Leçons de niveau 14

Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Produit scalaire, produit vectoriel et produit mixte

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Sommaire

Produit scalaire de deux vecteurs[modifier | modifier le wikicode]

Définition intrinsèque du produit scalaire de deux vecteurs[modifier | modifier le wikicode]

......Soient deux vecteurs et d'un espace à trois (ou deux) dimensions représentés au même point  ; nous commençons par donner une « définition intrinsèque » [1] du produit scalaire avant de poursuivre avec une définition équivalente utilisant une base de l'espace.

......Avec , on en déduit ainsi que d'où, en utilisant l'une ou l'autre forme de la définition intrinsèque du produit scalaire de et , .

Propriétés[modifier | modifier le wikicode]

Valeurs possibles d'un produit scalaire de deux vecteurs[modifier | modifier le wikicode]

......Lorsque ou est nul,  ;

......lorsqu'aucun des vecteurs n'est nul mais , d'où  ;

......dans tous les autres cas en étant si est aigu et si est obtus.

Autres propriétés[modifier | modifier le wikicode]

......La multiplication scalaire entre deux vecteurs est commutative c'est-à-dire [2].

......La multiplication scalaire entre deux vecteurs est distributive par rapport à l'addition vectorielle c'est-à-dire [3].


Définition du produit scalaire de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace[modifier | modifier le wikicode]

......On considère une base « orthonormée »[4] de l'espace à trois dimensions [5] ainsi que la décomposition de et dans cette base  ; utilisant la distributivité de la multiplication scalaire entre deux vecteurs relativement à l'addition vectorielle on obtient :

...... soit finalement, en utilisant le caractère normé des vecteurs de base .

Calcul de l'angle entre deux vecteurs connaissant leurs composantes dans une même base orthonormée et par l'intermédiaire de leur produit scalaire[modifier | modifier le wikicode]

......Soient deux vecteurs non nuls et de l'espace à trois dimensions dans lequel on définit la base orthonormée , supposons connues les composantes de ces vecteurs dans cette base c'est-à-dire et cherchons à déterminer  ;
...... pour cela on peut exprimer le produit scalaire de ces deux vecteurs de façon intrinsèque d'une part et en utilisant leurs composantes d'autre part soit : donnant expression dans laquelle on peut éliminer les normes des vecteurs par et d'où

.

Produit vectoriel de deux vecteurs[modifier | modifier le wikicode]

Base directe[modifier | modifier le wikicode]

Vues en perspective et projetée d'un trièdre direct

......Soient trois vecteurs formant une base « orthonormée »[4]. En imaginant le pouce de la main droite levé dans la direction de et l'index pointant la direction de , on dit que est une « base directe » « si la direction de est donnée par le majeur courbé vers la paume de la main droite » [7] (voir schémas [8] ci-contre).

Vues en perspective et projetée d'un trièdre indirect

......Sinon elle est dite « indirecte » [9] (voir schémas [10] ci-contre).

Définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteurs[modifier | modifier le wikicode]

Propriétés[modifier | modifier le wikicode]

......La multiplication vectorielle entre deux vecteurs est anticommutative c'est-à-dire  ;

......la multiplication vectorielle entre deux vecteurs est distributive par rapport à l'addition vectorielle c'est-à-dire .


Définition du produit vectoriel de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace[modifier | modifier le wikicode]

......[15] ...... [16] ...... et
.......

Propriété des vecteurs de base d'une base orthonormée[modifier | modifier le wikicode]

......On peut utiliser cette propriété et la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle pour retrouver les composantes du produit vectoriel de deux vecteurs en effet :

[19] soit enfin
ou en ordonnant
.
Interprétation géométrique de la norme du produit vectoriel

Interprétation géométrique[modifier | modifier le wikicode]

......Notant l'angle non orienté entre les deux vecteurs, la norme de s'écrit ou, avec , soit encore l'aire du parallélogramme construit à partir des vecteurs et [20].

Calcul de l'angle entre deux vecteurs connaissant leurs composantes dans une même base orthonormée et par l'intermédiaire de leur produit vectoriel[modifier | modifier le wikicode]

......Soient deux vecteurs non nuls et de l'espace à trois dimensions dans lequel on définit la base orthonormée , supposons connues les composantes de ces vecteurs dans cette base c'est-à-dire et cherchons à déterminer [21] ;


...... pour cela on peut exprimer la norme du produit vectoriel de ces deux vecteurs de façon intrinsèque d'une part et en utilisant leurs composantes d'autre part soit : donnant expression dans laquelle on peut éliminer les normes des vecteurs par et d'où

.

Itération de la multiplication vectorielle[modifier | modifier le wikicode]

Conséquence de la non associativité de la multiplication vectorielle[modifier | modifier le wikicode]

......Le produit vectoriel de deux vecteurs étant un vecteur, il est possible d'itérer la multiplication vectorielle mais cette dernière étant « non associative » [22] c'est-à-dire, avec trois vecteurs , et quelconques, on vérifie qu'en général [23] il est indispensable de préciser dans quel ordre la multiplication vectorielle est faite ;

......ainsi avec un triplet ordonné de vecteurs quelconques on peut former deux « doubles produits vectoriels » [24] a priori différents, la non associativité de la multiplication vectorielle rendant l'expression sans aucune signification [25].

Formules du double produit vectoriel[modifier | modifier le wikicode]

......Celles-ci peuvent se démontrer laborieusement à l'aide des composantes de chaque produit vectoriel dans une base orthonormée « directe » [26], voir le paragraphe « démonstration d'une des formules du double produit vectoriel par identification des composantes cartésiennes de chaque membre » plus loin dans le chapitre (pour les sceptiques) …

  • le membre de droite est une combinaison linéaire (C.L.) des deux vecteurs à l'intérieur des parenthèses du membre de gauche (à savoir et , le facteur multiplicatif de chaque vecteur étant le produit scalaire des deux autres vecteurs (pour le produit scalaire est et pour c'est avec un signe devant le 1er vecteur des deux vecteurs à l'intérieur des parenthèses du membre de gauche (à savoir [27] ;
  • le membre de droite est une combinaison linéaire (C.L.) des deux vecteurs à l'intérieur des parenthèses du membre de gauche (à savoir et , le facteur multiplicatif de chaque vecteur étant le produit scalaire des deux autres vecteurs (pour le produit scalaire est et pour c'est avec un signe devant le 2ème vecteur des deux vecteurs à l'intérieur des parenthèses du membre de gauche (à savoir [28].

......Remarque : La 1ère formule du double produit vectoriel peut se déduire de la 2nde (et vice versa) par utilisation de l'anticommutativité de la multiplication vectorielle [29] en effet par utilisation de la 2ème formule du double produit vectoriel, ce qui établit finalement c'est-à-dire la 1ère formule du double produit vectoriel ;
......Remarque : il ne reste donc plus qu'à établir la 2nde formule du double produit vectoriel …

Vérification des formules du double produit vectoriel à partir de l'utilisation de la base orthonormée cartésienne directe[modifier | modifier le wikicode]

On note la base orthonormée cartésienne directe.

......À utiliser en particulier si on se souvient que le développement du double produit vectoriel aboutit à une C.L. des deux vecteurs situés entre parenthèses dans le membre de gauche mais que l'on a oublié où doit être positionné le signe

......Formant un 1er produit vectoriel donnant et formant avec ce dernier le produit vectoriel donnant la formule du double produit vectoriel doit être en accord avec ce résultat c'est-à-dire que l'on doit vérifier  ;

......si on se souvient que le développement du double produit vectoriel doit être une C.L. de et (vecteurs du produit vectoriel entre parenthèses du membre de gauche), devant quel vecteur faut-il positionner le signe

......Le résultat final étant le signe doit donc être devant et le signe devant le selon la formule suivante [30].

En complément : démonstration d'une des formules du double produit vectoriel par identification des composantes cartésiennes de chaque membre[modifier | modifier le wikicode]

......Nous nous proposons de démontrer la 2nde formule du double produit vectoriel c'est-à-dire en déterminant les composantes cartésiennes du 1er membre et en retrouvant celles du 2nd soit :

...... soit, en factorisant autrement chaque composante puis en ajoutant et retranchant dans chaque composante le même produit à savoir

  • pour la 1ère composante on ajoute permettant d'obtenir comme 1er terme et
    .pour la 1ère composanteon retranche permettant d'obtenir pour 2ème terme ,
  • pour la 2ème composante on ajoute permettant d'obtenir comme 1er terme et
    .pour la 1ère composanteon retranche permettant d'obtenir pour 2ème terme et
  • pour la 3ème composante on ajoute permettant d'obtenir comme 1er terme et
    .pour la 1ère composanteon retranche permettant d'obtenir pour 2ème terme  ;

......finalement on obtient établissant la formule du double produit vectoriel .

Produit mixte de trois vecteurs[modifier | modifier le wikicode]

Définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs[modifier | modifier le wikicode]

Propriétés[modifier | modifier le wikicode]

......Le produit mixte de trois vecteurs est invariant par permutation circulaire c'est-à-dire que  ;

......par contre toute permutation entre deux vecteurs laissant le troisième en la même position change le produit mixte en son opposé par exemple :

  • résultant de l'anticommutativité du produit vectoriel ou
  • résultant d'une première permutation circulaire mettant en troisième position selon suivi de l'utilisation de l'anticommutativité du produit vectoriel ;

......dans un espace orienté par une base orthonormée directe, le produit mixte et
......dans un espace orienté par une base orthonormée indirecte, le produit mixte [34].

Définition du produit mixte de trois vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace[modifier | modifier le wikicode]

......Remarque : On peut aisément vérifier l'invariance du produit mixte par permutation circulaire à l'aide des composantes des vecteurs par exemple pour montrer que on part de dans laquelle, après des factorisations partielles en , et , on obtient
......Remarque : avec les composantes ordonnées du produit vectoriel .

Interprétation géométrique de la valeur absolue du produit mixte de trois vecteurs non coplanaires[modifier | modifier le wikicode]

Interprétation géométrique du produit mixte

...... Nous choisissons d'orienter l'espace par une base orthonormée directe ; appelant un vecteur unitaire normal au plan formé par et tel que soit direct, on peut écrire
...... avec représentant l'aire du parallélogramme construit à partir de et  ;
......d'autre part la définition du produit scalaire nous conduit à avec [35] représente la hauteur du parallélépipède relativement à la base formée du parallélogramme construit à partir de et d'où

c'est-à-dire
le volume du parallélépipède construit à partir de , et [36].

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Une définition est dite intrinsèque si elle est donnée sans référence à une quelconque base de l'espace.
  2. Cela se déduit de la deuxième forme de la définition intrinsèque du produit scalaire et du fait que le cosinus d'un angle est égal au cosinus de l'angle opposé (c'est en effet ce qu'on obtient en permutant les deux vecteurs si on définit comme l'angle orienté entre le premier vecteur et le second).
  3. Cela se déduit de la première forme de la définition intrinsèque du produit scalaire et du fait que le projeté de la somme de deux vecteurs sur une direction orientée est la somme des projetés de chaque vecteur sur cette même direction orientée (par exemple le projeté de sur la direction de est la somme du projeté de sur la direction de et du projeté de sur la direction de
  4. 4,0 et 4,1 Vecteurs unitaires et orthogonaux deux à deux.
  5. La base étant orthonormée on a , , , , et .
  6. Signifiant que le produit scalaire des deux vecteurs reste inchangé par changement de base.
  7. Cette règle pour déterminer le caractère « direct » d'un trièdre de vecteurs est dite « règle de la main droite » (ceux qui se souviennent de leur enfance pourraient l'appeler « règle de l'apprenti cow-boy droitier ») ; il existe d'autres règles équivalentes :
    ......« règle de l'autostoppeur (droitier) » : l'avant bras (droit) étant dans la direction de , la poigne de la main (droite) courbée dans la direction de , le pouce est alors levé dans la direction de  ;
    ......« règle du tire-bouchon de Maxwell (tire-bouchon pour droitier non trouvé dans un magasin de farces et attrapes) » : le tire-bouchon tournant de vers , il s'enfonce dans le bouchon fixe dans la direction de , James Clerk Maxwell (1831 - 1879) physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif permettant de déterminer le caractère direct d'un triplet de vecteurs a été baptisé « tire-bouchon de Maxwell » en son honneur ;
    ......« règle du bonhomme d'Ampère » : le bonhomme d'Ampère se couchant sur , ce vecteur lui entrant par les pieds et lui sortant par la tête, regardant droit devant dans la direction de , il tend le bras gauche perpendiculairement à son corps dans la direction de , André-Marie Ampère (1775 - 1836), mathématicien, physicien, chimiste et philosophe français, peut être considéré comme l'un des premiers artisans de la mathématisation de la physique, il a édifié les fondements théoriques de l'électromagnétisme et a découvert les bases de l'électronique de la matière ; c'est lui qui inventa le bonhomme fictif portant son nom et permettant de déterminer le caractère direct d'un triplet de vecteurs ;
    ......et bien d'autres règles que vous pouvez vous-même inventer.
  8. Sur le schéma en perspective, pour traduire que l'axe vient vers le lecteur on peut donner un effet au trait en lui donnant une épaisseur d'autant plus grande que l'endroit considéré est éloigné du plan de front ;
    ......sur le schéma projeté on traduit le sens de l'axe perpendiculaire au plan de front et venant vers l'observateur par un cercle dans lequel on place un point.
  9. Pour vérifier le caractère « indirect » d'un trièdre de vecteurs, on peut utiliser la « règle de la main gauche » : le pouce de la main gauche étant levé dans la direction de , l'index pointant la direction de , la direction de est donnée par le majeur courbé vers la paume de la main gauche.
  10. Sur le schéma en perspective, pour traduire que l'axe s'éloigne du lecteur on peut donner un effet au trait en le remplaçant par des hachures d'autant moins larges que l'endroit considéré est éloigné du plan de front ;
    ......sur le schéma projeté on traduit le sens de l'axe perpendiculaire au plan de front et s'éloignant de l'observateur par un cercle dans lequel on place une croix.
  11. On passe de la base à la base par symétrie plane relativement au plan  ; en conséquence une symétrie plane transforme une base « directe » en base « indirecte » et vice versa.
  12. On utilise la contraposée (proposition contraire) pour démontrer la colinéarité de deux vecteurs non nuls : "si deux vecteurs et non nuls sont tels que , alors ils sont colinéaires" étant la contraposée de "si deux vecteurs non nuls ne sont pas colinéaires, alors ".
  13. Cette précision « un espace orienté par un trièdre direct » est souvent omise en physique car il est rare qu'un trièdre indirect soit utilisée, en particulier, quand on introduira un produit vectoriel de deux vecteurs, on utilisera la règle des trois doigts de la main droite pour déterminer le sens du produit vectoriel, ce qui sous-entend qu'on a orienté l'espace par un trièdre direct.
  14. Dans le cas où le trièdre orientant l'espace serait indirect il faudrait utiliser la règle des trois doigts de la main gauche pour déterminer le sens du produit vectoriel (mais ceci ne devrait jamais se présenter car on a quasiment toujours le choix du trièdre orientant l'espace et on choisira, sauf cas très particulier, un trièdre direct) …
  15. Disposant verticalement les trois composantes des vecteurs on forme la somme des produits des composantes en suivant les flèches avec le signe les précédant (pour la première composante du produit vectoriel les flèches sont mises entre les lignes des deuxièmes et troisièmes composantes des vecteurs) : suivant la flèche descendante, le produit avec signe auquel on ajoute, suivant la flèche montante, le produit avec signe soit comme première composante du produit vectoriel.
  16. Pour la deuxième composante du produit vectoriel les flèches devant être positionnées entre les lignes des troisièmes et premières composantes des vecteurs, on recopie la première ligne en quatrième ligne pour pouvoir suivre la même règle de calcul et on positionne les flèches entre la troisième et quatrième ligne : suivant la flèche descendante, le produit avec signe auquel on ajoute, suivant la flèche montante, le produit avec signe soit comme deuxième composante du produit vectoriel ;
    ...... ce résultat peut aussi être obtenu par permutation circulaire à partir de la première composante du produit vectoriel ce qui donne .
  17. En effet les vecteurs et restant inchangés (dans la mesure où ce sont des vecteurs ne dépendant pas de l'orientation de l'espace) mais le troisième vecteur de base étant changé en son opposé, la troisième composante des vecteurs et doit être changée en son opposée.
  18. Ceci que la base soit directe ou indirecte (on rappelle que l'on utilise la règle des trois doigts de la main droite pour une base directe et des trois doigts de la main gauche pour une base indirecte).
  19. On a utilisé l'anticommutativité du produit vectoriel pour effectuer des regroupements par factorisation.
  20. L'aire d'un parallélogramme se calculant en multipliant la longueur d'un côté par la hauteur correspondante (c'est-à-dire la distance orthogonale séparant ce côté et le côté qui lui est parallèle).
  21. Angle non orienté.
  22. Contrairement à la multiplication dans l'ensemble des réels où .
  23. Pour le vérifier on peut prendre le triplet des vecteurs de base cartésienne et former successivement et pour les comparer, or établissant la non associativité sur cet exemple ce qui est suffisant pour affirmer que la propriété d'associativité n'est pas applicable pour la multiplication vectorielle.
  24. On distingue ces doubles produits vectoriels par la position de la parenthèse ouvrante devant le 1er vecteur ou devant le 2nd.
  25. On ne doit donc jamais oublier de placer les parenthèses.
  26. Il est rappelé qu'un produit vectoriel n'est défini que si l'espace est orienté ; suivant le choix de l'orientation (base directe ou indirecte, mais dans la pratique la base sera quasiment toujours choisie directe) le produit vectoriel a un sens ou un autre tel que soit direct (utilisation de la règle des trois doigts de la main droite) ou indirect (utilisation de la règle des trois doigts de la main gauche),
    ...Il est rappelé qu'un produit vectoriel n'est défini que si l'espace est orienté ; mais les expressions donnant les composantes d'un produit vectoriel à partir de celles des vecteurs d'origine sont les mêmes que l'orientation de l'espace soit directe ou indirecte.
  27. Moyen mnémotechnique : dans le membre de gauche la parenthèse ouvrante est devant le 1er vecteur des trois vecteurs (à savoir , dans le membre de droite le signe est devant le 1er vecteur du couple entre parenthèses du membre de gauche (à savoir .
  28. Moyen mnémotechnique : dans le membre de gauche la parenthèse ouvrante est devant le 2ème vecteur des trois vecteurs (à savoir , dans le membre de droite le signe est devant le 2ème vecteur du couple entre parenthèses du membre de gauche (à savoir .
  29. Voir le paragraphe « propriétés de la multiplication vectorielle » plus haut dans le chapitre.
  30. La parenthèse s’ouvrant sur le 1er vecteur des trois vecteurs du membre de gauche, le signe est bien devant le 1er vecteur de la C.L. du membre de droite.
  31. L'ordre n'est pas indifférent.
  32. Une telle situation peut être engendrée par deux vecteurs colinéaires, le 3e étant alors nécessairement coplanaire avec les deux autres, ou trois vecteurs coplanaires sans qu'aucun ne soit colinéaire à un autre.
  33. On peut utiliser la contraposée (c'est-à-dire la proposition contraire) pour démontrer la coplanairité de trois vecteurs non nuls : "si trois vecteurs , et non nuls sont tels que , alors ils sont coplanaires" étant la contraposée de la proposition "si trois vecteurs non nuls ne sont pas coplanaires, alors ".
  34. Ainsi le signe du produit mixte de trois vecteurs permet de savoir si le trièdre formé par les trois vecteurs placés dans le même ordre que celui du produit mixte est de même orientation ou non que la base orthonormée orientant l'espace ;
    ......si le produit mixte est positif il est de même orientation, à savoir si la base est directe (respectivement indirecte) le trièdre est direct (respectivement indirect) et
    ......s'il est négatif il est d'orientation contraire à savoir si la base est directe (respectivement indirecte) le trièdre est indirect (respectivement direct).
  35. Angle non orienté.
  36. On rappelle que le volume d'un parallélépipède se calcule en multipliant l'aire d'une base quelconque par la hauteur correspondante.
  37. Pour que le parallélépipède existe il faut que les trois vecteurs ne soient pas coplanaires, sinon la valeur absolue du produit mixte est nulle en accord avec la dégénérescence du parallélépipède.