Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Produit scalaire, produit vectoriel et produit mixte

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Produit scalaire de deux vecteurs[modifier | modifier le wikicode]

Définition intrinsèque du produit scalaire de deux vecteurs[modifier | modifier le wikicode]

     Soient deux vecteurs et d'un espace vectoriel à trois ou deux dimensions représentés au même point de l'espace physique affine dont l'espace vectoriel est la direction [1] ; nous commençons par donner une « définition intrinsèque » [2] du produit scalaire avant de poursuivre avec une définition équivalente utilisant une base de l'espace.

     Avec , on en déduit ainsi que
     Avec , on en déduit d'où, en utilisant l'une ou l'autre forme de la définition intrinsèque [2] du produit scalaire de et ,
     Avec , on en déduit .

Conséquence de la définition d'un produit scalaire sur un espace vectoriel à trois (ou deux) dimensions[modifier | modifier le wikicode]

     La définition de la multiplication scalaire de deux vecteurs d'un espace vectoriel à trois ou deux dimensions rend l'espace vectoriel euclidien de même
                 La définition de la multiplication scalaire de deux vecteurs d'un espace vectoriel à trois ou deux elle rend euclidien l'espace affine dont cet espace vectoriel est la direction [1],
           La définition de la multiplication scalaire de deux vecteurs d'un espace vectoriel à trois ou deux le caractère euclidien de l'espace affine permettant de définir
           La définition de la multiplication scalaire de deux vecteurs d'un espace vectoriel à trois ou deux le caractère euclidien de l'espace affine la distance entre deux points de l'espace affine [3].

Propriétés[modifier | modifier le wikicode]

Valeurs possibles d'un produit scalaire de deux vecteurs[modifier | modifier le wikicode]

     « Lorsque ou est nul », «» ;

     « lorsqu'aucun des vecteurs n'est nul mais », d'où «» ;

     « dans tous les autres cas » en étant .

Autres propriétés[modifier | modifier le wikicode]

     La multiplication scalaire entre deux vecteurs est commutative c.-à-d. «» [4].

     La multiplication scalaire entre deux vecteurs est distributive par rapport à l'addition vectorielle c.-à-d. «» [5].

Définition du produit scalaire de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace[modifier | modifier le wikicode]

     On considère une base « orthonormée » [6] de l'espace vectoriel à trois dimensions [7] ainsi que
     On considère la décomposition de et dans cette base  ; utilisant la distributivité de la multiplication scalaire entre deux vecteurs relativement à l'addition vectorielle [8] on obtient en utilisant le caractère orthogonal deux à deux des vecteurs de base et enfin, par utilisation du caractère normé de ces derniers «».

Calcul de l'angle entre deux vecteurs connaissant leurs composantes dans une même base orthonormée et par l'intermédiaire de leur produit scalaire[modifier | modifier le wikicode]

     Soient deux vecteurs non nuls et de l'espace vectoriel à trois dimensions dans lequel on définit la base orthonormée ,
     supposons connues les composantes de ces vecteurs dans cette base c.-à-d. et
     cherchons à déterminer l'angle [10] entre ces deux vecteurs ; pour cela
     on exprime le produit scalaire de ces deux vecteurs de façon intrinsèque [2] «» [11] puis
     on explicite ce dernier en utilisant leurs composantes                                     «» [12],
     on en déduit alors                                                                                             «», la norme des vecteurs étant éliminée selon d'où
     on en déduit alors                                                                                             «».

Produit vectoriel de deux vecteurs[modifier | modifier le wikicode]

     La définition de la multiplication vectorielle de deux vecteurs d'un espace vectoriel à trois dimensions nécessite de vérifier, au préalable, que l'espace affine dont l'espace vectoriel est la direction [1] est orientable [13], ce que nous admettrons ;
     l'espace physique affine à trois dimensions dont l'espace vectoriel est la direction [1] étant orientable [13] et connexe, nous admettrons qu'il y a exactement deux orientations possibles différentes, le choix d'une de ces orientations qualifiant l'espace physique affine à trois dimensions de

  • « orienté à droite » orientation définie par le mouvement de rotation et translation associées d'un tire-bouchon de Maxwell [14] positionné en un point de l'espace ou
  • « orienté à gauche » orientation définissable par le mouvement de rotation et translation associées d'un tire-bouchon de farces et attrapes [15] positionné en un point de l'espace.

     Dans la suite de ce paragraphe nous supposons, en absence de précision, l'espace physique affine à trois dimensions dont l'espace vectoriel est la direction [1] « orienté à droite » par abus nous dirons « l'espace vectoriel est orienté à droite » au lieu de « l'espace physique affine à trois dimensions dont l'espace vectoriel est la direction [1] est orienté à droite » nous emploierions le même abus pour « l'espace physique affine à trois dimensions dont l'espace vectoriel est la direction [1] orienté à gauche ».

Base directe d'un espace orienté à droite[modifier | modifier le wikicode]

Vues en perspective et projetée d'un trièdre direct
Vues en perspective et projetée d'un trièdre indirect

     Soit une base « orthonormée » [6] de l'espace vectoriel, direction [1] de l'espace physique affine à trois dimensions « orienté à droite » [16], la base est

  • « directe » si, levant le pouce de la main droite dans le sens de , l'index pointant dans le sens de , « le sens de est donné par le majeur courbé vers la paume de la main droite » [17] voir schémas [18] ci-contre à gauche ou
  • « indirecte » si, levant le pouce de la main gauche dans le sens de , l'index pointant dans le sens de , « le sens de est donné par le majeur courbé vers la paume de la main gauche » « règle de la main gauche » [19] voir schémas [20] ci-dessus à droite.

Base directe (au sens de la physique) d'un espace orienté à gauche[modifier | modifier le wikicode]

     Préliminaire : Dans un espace « orienté à gauche » [16], la notion de base « directe au sens de la physique» doit être identifiée à celle de base « indirecte introduite en mathématiques » et
           Préliminaire : Dans un espace « orienté à gauche »,       celle de base « indirecte au sens de la physique» doit être identifiée à celle de base « directe introduite en mathématiques » en effet,
     Préliminaire : « en mathématiques, une base est dite directe » si les sens des vecteurs successifs de la base sont donnés par la même règle que celle définissant l'orientation de l'espace,
     Préliminaire : « en mathématiques, pour un espace « orienté à gauche » [16] une base est donc dite directe si elle suit la « règle de la main gauche » [19] et
           Préliminaire : « en mathématiques, pour un espace « orienté à gauche » une base est donc dite indirecte si elle suit la « règle de la main droite » [17] alors que
     Préliminaire : « en physique, une base sera dite directe » si les sens des vecteurs successifs de la base suivent la « règle de la main droite » [17] quelle que soit l'orientation de l'espace,
     Préliminaire : « en physique, pour un espace « orienté à gauche » [16] une base sera donc dite directe au sens de la physique si elle suit la « règle de la main droite » [17] et
           Préliminaire : « en physique, pour un espace « orienté à gauche » une base sera donc dite indirecte au sens de la physique si elle suit la « règle de la main gauche » [19] ;

     Préliminaire : « en physique, la raison du choix fait en physique dans un espace « orienté à gauche » [16] est son utilisation pratique en optique géométrique lors de la présence d'un miroir plan en effet
     Préliminaire : « en physique, la raison du choix fait en physique un miroir plan mettant en correspondance un espace objet [22] avec un espace image [23],
     Préliminaire : « en physique, la raison du choix fait en physique un miroir plan pour un espace objet usuellement « orienté à droite » [16] avec choix d'une base « directe » [24]
           Préliminaire : « en physique, la raison du choix fait en physique un miroir plan pour un espace objet usuellement « orienté à droite » obtenu par la « règle de la main droite » [17], il est souhaitable,
     Préliminaire : « en physique, la raison du choix fait en physiquement, que l'espace image associé soit « orienté à gauche » [16], [25] avec choix d'une base symétrique de par rapport
                  Préliminaire : « en physique, la raison du choix fait en physiquement, que l'espace image associé soit « orienté à gauche » au miroir soit [26], base de l'espace image
                  Préliminaire : « en physique, la raison du choix fait en physiquement, que l'espace image associé soit « orienté à gauche » au miroir soit obtenue par la « règle de la main gauche » [19] ;
     Préliminaire : « en physique, la raison du choix fait en physique les sens des vecteurs successifs de la base de l'espace image suivant la même règle que celle définissant l'orientation de l'espace image,
     Préliminaire : « en physique, la raison du choix fait en physique les sens des vecteurs successifs de la base serait qualifiée de « directe en mathématiques » mais
     Préliminaire : « en physique, la raison du choix fait en physique les sens des vecteurs successifs de la base est qualifiée d'« indirecte en physique » car, ce qui importe le plus en physique,
     Préliminaire : « en physique, la raison du choix fait en physique les sens des vecteurs successifs de c'est le choix de la base indépendamment de l'orientation de l'espace, par suite, il semble difficile
     Préliminaire : « en physique, la raison du choix fait en physique les sens des vecteurs successifs de de qualifier simultanément comme il faudrait le faire en suivant les définitions mathématiques
     Préliminaire : « en physique, la raison du choix fait en physique les sens des vecteurs successifs de de qualifier simultanément de « directe » la base de l'espace objet « orienté à droite » [16],
     Préliminaire : « en physique, la raison du choix fait en physique les sens des vecteurs successifs de de qualifier simultanément de « directe » la base obtenue par la « règle de la main droite » [17] et
     Préliminaire : « en physique, la raison du choix fait en physique les sens des vecteurs successifs de de qualifier simultanément de « directe » la base de l'espace image « orienté à gauche » [16],
     Préliminaire : « en physique, la raison du choix fait en physique les sens des vecteurs successifs de de qualifier simultanément de « directe » la base obtenue par la « règle de la main gauche » [19]

     Caractère direct ou indirect d'une base d'un espace orienté à gauche en physique : Soit une base « orthonormée » [6] de l'espace vectoriel, direction [1] de l'espace physique affine à trois dimensions « orienté à gauche » [16] l'orientation étant obtenue avec la « règle de la main gauche » [19],
     Caractère direct ou indirect d'une base d'un espace orienté à gauche en physique : la base est qualifiée de « directe au sens de la physique» si les sens des vecteurs successifs de la base
     Caractère direct ou indirect d'une base d'un espace orienté à gauche en physique : la base est qualifiée de « directe au sens de la physique» suivent la « règle de la main droite » [17] ou
     Caractère direct ou indirect d'une base d'un espace orienté à gauche en physique : la base est qualifiée de « indirecte au sens de la physique» si les sens des vecteurs successifs de la base
     Caractère direct ou indirect d'une base d'un espace orienté à gauche en physique : la base est qualifiée de « indirecte au sens de la physique» suivent la « règle de la main gauche » [19].

Définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteurs[modifier | modifier le wikicode]

Propriétés[modifier | modifier le wikicode]

     La multiplication vectorielle entre deux vecteurs est anticommutative c.-à-d. «» ;

     la multiplication vectorielle entre deux vecteurs est distributive par rapport à l'addition vectorielle c.-à-d. « ».

Définition du produit vectoriel de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace[modifier | modifier le wikicode]

     Remarque : La détermination des composantes du produit vectoriel des deux vecteurs et étant la même quel que soit le caractère « direct ou indirect au sens de la physique de la base » adaptée à l'« orientation à droite ou à gauche de l'espace » [16] le produit vectoriel de ces deux vecteursetdans un espace orienté à gauche [16] avec base indirecte au sens de la physiqueest opposé à celui deetdans un espace orienté à droite [16] avec base directe en effet

     Remarque : appelant la base « directe dans un espace orienté à droite » [16] et
     Remarque : appelant la base « indirecte au sens de la physique dans le même espace orienté à gauche » [16],
     Remarque : les composantes de « dans étant », « dans elles sont », de même
     Remarque : les composantes de « dans étant », « dans elles sont », nous en déduisons que
     Remarque : les composantes de « dans sont » et
     Remarque : les composantes de              « dans sont »

     Remarque : d'où exprimé dans et dans ayant une même 1ère composante et un couple de 2ème, 3ème composante opposée sont des vecteurs opposés,

     Remarque : cette conclusion étant en accord avec la définition intrinsèque [2] du produit vectoriel de deux vecteurs.

Propriété des vecteurs de base d'une base orthonormée[modifier | modifier le wikicode]

     On peut utiliser cette propriété et la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle [34] pour retrouver les composantes du produit vectoriel de deux vecteurs en effet :
     
     
      [35] ou en ordonnant
     .

Interprétation géométrique[modifier | modifier le wikicode]

Interprétation géométrique de la norme du produit vectoriel

     Notant l'angle non orienté entre les deux vecteurs, la norme de s'écrit alors «» ou,
     Notant l'angle non orienté entre les deux vecteurs, avec «» voir figure ci-contre,
     Notant l'angle non orienté entre les deux vecteurs, la norme de s'écrit alors «» encore égale à
     Notant l'angle non orienté entre les deux vecteurs, l'aire du parallélogramme construit à partir des vecteurset[36].

Calcul de l'angle entre deux vecteurs connaissant leurs composantes dans une même base orthonormée et par l'intermédiaire de leur produit vectoriel[modifier | modifier le wikicode]

     Soient deux vecteurs non nuls et de l'espace vectoriel à trois dimensions orienté [16] dans lequel on définit la base orthonormée [37],
     supposons connues les composantes de ces vecteurs dans cette base c.-à-d. et
     cherchons à déterminer l'angle [10] entre ces deux vecteurs ; pour cela
     on exprime la norme du produit vectoriel de ces deux vecteurs de façon intrinsèque [2] «» [38] puis
     on explicite cette dernière en utilisant les composantes du produit vectoriel                   «» [39],
     on en déduit alors                                                                                                              «»,
     la norme des vecteurs étant éliminée selon d'où             «».

Itération de la multiplication vectorielle[modifier | modifier le wikicode]

Conséquence de la non associativité de la multiplication vectorielle[modifier | modifier le wikicode]

     Le produit vectoriel de deux vecteurs étant un vecteur, il est possible d'itérer la multiplication vectorielle mais cette dernière étant « non associative » [40],
     Le produit vectoriel de deux vecteurs étant un vecteur, il est possible d'itérer la multiplication vectorielle il est donc indispensable de préciser dans quel ordre la multiplication vectorielle est faite ;

     ainsi avec un triplet ordonné de vecteurs quelconques on peut former deux « doubles produits vectoriels » [41] a priori différents,
     ainsi avec un triplet ordonné de vecteurs quelconques on peut former deux « doubles produits vectoriels » la non associativité de la multiplication vectorielle rendant
     ainsi avec un triplet ordonné de vecteurs quelconques on peut former deux « doubles produits vectoriels » la non associativité l'expression sans aucune signification [42].

Formules du double produit vectoriel[modifier | modifier le wikicode]

     Celles-ci peuvent se démontrer laborieusement à l'aide des composantes de chaque produit vectoriel dans une base orthonormée [37], voir le paragraphe « en complément : démonstration d'une des formules du double produit vectoriel par identification des composantes cartésiennes de chaque membre » plus loin dans le chapitre pour les sceptiques

  • le membre de droite est une combinaison linéaire (C.L.) des deux vecteurs à l'intérieur des parenthèses du membre de gauche à savoir et , le facteur multiplicatif de chaque vecteur étant le produit scalaire des deux autres vecteurs pour le produit scalaire est et pour c'est avec un signe devant le 1er vecteur des deux vecteurs à l'intérieur des parenthèses du membre de gauche à savoir [43] ;
  • le membre de droite est une combinaison linéaire (C.L.) des deux vecteurs à l'intérieur des parenthèses du membre de gauche à savoir et , le facteur multiplicatif de chaque vecteur étant le produit scalaire des deux autres vecteurs pour le produit scalaire est et pour c'est avec un signe devant le 2ème vecteur des deux vecteurs à l'intérieur des parenthèses du membre de gauche à savoir [44].

     Remarque : La 1ère formule du double produit vectoriel peut se déduire de la 2nde et vice versa par utilisation de l'anticommutativité de la multiplication vectorielle [45]
     Remarque : en effet par utilisation de la 2ème formule du double produit vectoriel, ce qui établit finalement c.-à-d. la 1ère formule du double produit vectoriel ;
     Remarque : il ne reste donc plus qu'à établir la 2nde formule du double produit vectoriel

Vérification des formules du double produit vectoriel à partir de l'utilisation de la base orthonormée cartésienne directe[modifier | modifier le wikicode]

On note la base orthonormée cartésienne [37].

     À utiliser en particulier si on se souvient que le développement du double produit vectoriel aboutit à une C.L. [46] des deux vecteurs situés entre parenthèses dans le membre de gauche mais
     À utiliser en particulier si on a oublié où doit être positionné le signe

     Formant un 1er produit vectoriel donnant et formant avec ce dernier le produit vectoriel donnant la formule du double produit vectoriel doit être en accord avec ce résultat
     Formant un 1er produit vectoriel donnant et formant avec ce dernier le produit vectoriel donnant on doit donc vérifier «» ;

     si on se souvient que le développement du double produit vectoriel doit être une C.L. [46] de et vecteurs du produit vectoriel entre parenthèses du membre de gauche,
          si on se souvient que le développement du double produit vectoriel doit être une C.L. de et devant quel vecteur faut-il positionner le signe  ?

     Compte tenu du résultat trouvé par utilisation des propriétés des vecteurs de base orthonormée, « le signe doit être devant et le signe devant » selon la formule suivante
     Compte tenu du résultat trouvé par utilisation des propriétés des vecteurs de base orthonormée, « » [47].

En complément : démonstration d'une des formules du double produit vectoriel par identification des composantes cartésiennes de chaque membre[modifier | modifier le wikicode]

     Nous nous proposons de démontrer la 2nde formule du double produit vectoriel c.-à-d. «» en déterminant les composantes cartésiennes du 1er membre [39] et
     Nous nous proposons de démontrer la 2nde formule du double produit vectoriel c.-à-d. «» en retrouvant celles du 2nd à l'aide du produit scalaire de deux vecteurs
     Nous nous proposons de démontrer la 2nde formule du double produit vectoriel c.-à-d. «» en retrouvant en fonction des composantes de ces derniers [12] soit :

      soit, en factorisant autrement chaque composante

      puis en ajoutant et retranchant dans chaque composante le même produit à savoir

  • pour la 1ère composante on ajoute permettant d'obtenir comme 1er terme et
    pour la 1ère composante on retranche permettant d'obtenir pour 2ème terme ,
  • pour la 2ème composante on ajoute permettant d'obtenir comme 1er terme et
    pour la 2ème composante on retranche permettant d'obtenir pour 2ème terme et
  • pour la 3ème composante on ajoute permettant d'obtenir comme 1er terme et
    pour la 3ème composante on retranche permettant d'obtenir pour 2ème terme  ;

     finalement on obtient établissant la formule du double produit vectoriel .

Produit mixte de trois vecteurs[modifier | modifier le wikicode]

     La définition de la multiplication mixte de trois vecteurs d'un espace vectoriel à trois dimensions nécessite de vérifier, au préalable, que l'espace affine dont l'espace vectoriel est la direction [1] est orientable [13], ce qui a déjà été fait en introduction du paragraphe « produit vectoriel de deux vecteurs » plus haut dans ce chapitre ;
     l'espace physique affine à trois dimensions dont l'espace vectoriel est la direction [1] étant orientable [13] a, du fait de son caractère connexe, exactement deux orientations différentes possibles à savoir

  • une « orientation à droite » orientation définie par le mouvement de rotation et translation associées d'un tire-bouchon de Maxwell [14] positionné en un point de l'espace ou
  • une « orientation à gauche » orientation définissable par le mouvement de rotation et translation associées d'un tire-bouchon de farces et attrapes [15] positionné en un point de l'espace.

     Dans la suite de ce paragraphe nous supposons, en absence de précision, l'espace physique affine à trois dimensions dont l'espace vectoriel est la direction [1] « orienté à droite » par abus nous dirons « l'espace vectoriel est orienté à droite » au lieu de « l'espace physique affine à trois dimensions dont l'espace vectoriel est la direction [1] est orienté à droite » nous emploierions le même abus pour « l'espace physique affine à trois dimensions dont l'espace vectoriel est la direction [1] orienté à gauche ».

Définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs[modifier | modifier le wikicode]

     Remarque : Le produit vectoriel de deux vecteurs dépendant de l'orientation de l'espace le produit vectoriel de deux vecteurs dans un espace « orienté à gauche » [16] étant l'opposé du produit vectoriel des mêmes vecteurs dans le même espace mais « orienté à droite » [16], [51] bien que
     Remarque : le produit scalaire de deux vecteurs en soit indépendant, nous en déduisons que
     Remarque : le produit mixte de trois vecteurs dépend de l'orientation de l'espace, plus précisément
     Remarque : le produit mixte de trois vecteurs dans un espace « orienté à gauche » [16] est l'opposé du produit mixte des mêmes vecteurs dans le même espace mais « orienté à droite » [16].

Propriétés[modifier | modifier le wikicode]

     Le produit mixte de trois vecteurs est invariant par permutation circulaire c.-à-d. que «» ;

     par contre toute permutation entre deux vecteurs laissant le 3ème en la même position change le produit mixte en son opposé par exemple :

     par contre «» résultant de l'anticommutativité du produit vectoriel [45] ou

     par contre «» résultant d'une 1ère permutation circulaire mettant en 3ème position selon
     par contre «» suivi de l'utilisation de l'anticommutativité du produit vectoriel [45] ;

     dans un espace « orienté à droite » [16], le produit mixte « est » [52] alors que
     dans un espace « orienté à gauche » [16], le produit mixte« est » [52].

Définition du produit mixte de trois vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace[modifier | modifier le wikicode]

     Remarque : On peut aisément vérifier l'invariance du produit mixte par permutation circulaire à l'aide des composantes des vecteurs par exemple
     Remarque : On peut aisément vérifier pour montrer que «» on part de dans laquelle
     Remarque : On peut aisément vérifier on fait des factorisations partielles en , et dans laquelle
     Remarque : On peut aisément vérifier sont les composantes ordonnées du produit vectoriel

Interprétation géométrique de la valeur absolue du produit mixte de trois vecteurs non coplanaires[modifier | modifier le wikicode]

Interprétation géométrique du produit mixte

     L'espace étant « orienté à droite » [16] et appelant un vecteur unitaire normal au plan formé par et tel que soit direct, nous pouvons écrire «» avec « représentant l'aire du parallélogramme construit à partir de et » [53] ;
     la définition intrinsèque [2] du produit scalaire nous conduisant à «» [11] avec «» [10]
     la valeur absolue du produit scalaire vaut «» où « représente la hauteur du parallélépipède relativement à la base formée du parallélogramme construit à partir de et » d'où
     la valeur absolue du produit scalaire vaut «» c.-à-d.
     la valeur absolue du produit scalaire vaut le volume du parallélépipède construit à partir de , et [54].

     Remarques : Si l'angle est aigu cas de la figure ci-dessus « le trièdre est direct » «»,
     Remarques : si l'angle est obtus figure non représentée « le trièdre est indirect » «».

     Remarques : Avec un espace « orienté à gauche » [16], nous appelons un vecteur unitaire normal au plan formé par et tel que soit indirect au sens de la physique[56],
          Remarques : Avec un espace « orienté à gauche », nous pouvons écrire «» avec « représentant l'aire du parallélogramme construit à partir de et » [53]
          Remarques : Avec un espace « orienté à gauche », nous pouvons écrire le trièdre étant indirect au sens de la physique[57] et colinéaires et de même sens et
          Remarques : Avec un espace « orienté à gauche », nous pouvons écrire «» [11] avec «» [10] d'où une « même interprétation de »,
          Remarques : Avec un espace « orienté à gauche », si l'angle est aigu, « le trièdre est indirect au sens de la physique» [57] «»,
          Remarques : Avec un espace « orienté à gauche », si l'angle est obtus, « le trièdre est direct au sens de la physique» [58] «».

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. 1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14 et 1,15 La direction d'un espace affine étant l'espace vectoriel à partir duquel l'espace affine est défini à l'aide de l'application qui, à chaque bipoint , associe un élément de noté vérifiant les deux propriétés suivantes :
    • «» relation de Chasles,
    • «» existence et unicité d'un translaté.
       Michel Chasles (1793 - 1880) mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en géométrie projective ainsi qu'en analyse harmonique ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.
  2. 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 et 2,7 Une définition est dite intrinsèque si elle est donnée sans référence à une quelconque base de l'espace.
  3. Avec les notations introduites dans la note « 1 » plus haut dans ce chapitre, la distance entre les points et de l'espace affine de direction , notée «»,
       Avec les notations introduites dans la note « 1 » plus haut dans ce chapitre, la distance entre les points et est la norme euclidienne de soit «» avec
       Avec les notations introduites dans la note « 1 » plus haut dans ce chapitre, la distance entre les points et «» ;
       un espace vectoriel euclidien c.-à-d. sur lequel est définie la multiplication scalaire est normé, la norme application de dans possède les propriétés
    • de séparation c.-à-d. « »,
    • d'absolue homogénéité de degré c.-à-d. «» et
    • de sous-additivité c.-à-d. «» encore appelée inégalité triangulaire ;
       conséquence des propriétés précédentes « une norme est toujours positive » en effet
    « d'où ».
  4. Cela se déduit de la 2ème forme de la définition intrinsèque du produit scalaire et du fait que le cosinus d'un angle est égal au cosinus de l'angle opposé c'est en effet ce qu'on obtient en permutant les deux vecteurs si on définit comme l'angle orienté entre le 1er vecteur et le 2nd.
  5. Cela se déduit de la 1ère forme de la définition intrinsèque du produit scalaire et du fait que le projeté de la somme de deux vecteurs sur une direction orientée est la somme des projetés de chaque vecteur sur cette même direction orientée par exemple le projeté de sur la direction de est la somme du projeté de sur la direction de et du projeté de sur la direction de
  6. 6,0 6,1 et 6,2 Vecteurs unitaires et orthogonaux deux à deux.
  7. La base étant orthonormée on a , , , , et .
  8. Voir le paragraphe « autres propriétés (de la multiplication scalaire, 2ème propriété) » plus haut dans ce chapitre.
  9. Signifiant que le produit scalaire des deux vecteurs reste inchangé par changement de base.
  10. 10,0 10,1 10,2 et 10,3 Angle non orienté.
  11. 11,0 11,1 et 11,2 Voir le paragraphe « définition intrinsèque du produit scalaire de deux vecteurs (autre forme de la définition intrinsèque) » plus haut dans ce chapitre.
  12. 12,0 et 12,1 Voir le paragraphe « définition du produit scalaire de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace » plus haut dans ce chapitre.
  13. 13,0 13,1 13,2 et 13,3 C.-à-d. que tout déplacement continu d'un objet chiral non superposable à son image dans un miroir plan dans l'espace aboutit, lors du retour au point de départ, à la superposition de l'image obtenue par déplacement avec l'objet de départ.
  14. 14,0 et 14,1 Le tire-bouchon de Maxwell est un tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point , elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon ;
       James Clerk Maxwell (1831 - 1879) physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.
  15. 15,0 et 15,1 Le tire-bouchon de farces et attrapes serait en fait un tire-bouchon pour gaucher, plaçant un bouchon en un point de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point , elle est dite « à gauche » parce qu'il faudrait tourner vers la gauche pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon.
  16. 16,00 16,01 16,02 16,03 16,04 16,05 16,06 16,07 16,08 16,09 16,10 16,11 16,12 16,13 16,14 16,15 16,16 16,17 16,18 16,19 16,20 16,21 16,22 16,23 16,24 16,25 16,26 16,27 16,28 16,29 et 16,30 Voir l'introduction du paragraphe « produit vectoriel de deux vecteurs » plus haut dans ce chapitre.
  17. 17,0 17,1 17,2 17,3 17,4 17,5 et 17,6 Cette règle pour déterminer le caractère « direct » d'un trièdre de vecteurs dans un espace orienté à droite est dite « règle de la main droite » ceux qui se souviennent de leur enfance pourraient l'appeler « règle de l'apprenti cow-boy droitier » ; il existe d'autres règles équivalentes :
       « règle de l'auto-stoppeur (droitier) » : l'avant bras droit étant dans le sens de , la poigne de la main droite courbée dans le sens de , le pouce est alors levé dans le sens de ,
       « règle du tire-bouchon de Maxwell » : le tire-bouchon tournant de vers , il s'enfonce dans le bouchon fixe dans le sens de ,
       « règle du bonhomme d'Ampère » : le bonhomme d'Ampère se couchant sur , ce vecteur lui entrant par les pieds et lui sortant par la tête, regardant droit devant dans le sens de , il tend le bras gauche perpendiculairement à son corps dans le sens de ,
       et bien d'autres règles que vous pouvez vous-même inventer.
       James Clerk Maxwell (1831 - 1879) physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations d'électromagnétisme, pour plus de détails voir la note « 14 » plus haut dans ce chapitre.
       André-Marie Ampère (1775 - 1836), mathématicien, physicien, chimiste et philosophe français, peut être considéré comme l'un des 1ers artisans de la mathématisation de la physique, il a édifié les fondements théoriques de l'électromagnétisme et a découvert les bases de l'électronique de la matière ; c'est lui qui inventa le bonhomme fictif portant son nom et permettant de déterminer le caractère direct d'un triplet de vecteurs.
  18. Sur le schéma en perspective, pour traduire que l'axe vient vers le lecteur on peut donner un effet au trait en lui donnant une épaisseur d'autant plus grande que l'endroit considéré est éloigné du plan de front ;
       sur le schéma projeté on traduit le sens de l'axe au plan de front et venant vers l'observateur par un cercle dans lequel on place un point.
  19. 19,0 19,1 19,2 19,3 19,4 19,5 et 19,6 Pouvant encore être appelé « règle de l'apprenti cow-boy gaucher » ; là encore il est possible de trouver des règles équivalentes
  20. Sur le schéma en perspective, pour traduire que l'axe s'éloigne du lecteur on peut donner un effet au trait en le remplaçant par des hachures d'autant moins larges que l'endroit considéré est éloigné du plan de front ;
       sur le schéma projeté on traduit le sens de l'axe au plan de front et s'éloignant de l'observateur par un cercle dans lequel on place une croix.
  21. On passe de la base à la base par symétrie plane relativement au plan  ; en conséquence une symétrie plane transforme une base « directe » en base « indirecte » et vice versa.
  22. Espace physique dans lequel les objets sont positionnés, réellement pour la partie située du côté air du miroir ou virtuellement pour celle située du côté opaque du miroir.
  23. Espace physique dans lequel les images données par le miroir des objets sont positionnées, réellement pour la partie située du côté air du miroir ou virtuellement pour celle située du côté opaque du miroir.
  24. Le vecteur unitaire orientant l'axe optique principal voir le paragraphe « algébrisation physique de l'axe optique principal (associé à un objet ponctuel) (dans un système catadioptrique unidirectionnel) » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » dans le sens de propagation de la lumière, et étant au miroir.
  25. En effet l'image d'un objet par un miroir plan est le symétrique de l'objet par rapport au plan du miroir et une symétrie plane a pour effet une inversion de l'orientation.
  26. Le vecteur unitaire orientant l'axe optique principal voir le paragraphe « algébrisation physique de l'axe optique principal (associé à un objet ponctuel) (dans un système catadioptrique unidirectionnel) » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » dans le sens de propagation de la lumière réfléchie sur le miroir, et étant au miroir.
  27. On utilisera la contraposée proposition contraire pour démontrer la colinéarité de deux vecteurs non nuls : "si deux vecteurs et non nuls sont tels que , alors ils sont colinéaires" étant la contraposée de "si deux vecteurs non nuls ne sont pas colinéaires, alors ".
  28. Cette précision « un espace orienté à droite » est souvent omise en physique car il est rare qu'un espace orienté à gauche soit utilisé, en particulier, quand on introduira un produit vectoriel de deux vecteurs, on utilisera la règle de la main droite pour déterminer le sens du produit vectoriel, ce qui sous-entend qu'on a orienté l'espace à droite.
  29. 29,0 et 29,1 Dans le cas où l'espace est orienté à gauche le caractère indirect au sens de la physique du trièdre correspond à l'utilisation de la règle de la main gauche pour déterminer le sens du produit vectoriel c'est la même règle utilisée pour déterminer l'orientation de l'espace, raison pour laquelle le trièdre serait qualifié de direct en mathématiques, ce que nous ne ferons pas
  30. Disposant verticalement les trois composantes des vecteurs on forme la somme des produits des composantes en suivant les flèches avec le signe les précédant pour la 1ère composante du produit vectoriel les flèches sont mises entre les lignes des 2èmes et 3èmes composantes des vecteurs : suivant la flèche descendante, le produit avec signe «» auquel on ajoute, suivant la flèche montante, le produit avec signe «» soit comme 1ère composante du produit vectoriel.
  31. Pour la 2ème composante du produit vectoriel les flèches devant être positionnées entre les lignes des 3èmes et 1ères composantes des vecteurs, on recopie la 1ère ligne en 4ème ligne pour pouvoir suivre la même règle de calcul et on positionne les flèches entre la 3ème et 4ème ligne : suivant la flèche descendante, le produit avec signe «» auquel on ajoute, suivant la flèche montante, le produit avec signe «» soit comme 2ème composante du produit vectoriel ;
       ce résultat peut aussi être obtenu par permutation circulaire à partir de la 1ère composante du produit vectoriel ce qui donne .
  32. Pour la 3ème composante du produit vectoriel les flèches devant être positionnées entre les lignes des 1ères et 2èmes composantes des vecteurs : suivant la flèche descendante, le produit avec signe «» auquel on ajoute, suivant la flèche montante, le produit avec signe «» soit comme 3ème composante du produit vectoriel ;
       ce résultat peut aussi être obtenu par permutation circulaire à partir de la 2ème composante du produit vectoriel ce qui donne .
  33. Ceci que la base soit « directe dans un espace orienté à droite » ou « indirecte au sens de la physique dans un espace orienté à gauche » car on utilise la même règle pour définir le produit vectoriel et l'orientation de l'espace.
  34. Voir le paragraphe « propriétés (de la multiplication vectorielle, 2ème propriété) » plus haut dans ce chapitre.
  35. On a utilisé l'anticommutativité du produit vectoriel voir le paragraphe « propriétés (de la multiplication vectorielle, 1ère propriété) » plus haut dans ce chapitre pour effectuer des regroupements par factorisation.
  36. L'aire d'un parallélogramme se calculant en multipliant la longueur d'un côté par la hauteur correspondante (c.-à-d. la distance orthogonale séparant ce côté et le côté qui lui est parallèle).
  37. 37,0 37,1 et 37,2 La base étant « directe si l'espace est orienté à droite » ou « indirecte au sens de la physique si l'espace est orienté à gauche ».
  38. Voir le paragraphe « définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteurs » plus haut dans ce chapitre.
  39. 39,0 39,1 et 39,2 Voir le paragraphe « définition du produit vectoriel de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace » plus haut dans ce chapitre.
  40. Contrairement à la multiplication dans l'ensemble des réels laquelle est associative selon ,
       Contrairement à la multiplication vectorielle est non associative : a priori avec trois vecteurs , et quelconques l'égalité pouvant se produire uniquement pour des cas particuliers ; vérifions en utilisant le triplet des vecteurs de base cartésienne et formons successivement et pour les comparer,
       or établissant la non associativité sur cet exemple ce qui est suffisant pour affirmer que la propriété d'associativité n'est pas applicable pour la multiplication vectorielle.
  41. On distingue ces doubles produits vectoriels par la position de la parenthèse ouvrante devant le 1er vecteur ou devant le 2nd.
  42. On ne doit donc jamais oublier de placer les parenthèses.
  43. Moyen mnémotechnique : dans le membre de gauche la parenthèse ouvrante est devant le 1er vecteur des trois vecteurs à savoir , dans le membre de droite le signe est devant le 1er vecteur du couple entre parenthèses du membre de gauche à savoir .
  44. Moyen mnémotechnique : dans le membre de gauche la parenthèse ouvrante est devant le 2ème vecteur des trois vecteurs à savoir , dans le membre de droite le signe est devant le 2ème vecteur du couple entre parenthèses du membre de gauche à savoir .
  45. 45,0 45,1 et 45,2 Voir le paragraphe « propriétés (de la multiplication vectorielle, 1ère propriété) » plus haut dans le chapitre.
  46. 46,0 et 46,1 Combinaison Linéaire.
  47. La parenthèse s’ouvrant sur le 1er vecteur des trois vecteurs du membre de gauche, le signe est bien devant le 1er vecteur de la C.L. du membre de droite.
  48. L'ordre n'est pas indifférent.
  49. Une telle situation peut être engendrée par deux vecteurs colinéaires, le 3ème étant alors nécessairement coplanaire avec les deux autres, ou trois vecteurs coplanaires sans qu'aucun ne soit colinéaire à un autre.
  50. On peut utiliser la contraposée c.-à-d. la proposition contraire pour démontrer la coplaniarité de trois vecteurs non nuls : « si trois vecteurs , et non nuls sont tels que , alors ils sont coplanaires » étant la contraposée de la proposition « si trois vecteurs non nuls ne sont pas coplanaires, alors ».
  51. Voir le paragraphe « définition du produit vectoriel de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace (remarque) » plus haut dans ce chapitre.
  52. 52,0 et 52,1 Si la règle suivie par le trièdre ordonné des trois vecteurs d'un produit mixte est la même que celle définissant l'orientation de l'espace « règle de la main droite pour un espace orienté à droite » ou « règle de la main gauche pour un espace orienté à gauche » le produit mixte est sinon il est
  53. 53,0 et 53,1 Voir le paragraphe « interprétation géométrique (de la norme d'un produit vectoriel de deux vecteurs) » plus haut dans ce chapitre.
  54. On rappelle que le volume d'un parallélépipède se calcule en multipliant l'aire d'une base quelconque par la hauteur correspondante.
  55. Pour que le parallélépipède existe il faut que les trois vecteurs ne soient pas coplanaires, sinon la valeur absolue du produit mixte est nulle en accord avec la dégénérescence du parallélépipède.
  56. Il est donc obtenu par application de la « règle de la main gauche » tout comme la règle définissant l'orientation de l'espace et est donc de sens contraire à celui de la figure ci-dessus.
  57. 57,0 et 57,1 Donc obtenu par application de la « règle de la main gauche » tout comme .
  58. Donc obtenu par application de la « règle de la main droite » contrairement à obtenu par application de la « règle de la main gauche ».