Mécanique pour l'enseignement technique industriel/Exercices/Dynamique

Avion volant en palier

Annale de sujet d'examen

Cet exercice est tombé au Bac pro Aéronautique en 2001.

Vol en palier : isolement de l'avion vu de profil.

Un avion de masse 1 500 kg vole en palier (vol à altitude constante), sa trajectoire est rectiligne et sa vitesse est constante et égale à 70 m/s. Dans ces conditions de vol, l'avion est soumis à quatre forces appliquées en G centre de gravité et centre de poussée (voir figure ci-contre) :

• le poids ${\vec {\mathrm {P} }}$ ;
• la portance ${\vec {\mathrm {F} }}$ ;
• la poussée ${\vec {\mathrm {P} }}_{0}$ ;
• la traînée ${\vec {\mathrm {T} }}$.

Les forces ${\vec {\mathrm {P} }}_{0}$ et ${\vec {\mathrm {T} }}$ ont même intensité et leur direction est horizontale.

1. En appliquant le principe fondamental de la dynamique, établir une relation entre ${\vec {\mathrm {P} }}$, ${\vec {\mathrm {F} }}$, ${\vec {\mathrm {P} }}_{0}$ et ${\vec {\mathrm {T} }}$. En déduire les caractéristiques de la portance ${\vec {\mathrm {F} }}$, que l’on mettra sous forme de tableau.

Force	Point d'application	Direction	Sens	Intensité
${\vec {\mathrm {F} }}$	G

On prendra g = 10 N/kg.

Avion incliné.

Document réponse 1.

2. Le pilote incline l’avion d’un angle de 30° (voir figure ci-contre). On suppose que la portance garde la même valeur et que sa direction reste perpendiculaire au plan des ailes.

Sur le document réponse 1, construire la somme ${\vec {\mathrm {P} }}+{\vec {\mathrm {F} }}$ et en déduire le mouvement de l’avion. Laisser apparents les traits de constructions

Document réponse 2.

3. Le pilote veut conserver le vol en palier, c’est-à-dire horizontal.

• a) Quelle direction doit avoir l’accélération pour que l’avion conserve son altitude ?
• b) Dans ce cas, déterminer graphiquement sur le document réponse 2, la nouvelle valeur ${\vec {\mathrm {F} }}'$ de la portance nécessaire au vol en palier. Échelle : 1 mm pour 500 N.
• c) Quelle est la valeur de l’accélération a ?
• d) Sachant que lors du virage, la vitesse v est maintenue constante et égale à 70 m/s, calculer le rayon r de virage de l’avion. On rappelle que pour une trajectoire circulaire uniforme, l’accélération vaut
  $a={\frac {v^{2}}{r}}$.
  Arrondir le résultat au mètre.

Solution

1. L'avion est animé d'un mouvement rectiligne uniforme, donc ${\vec {a}}={\vec {0}}$. Le PFD s'écrit :

$\sum {\vec {\mathrm {F} }}_{\mathrm {ext} }=m{\vec {a}}$

soit

${\vec {\mathrm {P} }}+{\vec {\mathrm {F} }}+{\vec {\mathrm {P} }}_{0}+{\vec {\mathrm {T} }}={\vec {0}}$

Par ailleurs, ${\vec {\mathrm {P} }}_{0}=-{\vec {\mathrm {T} }}$ (même direction, même intensité, sens opposé) donc ${\vec {\mathrm {P} }}_{0}+{\vec {\mathrm {T} }}={\vec {0}}$. Le PFD devient donc

${\vec {\mathrm {P} }}+{\vec {\mathrm {F} }}+{\vec {0}}={\vec {0}}$

soit

${\vec {\mathrm {F} }}=-{\vec {\mathrm {P} }}$.

Par ailleurs, P = mg = 1 500 × 10 = 15 000 n.

Force	Point d'application	Direction	Sens	Intensité
${\vec {\mathrm {F} }}$	G	|	↑	15 000 N

DR1

2. La résultante est dirigée vers la gauche (par rapport au mouvement de l'avion) et vers le bas. Donc, l'avion amorce un virage à gauche et une descente.

DR2

3.

• a) L'accélération doit être horizontale.
• b) On trouve un vecteur de longueur 35 mm soit F' = 17 500 N.
• c) La résultante, horizontale, a une longueur de 17 mm soit R = 8 500 N. Le PFD s'écrit
  a = R/m = 8 500/1 500 = 5,67 m.s^-2.
• d) En transformant la formule, on a
  r = v²/a = 70²/5,67 = 864 m.

 

Performances de la Mercedes C63 AMG

La Mercedes C63 AMG passe de 0 à 100 km/h en 5,1 s. Sa masse est de 1 830 kg. C'est une propulsion, on néglige le frottement de l'air.

1. On suppose que le mouvement est rectiligne uniformément varié. Quelle est la valeur de l'accélération ?
2. On suppose qu’il y a un plan de symétrie miroir, sagittal (séparant la voiture en deux moitiés identiques gauche-droite) ; nous sommes donc dans le cas d'un problème plan. Isoler la voiture en la représentant de profil, modéliser les actions mécaniques et faire le dynamique (représentation qualitative, on ne prendra pas en compte l'échelle).
3. Quel effort horizontal doit fournir la route sur les pneus des roues motrices ? La voiture ayant deux roues motrices, quel effort subit chaque pneu ?

Solution

Isolement, modélisation et dynamique

1. v = 100 km/h = 27,8 m/s ; a = v/t = 27,8/5,1 = 5,45 m.s^-2.
2. Voir ci-contre.
3. R = ma = 1 830 × 5,45 = 9 970 N. On suppose que la force se répartit équitablement sur chacun des pneus, chaque pneu subit donc R/2 = 4 990 N = 499 daN.

 

Chute libre

Le terme « chute libre » désigne le mouvement d'un corps qui n'est soumis qu’à son poids. Il ne subit aucune autre force, en particulier on néglige le frottement de l'air. Nous allons étudier ici la chute libre sans vitesse initiale.

Une personne lâche une bille de masse 20 g. L'intensité de la pesanteur vaut g = 9,81 N/kg.

1. Isoler la bille et modéliser les actions mécaniques extérieures.
2. Appliquer le PFD et déterminer a, l'accélération de la chute (garder toutes les décimales).
3. Quelle est la nature du mouvement ? Que remarque-t-on concernant la valeur de a ?
4. Réécrire le PFD de manière analytique, et exprimer a en fonction de g. Que concluez-vous ?

Solution

Caractéristiques des actions mécaniques extérieures

Action	Point d'application	Direction	Sens	Intensité
${\vec {\mathrm {P} }}$	G	|	↓	0,1962 N

1. La bille n'est soumise qu’à son poids, P = mg = 0,02 × 9,81 = 0,1962 N.
2. Le PFD s'écrit : a = P/m = 0,1962/0,02 = 9,81 m.s^-2.
3. L'accélération est constante, on est donc dans le cas d'un mouvement rectiligne uniformément varié. On remarque que a = g.
4. Le PFD s'écrit :
   $a={\frac {\mathrm {P} }{m}}={\frac {m\mathrm {g} }{m}}$
   donc a = g. Donc, tous les corps chutent de la même manière quelle que soit leur masse.

Ceci s'explique bien : plus la masse m est importante, plus le poids est important, donc plus la bille est tirée fort vers le bas. Mais plus la masse est importante, plus l’objet a d'inertie, plus il est difficile de le mettre en mouvement. La force de traction est exactement compensée par la difficulté à bouger.

L'intensité de la gravité g est donc aussi l'accélération de chute, ce qui explique que l’on utilise l'unité m.s^-2.

Ceci n'est plus vrai lorsque le frottement de l'air entre en compte (effet parachute).

 

Démarrage d'une perceuse

Intérieur d'une perceuse

Une perceuse a un couple moteur de 1 Nm. Le moment d'inertie de toutes ses pièces ramené à leur axe de rotation est de 0,0005 kgm². On démarre la perceuse ; on considère que les pièces ont un mouvement de rotation uniformément varié.

1. Calculer l'accélération angulaire α.
2. Au bout de combien de temps atteint-on la fréquence de rotation de 1 000 tr/min ?

Rappel

MRUV : ω(t ) = ω₀ + αt.

Solution

1. On écrit le PFD-T :
   C = Jα soit α = C/J = 1/0,000,5 = 2 000 rad/s².
2. La loi de mouvement s'écrit
   ω(t ) = αt
   (départ arrêté) soit
   t = ω/α.
   La fréquence finale vaut N = 1 000 tr/min soit ω = 1 000 × 2π/60 = 105 rad/s et donc
   t = 105/2 000 = 0,0525 s.

 

Arrêt d'un touret à meuler

Touret à meuler

Un touret à meuler tourne à une fréquence de 3 000 tr/min. On coupe son alimentation et il s'arrête en 40 s ; on suppose qu’il s'agit d'un mouvement de rotation uniformément varié. Le moment d'inertie de ses pièces par rapport à leur axe de rotation vaut 3 kgm².

1. Calculer l'accélération angulaire α.
2. Déterminer le couple résistant que les paliers exercent sur l'axe.

Rappel

MRUV : ω(t ) = ω₀ + αt.

Solution

1. La vitesse initiale vaut ω = 3 000 × 2π/60 = 314 rad/s. À l'instant final, on a ω = 0 (arrêt), donc l'équation horaire s'écrit à l'instant final
   0 = ω₀ + αt
   soit
   α = -ω₀/t = -314/40 = −7,85 rad/s².
2. Le PFD-R s'écrit
   C = Jα = 3 × (-7,85) = −23,6 Nm.