\;dt=\left\lbrace {\begin{array}{c c l}\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }4\,\sin ^{3}\left({\dfrac {t}{2}}\right)\,dt\!\!&{\text{sur}}&\!\!{\vec {u}}_{x}\\-\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }2\,\left[t-\sin(t)\right]\,\sin \left({\dfrac {t}{2}}\right)\,dt\!\!&{\text{sur}}&\!\!{\vec {u}}_{y}\end{array}}\right\rbrace \;$»,
     $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{\displaystyle \int \limits _{(\Gamma )}{\vec {H}}\left[M(s)\right]\,ds}\;$» $\succ \;$la composante sur ${\vec {u}}_{x}\;$ étant $\;\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }4\,\sin ^{3}\left({\dfrac {t}{2}}\right)\,dt={I'}_{\!2}={\dfrac {32}{3}}\;$ ${\big (}$voir ci-dessus${\big )}\;$ et
     $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{\displaystyle \int \limits _{(\Gamma )}{\vec {H}}\left[M(s)\right]\,ds}\;$» $\succ \;$la composante sur ${\vec {u}}_{y}\;$ se réécrivant $\;\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }2\;\sin(t)\,\sin \left({\dfrac {t}{2}}\right)\,dt-\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }2\;t\;\sin \left({\dfrac {t}{2}}\right)\,dt=I_{2}-I_{1}=-8\,\pi$ ${\big (}$voir ci-dessus${\big )}\;$ d'où finalement «$\;\displaystyle \int \limits _{(\Gamma )}{\vec {H}}\left[M(s)\right]\,ds={\dfrac {32}{3}}\;{\vec {u}}_{x}-8\;\pi \;{\vec {u}}_{y}\;$».

 

Calculs de la circulation de champs de vecteurs sur l'arc de cycloïde connu par ses équations cartésiennes paramétriques

     Considérant les mêmes champs de vecteurs définis en $\;M\;(x\,,\,y)\,\in {\mathcal {E}}_{2}$, «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c c r c l}{\vec {F}}(M)\!\!&=&\!\!x\;{\vec {u}}_{x}\!\!&+&\!\!(y+2)\;{\vec {u}}_{y}\\{\vec {G}}(M)\!\!&=&\!\!&&\!\!m\,g\;{\vec {u}}_{y}\\{\vec {H}}(M)\!\!&=&\!\!y\;{\vec {u}}_{x}\!\!&-&\!\!x\;{\vec {u}}_{y}\end{array}}\right\rbrace \;$»,
     Considérant les mêmes champs de vecteurs évaluer la circulation de chacun de ces champs sur l'arc de cycloïde $\;(\Gamma )\;$ précédemment défini.

Solution

     $\bullet \;$«$\;\displaystyle \int \limits _{(\Gamma )}{\vec {F}}\left[M\right]\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$ $=\displaystyle \int \limits _{(\Gamma )}F_{x}(M)\;dx+F_{y}(M)\;dy=\displaystyle \int \limits _{(\Gamma )}x\;dx+(y+2)\;dy=\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }\left[t-\sin(t)\right]\,\left[1-\cos(t)\right]\,dt+\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }\left[3-\cos(t)\right]\,\sin(t)\,dt\;$ $=\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }t\;dt-\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }t\;\cos(t)\;dt+\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }2\;\sin(t)\;dt\;$»,
         $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{\displaystyle \int \limits _{(\Gamma )}{\vec {F}}\left[M\right]\cdot {\overrightarrow {dM}}}\;$ la 2^ème intégrale s'intégrant par parties selon $\;\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }t\;\cos(t)\;dt={\cancel {\left[t\;\sin(t)\right]_{0}^{2\,\pi }}}-\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }\sin(t)\;dt={\cancel {\left[\cos(t)\right]_{0}^{2\,\pi }}}=0$, la 1^ère intégrale selon $\;\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }t\;dt=\left[{\dfrac {t^{2}}{2}}\right]_{0}^{2\,\pi }=2\,\pi ^{2}\;$ et
         $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{\displaystyle \int \limits _{(\Gamma )}{\vec {F}}\left[M\right]\cdot {\overrightarrow {dM}}}\;$ la 3^ème intégrale selon $\;\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }2\;\sin(t)\;dt={\cancel {\left[-2\;\cos(t)\right]_{0}^{2\,\pi }}}=0\;$ d'où finalement «$\;\displaystyle \int \limits _{(\Gamma )}{\vec {F}}\left[M\right]\cdot {\overrightarrow {dM}}=2\;\pi ^{2}\;$».

     $\bullet \;$«$\;\displaystyle \int \limits _{(\Gamma )}{\vec {G}}\left[M\right]\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$ $=\displaystyle \int \limits _{(\Gamma )}G_{x}(M)\;dx+G_{y}(M)\;dy=\displaystyle \int \limits _{(\Gamma )}m\;g\;dy=\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }m\;g\;\sin(t)\;dt\;$ $={\cancel {\left[-m\;g\;\cos(t)\right]_{0}^{2\,\pi }}}=0\;$».

     $\bullet \;$«$\;\displaystyle \int \limits _{(\Gamma )}{\vec {H}}\left[M\right]\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$ $=\displaystyle \int \limits _{(\Gamma )}H_{x}(M)\;dx+H_{y}(M)\;dy=\displaystyle \int \limits _{(\Gamma )}y\;dx-x\;dy=\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }\left[1-\cos(t)\right]\,\left[1-\cos(t)\right]\,dt-\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }\left[t-\sin(t)\right]\,\sin(t)\,dt\;$ $=\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }2\,\left[1-\cos(t)\right]\,dt-\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }t\;\sin(t)\;dt\;$»
         $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{\displaystyle \int \limits _{(\Gamma )}{\vec {H}}\left[M\right]\cdot {\overrightarrow {dM}}}\;$ la 2^ème intégrale s'intégrant par parties selon $\;\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }t\;\sin(t)\;dt=\left[-t\;\cos(t)\right]_{0}^{2\,\pi }-\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }-\cos(t)\;dt=-2\;\pi +{\cancel {\left[\sin(t)\right]_{0}^{2\,\pi }}}=-2\;\pi \;$ et
         $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{\displaystyle \int \limits _{(\Gamma )}{\vec {H}}\left[M\right]\cdot {\overrightarrow {dM}}}\;$ la 1^ère intégrale selon $\;\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }2\,\left[1-\cos(t)\right]\,dt=\left[2\left\lbrace t-\sin(t)\right\rbrace \right]_{0}^{2\,\pi }=4\;\pi \;$ d'où finalement «$\;\displaystyle \int \limits _{(\Gamma )}{\vec {H}}\left[M\right]\cdot {\overrightarrow {dM}}=6\;\pi \;$».

 

Calcul de l'intégrale curviligne d'un champ scalaire sur l'arc de cycloïde connu par ses équations cartésiennes paramétriques

     Considérant le champ scalaire «$\;f\;:\;\mathbb {R} ^{2}\,\to \,\mathbb {R} ,\;(x,\,y)\;\mapsto \;f(x,\,y)={\sqrt {\vert y\vert }}\;$»,
     Considérant le champ scalaire évaluer l'intégrale curviligne de ce champ scalaire sur l'arc de cycloïde $\;(\Gamma )\;$ précédemment défini.

Solution

     «$\;\displaystyle \int \limits _{(\Gamma )}f\left[M(s)\right]\,ds=\displaystyle \int \limits _{(\Gamma )}{\sqrt {\vert y\vert }}\,ds=\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }{\sqrt {1-\cos(t)}}\;2\,\sin \left({\dfrac {t}{2}}\right)\,dt\;$» utilisant l'expression de l'abscisse curviligne élémentaire $\;ds\;$ déterminée précédemment ou, avec $\;1-\cos(t)=2\;\sin ^{2}\left({\dfrac {t}{2}}\right)\;$ $\Rightarrow$
     «$\;\color {transparent}{\displaystyle \int \limits _{(\Gamma )}f\left[M(s)\right]\,ds}$ $\;\sin \left({\dfrac {t}{2}}\right)={\sqrt {\dfrac {1-\cos(t)}{2}}}\;$ d'où $\;\displaystyle \int \limits _{(\Gamma )}f\left[M(s)\right]\,ds=\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }{\sqrt {2}}\,\left[1-\cos(t)\right]\,dt={\sqrt {2}}\;\left[t-\sin(t)\right]_{0}^{2\,\pi }\;$ soit finalement «$\;\displaystyle \int \limits _{(\Gamma )}f\left[M(s)\right]\,ds=2\;\pi \;{\sqrt {2}}\;$».

 

Calcul de la circulation d'un champ vectoriel le long d'un arc de courbe gauche connue par ses équations cartésiennes paramétriques

     Dans un espace affine euclidien à trois dimensions $\;{\mathcal {E}}_{3}\;$ de direction $\;V\;$ avec $\;\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right)\;$ comme base orthonormée,
     Dans un espace affine euclidien à trois dimensions $\;\color {transparent}{{\mathcal {E}}_{3}}\;$ on considère l'arc de courbe gauche $\;({\mathcal {G}})\;$ d'équations cartésiennes paramétriques «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x=t\\y=t^{2}\\z=t^{3}\\t\,\in \,\left[0\,,\,1\right]\end{array}}\right\rbrace \;$».

     Considérant le champ vectoriel défini en $\;M\;(x\,,\,y\,,\,z)\,\in {\mathcal {E}}_{3}$, «$\;{\vec {F}}(M)=x\;y\;{\vec {u}}_{x}+y\;z\;{\vec {u}}_{y}+x\;z\;{\vec {u}}_{z}\;$»,
     Considérant le champ vectoriel évaluer la circulation de ce champ le long de l'arc de courbe gauche $\;({\mathcal {G}})\;$ précédemment défini.

Solution

     La circulation du champ vectoriel $\;{\vec {F}}(M)\;$ le long de l'arc de courbe gauche $\;({\mathcal {G}})\;$ est définie par $\;{\mathcal {C}}_{({\mathcal {G}})}\!\left[{\vec {F}}\right]=\displaystyle \int \limits _{({\mathcal {G}})}{\vec {F}}\left[M\right]\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$ dans laquelle le vecteur déplacement élémentaire du point générique de $\;({\mathcal {G}})\;$ soit $\;M\;\left(x=t\,,\,y=t^{2}\,,\,z=t^{3}\right)\;$ s'évalue selon $\;{\overrightarrow {dM}}=$ $dx\;{\vec {u}}_{x}+dy\;{\vec {u}}_{y}+dz\;{\vec {u}}_{z}=dt\;{\vec {u}}_{x}+2\;t\;dt\;{\vec {u}}_{y}+3\;t^{2}\;dt\;{\vec {u}}_{z}\;$ d'où $\;{\mathcal {C}}_{({\mathcal {G}})}\!\left[{\vec {F}}\right]=\displaystyle \int _{({\mathcal {G}})}x(t)\,y(t)\,dx+y(t)\,z(t)\,dy+x(t)\,z(t)\,dz\;$ soit finalement $\;{\mathcal {C}}_{({\mathcal {G}})}\!\left[{\vec {F}}\right]=$ $\displaystyle \int _{0}^{1}t\;t^{2}\;dt+t^{2}\;t^{3}\;2\;t\;dt+t\;t^{3}\;3\;t^{2}\;dt=\displaystyle \int _{0}^{1}\left(t^{3}+5\,t^{6}\right)\,dt=\left[{\dfrac {t^{4}}{4}}+{\dfrac {5}{7}}\;t^{7}\right]_{0}^{1}={\dfrac {1}{4}}+{\dfrac {5}{7}}\;$ soit finalement «$\;{\mathcal {C}}_{({\mathcal {G}})}\!\left[{\vec {F}}\right]={\dfrac {27}{28}}\;$».

 

Calculs d'intégrales curvilignes sur un arc d'astroïde connu par ses équations cartésiennes paramétriques

     Dans un espace affine euclidien à deux dimensions $\;{\mathcal {E}}_{2}\;$ de direction $\;V\;$ avec $\;\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\right)\;$ comme base orthonormée,
     Dans un espace affine euclidien à deux dimensions $\;\color {transparent}{{\mathcal {E}}_{2}}\;$ on considère l'arc d'astroïde $\;({\mathcal {A}})\;$ d'équations cartésiennes paramétriques «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x=\cos ^{3}(t)\\y=\sin ^{3}(t)\\t\,\in \,\left[0\,,\,{\dfrac {\pi }{2}}\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» .

Calcul de l'intégrale curviligne d'un champ scalaire sur l'arc d'astroïde connu par ses équations cartésiennes paramétriques

     Considérant le champ scalaire défini en $\;M\;(x\,,\,y)\,\in {\mathcal {E}}_{2}$, «$\;f\;:\;\mathbb {R} ^{2}\;\to \;\mathbb {R} ,\;(x,\,y)\;\mapsto \;x\;$»,
     Considérant le champ scalaire évaluer l'intégrale curviligne de ce champ sur l'arc de astroïde $\;({\mathcal {A}})\;$ précédemment défini.

Solution

     «$\;\displaystyle \int \limits _{({\mathcal {A}})}f\left[M(s)\right]\,ds\;$» dans laquelle $\;s\;$ est l'abscisse curviligne de $\;M\;$ sur $\;({\mathcal {A}})$, l'origine étant $\;A\;$ position de $\;M\;$ pour $\;t=0\;$ et le sens sur $\;({\mathcal {A}})$, le sens $\;\nearrow \;$ de $\;t$, avec $\;\vert ds\vert =\Vert {\overrightarrow {dM}}\Vert ={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}\;$ dans lequel $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}dx\!\!&=&\!\!-3\,\cos ^{2}(t)\,\sin(t)\,dt\\dy\!\!&=&\!\!3\,\sin ^{2}(t)\,\cos(t)\,dt\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;\vert ds\vert =3\,\cos(t)\,\sin(t)\,{\sqrt {[-\cos(t)]^{2}+\sin ^{2}(t)}}\;\vert dt\vert =3\,\cos(t)\,\sin(t)\;\vert dt\vert \;$ d'où «$\;ds=3\,\cos(t)\,\sin(t)\;dt\;$», le sens sur $\;({\mathcal {A}})\;$ étant le sens $\;\nearrow \;$ de $\;t$, soit «$\;\displaystyle \int \limits _{({\mathcal {A}})}x\,ds$ $=\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{3}(t)\;3\,\cos(t)\,\sin(t)\;dt=3\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{4}(t)\;\sin(t)\;dt=3\,\left[-{\dfrac {\cos ^{5}(t)}{5}}\right]_{0}^{\frac {\pi }{2}}\;$» et finalement «$\;\displaystyle \int \limits _{({\mathcal {A}})}f\left[M(s)\right]\,ds={\dfrac {3}{5}}\;$».

 

Calcul de la circulation d'un champ de vecteurs sur l'arc d'astroïde connu par ses équations cartésiennes paramétriques

     Considérant le champ de vecteurs défini en $\;M\;(x\,,\,y)\,\in {\mathcal {E}}_{2}$, «$\;{\vec {F}}(M)=x\;{\vec {u}}_{x}+5\;y\;{\vec {u}}_{y}\;$»,
     Considérant le champ de vecteurs évaluer la circulation de ce champ sur l'arc de astroïde $\;({\mathcal {A}})\;$ précédemment défini.

Solution

     «$\;\displaystyle \int \limits _{({\mathcal {A}})}{\vec {F}}\left[M\right]\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$ $=\displaystyle \int \limits _{({\mathcal {A}})}F_{x}(M)\;dx+F_{y}(M)\;dy=\displaystyle \int \limits _{({\mathcal {A}})}x\;dx+5\;y\;dy=\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\left[\cos ^{3}(t)\right]\,\left[-3\,\cos ^{2}(t)\,\sin(t)\right]\,dt+\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\left[5\;\sin ^{3}(t)\right]\,\left[3\,\sin ^{2}(t)\,\cos(t)\right]\,dt\;$» soit la somme de deux intégrales dont
         «$\;\color {transparent}{\displaystyle \int \limits _{({\mathcal {A}})}{\vec {F}}\left[M\right]\cdot {\overrightarrow {dM}}}\;$ la 1^ère se calcule selon $\;\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}-3\;\cos ^{5}(t)\;\sin(t)\;dt=-3\;\left[-{\dfrac {\cos ^{6}(t)}{6}}\right]_{0}^{\frac {\pi }{2}}=-{\dfrac {1}{2}}\;$ et
         «$\;\color {transparent}{\displaystyle \int \limits _{({\mathcal {A}})}{\vec {F}}\left[M\right]\cdot {\overrightarrow {dM}}}\;$ la 2^nde selon $\;\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}15\;\sin ^{5}(t)\;\cos(t)\;dt=15\;\left[{\dfrac {\sin ^{6}(t)}{6}}\right]_{0}^{\frac {\pi }{2}}={\dfrac {5}{2}}\;$ et finalement «$\;\displaystyle \int \limits _{({\mathcal {A}})}{\vec {F}}\left[M\right]\cdot {\overrightarrow {dM}}=2\;$».

 

Calcul d'intégrales curvilignes de formes différentielles le long d'arcs de courbes planes ou gauches

     Calculer les intégrales curvilignes $\;\displaystyle \int _{(\Gamma )}\delta _{\text{forme diff}}(M)\;$ dans les situations suivantes :

1. «$\;\delta _{\text{forme diff}}(M)=x\;y\;dx+a\;(x+y)\;dy\;$» $\;{\big \{}a\;$ étant une grandeur $\;>0\;$ de même dimension que $\;x\;$ et $\;y{\big \}}\;$ et
   «$\;(\Gamma )\;$ l'arc de parabole d'équation cartésienne $\;y={\dfrac {x^{2}}{a}}\;$ pour $\;x\;$ variant de $\;-a\;$ à $\;2\,a\;$» ;
2. «$\;\delta _{\text{forme diff}}(M)=-y\;dx+x\;dy\;$» et «$\;(\Gamma )\;$ le segment de droite allant de $\;A\;(x_{A},\,y_{A})\;$ à $\;B\;(x_{B},\,y_{B})\;$» ;
3. «$\;\delta _{\text{forme diff}}(M)=y\;\sin \left({\dfrac {x}{a}}\right)\;dx+x\;\cos \left({\dfrac {y}{a}}\right)\;dy\;$» $\;{\big \{}a\;$ étant une grandeur $\;>0\;$ de même dimension que $\;x\;$ et $\;y{\big \}}\;$ et
   «$\;(\Gamma )\;$ le segment de droite allant de $\;A\;(0,\,0)\;$ à $\;B\;(a,\,a)\;$» ;
4. «$\;\delta _{\text{forme diff}}(M)=x^{2}\;y\;dx+a\;x\;y\;dy\;$» $\;{\big \{}a\;$ étant une grandeur $\;>0\;$ de même dimension que $\;x\;$ et $\;y{\big \}}\;$ et
   «$\;(\Gamma )\;$ le cercle de rayon $\;R\;$ centré en $\;O\;(0,\,0)\;$ et parcouru dans le sens trigonométrique » ;
5. «$\;\delta _{\text{forme diff}}(M)=y^{2}\;dx+x^{2}\;dy\;$» et «$\;(\Gamma )\;$ la courbe orientée dans le sens trigonométrique d'équation $\;x^{2}+y^{2}-a\,y=0,\;\;a\in \mathbb {R} ^{*}\;$»
   «$\;\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}(M)=y^{2}\;dx+x^{2}\;dy}\;$» ou «$\;(\Gamma )\;$ la courbe orientée dans le sens trigonométrique d'équation $\;{\dfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\dfrac {y^{2}}{b^{2}}}-2\;{\dfrac {x}{a}}-2\;{\dfrac {y}{b}}=0,\;(a\,,\,b)\in \mathbb {R} _{+}^{*}\;$» ;
6. «$\;\delta _{\text{forme diff}}(M)=y\;dx+2\;x\;dy\;$» et «$\;(\Gamma )\;$ le contour parcouru une fois dans le sens trigonométrique de la surface d'inéquation $\;\left\lbrace (x,\,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}\leqslant 2\;a\;x,\;x^{2}+y^{2}\leqslant 2\;a\;y\right\rbrace \;$»,
   «$\;\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}(M)=y\;dx+2\;x\;dy}\;$» et «$\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ le contour parcouru une fois dans le sens trigonométrique de la surface d'équation $\;{\big \{}a\;$ étant une grandeur $\;>0\;$ de même dimension que $\;x\;$ et $\;y{\big \}}$ ;
7. «$\;\delta _{\text{forme diff}}(M)=a\;x\;dx+x\;y\;dy\;$» $\;{\big \{}a\;$ étant une grandeur $\;>0\;$ de même dimension que $\;x\;$ et $\;y{\big \}}$ et
   «$\;(\Gamma )\;$ le quart de cercle de rayon $\;R\;$ et de centre $\;O\;(0,\,0)\;$ joignant $\;A\;(R\,,0)\;$ à $\;B\;(0\,,R)\;$» ;
8. «$\;\delta _{\text{forme diff}}(M)=(y-z)\;dx+(z-x)\;dy+(x-y)\;dz\;$» et «$\;(\Gamma )\;$ le chemin d'équations cartésiennes paramétriques $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x=r\;\cos(\theta )\\y=r\;\sin(\theta )\\z=2\;r\;\theta \end{array}}\right\rbrace \;$ pour $\;\theta \;\in \left[0\,,\,{\frac {\pi }{2}}\right]\;$».

Solution

1. Soit «$\;(\Gamma )\;$ l'arc de parabole d'équation cartésienne $\;y={\dfrac {x^{2}}{a}}\;$ entre les extrémités $\;A\,\left(x_{A}=-a,\,y_{A}=a\right)\;$ et $\;B\,\left(x_{B}=2\,a,\,y_{B}=4\,a\right)\;$», $\;(x\,,\,y)\;$ étant les coordonnées cartésiennes de $\;M$, point générique de $\;(\Gamma )\;$ que nous paramétrons en $\;x$, $\;(dx\,,\,dy)\;$ étant les composantes du vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ tangent à $\;(\Gamma )\;$ en $\;M\;$ $\Rightarrow$ $\;dy={\dfrac {2\;x}{a}}\;dx\;$ d'où «$\;I_{1}=\displaystyle \int _{A{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B}\delta _{\text{forme diff}}(M)=$ $\displaystyle \int _{A{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B}x\;y\;dx+a\;(x+y)\;dy=\displaystyle \int _{-a}^{2\,a}x\;{\dfrac {x^{2}}{a}}\;dx+a\,\left(x+{\dfrac {x^{2}}{a}}\right)\,{\dfrac {2\;x}{a}}\;dx=\displaystyle \int _{-a}^{2\,a}\left(3\,{\dfrac {x^{3}}{a}}+2\,x^{2}\right)\,dx=\left[{\dfrac {3\,x^{4}}{4\,a}}+{\dfrac {2\,x^{3}}{3}}\right]_{-a}^{2\,a}=12-{\dfrac {3}{4}}+{\dfrac {16}{3}}+{\dfrac {2}{3}}={\dfrac {69}{4}}\;$» ;
2. soit «$\;(\Gamma )\;$ le segment de droite allant de $\;A\;(x_{A},\,y_{A})\;$ à $\;B\;(x_{B},\,y_{B})\;$ d'équation cartésienne $\;y=y_{A}+{\dfrac {y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}}\;(x-x_{A})\;$», $\;(x\,,\,y)\;$ étant les coordonnées cartésiennes de $\;M$, point générique de $\;(\Gamma )\;$ que nous paramétrons en $\;x$, $\;(dx\,,\,dy)\;$ étant les composantes du vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ porté par $\;(\Gamma )\;$ en $\;M\;$ $\Rightarrow$ $\;dy={\dfrac {y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}}\;dx\;$ d'où «$\;I_{2}=\displaystyle \int _{A{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B}\delta _{\text{forme diff}}(M)=$ $\displaystyle \int _{A{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B}-y\;dx+x\;dy=\displaystyle \int _{x_{A}}^{x_{B}}-\left\lbrace y_{A}+{\dfrac {y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}}\;(x-x_{A})\right\rbrace \,dx+x\,\left({\dfrac {y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}}\;dx\right)=\displaystyle \int _{x_{A}}^{x_{B}}-\left\lbrace y_{A}-{\dfrac {y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}}\;x_{A}\right\rbrace \,dx=-\left\lbrace y_{A}-{\dfrac {y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}}\;x_{A}\right\rbrace \,(x_{B}-x_{A})=y_{B}\;x_{A}-y_{A}\;x_{B}\;$» ;
3. soit «$\;(\Gamma )\;$ le segment de droite allant de $\;A\;(0,\,0)\;$ à $\;B\;(a,\,a)\;$ d'équation cartésienne $\;y=x\;$», $\;(x\,,\,y)\;$ étant les coordonnées cartésiennes de $\;M$, point générique de $\;(\Gamma )\;$ que nous paramétrons en $\;x$, $\;(dx\,,\,dy)\;$ étant les composantes du vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ porté par $\;(\Gamma )\;$ en $\;M\;$ $\Rightarrow$ $\;dy=dx\;$ d'où «$\;I_{3}=\displaystyle \int _{A{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B}\delta _{\text{forme diff}}(M)=\displaystyle \int _{A{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B}y\;\sin \left({\dfrac {x}{a}}\right)\;dx+x\;\cos \left({\dfrac {y}{a}}\right)\;dy=$ $\displaystyle \int _{0}^{a}x\;\sin \left({\dfrac {x}{a}}\right)\;dx+x\;\cos \left({\dfrac {x}{a}}\right)\;dx\;$ qui s'intègrent par parties $=\left[x\;(-a)\;\cos \left({\dfrac {x}{a}}\right)\right]_{0}^{a}-\displaystyle \int _{0}^{a}(-a)\;\cos \left({\dfrac {x}{a}}\right)\,dx+\left[x\;(a)\;\sin \left({\dfrac {x}{a}}\right)\right]_{0}^{a}-\displaystyle \int _{0}^{a}(a)\;\sin \left({\dfrac {x}{a}}\right)\,dx\;$ ou encore $=-a^{2}\;\cos(1)+\left[a^{2}\;\sin \left({\dfrac {x}{a}}\right)\right]_{0}^{a}+a^{2}\;\sin(1)-\left[-a^{2}\;\cos \left({\dfrac {x}{a}}\right)\right]_{0}^{a}=-a^{2}\;\cos(1)+a^{2}\;\sin(1)+a^{2}\;\sin(1)+a^{2}\;\cos(1)-a^{2}=a^{2}\,\left[2\,\sin(1)-1\right]\;$» ;
4. soit «$\;(\Gamma )\;$ le cercle de rayon $\;R\;$ centré en $\;O\;(0,\,0)\;$ et parcouru dans le sens trigonométrique d'équations cartésiennes paramétriques $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x=R\;\cos(\theta )\\y=R\;\sin(\theta )\end{array}}\right\rbrace \;$», $\;(x\,,\,y)\;$ étant les coordonnées cartésiennes de $\;M$, point générique de $\;(\Gamma )\;$ que nous paramétrons en $\;\theta$, $\;(dx\,,\,dy)\;$ étant les composantes du vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ tangent à $\;(\Gamma )\;$ en $\;M\;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}dx=-R\;\sin(\theta )\;d\theta \\dy=R\;\cos(\theta )\;d\theta \end{array}}\right\rbrace \;$ d'où «$\;I_{4}=$ $\displaystyle \oint _{(\Gamma )}\delta _{\text{forme diff}}(M)=\displaystyle \oint _{(\Gamma )}x^{2}\;y\;dx+a\;x\;y\;dy=\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }\!\!-R^{4}\;\cos ^{2}(\theta )\;\sin ^{2}(\theta )\;d\theta +\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }\!\!a\;R^{3}\;\cos ^{2}(\theta )\;\sin(\theta )\;d\theta =-{\dfrac {R^{4}}{4}}\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }\!\!\sin ^{2}(2\,\theta )\;d\theta +{\cancel {a\;R^{3}\left[-{\dfrac {\cos ^{3}(\theta )}{3}}\right]_{0}^{2\,\pi }}}=-{\dfrac {R^{4}}{4}}\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }{\dfrac {1-\cos(4\,\theta )}{2}}\;d\theta \;$ $=-{\dfrac {R^{4}}{8}}\left\lbrace \left[\theta \right]_{0}^{2\,\pi }-{\cancel {\left[{\dfrac {\sin(4\,\theta )}{4}}\right]_{0}^{2\,\pi }}}\right\rbrace =-\pi \;{\dfrac {R^{4}}{4}}\;$» ;
5. $\quad \bullet \;$soit «$\;(\Gamma )\;$ le cercle de rayon $\;{\dfrac {a}{2}}\;$ centré en $\;C\;\left(0,\,{\dfrac {a}{2}}\right)\;$ et parcouru dans le sens trigonométrique d'équations cartésiennes paramétriques $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x={\dfrac {a}{2}}\;\cos(\theta )\\y={\dfrac {a}{2}}+{\dfrac {a}{2}}\;\sin(\theta )\end{array}}\right\rbrace \;$», $\;(x\,,\,y)\;$ étant les coordonnées
   $\color {transparent}{\quad \bullet }\;$cartésiennes de $\;M$, point générique de $\;(\Gamma )\;$ que nous paramétrons en $\;\theta$, $\;(dx\,,\,dy)\;$ étant les composantes du vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ tangent à $\;(\Gamma )\;$ en $\;M\;$ $\left\lbrace {\begin{array}{c}dx=-{\dfrac {a}{2}}\;\sin(\theta )\;d\theta \\dy={\dfrac {a}{2}}\;\cos(\theta )\;d\theta \end{array}}\right\rbrace \;$
   $\color {transparent}{\quad \bullet }\;$d'où «$\;\displaystyle \oint _{(\Gamma )}\delta _{\text{forme diff}}(M)=\displaystyle \oint _{(\Gamma )}y^{2}\;dx+x^{2}\;dy=\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }\!\!\!\!-{\dfrac {a^{3}}{8}}\,\left[1+\sin(\theta )\right]^{2}\;\sin(\theta )\;d\theta +\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }\!{\dfrac {a^{3}}{8}}\;\cos ^{3}(\theta )\;d\theta ={\dfrac {a^{3}}{8}}\left\lbrace -\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }\!\!\left[\sin(\theta )+2\,\sin ^{2}(\theta )+\sin ^{3}(\theta )\right]\;d\theta +\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }\!\!\left[1-\sin ^{2}(\theta )\right]\,\cos(\theta )\;d\theta \right\rbrace$
   $\color {transparent}{\quad \bullet }\;$$={\dfrac {a^{3}}{8}}\!\left\lbrace {\cancel {\left[\cos(\theta )\right]_{0}^{2\,\pi }}}-\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }\!\!\left[1-\cos(2\,\theta )\right]\,d\theta -\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }\!\!\left[1-\cos ^{2}(\theta )\right]\,\sin(\theta )\;d\theta +\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }\!\!\left[1-\sin ^{2}(\theta )\right]\,\cos(\theta )\;d\theta \right\rbrace ={\dfrac {a^{3}}{8}}\!\left\lbrace \left[-\theta +{\dfrac {\sin(2\,\theta )}{2}}+\cos(\theta )-{\dfrac {\cos ^{3}(\theta )}{3}}+\sin(\theta )-{\dfrac {\sin ^{3}(\theta )}{3}}\right]_{0}^{2\,\pi }\right\rbrace$
   $\color {transparent}{\quad \bullet }\;$$=-\pi \;{\dfrac {a^{3}}{4}}\;$» ;
   $\quad \bullet \;$soit «$\;(\Gamma )\;$ l'ellipse d'axes de symétrie $\;x'x\;$ et $\;y'y\;$ centré en $\;C\;\left(a,\,b\right)\;$ de demi-axes $\;a\,{\sqrt {2}}\;$ et $\;b\,{\sqrt {2}}\;$ et parcouru dans le sens trigonométrique d'équations cartésiennes paramétriques
   $\color {transparent}{\quad \bullet }\;$$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x=a+a\;{\sqrt {2}}\;\cos(\theta )\\y=b+b\;{\sqrt {2}}\;\sin(\theta )\end{array}}\right\rbrace \;$» , $\;(x\,,\,y)\;$ étant les coordonnées cartésiennes de $\;M$, point générique de $\;(\Gamma )\;$ que nous paramétrons en $\;\theta \;$, $\;(dx\,,\,dy)\;$ les composantes du vecteur déplacement
   $\color {transparent}{\quad \bullet }\;$élémentaire $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ tangent à $\;(\Gamma )\;$ en $\;M\;$ $\left\lbrace {\begin{array}{c}dx=-a\;{\sqrt {2}}\;\sin(\theta )\;d\theta \\dy=b\;{\sqrt {2}}\;\cos(\theta )\;d\theta \end{array}}\right\rbrace \;$ dont on déduit l'expression de l'intégrale curviligne «$\;I_{5}=\displaystyle \oint _{(\Gamma )}\delta _{\text{forme diff}}(M)=\displaystyle \oint _{(\Gamma )}y^{2}\;dx+x^{2}\;dy=$
   $\color {transparent}{\quad \bullet }\;$$\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }\!\!\!\!-b^{2}\;a\;{\sqrt {2}}\,\left[1+{\sqrt {2}}\;\sin(\theta )\right]^{2}\;\sin(\theta )\;d\theta +\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }\!a^{2}\;b\;{\sqrt {2}}\,\left[1+{\sqrt {2}}\;\cos(\theta )\right]^{2}\;\cos(\theta )\;d\theta \;$ qui se réécrit, après mise en facteur de $\;a\;b\;{\sqrt {2}}\;$ et développement du carré des expressions selon
   $\color {transparent}{\quad \bullet }\;$$a\;b\;{\sqrt {2}}\left\lbrace -b\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }\!\!\left[\sin(\theta )+2\,{\sqrt {2}}\,\sin ^{2}(\theta )+2\,\sin ^{3}(\theta )\right]d\theta +a\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }\!\!\left[\cos(\theta )+2\,{\sqrt {2}}\,\cos ^{2}(\theta )+2\,\cos ^{3}(\theta )\right]d\theta \right\rbrace =a\;b\;{\sqrt {2}}\left\lbrace -b\;C_{1}+a\;C_{2}\right\rbrace$ où $\;C_{1}\;$ et $\;C_{2}\;$ sont les intégrales suivantes
   $\color {transparent}{\quad \bullet }\;$$\left\lbrace {\begin{array}{l}C_{1}=\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }\!\!\left[\sin(\theta )+2\,{\sqrt {2}}\,\sin ^{2}(\theta )+2\,\sin ^{3}(\theta )\right]d\theta =-{\cancel {\left[\cos(\theta )\right]_{0}^{2\,\pi }}}+{\sqrt {2}}\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }\!\!\left[1-\cos(2\,\theta )\right]\,d\theta +2\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }\!\!\left[1-\cos ^{2}(\theta )\right]\,\sin(\theta )\;d\theta =2\,\left[{\dfrac {\theta }{\sqrt {2}}}-{\dfrac {\sin(2\,\theta )}{2\,{\sqrt {2}}}}-\cos(\theta )+{\dfrac {\cos ^{3}(\theta )}{3}}\right]_{0}^{2\,\pi }={\dfrac {4\,\pi }{\sqrt {2}}}\\C_{2}=\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }\!\!\left[\cos(\theta )+2\,{\sqrt {2}}\,\cos ^{2}(\theta )+2\,\cos ^{3}(\theta )\right]d\theta ={\cancel {\left[\cos(\theta )\right]_{0}^{2\,\pi }}}+{\sqrt {2}}\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }\!\!\left[1+\cos(2\,\theta )\right]\,d\theta +2\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }\!\!\left[1-\sin ^{2}(\theta )\right]\,\cos(\theta )\;d\theta =2\,\left[{\dfrac {\theta }{\sqrt {2}}}+{\dfrac {\sin(2\,\theta )}{2\,{\sqrt {2}}}}+\sin(\theta )-{\dfrac {\sin ^{3}(\theta )}{3}}\right]_{0}^{2\,\pi }={\dfrac {4\,\pi }{\sqrt {2}}}\end{array}}\right\rbrace \;$
   $\color {transparent}{\quad \bullet }\;$soit $\;I_{5}=a\;b\;{\sqrt {2}}\left\lbrace -b\;{\dfrac {4\,\pi }{\sqrt {2}}}+a\;{\dfrac {4\,\pi }{\sqrt {2}}}\right\rbrace =4\;\pi \;a\;b\;(a-b)\;$» ;
6. soient «$\;({\mathcal {D}}_{1})\;$ le disque de rayon $\;a$, de centre $\;C_{1}\;(a,\,0)$, d'inéquation cartésienne $\;x^{2}+y^{2}\leqslant 2\;a\;x\;$», de contour $\;({\mathcal {C}}_{1})\;$ cercle de rayon $\;a$, de centre $\;C_{1}$, d'équation cartésienne $\;x^{2}+(y-a)^{2}=a^{2}\;$ et
   soient «$\;({\mathcal {D}}_{2})\;$ le disque de rayon $\;a$, de centre $\;C_{2}\;(0,\,a)$, d'inéquation cartésienne $\;x^{2}+y^{2}\leqslant 2\;a\;y\;$», de contour $\;({\mathcal {C}}_{2})\;$ cercle de rayon $\;a$, de centre $\;C_{2}$, d'équation cartésienne $\;(x-a)^{2}+y^{2}=a^{2}$,
   soient les deux contours $\;({\mathcal {C}}_{1})\;$ et $\;({\mathcal {C}}_{2})\;$ se coupant en $\;O\;(0,\,0)\;$ et $\;A\;(a,\,a)$, la surface commune des deux disques $\;({\mathcal {D}}_{1})\;$ et $\;({\mathcal {D}}_{2})\;$ d'inéquations cartésiennes $\;\left\lbrace x^{2}+y^{2}\leqslant 2\;a\;x\;,\;x^{2}+y^{2}\leqslant 2\;a\;y\right\rbrace \;$
   soient les deux contours $\;\color {transparent}{({\mathcal {C}}_{1})}\;$ et $\;\color {transparent}{({\mathcal {C}}_{2})}\;$ se coupant en $\;\color {transparent}{O\;(0,\,0)}\;$ et $\;\color {transparent}{A\;(a,\,a)}$, a pour contour fermé $\;(\Gamma )$, la réunion, décrite dans le sens trigonométrique, des arcs de cercle $\;{\overset {\curvearrowright }{OA}}\;$ de $\;({\mathcal {C}}_{2})\;$ et $\;{\overset {\curvearrowright }{AO}}\;$ de $\;({\mathcal {C}}_{1})\;$
   soient les deux contours $\;\color {transparent}{({\mathcal {C}}_{1})}\;$ et $\;\color {transparent}{({\mathcal {C}}_{2})}\;$ se coupant en $\;\color {transparent}{O\;(0,\,0)}\;$ et $\;\color {transparent}{A\;(a,\,a)}$, d'équations cartésiennes paramétriques $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x=a\;\cos(\theta _{2})\\y=a+a\;\sin(\theta _{2})\end{array}}\right\rbrace \;$ pour $\;\theta _{2}={\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {C_{2}A}}\,,\,{\overrightarrow {C_{2}M}}\right\rbrace }}\;$ variant de $\;-{\dfrac {\pi }{2}}\;$ à $\;0\;$ et
   soient les deux contours $\;\color {transparent}{({\mathcal {C}}_{1})}\;$ et $\;\color {transparent}{({\mathcal {C}}_{2})}\;$ se coupant en $\;\color {transparent}{O\;(0,\,0)}\;$ et $\;\color {transparent}{A\;(a,\,a)}$, d'équations cartésiennes paramétriques $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x=a+a\;\cos(\theta _{1})\\y=a\;\sin(\theta _{1})\end{array}}\right\rbrace \;$ pour $\;\theta _{1}={\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {C_{1}x}}\,,\,{\overrightarrow {C_{1}M}}\right\rbrace }}\;$ variant de $\;{\dfrac {\pi }{2}}\;$ à $\;\pi \;$
   soient les deux contours $\;\color {transparent}{({\mathcal {C}}_{1})}\;$ et $\;\color {transparent}{({\mathcal {C}}_{2})}\;$ se coupant en $\;\color {transparent}{O\;(0,\,0)}\;$ et $\;\color {transparent}{A\;(a,\,a)}$, $\;(x\,,\,y)\;$ étant les coordonnées cartésiennes de $\;M$, point générique de $\;(\Gamma )\;$ que nous paramétrons en $\;\theta _{2}\;$ ou $\;\theta _{1}$,
   soient les deux contours $\;\color {transparent}{({\mathcal {C}}_{1})}\;$ et $\;\color {transparent}{({\mathcal {C}}_{2})}\;$ se coupant en $\;\color {transparent}{O\;(0,\,0)}\;$ et $\;\color {transparent}{A\;(a,\,a)}$, $\;(dx\,,\,dy)\;$ étant les composantes du vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ tangent à $\;(\Gamma )\;$ en $\;M\;$ soit
   soient les deux contours $\;\color {transparent}{({\mathcal {C}}_{1})}\;$ et $\;\color {transparent}{({\mathcal {C}}_{2})}\;$ se coupant en $\;\color {transparent}{O\;(0,\,0)}\;$ et $\;\color {transparent}{A\;(a,\,a)}$, $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}dx=-a\;\sin(\theta _{2})\;d\theta _{2}\\dy=a\;\cos(\theta _{2})\;d\theta _{2}\end{array}}\right\rbrace \;$ pour $\;\theta _{2}\;\nearrow \;$ sur $\;\left[-{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,0\right]\;$ et $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}dx=-a\;\sin(\theta _{1})\;d\theta _{1}\\dy=a\;\cos(\theta _{1})\;d\theta _{1}\end{array}}\right\rbrace \;$ pour $\;\theta _{1}\;\nearrow \;$ sur $\;\left[{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,\pi \right]\;$ d'où
   soient «$\;I_{6}=\displaystyle \oint _{(\Gamma )}\delta _{\text{forme diff}}(M)=\displaystyle \int \limits _{{\overset {\curvearrowright }{OA}}\,{\text{de}}\,({\mathcal {C}}_{2})}y\;dx+2\;x\;dy+\displaystyle \int \limits _{{\overset {\curvearrowright }{AO}}\,{\text{de}}\,({\mathcal {C}}_{1})}y\;dx+2\;x\;dy=a^{2}{\bigg \{}\displaystyle \int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{0}\left\lbrace -\left[1+\sin(\theta _{2})\right]\sin(\theta _{2})+2\,\cos ^{2}(\theta _{2})\right\rbrace d\theta _{2}+\displaystyle \int _{\frac {\pi }{2}}^{\pi }\left\lbrace -\sin ^{2}(\theta _{1})+2\,\left[1+\cos(\theta _{1})\right]\cos(\theta _{1})\right\rbrace d\theta _{1}{\bigg \}}$
   soient «$\;\color {transparent}{I_{6}}$ $=a^{2}{\bigg \{}\left[\cos(\theta _{2})\right]_{-{\frac {\pi }{2}}}^{0}+\displaystyle \int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{0}\left[2\,\cos ^{2}(\theta _{2})-\sin ^{2}(\theta _{2})\right]d\theta _{2}+2\,\left[\sin(\theta _{1})\right]_{\frac {\pi }{2}}^{\pi }+\displaystyle \int _{\frac {\pi }{2}}^{\pi }\left[2\,\cos ^{2}(\theta _{1})-\sin ^{2}(\theta _{1})\right]d\theta _{1}{\bigg \}}=a^{2}{\bigg \{}1+\displaystyle \int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{0}{\dfrac {1+3\,\cos(2\,\theta _{2})}{2}}\,d\theta _{2}-2+\displaystyle \int _{\frac {\pi }{2}}^{\pi }{\dfrac {1+3\,\cos(2\,\theta _{1})}{2}}\,d\theta _{1}{\bigg \}}\;$
   soient «$\;\color {transparent}{I_{6}}$ $=a^{2}{\bigg \{}-1+\left[{\dfrac {\theta _{2}}{2}}+{\dfrac {3}{4}}\;\sin(2\,\theta _{2})\right]_{-{\frac {\pi }{2}}}^{0}+\left[{\dfrac {\theta _{1}}{2}}+{\dfrac {3}{4}}\;\sin(2\,\theta _{1})\right]_{\frac {\pi }{2}}^{\pi }{\bigg \}}=\left({\dfrac {\pi }{2}}-1\right)\,a^{2}\;$» ;
7. Soit «$\;(\Gamma )\;$ le quart de cercle de rayon $\;R\;$ et de centre $\;O\;(0,\,0)\;$ joignant $\;A\;(R\,,0)\;$ à $\;B\;(0\,,R)\;$ dans le sens trigonométrique, d'équations cartésiennes paramétriques $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x=R\;\cos(\theta )\\y=R\;\sin(\theta )\end{array}}\right\rbrace$, $\;\theta \in \left[0\,,\,{\dfrac {\pi }{2}}\right]\;$»
   $\;(x\,,\,y)\;$ étant les coordonnées cartésiennes de $\;M$, point générique de $\;(\Gamma )\;$ paramétré en $\;\theta$, $\;(dx\,,\,dy)\;$ étant les composantes du vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ tangent à $\;(\Gamma )\;$ en $\;M\;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}dx=-R\;\sin(\theta )\;d\theta \\dy=R\;\cos(\theta )\;d\theta \end{array}}\right\rbrace \;$ d'où «$\;I_{7}=\displaystyle \int _{(\Gamma )}\delta _{\text{forme diff}}(M)=\displaystyle \int _{(\Gamma )}a\;x\;dx+x\;y\;dy=\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\!\!-a\;R^{2}\;\cos(\theta )\;\sin(\theta )\;d\theta +\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\!\!R^{3}\;\cos ^{2}(\theta )\;\sin(\theta )\;d\theta =-a\;R^{2}\,\left[{\dfrac {\sin ^{2}(\theta )}{2}}\right]_{0}^{\frac {\pi }{2}}-R^{3}\,\left[{\dfrac {\cos ^{3}(\theta )}{3}}\right]_{0}^{\frac {\pi }{2}}=$
   $-{\dfrac {a\;R^{2}}{2}}+{\dfrac {R^{3}}{3}}={\dfrac {R^{2}}{6}}\,\left(2\;R-3\;a\right)\;$» ;
8. Soit «$\;(\Gamma )\;$ l'arc d'hélice circulaire droite porté par un tuyau cylindrique de révolution d'axe $\;z'z$, de rayon $\;r$, le pas de l'hélice étant $\;4\,\pi \,r$, d'équations cartésiennes paramétriques $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x=r\;\cos(\theta )\\y=r\;\sin(\theta )\\z=2\;r\;\theta \end{array}}\right\rbrace \;$» et
   $\;\theta \in \left[0\,,\,{\dfrac {\pi }{2}}\right]$, $\;(x\,,\,y\,,\,z)\;$ étant les coordonnées cartésiennes de $\;M$, point générique de $\;(\Gamma )\;$ paramétré en $\;\theta$, $\;(dx\,,\,dy\,,\,dz)\;$ étant les composantes du vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ tangent à $\;(\Gamma )$ en $\;M$ $\Rightarrow$ $\left\lbrace \!{\begin{array}{c}dx=-r\;\sin(\theta )\;d\theta \\dy=r\;\cos(\theta )\;d\theta \\dz=2\,r\,d\theta \end{array}}\!\right\rbrace$ d'où «$\;I_{8}=\!\displaystyle \int _{(\Gamma )}\delta _{\text{forme diff}}(M)=\!\displaystyle \int _{(\Gamma )}(y-z)\;dx+(z-x)\;dy+(x-y)\;dz=\!\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\!\!r^{2}\left\lbrace -\left[\sin(\theta )-2\;\theta \right]\,\sin(\theta )+\left[2\;\theta -\cos(\theta )\right]\,\cos(\theta )+2\left[\cos(\theta )-\sin(\theta )\right]\right\rbrace \,d\theta$ $=r^{2}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\left[-\sin ^{2}(\theta )+2\;\theta \;\sin(\theta )+2\;\theta \;\cos(\theta )-\cos ^{2}(\theta )\right]d\theta +{\cancel {2\;\left[\sin(\theta )\right]_{0}^{\frac {\pi }{2}}+2\;\left[\cos(\theta )\right]_{0}^{\frac {\pi }{2}}}}\right\rbrace \;$ $=r^{2}\left\lbrace -\left[\theta \right]_{0}^{\frac {\pi }{2}}+2\,\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\theta \,\left[\sin(\theta )+\cos(\theta )\right]d\theta \right\rbrace \;$ $=r^{2}\left\lbrace -{\dfrac {\pi }{2}}+2\;J\right\rbrace \;$ dans laquelle $\;J=$ $\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\theta \,\left[\sin(\theta )+\cos(\theta )\right]d\theta \;$ s'intègre par parties soit $\;J=\left[\theta \left\lbrace -\cos(\theta )+\sin(\theta )\right\rbrace \right]_{0}^{\frac {\pi }{2}}-\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\left\lbrace -\cos(\theta )+\sin(\theta )\right\rbrace d\theta ={\dfrac {\pi }{2}}+{\cancel {\left[\sin(\theta )+\cos(\theta )\right]_{0}^{\frac {\pi }{2}}}}\;$ d'où $\;I_{8}={\dfrac {\pi \;r^{2}}{2}}\;$».

 

Calcul d'une grandeur associée à un arc de courbe définie par l'intégrale curviligne de sa densité linéique le long de l'arc

Calcul d'une grandeur associée à un arc de parabole définie par l'intégrale curviligne de sa densité linéique le long de l'arc

     Considérant l'arc de parabole $\;\left(\Gamma \right)\;$ d'équation cartésienne $\;y={\dfrac {x^{2}}{a}}\;$ reliant les points $\;A\,(-a\,,\,a)\;$ et $\;B\,(a\,,\,a)$, $\;{\big (}a\;$ étant une grandeur $\;>0\;$ de même dimension que $\;x\;$ et $\;y{\big )}\;$ et
     Considérant une grandeur $\;G\;$ associée à $\;\left(\Gamma \right)$, définie par sa densité linéique sur $\;\left(\Gamma \right)$, «$\;g(s)=\Lambda _{G}\;{\dfrac {y^{2}}{a^{2}\;{\sqrt {a^{2}+4\;x^{2}}}}}\;$» avec $\;s\;$ l'abscisse curviligne du point générique $\;M\,(x,\,y)\;$ de $\;\left(\Gamma \right)\;$ et
        Considérant une grandeur $\;\color {transparent}{G}\;$ associée à $\;\color {transparent}{\left(\Gamma \right)}$, définie par sa densité linéique sur $\;\color {transparent}{\left(\Gamma \right)}$, «$\;\color {transparent}{g(s)=\Lambda _{G}\;a^{2}\;{\sqrt {a^{2}+4\;x^{2}}}}\;$» avec $\Lambda _{G}\;$ une constante de même homogénéité que $\;G$,
     calculer l'intégrale curviligne «$\;G_{(\Gamma )}=\displaystyle \int _{(\Gamma )}g(s)\;ds\;$» dans laquelle $\;ds\;$ est la longueur élémentaire $\;{\big (}$ou l'abscisse curviligne élémentaire${\big )}\;$ de l$\;\left(\Gamma \right)\;$ en $\;M$.

Solution

     «$\;G_{(\Gamma )}=\displaystyle \int \limits _{(\Gamma )}g(s)\;ds\;$» dans laquelle $\;s\;$ est l'abscisse curviligne de $\;M\;$ sur $\;(\Gamma )$, l'origine étant $\;O\,(0,\,0)\;$ et le sens sur $\;(\Gamma )$, le sens $\;\nearrow \;$ de $\;x$, avec $\;\vert ds\vert =\Vert {\overrightarrow {dM}}\Vert ={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}\;$ où $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}dx\!\!&=&\!\!dx\\dy\!\!&=&\!\!2\,{\dfrac {x}{a}}\,dx\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;\vert ds\vert ={\sqrt {1+4\,{\dfrac {x^{2}}{a^{2}}}}}\;\vert dx\vert ={\dfrac {\sqrt {a^{2}+4\;x^{2}}}{a}}\;\vert dx\vert \;$ d'où «$\;ds={\dfrac {\sqrt {a^{2}+4\;x^{2}}}{a}}\;dx\;$», le sens sur $\;(\Gamma )\;$ étant le sens $\;\nearrow \;$ de $\;x$, soit «$\;G_{(\Gamma )}=\displaystyle \int _{-a}^{a}\Lambda _{G}\;{\dfrac {\dfrac {x^{4}}{a^{2}}}{a^{2}\;{\sqrt {a^{2}+4\;x^{2}}}}}\;{\dfrac {\sqrt {a^{2}+4\;x^{2}}}{a}}\;dx={\dfrac {\Lambda _{G}}{a^{5}}}\;\displaystyle \int _{-a}^{a}x^{4}\;dx$ $={\dfrac {\Lambda _{G}}{a^{5}}}\,\left[{\dfrac {x^{5}}{5}}\right]_{-a}^{a}={\dfrac {2\;\Lambda _{G}}{5}}\;$».

 

Calcul d'une grandeur associée à un arc de cercle définie par l'intégrale curviligne de sa densité linéique le long de l'arc

     Considérant le demi-cercle $\;\left(\Gamma \right)\;$ d'équation cartésienne $\;x^{2}+y^{2}=2\,a\;x,\;y\geqslant 0\;$ reliant les points $\;O\,(0\,,\,0)\;$ et $\;A\,(2\,a\,,\,0)$, $\;{\big (}a\;$ étant une grandeur $\;>0\;$ de même dimension que $\;x\;$ et $\;y{\big )}\;$ et
     Considérant une grandeur $\;G\;$ associée à $\;\left(\Gamma \right)$, définie par sa densité linéique sur $\;\left(\Gamma \right)$, «$\;g(s)=\Lambda _{G}\;{\dfrac {y}{a^{2}}}\;$» avec $\;s\;$ l'abscisse curviligne du point générique $\;M\,(x,\,y)\;$ de $\;\left(\Gamma \right)\;$ et
      Considérant une grandeur $\;\color {transparent}{G}\;$ associée à $\;\color {transparent}{\left(\Gamma \right)}$, définie par sa densité linéique sur $\;\color {transparent}{\left(\Gamma \right)}$, «$\;\color {transparent}{g(s)=\Lambda _{G}\;{\dfrac {y}{a^{2}}}}\;$» avec $\Lambda _{G}\;$ une constante de même homogénéité que $\;G$,
     calculer l'intégrale curviligne «$\;G_{(\Gamma )}=\displaystyle \int _{(\Gamma )}g(s)\;ds\;$» dans laquelle $\;ds\;$ est la longueur élémentaire $\;{\big (}$ou l'abscisse curviligne élémentaire${\big )}\;$ de $\;\left(\Gamma \right)\;$ en $\;M$.

Solution

     «$\;G_{(\Gamma )}=\displaystyle \int \limits _{(\Gamma )}g(s)\;ds\;$» dans laquelle $\;s\;$ est l'abscisse curviligne de $\;M\;$ sur $\;(\Gamma )$, l'origine étant $\;O\,(0,\,0)\;$ et le sens sur $\;(\Gamma )$, le sens $\;\nearrow \;$ de $\;x$, avec $\;\vert ds\vert =\Vert {\overrightarrow {dM}}\Vert ={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}\;$ où $\;dy\;$ résulte de la différenciation de la « fonction implicite du demi-cercle $\;y={\sqrt {x\,(2\,a-x)}}\;$» soit $\left\lbrace {\begin{array}{l c l}dx\!\!&=&\!\!dx\\dy\!\!&=&\!\!{\dfrac {a-x}{\sqrt {x\,(2\,a-x)}}}\,dx\end{array}}\right\rbrace$ $\Rightarrow$ $\;\vert ds\vert ={\sqrt {1+{\dfrac {(a-x)^{2}}{x\,(2\,a-x)}}}}\;\vert dx\vert ={\dfrac {a}{\sqrt {x\,(2\,a-x)}}}\;\vert dx\vert \;$ d'où «$\;ds={\dfrac {a}{\sqrt {x\,(2\,a-x)}}}\;dx\;$», le sens sur $\;(\Gamma )\;$ étant le sens $\;\nearrow \;$ de $\;x$, soit «$\;G_{(\Gamma )}=\displaystyle \int _{0}^{2\,a}\Lambda _{G}\;{\dfrac {\sqrt {x\,(2\,a-x)}}{a^{2}}}\;{\dfrac {a}{\sqrt {x\,(2\,a-x)}}}\;dx={\dfrac {\Lambda _{G}}{a}}\;\left[x\right]_{0}^{2\,a}=2\;\Lambda _{G}\;$».

 

Calculs d'intégrales curvilignes sur un arc de parabole défini par son équation cartésienne

     Considérant l'arc de parabole $\;\left(\Gamma \right)\;$ d'équation cartésienne $\;y=a-{\dfrac {x^{2}}{a}}\;$ reliant les points $\;A\,(-a\,,\,0)\;$ et $\;B\,(a\,,\,0)$, $\;{\big (}a\;$ étant une grandeur $\;>0\;$ de même dimension que $\;x\;$ et $\;y{\big )}$,
     Considérant l'arc de parabole $\;\color {transparent}{\left(\Gamma \right)}\;$ calculer les intégrales curvilignes «$\;I_{1}=\displaystyle \int \limits _{A{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B}y\;dx\;$», «$\;I_{2}=\displaystyle \int \limits _{A{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B}x\;dy\;$» et «$\;I_{3}=\displaystyle \int \limits _{A{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B}x\;dy+y\;dx\;$» .

Solution

     Soit l'arc de parabole $\;\left(\Gamma \right)\;$ d'équation cartésienne $\;y=a-{\dfrac {x^{2}}{a}}\;$ reliant les points $\;A\,(-a\,,\,0)\;$ et $\;B\,(a\,,\,0)$, $\;(x\,,\,y)\;$ étant les coordonnées cartésiennes de $\;M$, point générique de $\;(\Gamma )\;$ paramétré en $\;x$, $\;(dx\,,\,dy)\;$ étant les composantes du vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ tangent à $\;(\Gamma )\;$ en $\;M\;$ $\Rightarrow$ $\;dy=-{\dfrac {2\;x}{a}}\;dx\;$ d'où
     Soit l'arc de parabole $\;\color {transparent}{\left(\Gamma \right)}\;$ d'équation cartésienne $\;\color {transparent}{y=a-{\dfrac {x^{2}}{a}}}\;$ $\bullet \;$«$\;I_{1}=\displaystyle \int _{A{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B}y\;dx=\displaystyle \int _{-a}^{a}\left(a-{\dfrac {x^{2}}{a}}\right)\,dx=\left[a\;x-{\dfrac {x^{3}}{3\;a}}\right]_{-a}^{a}=2\;a^{2}-{\dfrac {2}{3}}\;a^{2}={\dfrac {4}{3}}\;a^{2}\;$» ;
     Soit l'arc de parabole $\;\color {transparent}{\left(\Gamma \right)}\;$ d'équation cartésienne $\;\color {transparent}{y=a-{\dfrac {x^{2}}{a}}}\;$ $\bullet \;$«$\;I_{2}=\displaystyle \int _{A{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B}x\;dy=\displaystyle \int _{-a}^{a}x\,\left(-{\dfrac {2\;x}{a}}\right)\,dx=\left[-{\dfrac {2\;x^{3}}{3\;a}}\right]_{-a}^{a}=-{\dfrac {4}{3}}\;a^{2}\;$» ;
     Soit l'arc de parabole $\;\color {transparent}{\left(\Gamma \right)}\;$ d'équation cartésienne $\;\color {transparent}{y=a-{\dfrac {x^{2}}{a}}}\;$ $\bullet \;$«$\;I_{3}=\displaystyle \int _{A{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B}x\;dy+y\;dx=I_{2}+I_{1}=0\;$» ;
     Soit l'arc de parabole $\;\color {transparent}{\left(\Gamma \right)}\;$ d'équation cartésienne $\;\color {transparent}{y=a-{\dfrac {x^{2}}{a}}}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$« la 2^ème justification résulte de la transformation de la forme différentielle «$\;x\;dy+y\;dx\;$» selon «$\;x\;dy+y\;dx=d\left(x\;y\right)\;$» d'où
     Soit l'arc de parabole $\;\color {transparent}{\left(\Gamma \right)}\;$ d'équation cartésienne $\;\color {transparent}{y=a-{\dfrac {x^{2}}{a}}}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;I_{3}=\displaystyle \int _{A{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B}d\left(x\;y\right)=\left\lbrace x\;y\right\rbrace (B)-\left\lbrace x\;y\right\rbrace (A)=0\;$» car $\;y_{B}=y_{A}=0$.