Leçons de niveau 14

Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Grandeurs associées à une fonction sinusoïdale du temps : amplitude complexe et vecteur de Fresnel

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Grandeurs associées à une fonction sinusoïdale du temps : amplitude complexe et vecteur de Fresnel
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Chapitre no 8
Leçon : Outils mathématiques pour la physique (PCSI)
Chap. préc. :Produit scalaire, produit vectoriel et produit mixte
Chap. suiv. :Fonctions trigonométriques inverses
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Grandeur instantanée complexe et vecteur de Fresnel tournant associés à une fonction sinusoïdale du temps[modifier | modifier le wikicode]

......Soit une fonction sinusoïdale du temps, de pulsation , , sur laquelle on souhaite faire une « opération linéaire » [1] comme la dériver temporellement (respectivement prendre la primitive temporelle de valeur moyenne nulle) ou l'ajouter (respectivement la soustraire) à une autre fonction sinusoïdale du temps, de même pulsation .

Grandeur instantanée complexe[modifier | modifier le wikicode]

......On utilise le fait que est respectivement [2] de [3].

Vecteur de Fresnel tournant[modifier | modifier le wikicode]


Lien entre grandeur instantanée complexe et vecteur de Fresnel tournant[modifier | modifier le wikicode]

Amplitude complexe et vecteur de Fresnel associés à une fonction sinusoïdale du temps de pulsation fixée[modifier | modifier le wikicode]

Amplitude complexe[modifier | modifier le wikicode]

......Compte-tenu de la forme de la grandeur instantanée complexe, il est possible de réécrire cette dernière comme le produit de la fonction complexe et d'une grandeur complexe indépendante du temps .

Vecteur de Fresnel[modifier | modifier le wikicode]

......Le vecteur de Fresnel [5] tournant le faisant à vitesse angulaire constante , son angle avec l'axe de référence est la somme d'un terme proportionnel au temps et d'un terme indépendant du temps  ;
......quand on travaille sur deux fonctions sinusoïdales de même pulsation (par exemple quand on cherche leur déphasage ou quand on souhaite en faire la somme ou la différence), on constate que les vecteurs de Fresnel [5] tournants associés le faisant à la même vitesse angulaire sont fixes l'un par rapport à l'autre et par suite qu'il est alors possible de ne pas tenir compte de la rotation (c'est-à-dire de ne pas tenir compte du terme proportionnel au temps dans l'angle que font les vecteurs de Fresnel [5] tournants avec l'axe de référence

Lien entre amplitude complexe et vecteur de Fresnel[modifier | modifier le wikicode]

Traduction de la dérivation temporelle d'une fonction sinusoïdale du temps de pulsation fixée[modifier | modifier le wikicode]

......La dérivation temporelle étant une « opération linéaire »[1], on en déduit que « la dérivée temporelle de la représentation complexe d'une fonction sinusoïdale du temps » est « la représentation complexe de la dérivée temporelle de la fonction sinusoïdale du temps » et par suite « pour déterminer la dérivée temporelle d'une fonction sinusoïdale du temps » il suffit de former la dérivée temporelle de sa représentation complexe ;
...... or la dérivée temporelle de étant [8] on en déduit les propriétés
ci-dessous concernant l'amplitude complexe ou le vecteur de Fresnel [5] :

Dérivation temporelle en termes d'amplitude complexe[modifier | modifier le wikicode]

......D'après avec est l'amplitude complexe de cette dernière, on en déduit que l'amplitude complexe de la dérivée temporelle de est [9].

......On peut itérer cette propriété et en déduire que l'amplitude complexe de la dérivée seconde est .

......On peut aussi inverser la propriété pour obtenir « la primitive temporelle (de valeur moyenne nulle) d'une grandeur instantanée complexe » [10] et on en déduit que l'amplitude complexe de la primitive de valeur moyenne nulle est .

Dérivation temporelle en termes de vecteur de Fresnel[modifier | modifier le wikicode]

......Compte-tenu du lien entre amplitude complexe et vecteur de Fresnel [5] on en déduit la propriété ci-dessous :

......On peut itérer cette propriété et en déduire que le vecteur de Fresnel [5] de la dérivée seconde s'obtient en multipliant la norme du vecteur de Fresnel [5] par et en lui faisant subir une rotation de [12].

......On peut aussi inverser la propriété pour obtenir « la primitive temporelle (de valeur moyenne nulle) d'une fonction sinusoïdale » [13] et on en déduit que le vecteur de Fresnel [5] de la primitive de valeur moyenne nulle s'obtient en divisant la norme du vecteur de Fresnel [5] par et en lui faisant subir une rotation de .

Traduction du déphasage entre deux fonctions sinusoïdales du temps de même pulsation[modifier | modifier le wikicode]

......L'avance de phase (mathématique) de la fonction sinusoïdale sur la fonction sinusoïdale de même pulsation est définie par [14] ;

......si est (respectivement , est « mathématiquement en avance » (respectivement « mathématiquement en retard ») sur  ;
............toutefois le caractère « physiquement en avance » (ou « physiquement en retard ») est défini relativement au déphasage physique [c._à_d. la détermination principale du déphasage (mathématique) noté [14]], est « physiquement en avance » (respectivement « physiquement en retard ») sur si est (respectivement .

......En termes de grandeurs instantanées complexes, l'avance de phase (mathématique) de sur se calcule par

.

Déphasage en termes d'amplitude complexe[modifier | modifier le wikicode]

......Compte-tenu du lien entre grandeur instantanée complexe et amplitude complexe, on a la propriété suivante :

Déphasage en termes de vecteur de Fresnel[modifier | modifier le wikicode]

......Compte-tenu du lien entre amplitude complexe et vecteur de Fresnel [5] on a la propriété suivante :

Traduction de la somme de deux fonctions sinusoïdales du temps de même pulsation[modifier | modifier le wikicode]

......Soit à déterminer la somme avec et  ; nous allons la déterminer d'abord en utilisant les vecteurs de Fresnel [5] associés aux deux fonctions sinusoïdales, construits à partir d'une même origine , le diagramme ainsi construit étant appelé « diagramme de Fresnel » [17].

Amplitude et phase initiale résultantes en termes de vecteur de Fresnel[modifier | modifier le wikicode]

Détermination de la somme de deux fonctions sinusoïdales de même pulsation par diagramme de Fresnel [5]

......On trace d'abord les deux vecteurs de Fresnel [5] et à partir d'une même origine puis on construit la somme de ces deux vecteurs en utilisant la règle du parallélogramme ;

......nous cherchons donc à évaluer la norme de et l'angle que fait ce vecteur avec l'axe de référence , nous aurons donc respectivement l'amplitude de l'onde résultante et sa phase initiale :

  • [18] d'où, en notant l'amplitude de la « somme des fonctions sinusoïdales de même pulsation ω » [19] et, en utilisant les définitions des vecteurs de Fresnel [5] associés à chaque fonction sinusoïdale
     ;
  • nous pouvons obtenir la phase initiale de l'onde résultante en projetant le diagramme de Fresnel [5] ci-dessus sur les axes et  : dont on tire le cosinus et le sinus de
    .

Amplitude et phase initiale résultantes en termes d'amplitude complexe[modifier | modifier le wikicode]

......Aux fonctions sinusoïdales du temps de pulsation , et , on associe respectivement les amplitudes complexes et  ;

......la somme des deux fonctions sinusoïdales du temps étant une fonction sinusoïdale du temps de même pulsation , fonction que l'on notera , on associe une amplitude complexe égale à la somme des amplitudes complexes soit [20] ou  ;

............on détermine alors l'amplitude de en prenant le module de l'amplitude complexe soit avec [21] ou car le conjugué d'une somme est la somme des conjugués soit ou, en développant et enfin, en reconnaissant l'une des formules d'Euler on obtient l'expression finale

 ;

............on détermine ensuite la phase initiale de en prenant l'argument de l'amplitude complexe soit ou encore ou, en prenant la forme algébrique de chaque amplitude complexe pour obtenir la forme algébrique de l'amplitude complexe résultante [22], on obtient, suivant la valeur de la partie réelle de l'amplitude complexe résultante :

............ si , ,
............ si , [23],
............ si , la forme de dépend de la valeur de la partie imaginaire [24] soit :
............ avec ,  »[24] ou,
............ avec , [24] ou,
............ avec , [24].

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. 1,0 et 1,1 Une opération agissant sur l'ensemble des fonctions sinusoïdales de pulsation est dite linéaire si l'image par cette opération est une fonction de l'ensemble d'une part et d'autre part si l'image d'une somme de fonctions de l'ensemble est égale à la somme des images par la même opération de chaque fonction de la somme.
  2. signifiant « partie réelle » et « partie imaginaire ».
  3. Quand la fonction sinusoïdale du temps est une grandeur électrique, le nombre imaginaire pur de « module unité » et d'argument est noté étant réservé pour représenter l'intensité d'un courant).
  4. Cette propriété pour l'instant admise sera établie dans le cours de mécanique.
  5. 5,00 5,01 5,02 5,03 5,04 5,05 5,06 5,07 5,08 5,09 5,10 5,11 5,12 5,13 5,14 5,15 5,16 5,17 5,18 5,19 5,20 5,21 5,22 5,23 5,24 5,25 5,26 5,27 5,28 5,29 5,30 et 5,31 Augustin Jean Fresnel (1788 - 1827) physicien français à qui on doit principalement l'explication de tous les phénomènes optiques dans le cadre de la théorie ondulatoire de la lumière.
  6. Signifiant que et .
  7. On distingue le vecteur de Fresnel à l'instant 0 du vecteur de Fresnel à l'instant en réservant au premier le nom « vecteur de Fresnel » (car c'est celui-là qui est quasi systématiquement utilisé), le second étant nommé « vecteur de Fresnel tournant ».
  8. En termes de grandeur instantanée complexe on a donc c'est-à-dire qu'il suffit de multiplier la grandeur instantanée complexe par pour obtenir sa dérivée temporelle.
  9. L'amplitude complexe d'une grandeur instantanée complexe étant le cœfficient de et étant celui de .
  10. Une primitive étant définie à une constante additive près, il faut préciser « de valeur moyenne nulle » pour que la primitive de la fonction sinusoïdale du temps soit de la forme admettant une grandeur instantanée complexe associée.
  11. Bien entendu et ne s'exprimant pas dans la même unité, il convient de choisir une échelle de représentation du vecteur de Fresnel associé à relativement à celle du vecteur de Fresnel associé à .
  12. C'est-à-dire encore une symétrie centrale.
  13. Une primitive étant définie à une constante additive près, il faut préciser « de valeur moyenne nulle » pour que la primitive de la fonction sinusoïdale du temps soit de la forme admettant un vecteur de Fresnel tournant associé.
  14. 14,0 et 14,1 Ce déphasage est qualifié de mathématique pour le distinguer du déphasage physique lequel est le seul permettant de savoir si telle fonction est maximale avant telle autre ; les phases à l'instant ayant une signification physique à près, il en est de même de leur différence et il convient de prendre la détermination principale de cette différence c'est-à-dire la valeur telle que pour définir le déphasage physique.
  15. S'obtient à partir de après simplification par .
  16. En effet d'où le résultat énoncé, les angles étant dans un même plan.
  17. Dans le cas d'une addition de fonctions sinusoïdales, l'utilisation des vecteurs de Fresnel peut être considérée comme plus concrète que l'utilisation des amplitudes complexes pour ceux qui ont quelques notions de géométrie.
  18. Le produit scalaire est introduit dans le paragraphe « définition intrinsèque du produit scalaire » du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  19. Au passage soulignons que la somme de deux fonctions sinusoïdales de pulsation  est une fonction sinusoïdale de même pulsation .
  20. Traduisant le caractère linéaire de l'opérateur associant une amplitude complexe à une fonction sinusoïdale du temps de pulsation .
  21. Le complexe conjugué de est noté, en physique, .
  22. En effet et .
  23. En effet si la partie réelle d'un complexe est positive, son argument peut se mettre sous forme d'un comme cela sera étudié au chap. dans le paragraphe « Détermination de l'argument (d'un complexe connu sous sa forme algébrique) » de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  24. 24,0 24,1 24,2 et 24,3
    En effet si la partie réelle d'un complexe est négative, son argument , elle ne peut pas se mettre sous forme d'un comme cela sera étudié au chap. dans le paragraphe « Détermination de l'argument (d'un complexe connu sous sa forme algébrique) » de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  25. Le choix entre et dépendant de la valeur de la partie imaginaire , .