Leçons de niveau 14

Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Système d'équations différentielles couplées et leur découplage

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Système d'équations différentielles couplées et leur découplage
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Chapitre no 30
Leçon : Outils mathématiques pour la physique (PCSI)
Chap. préc. :Flux d'un champ vectoriel de l'espace, notion de champ vectoriel à flux conservatif
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Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Système d'équations différentielles couplées et leur découplage
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Une étude des systèmes d'équations différentielles couplées ne peut évidemment pas être exhaustive.

Notion de système d'équations différentielles couplées[modifier | modifier le wikicode]

     La méthode de résolution du système des équations différentielles « couplées » aux fonctions indépendantes de la même variable avec consiste à réaliser un « découplage » c.-à-d. trouver un système équivalent de autres équations différentielles à autres fonctions indépendantes de la même variable telles que chaque équation différentielle ne dépende que d'une nouvelle fonction de la variable [1] ;

     il est alors possible de résoudre chaque équation différentielle indépendamment des autres c.-à-d. de trouver les nouvelles fonctions de la même variable puis

     il est alors possible d'en déduire les solutions du système d'équations différentielles « couplées » c.-à-d. de trouver les fonctions d'origine de la même variable.

Exemple de couplage de système de deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants de deux fonctions indépendantes d'une même variable et découplage correspondant[modifier | modifier le wikicode]

Présentation d'un système de deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants de deux fonctions indépendantes d'une même variable[modifier | modifier le wikicode]

     Soit [2], [3] avec les quatre constantes connues et les deux fonctions réelles de la variable réelle à déterminer ; on vérifie aisément que les équations différentielles sont couplées car

  • la 1ère , équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2ème ordre en sans terme du 1er ordre, présente un 2nd membre jouant le rôle d'« excitation » mais qui, dépendant de , n'est pas connue en absence de résolution de la 2ème équation différentielle l'impossibilité de résoudre la 1ère équation différentielle avant la 2ème et
  • la 2ème , équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2ème ordre en sans terme du 1er ordre, présente un 2nd membre jouant le rôle d'« excitation » mais qui, dépendant de , n'est pas connue en absence de résolution de la 1ère équation différentielle l'impossibilité de résoudre la 2ème équation différentielle avant la 1ère d'où

     le couplage des deux équations différentielles.

Exposé d'une méthode de découplage du système de deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants de deux fonctions indépendantes d'une même variable[modifier | modifier le wikicode]

Généralités[modifier | modifier le wikicode]

     Du fait que les deux équations différentielles couplées sont linéaires [3], il semble possible de les découpler en formant une C.L. [4] de ces deux équations différentielles de la forme dans le but de définir une nouvelle fonction telle que la nouvelle équation différentielle ne dépende que de , ceci nécessitant un choix de pour être effectif

     Ce découplage sera effectif si on trouve deux C.L. [4] distinctes des équations différentielles permettant d'avoir un système d'équations différentielles découplées indépendantes en équivalent au système d'équations différentielles couplées

Mise en pratique du découplage par combinaison linéaire[modifier | modifier le wikicode]

     Formant , nous obtenons dans laquelle la dérivée du 1er membre ne dépend que de la nouvelle fonction soit que l'on peut réécrire selon  ;

     pour que cette nouvelle équation différentielle soit une équation différentielle en , il suffit que son 2nd membre soit proportionnel à pour tout couple de fonctions c.-à-d. [5] ou soit finalement

que soit solution de l'équation algébrique du 2ème degré «» ;

     l'équation algébrique du 2ème degré ci-dessus admet deux solutions réelles distinctes si son discriminant est [6], ce que semble nécessaire pour la réussite d'un découplage dans  :

     avec [6], nous avons deux solutions réelles distinctes et , pour chacune, le 2nd membre de l'équation différentielle s'écrit [7] d'où :

  • en posant et [8] comme nouvelle fonction, cette dernière est solution de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2ème ordre, homogène, sans terme du 1er ordre et indépendante , de même
  • en posant et [8] comme nouvelle fonction, cette dernière est solution de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2ème ordre, homogène, sans terme du 1er ordre et indépendante ,

     soit la réalisation du découplage du système d'équations différentielles couplées dans si «[6] » ;

     avec , nous avons une solution réelle double , le 2nd membre de l'équation différentielle s'écrit [9] d'où,

     en posant et [10] comme nouvelle fonction, cette dernière est solution de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2ème ordre, homogène, sans terme du 1er ordre et indépendante mais

     cette nouvelle équation différentielle étant unique, il n'y a pas de système d'équations différentielles découplées par C.L. [4] équivalent au système initial d'équations différentielles couplées [11] ;

     avec , nous n'avons pas de solutions réelles et par suite un découplage par C.L. [4] dans du système d'équations différentielles couplées est impossible il faut donc chercher une autre méthode de découplage dans le but de résoudre le système.

Suite de la résolution quand le découplage par combinaison linéaire réelle a été effectif[modifier | modifier le wikicode]

     Il s'agit du cas [6], le système d'équations différentielles couplées étant équivalent au système d'équations différentielles découplées avec et [8] dans lesquelles et sont les deux solutions réelles distinctes de l'équation algébrique du 2ème degré «» ;

     la résolution de chaque équation différentielle découplée et indépendante suivant la méthode exposée au paragraphe « résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre homogène sans terme du 1er ordre » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » nous permet d'obtenir respectivement et en fonction de et, pour chaque fonction, deux constantes réelles arbitraires et  ;

     il reste alors à revenir aux fonctions initiales et en résolvant [8]

  • en formant [8], [12] et
  • en formant [8], [12].

     Exemple : [2] c.-à-d. , , et , et les deux solutions réelles distinctes de l'équation algébrique du 2ème degré «» s'écrivent conduisant, avec [8], au découplage suivant d'où , étant des constantes réelles d'intégration arbitraires ;

     Exemple : on en déduit .

Suite de la résolution quand le découplage par combinaison linéaire réelle a partiellement échoué[modifier | modifier le wikicode]

     Il s'agit du cas , du système d'équations différentielles couplées on ne tire, par C.L. [4] réelle qu'une seule équation différentielle indépendante avec et [10] dans laquelle  ;

     la résolution de cette équation différentielle découplée et indépendante suivant la méthode exposée au paragraphe « résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre homogène sans terme du 1er ordre » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » nous permet d'obtenir en fonction de et de deux constantes réelles arbitraires  ;

     de cette relation on peut tirer en fonction de et par que l'on reporte dans l'équation différentielle soit ou soit finalement  ;

     la résolution de cette dernière équation différentielle suivant la méthode exposée au paragraphe « but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ou du 2ème ordre hétérogène » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » nous permet d'obtenir en fonction de , d'une solution particulière associée à l'excitation [13] voir le paragraphe « recherche de la solution forcée (quand celle-ci existe) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » [14] et de deux nouvelles constantes réelles arbitraires puis

     nous en déduisons par report de dans

     Exemple : [2] c.-à-d. , , et , la solution réelle double de l'équation algébrique du 2ème degré «» s'écrit [15] conduisant, avec [10], à l'équation différentielle indépendante d'où , avec des constantes réelles d'intégration arbitraires ;

     Exemple : de cette relation on exprime en fonction de selon que l'on reporte dans l'équation d'où dans laquelle on vérifie que la pulsation de l'excitation c.-à-d. de étant égale à la pulsation propre de l'oscillateur, il n'y a pas de solution particulière de même forme que l'excitation, ce qui nécessite de chercher une solution particulière de forme [14] soit finalement la solution particulière et par suite, la solution libre étant , on en déduit la solution de l'équation , avec nouvelles constantes réelles d'intégration arbitraires ;

     Exemple : on en déduit .

Recherche d'une autre méthode de résolution quand le découplage par combinaison linéaire réelle a totalement échoué[modifier | modifier le wikicode]

     Il s'agit du cas , du système d'équations différentielles couplées on ne tire, par C.L. [4] réelle, aucune équation différentielle indépendante,

     il faut donc rechercher une autre méthode de résolution et celle qui vient à l'esprit, compte-tenu du fait que la fonction n'apparaît qu'une fois dans l'équation différentielle resp. la fonction n'apparaît qu'une fois dans l'équation différentielle est la méthode « par substitution » [16] :

     de l'équation différentielle , on tire que l'on reporte dans l'équation différentielle , ce qui donne l'équation différentielle en suivante soit, après simplification et normalisation, l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants homogène du 4ème ordre en «» ;

     la résolution de cette équation différentielle suivant la méthode exposée au paragraphe « méthode de recherche d'une (ou de deux indépendantes) solution(s) particulière(s) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er (ou 2ème) ordre homogène » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » et « prolongée à la recherche de quatre solutions particulières indépendantes d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 4ème ordre homogène » nous conduit à la résolution de l'équation caractéristique , équation algébrique bicarrée du 4ème degré en , de discriminant en tant qu'équation en , , d'où

  • deux solutions complexes conjuguées de l'équation bicarrée pour soit conduisant à
  • quatre solutions complexes distinctes de l'équation caractéristique pour , toutes de même module [17] mais d'arguments distincts [18] deux à deux opposés soit ou et par suite

     la fonction s'écrit «» avec , , et des constantes arbitraires d'intégration ;

     la détermination de la fonction se fait alors en reportant l'expression de dans

     Exemple : [2] c.-à-d. , , et , on ne peut donc tirer, par C.L. [4] réelle, aucune équation différentielle indépendante et on adopte la méthode « par substitution » ;

     Exemple : de l'équation différentielle , on tire que l'on reporte dans l'équation différentielle , ce qui donne l'équation différentielle en suivante «» d'équation caractéristique dont le discriminant en tant qu'équation algébrique du 2ème degré en vaut d'où

  • deux solutions complexes conjuguées de l'équation bicarrée pour soit conduisant à
  • quatre solutions complexes distinctes de l'équation caractéristique pour , toutes de même module mais d'arguments distincts, deux à deux opposés, soit ou [19] et par suite

     Exemple : la fonction s'écrit «» avec , , et des constantes arbitraires d'intégration ;

     Exemple : la détermination de la fonction se fait alors en reportant l'expression de dans

Exemple de couplage de système de trois équations différentielles non linéaires de trois fonctions indépendantes d'une même variable et découplage complet impossible dans le cas général[modifier | modifier le wikicode]

Présentation de l'exemple[modifier | modifier le wikicode]

     Soit avec les deux constantes connues et les trois fonctions réelles de la variable réelle à déterminer ; on vérifie aisément que les équations différentielles sont couplées car

  • la 1ère , équation différentielle non linéaire du 1er ordre en , fait intervenir les deux autres fonctions et , non connues en absence de résolution des deux autres équations différentielles et l'impossibilité de résoudre la 1ère équation différentielle avant les 2ème et 3ème ,
  • la 2ème , équation différentielle non linéaire du 1er ordre en , fait intervenir les deux autres fonctions et , non connues en absence de résolution des deux autres équations différentielles et l'impossibilité de résoudre la 2ème équation différentielle avant les 1ère et 3ème et
  • la 3ème , équation différentielle non linéaire du 1er ordre en , fait intervenir les deux autres fonctions et , non connues en absence de résolution des deux autres équations différentielles et l'impossibilité de résoudre la 3ème équation différentielle avant les 1ère et 2ème d'où

     le couplage des trois équations différentielles.

Impossibilité (admise) du découplage complet du système d'équations différentielles non linéaires couplées[modifier | modifier le wikicode]

     Nous admettrons que le découplage complet [20] du système d'équations différentielles non linéaires couplées précédemment introduit est impossible [21] ;

     toutefois, compte-tenu de la ressemblance des équations différentielles et , il est possible de trouver une relation entre les fonctions indépendante de , c'est ce que nous proposons ci-dessous.

Établissement d'une relation entre f1(x) et f2(x) indépendante de f3(x) et découplage partiel du système des trois équations différentielles non linéaires couplées[modifier | modifier le wikicode]

     Supposant qu'aucune des fonctions n'est identiquement nulle [22], il en existe au moins une ne s'identifiant pas à la fonction nulle par exemple  ;

     à partir des deux équations différentielles semblables et , on forme soit, en divisant les deux membres par non identiquement nulle, qui s'intègre aisément en est une constante réelle d'intégration  ;

     les équations différentielles et se réécrivent alors selon correspondant à une seule et même équation différentielle ou, en introduisant la nouvelle fonction , l'équation différentielle suivante [23] ;

     l'équation différentielle se réécrivant selon , nous en déduisons que le système des trois équations différentielles non linéaires couplées en les trois fonctions est équivalent au système des deux équations différentielles non linéaires couplées en les deux fonctions à savoir

avec .

Impossibilité (admise) de la poursuite du découplage du système équivalent des deux équations différentielles non linéaires couplées en F2(x) et f3(x)[modifier | modifier le wikicode]

     Nous admettrons que la poursuite du découplage du système des deux équations différentielles non linéaires couplées est impossible,
     en absence de découplage seule une résolution numérique est possible voir le paragraphe « utilisation d'un logiciel de calcul numérique pour déterminer le mouvement de chute freinée de l'objet par résistance de l'air quadratique ainsi que la trajectoire de son centre d'inertie et l'hodographe de pôle O du mouvement de ce dernier » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

Exemple de couplage particulier de système de deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1er ordre de deux fonctions indépendantes d'une même variable et découplage correspondant[modifier | modifier le wikicode]

Présentation de l'exemple[modifier | modifier le wikicode]

     Soit [24], [3] avec les constantes , connues et les deux fonctions réelles de la variable réelle à déterminer ; on vérifie aisément que les équations différentielles sont couplées car

  • la 1ère , équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 1er ordre en , présente un 2nd membre jouant le rôle d'« excitation » mais qui, dépendant de , n'est pas connue en absence de résolution de la 2ème équation différentielle l'impossibilité de résoudre la 1ère équation différentielle avant la 2ème et
  • la 2ème , équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 1er ordre en , présente un 2nd membre jouant le rôle d'« excitation » mais qui, dépendant de , n'est pas connue en absence de résolution de la 1ère équation différentielle l'impossibilité de résoudre la 2ème équation différentielle avant la 1ère d'où

     le couplage des deux équations différentielles ;

     la particularité de ce couplage se manifeste par le même opérateur linéaire «» s'appliquant sur l'une ou l'autre des fonctions dans le 1er membre de chaque équation différentielle et par la dépendance de l'« excitation » de l'équation différentielle correspondante relativement à la fonction n'intervenant pas dans le 1er membre à savoir

  • l'« excitation » de l'équation différentielle en dépend de selon «» et
  •                celle de l'équation différentielle en dépend de selon «»,

     cette particularité pouvant résulter des deux 1ères composantes du produit vectoriel d'un vecteur et d'un autre vecteur soit par distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle soit encore fournissant

  • une composante d'« excitation » pour l'équation différentielle résultant de la projection sur et
  • une composante d'« excitation » pour l'équation différentielle résultant de la projection sur

Vérification de l'inapplicabilité de la méthode de combinaison linéaire réelle pour le découplage du système particulier des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1er ordre couplées[modifier | modifier le wikicode]

     Formant , nous obtenons dans laquelle la dérivée du 1er membre ne dépend que d'une nouvelle fonction soit que l'on peut réécrire selon  ;

     pour que cette nouvelle équation différentielle soit une équation différentielle en , il suffit que la partie non constante de son 2nd membre soit proportionnelle à pour tout couple de fonctions c.-à-d. [25] ou encore soit finalement que soit solution de l'équation algébrique du 2ème degré «», laquelle n'admet aucune solution réelle d'où

l'inapplicabilité de la méthode de découplage par combinaison linéaire réelle de ce type de système particulier

     Remarque : Il serait alors possible de résoudre ce système particulier en procédant « par substitution » comme cela a été fait dans le paragraphe « recherche d'une autre méthode de résolution quand le découplage par combinaison linéaire réelle a totalement échoué » plus haut dans le chapitre mais en fait, dans ce cas particulier d'équations différentielles couplées, il existe une méthode de découplage par combinaison linéaire complexe que nous présentons ci-dessous [26].

Exposé de la méthode de découplage par combinaison linéaire complexe du système particulier des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1er ordre couplées[modifier | modifier le wikicode]

     Préliminaire : cette méthode ne s'applique a priori qu'à ce système particulier des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1er ordre couplées [24], [3] avec et quatre constantes connues, la seule C.N. [27] pour que la méthode de découplage par C.L. [4] complexe de ce système particulier soit applicable est .

     Exposé de la méthode de découplage par C.L. [4] complexe de ce système particulier d'équations différentielles couplées : formant [28], nous obtenons dans laquelle la dérivée du 1er membre ne dépend que de la nouvelle fonction complexe telle que soit dans laquelle les fonctions réelles doivent s'effacer au profit de la fonction complexe , ce qui ne semble poser un problème que pour le 1er terme entre crochets du 2ème membre, à savoir , mais qui, en fait, n'en est pas si on met le cœfficient de en facteur c.-à-d. «» en facteur d'où [29] et par suite la nouvelle équation différentielle se réécrit selon avec constante telle que soit finalement

     le découplage par C.L. [4] complexe du système particulier des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1er ordre couplées en fonctions réelles se traduisant par formation d'une

équation différentielle linéaire à cœfficients complexes constants du 1er ordre en la fonction complexe a priori hétérogène,
avec constante.

Suite de la résolution après découplage par combinaison linéaire complexe du système particulier des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1er ordre couplées[modifier | modifier le wikicode]

     Il s'agit de résoudre, dans , c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients complexes constants du 1er ordre hétérogène en [30], l'excitation étant une constante complexe :

  • détermination de la solution forcée : l'excitation étant constante, nous recherchons la solution forcée sous forme d'une constante complexe[31] soit  ;
  • détermination de la solution libre : l'équation caractéristique admettant pour solution , nous en déduisons la solution libre avec constante complexe arbitraire d'intégration ;
  • expression de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients complexes constants du 1er ordre hétérogène : soit
    avec constante complexe arbitraire d'intégration.

Explicitation des solutions du système particulier des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1er ordre en f1(x) et f2(x)[modifier | modifier le wikicode]

     Sachant que les solutions du système particulier d'équations différentielles couplées [24], [3] sont telles que dans lesquelles [32] avec constantes réelles arbitraires d'intégration, nous en déduisons :

  • [33] avec constantes réelles arbitraires d'intégration et
  • [33] avec mêmes constantes réelles arbitraires d'intégration.

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Il n'y a pas de méthode standard de « découplage », ce dernier dépendant du type d'équations différentielles « couplées » présentes dans le système ;
       aussi va-t-on simplement exposer des exemples de système d'équations différentielles couplées et présenter un « découplage » adapté aux équations différentielles du système le découplage, quand il est possible, pouvant d'ailleurs ne pas être unique.
  2. 2,0 2,1 2,2 et 2,3 Chaque équation différentielle faisant intervenir une fonction particulière ainsi que ses dérivées dans un 1er membre, l'autre fonction seule, sans ses dérivées apparaissant dans le 2nd membre, nous pouvons considérer chacune des équations différentielles comme une équation différentielle en l'une des fonctions, l'autre fonction intervenant dans le 2nd membre pouvant, par abus, être qualifiée d'« excitation »
  3. 3,0 3,1 3,2 3,3 et 3,4 Pour que chaque équation différentielle soit qualifiée de « linéaire », il faut qu'elle le soit relativement à chaque fonction, celle apparaissant dans le 1er membre et celle apparaissant dans le 2ème c.-à-d. dans l'« excitation ».
  4. 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 et 4,9 Combinaison(s) Linéaire(s).
  5. et étant tous deux en effet, si était nul il faudrait que le soit aussi c.-à-d. que le soit et la C.L. proposée introduisant la fonction n'aurait aucun intérêt
  6. 6,0 6,1 6,2 et 6,3 L'hypothèse où et sont de même signe est suffisante pour que le discriminant soit .
  7. Les solutions suivant l'équation initiale .
  8. 8,0 8,1 8,2 8,3 8,4 8,5 et 8,6 À un facteur multiplicatif près, ce qui est déterminé étant et non avec resp. et non avec , il est possible de choisir et ou et ou un choix identique pour et pouvant être fait à partir de
  9. La solution double suivant l'équation initiale .
  10. 10,0 10,1 et 10,2 À un facteur multiplicatif près, ce qui est déterminé étant et non avec , il est possible de choisir