Mécanique pour l'enseignement technique industriel/Exercices/Mouvements de translation rectiligne

**Mouvements de translation rectiligne**
Leçon : Mécanique pour l'enseignement technique industriel

Exercices n^o5
Chapitre du cours :	Mouvement de translation rectiligne
Exercices de niveau 12.
Exo préc. :	Caractériser le mouvement
Exo suiv. :	Mouvements de rotation

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Mouvements de translation rectiligne
Mécanique pour l'enseignement technique industriel/Exercices/Mouvements de translation rectiligne », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Guidage pseudo-linéaire : suspension de train

Présentation

Guidage de suspension par deux biellettes

Sur certains trains, la suspension utilise le système suivant : le moyeu rep. 4 recevant l'essieu est relié au bâti rep. 1 par deux biellettes rep. 2 et rep. 3 articulées sur pivot. Ces biellettes assurent le guidage du moyeu par rapport au bâti.

Le point E est le centre de l'axe de la roue (centre du moyeu). Les points A à D sont les centres des pivots entre les biellettes et le bâti ; les points B et C sont les centres des pivots entre les biellettes et le moyeu. Le point E est situé au milieu du segment [BC].

Travail

Matériel requis

Règle, rapporteur, compas, crayon sec (H à 4H), stylo à encre, calculatrice (pour l'échelle).

Question 1

Remplir le tableau des mouvements et des trajectoires. Justifier la détermination de T_B∈4/1 et de T_C∈4/1.

Mouvements et trajectoires
Mouvement		Trajectoire
Désignation	Type	Désignation	Élément géométrique associé
M^vt_2/1		T_B∈2/1
M^vt_3/1		T_C∈3/1
M^vt_4/2
M^vt_4/1		T_B∈4/1
M^vt_4/1		T_C∈4/1

Question 2

Faire une épure à une échelle de votre choix à partir du schéma cinématique ci-contre, et tracer la trajectoire du point E∈4 par rapport au solide 1. Pour cela, on prendra des positions du point B∈2 séparées de 5°, pour un angle par rapport à l'horizontale allant de -20 à +10°.

Aide

Mise en page et échelle

La distance horizontale entre A et D est 240 + 360 + 240 = 840 mm. Si l’on utilise une feuille A4 en position horizontale, cela doit tenir dans 297 mm. Le rapport est 840/297 = 2,8 ; pour échelle, on peut donc prendre 1:3, ou mieux, pour se garder un peu de marge et simplifier les calculs, 1:4.

Les points A et D sont les deux points fixes par rapport à 1. L'idéal est que le point E de la figure en position neutre ([AB] et [CD] horizontaux, tel que représenté sur le schéma cinématique) soit à peu près au centre de la feuille. On place donc le point A vers le bord gauche de la feuille (à 1 ou 2 cm du bord), et à une distance de la ligne médiane correspondant à 190/2 = 95 mm en réel (soit 24 mm pour une échelle 1:4). Puis, on place le point D.

Construction

On commence par tracer T_B∈2/1 et T_C∈3/1, puis on place 6 points sur T_B∈2/1 tous les 5°.

On utilise le fait que :

la pièce 4 est rigide ;
E est le milieu de [BC].

Question 3

Commenter la forme de la trajectoire, et indiquer l’intérêt de cette solution technologique.

Solution

Question 1

Mouvements et trajectoires
Mouvement		Trajectoire
Désignation	Type	Désignation	Élément géométrique associé
M^vt_2/1	rotation de centre A	T_B∈2/1	arc de cercle de centre A et de rayon AB
M^vt_3/1	rotation de centre A	T_C∈3/1	arc de cercle de centre D et de rayon CD
M^vt_4/2	rotation de centre B
M^vt_4/1	mouvement plan quelconque	T_B∈4/1	= T_B∈2/1
M^vt_4/1	mouvement plan quelconque	T_C∈4/1	= T_C∈3/1

Car B est le centre du pivot entre 1 et 2, et C est le centre du pivot entre 1 et 3.

Question 2

Pour chaque point B_i, on trace un cercle de centre B_i et de rayon BC : la pièce 4 est rigide, donc [BC] garde la même longueur. Ce cercle coupe T_C∈3/1 en deux points ; l'un de ces points est le point C_i. on prend le point le plus proche du point précédent ; il faut donc commencer le tracé par la position initiale (notée 5).

Pour le point B₆, les cercles sont tangents ; C₆ est donc le point de tangence.

Le point E_i est le milieu de [B_iC_i].

Question 3

On a une courbe en S, qui est quasiment rectiligne et verticale sur sa partie centrale. Ainsi, pour des mouvements de faible amplitude (-10 à +5°), on a un guidage quasiment rectiligne.

Par rapport à une glissière (queue d'aronde, douille à billes, glissière à rouleaux, …), cette solution bien moins chère, beaucoup plus robuste, et ne présente pas de risque de coincement (arc-boutement).

Lecture d'un chronogramme

Chronogramme de position

Présentation

La figure ci-contre représente les chronogrammes de position de trois mouvements rectilignes.

Travail demandé

Pour chacun des trois mouvements :

Indiquer la nature du mouvement (uniforme ou varié).
Déterminer la vitesse moyenne.
Établir les équations horaires x = ƒ(t ).

Solution

Dans les trois cas, la courbe est une droite. Cela signifie que les vitesses sont constantes, donc que les mouvements sont uniformes.

La vitesse moyenne est alors la pente de la droite, son coefficient directeur. Pour le déterminer, on prend deux points A et B et l’on calcule (voir Fonctions affines et linéaires/Équation réduite d'une droite#Coefficient directeur) :

v_{0}={\frac {x_{\mathrm {B} }-x_{\mathrm {A} }}{t_{\mathrm {B} }-t_{\mathrm {A} }}}

on choisit des points « faciles » (ayant des valeurs entières ou demi-entières si possible), et le plus éloigné l'un de l'autre. Le paramètre x₀ est simplement l'ordonnée à l'origine ; pour la courbe 1, il faut prolonger la droite.

Courbe 1

v₀ = 0,75 m/s ;
x = -0,75 + 0,75 × t.

Courbe 2

v₀ = 0 ;
x = -1,5.

Courbe 3

v₀ = −0,6 m/s ;
x = 5 - 0,6 × t.

Chronogramme de vitesse

Présentation

Pour réaliser un usinage, le chariot transversal de la fraiseuse suit le chronogrammes de vitesse ci-contre ; celui-ci comporte trois phases.

Travail demandé

Pour chacune des trois phases :

Indiquer la nature du mouvement (uniforme ou varié).
Déterminer l'accélération moyenne.
Établir les équations horaires v = ƒ(t ) ;
on partira à chaque fois du début de la phase (t = 0 et x = 0 en début de phase, et non pas en début de mouvement).

Solution

La vitesse varie dans les phases 1 et 3, ce sont donc des mouvements variés. La vitesse est constante dans la phase 2, c’est donc un mouvement uniforme.

L'accélération moyenne est alors la pente de la droite, son coefficient directeur. Pour le déterminer, on prend deux points A et B et l’on calcule (voir Fonctions affines et linéaires/Équation réduite d'une droite#Coefficient directeur) :

a_{0}={\frac {v_{\mathrm {B} }-v_{\mathrm {A} }}{t_{\mathrm {B} }-t_{\mathrm {A} }}}

on choisit des points « faciles » (ayant des valeurs entières ou demi-entières si possible), et le plus éloigné l'un de l'autre. Le paramètre v₀ est simplement l'ordonnée à l'origine ; pour les phases courbe 2 et 3, il faut prolonger la droite.

Phase 1

a₀ = 5 m/s² ;
v = 5 × t.

Phase 2

a₀ = 0 ;
v = −2,5 m/s.

Phase 3

a₀ = −2,5 m/s² ;
v = 12,5 - 2,5 × t.

Exercices analytiques

Étude du mouvement d'un portail

Annale de sujet d'examen

Cet exercice est tombé au Bac pro Bâtiment-métal-alu-verre-matériaux de synthèse en 2005, épreuve Mathématiques et sciences physiques.

Suite à une visite chez un particulier, le commercial d'une entreprise fabriquant des portails amène le croquis d'un portail coulissant et d'un portillon.

Le particulier désire installer un portail coulissant motorisé. Pour réduire l'usure du portail et ne pas trop fatiguer la mécanique par des à-coups, on lui conseille d’utiliser un moteur faisant varier lentement la vitesse d'ouverture (et de fermeture). La diagramme de la vitesse du portail en fonction du temps est représenté ci-contre.

Quelle est la nature du mouvement pour les deux premières secondes d'ouverture ? Justifier la réponse.
Calculer l'accélération du portail pendant les deux premières secondes.
En déduire le chemin parcouru pendant les deux premières secondes.
Quelle est la vitesse du portail lorsque celui-ci est animé d'un mouvement rectiligne uniforme ?
Quelle distance a parcouru le portail pendant son mouvement rectiligne uniforme ?
Sachant que le chemin parcouru pendant les deux dernières secondes est le même que celui calculé à la question 3, quelle est la distance totale parcourue par le portail ?

Rappels: M.R.U. : x = vt; M.R.U.V. : v = at et $x={\frac {1}{2}}at^{2}$

Solution

C'est un mouvement de translation rectiligne uniformément varié (MRUV) : la vitesse varie de manière régulière.
On a
v = at donc a = v/t
soit a = v(2 s)/2 = 0,5/2 = 0,25 m/s².
On a
x = 1/2⋅at²
donc x(2 s) = 1/2 × 0,25 × 2² = 0,5 m.
Sur le graphique, on lit
v = 0,5 m/s.
Le mouvement dure 4 s ; on a
x = vt
soit x = 0,5 × 4 = 2 m.
On a
d = 0,5 + 2 + 0,5 = 3 m.

Performances au décollage d'un avion de tourisme

Annale de sujet d'examen

Cet exercice est tombé au Bac pro Aéronautique en 2003, épreuve Mathématiques et sciences physiques (U12).

Un constructeur amateur vient de finir la réalisation d'un avion de tourisme. Il doit maintenant effectuer certains réglages et essais sur cet avion.

L'essai est effectué par vent nul. Lors de cet essai, l'avion décolle lorsque la vitesse donnée par l'anémomètre de bord est de 80 km/h. Une personne au sol chronomètre le roulage et relève un temps t = 23 s. La distance de roulage depuis le lâcher de frein (vitesse nulle) jusqu'à la phase d'envol est x = 250 m.

Le mouvement de l'avion durant la phase de roulage est uniformément accéléré. Calculer la valeur de l'accélération en m/s² arrondie à 0,01 m/s².
En déduire la valeur, en km/h, de la vitesse instantanée au moment de l'envol.
La précision de la vitesse affichée par l'anémomètre est de 4 %. L'appareil de mesure est-il conforme ? Justifier la réponse.

Formules: $x={\frac {1}{2}}at^{2}$; v = at

Avertissement

Le sujet tel que rédigé est ambigu : on pourrait croire que la vitesse d'envol de 80 km/h est une donnée. En fait :

les seules données initiales sont la distance de roulage et le temps de roulage ; l'accélération (question 1) et la vitesse d'envol (question 2) sont calculées à partir de ces données ;
à la question 3, on compare la vitesse calculée à la vitesse mesurée de 80 km/h.

Solution

On a
x = 1/2⋅at²
donc a = 2x/t² ;
à la fin de la phase de roulage, on a
a = 2 × 250/23² = 0,95 m/s².
On a
v = at
soit en fin de phase de roulage
v(23 s) = 0,95 × 23 = 21,74 m/s
soit v = 78,3 km/h.
La différence relative en % entre la vitesse chronométrée et la vitesse indiquée par l'anémomètre est
$100\times {\frac {80-78,3}{80}}=2,2\ \%<3\ \%$
donc l'appareil est conforme.
On peut aussi calculer l'intervalle de tolérance (3 % de 80 km/h font 2,4 km/h) et vérifier que v est dans cet intervalle [77,6 ; 82,4].

Freinage d'urgence

Annale de sujet d'examen

Cet exercice est tombé au Bac pro Horlogerie en 2004, épreuve Mathématiques et sciences physiques.

Schéma de situation du freinage

Un véhicule se déplace sur une route horizontale et rectiligne à vitesse constante v₀ = 13,8 m/s. À une distance de 25 m devant le conducteur, un enfant traverse la route en suivant son ballon. À sa vue, le conducteur freine immédiatement et brutalement.

La situation est schématisée sur la figure ci-contre :

le point A correspond au début du freinage ;
le point B correspond à l'arrêt total du véhicule ;
on définit l'origine des espaces et du temps au point A ;
on suppose le mouvement rectiligne et son accélération constante a = −4 m/s².

Questions

Convertir la vitesse v₀ en km/h. À cet endroit, la vitesse est limitée à 50 km/h ; cette limitation est-elle respectée ?
Que signifie le signe négatif de l'accélération ?
Déterminer les équations horaires x(t ) et v(t ) de la trajectoire à l'aide du formulaire.
À partir des équations horaires, calculer la durée théorique nécessaire à l'arrêt total de l'automobile. Arrondir le résultat au centième.
On suppose cette durée théorique de 3,5 s. Calculer la distance théorique AB parcourue alors.
Quelles seraient les conséquences d'un dépassement de vitesse ?

Formulaire
	Mouvement rectiligne uniforme	Mouvement rectiligne uniformément varié
Position	x = v₀t + x₀	x = 0,5at² + v₀t + x₀
Vitesse	v = v₀	v = at + v₀

Mouvement créé par une came

Présentation

Considérons le profil de came simple ci-contre. On veut déterminer le chronogramme de la position y du suiveur (la tige). La came tourne à une fréquence régulière de N = 10 tr/min (mouvement de rotation uniforme).

Principe de la construction

On veut déterminer le chronogramme de la position y du suiveur en fonction du temps, y(t ).

Lorsque la came tourne, le centre du galet suiveur reste sur la même droite verticale, et sa circonférence reste en contact avec la came (le rayon de contact est représenté par un trait vert). Notons que le point de contact entre le galet suiveur et la came n'est en général pas sur l'axe vertical.

Si l’on se place dans le référentiel de la came, c’est le galet qui tourne en roulant sur la came. Cela permet de ne dessiner la came que dans une seule position.

Si l’on divise la came en 12 parties représentant un même angle, chaque partie représente une rotation de 0,5 s : puisque l’on a 10 tours durant 60 s, un tour dure 6 s donc ¹⁄₁₂ tour dure 6/12 = 0,5 s.

Travail demandé

Tracer un cercle ayant pour centre le centre de rotation de la came.
Diviser ce cercle en 12 parties égales, et numéroter les rayons de 0 à 12.
Sur un papier calque, décalquer le galet suiveur et son centre ; crayonner le dos du calque.
Déplacer le calque autour de la came en gardant le galet tangent à la came (on fait « rouler » le galet) et s'arrêter chaque fois que le centre du galet rencontre un trait ; repasser avec un crayon sur la croix de centre du galet pour laisser une marque sur l'épure.
Tracer les axes du chronogrammes, avec 12 graduations équidistantes sur l'axe horizontal t.
Pour chaque graduation t, reporter en y la distance entre le centre de rotation de la came et la croix décalquée.
tracer une courbe lisse passant par tous les points.

Solution

Conception d'une came

Présentation

La fabrication d'une bouteille plastique se fait par étirage-soufflage :

Une préforme chauffée est introduite dans un moule par des pinces de transfert ; la canne d'étirage descend.
La canne d'étirage stabilise la préforme (elle la bloque en position) ; le moule se ferme, les pinces de transfert s'effacent.
La canne descend en étirant la préforme vers le bas ; en même temps, de l'air comprimé (à environ 5 bar) étire la préforme radialement (présoufflage, formation d'une bulle).
Soufflage (air comprimé, entre 20 et 40 bar), le plastique est plaqué sur le moule.
La pression est libérée (dégazage), les pinces de transfert saisissent la bouteille, le moule s'ouvre.
La canne remonte ; déchargement de la bouteille, chargement de la préforme suivante.

La machine comprend 10 moules et souffle les bouteilles avec une cadence de 14 400 bouteilles par heure, soit 1 440 bouteilles par moule et par heure. Un cycle de soufflage pour un moule prend donc 2,5 s.

Pour commander la descente et la montée de la canne, on décide d’utiliser une came : ce système simple et robuste ne pose pas de problème de resynchronisation lorsque l’on arrête la machine, contrairement à un automate. Une tige suiveuse guidée en translation et terminée par un galet reste en contact avec la came et dirige la canne de soufflage.

On veut déterminer le profil de la came, en ne considérant qu'un seul moule. Pour cela, on part du chronogramme y(t ).

Principe de la construction

Le chronogramme ci-contre a été découpé en 12 parties égales (on ne s'intéresse pas à la durée exacte d'une partie). Chaque partie correspond à 1/12 de la came. Pour l'axe des y, on a utilisé une échelle 1:2. On choisit y = 0 lorsque la canne affleure le goulot de la bouteille.

Pour dessiner la came, on choisit une échelle 1:4.

Si la canne de soufflage restait toujours à la position y = 0, la came serait un disque de diamètre ∅160 mm. On part donc d'un cercle de ∅40 mm en pointillés (en raison de l'échelle), que l’on nomme « cercle 0 » (cercle zéro). On sépare ce cercle en 12 parties égales, et l’on trace les rayons correspondants. La hauteur y indiquée sur le chronogramme correspond à la position du centre du galet par rapport au cercle 0. Connaissant le centre du galet, on peut le dessiner. La came doit venir épouser les différentes positions du galet.

Travail demandé

Prendre une feuille A4 verticalement, et tracer en son centre un cercle de diamètre ∅40 mm, c’est le cercle 0. Diviser le cercle en 12 parties égales et tracer les rayons correspondants.
Sur un calque, tracer un cercle de diamètre ∅5 mm et son centre, c’est le galet suiveur ; crayonner le dos du calque.
En commençant par le bas et dans le sens des aiguilles d'une montre : mesurer sur le chronogramme le déplacement de la canne y et le reporter sur le rayon, par rapport au cercle 0 ; penser à appliquer le facteur d'échelle.
Placer le calque sur chaque position ainsi déterminée, et décalquer la forme du galet.
Tracer à main levée une courbe fermée et lisse s'appuyant sur tous les galets décalqués ; la courbe doit être tangente aux galets.

Note

Plutôt qu'utiliser un calque, on peut aussi tracer à chaque fois le galet suiveur au compas (ceci n'était pas possible dans l'exercice précédent).

Solution

Pour avoir un profil vraiment précis, il convient de prendre plus de points, par exemple de diviser le cercle en 24 parties.

Préhenseur de support de culasse

Voir le dossier de travail Préhenseur de support de culasse

Le préhenseur sert à saisir le support sur lequel est fixé la culasse ; cela permet de manutentionner la culasse entre les différents postes d'usinage sans l'abimer.

Présentation du système

Le préhenseur est composé de deux pinces pouvant coulisser par rapport à un châssis : une pince avec deux doigts de préhension, une pince avec un seul doigt. L'ouverture symétrique des pinces est commandée par deux biellettes reliées à un vérin pneumatique.

Cliquer sur les images ci-dessous pour les agrandir.

Culasse et adaptateur
Vue en perspective du préhenseur
Schéma cinématique

Nomenclature
Rep.	Nb	Désignation	Matière	Observations
25	1	Tige vérin Joucomatic		K 63 D 80 M
24	1	Ensemble mécanosoudé 1 doigt
20	2	Biellette	EN-AW 2018
7	1	Ensemble mécanosoudé 2 doigts

Hypothèses pour l'étude

On suppose que toutes les liaisons sont parfaites (frottement entre les pièces négligé) ;
tous les déplacements des pièces ou ensembles se font dans le plan (O, x, y ) ;
le poids des pièces est négligeable devant les autres efforts ;
toutes les actions se situent dans le plan (O, x, y ).

But de l'étude

L'étude proposée permet d'appréhender le fonctionnement du préhenseur, de vérifier que le vérin permettra l'ouverture des pinces afin de dégager l'adaptateur avec ses nouvelles dimensions. L'étude cinématique évalue si les courses d'ouverture des pinces permettent de libérer l'adaptateur et de réduire la course de l'actionneur.

Questions

Question 1

L'ouverture maximale des pinces correspond à un déplacement de 18 mm de celles-ci.

À l'aide des courbes de déplacement obtenues avec un logiciel de calcul et de la documentation technique, compléter le tableau ci-dessous.

Temps nécessaire à l'ouverture des pinces	Déplacement de la tige/châssis pour l'instant t	Course possible du piston (donnée par le constructeur)
t = s	Déplacement = mm	Course = mm

Question 2

Le vérin permet-il de libérer l'adaptateur ? Justifier la réponse.

Solution

Question 1

Le déplacement des pinces est représenté sur la courbe du bas. Le déplacement maximal (18 mm) correspond au sommet de la courbe, qui est pour

t = 1,1 mm.

À cet instant là, sur la courbe du haut, on voit que le déplacement de la tige du vérin est de

Déplacement = 66 mm.

Sur la documentation technique, le vérin correspond à la référence K 63 D 80 M (voir la nomenclature). Pour ce vérin, on a :

Course = 80 mm.

Question 2

La course maximale du vérin (80 mm) est supérieure à la course nécessaire pour que les pinces s'ouvrent complètement (66 mm), donc le vérin permet de libérer l'adaptateur.

Formulaire

On considère que l’on part de x = 0 à t = 0.

MTRU

v = v₀

x = v₀t

MTRUV

départ arrêté (sans vitesse initiale)
v = at

x = 1/2at²
avec une vitesse initiale v₀
v = v₀ + at

x = v₀t + 1/2at²

Notes

Mécanique pour l'enseignement technique industriel

Caractériser le mouvement

Mouvements de rotation