Mécanique pour l'enseignement technique industriel/Dynamique

Début de la boite de navigation du chapitre

fin de la boite de navigation du chapitre

Présentation

Le but d'un mécanisme est de produire des mouvements (sinon, on ne parle pas de mécanisme mais de structure). Le but de ce chapitre est de mettre en relation les performances cinématiques (atteindre une vitesse donnée en un temps donné) et les efforts à fournir.

Objectif

À la fin du chapitre, l'étudiant doit être capable :

• pour un mouvement de translation rectiligne uniformément varié, de déterminer la force nécessaire à créer une accélération donnée, et vice versa, la masse étant connue ;
• pour un mouvement de rotation uniformément varié autour d'un axe fixe qui est un axe d'inertie principal, de déterminer le moment nécessaire à créer une accélération angulaire donnée, et vice versa, le moment d'inertie étant connu.

Savoirs techniques

Connaissances (notions, concepts)	Niveau
	1	2	3	4
Principe fondamental de la dynamique (PFD) : Application au solide en mouvement de translation rectiligne uniformément varié, notion d'accélération. Application au solide en mouvement de rotation uniformément varié autour d'un axe fixe (axe principal d'inertie), notions d'accélération angulaire et de moment d'inertie			×

Principe fondamental de la dynamique (PFD)

Rappels

Soit un solide rep. 1 sur lequel agissent des corps extérieurs rep. i ; on note ${\vec {\mathrm {F} }}_{i/1}$ le vecteur force représentant l'action du corps i sur le solide 1. La résultante est notée

${\vec {\mathrm {R} }}=\sum _{i\in \mathrm {ext} }{\vec {\mathrm {F} }}_{i/1}$.

À l'équilibre, la résultante des efforts extérieurs qui s'exerce sur un solide est nulle (principe fondamental de la statique, PFS) :

${\vec {\mathrm {R} }}={\vec {0}}$.

Que se passe-t-il si la résultante n’est pas nulle $({\vec {\mathrm {R} }}\neq {\vec {0}})$ ?

Pictogramme du tir à la corde

Tir à la corde dans un centre de loisirs

Activité 1

Deux équipes participent à un jeu de tir à la corde. La corde porte le repère 1, les équipes sont considérées chacune comme un corps repéré respectivement 2 (équipe de gauche) et 3 (équipe de droite). Les actions des membres d'une équipe i sont modélisées par un seul vecteur force ${\vec {\mathrm {F} }}_{i/1}$. On a $\|{\vec {\mathrm {F} }}_{2/1}\|=1\,750\ \mathrm {N}$, $\|{\vec {\mathrm {F} }}_{3/1}\|=1\,600\ \mathrm {N}$, on néglige le poids propre de la corde.

Isolement et modélisation

Isoler {1}, modéliser les actions mécaniques (le point d'application exact importe peu) ; tracer le dynamique des forces (échelle : 1 mm pour 30 N) et déterminer graphiquement la résultante. Conclure.

Solution

Isolement et modélisation

Caractéristiques des actions mécaniques

Action	Point d'application	Direction	Sens	Intensité
${\vec {\mathrm {F} }}_{2/1}$	A	—	←	1 750 N
${\vec {\mathrm {F} }}_{3/1}$	B	—	→	1 600 N

La résultante est ${\vec {\mathrm {R} }}$ est un vecteur horizontal dirigé vers la droite ; donc, la corde se met en mouvement vers la droite.

 

Activité 2

Élingage d'un ballon de reflux : isolement et dynamique

Considérons un ballon de reflux rep. 1 ; c’est un appareil ayant la forme d'un grand réservoir et qui est utilisé dans les raffineries de pétrole. Le ballon a un poids de 104 kN. La tension dans chacune des élingues rep. 2 et 3 est de 115 kN.

Isoler {1}, modéliser les actions mécaniques ; tracer le dynamique des forces (échelle : 1 mm pour 1 kN) et déterminer graphiquement la résultante. Conclure.

Solution

Élingage d'un ballon de reflux : isolement et dynamique

Caractéristiques des actions mécaniques

Action	Point d'application	Direction	Sens	Intensité
${\vec {\mathrm {P} }}$	G	|	↓	140 kN
${\vec {\mathrm {B} }}_{2/1}$	B	30°/horizontale	haut-droite	115 N
${\vec {\mathrm {C} }}_{3/1}$	C	30°/horizontale	haut-gauche	115 N

La résultante est verticale, orientée vers le haut. Donc, le ballon de reflux se met en mouvement vers le haut.

 

Dynamique

Étude de la relation entre effort et mouvement.

Il ne faut pas confondre la dynamique, sujet de ce chapitre, et le dynamique, qui est le triangle des forces utilisé en statique.

Dans le cas d'un solide immobile par rapport au sol, nous avons établi que la somme des forces et des moments extérieurs qui s'exercent sur le solide est nulle (PFS). C'est aussi le cas d'un solide en mouvement rectiligne uniforme, ou de rotation uniforme autour d'un axe fixe : si le mouvement ne se modifie pas (la vitesse reste constante), c’est que la somme des efforts extérieurs est nulle.

Pour faire varier la vitesse — accélérer ou ralentir —, il faut fournir un effort :

• effort moteur pour accélérer ;
• effort résistant pour ralentir.

La dynamique est l'étude de cet effort.

Début d’un théorème

Principe fondamental de la dynamique en translation (PFD-T)

Soit un solide soumis à des forces extérieures dont la résultante est notée ${\vec {\mathrm {R} }}$. Le solide subit une accélération ${\vec {a}}$ donnée par :

${\vec {a}}={\frac {1}{m}}{\vec {\mathrm {R} }}$

où m est la masse du solide.

Unités :

• forces : en newtons (N) ;
• accélération : en mètre par seconde au carré (m.s^-2) ;
• masse : en kilogrammes (kg.

Fin du théorème

Plus la masse est élevée, plus l'accélération est faible. On voit que la masse « s'oppose à la modification du mouvement », elle représente donc bien l'inertie (revoir les notions de masse et de poids).

Notons que le PFD-T est plus souvent énoncé sous la forme

${\vec {\mathrm {R} }}=m\cdot {\vec {a}}$ ou bien $\sum {\vec {\mathrm {F} }}_{\mathrm {ext} }=m\cdot {\vec {a}}$

ce qui nous ramène au PFS pour ${\vec {a}}={\vec {0}}$. Cette forme se comprend assez bien :

• il est plus facile de pousser un chariot de supermaché vide que plein, une Fiat Panda qu'un Porsche Cayenne ; plus la masse est importante, plus l'effort à fournir est important ;
• pour avoir une accélération plus grande, il faut un effort plus grand ;

donc la force est proportionnelle à la masse et à l'accélération.

Faites ces exercices : Avion volant en palier.

Solide en translation rectiligne uniformément variée

Rappel de cinématique

Le solide va en ligne droite. Le champ de vitesse est uniforme, on peut donc prendre la vitesse ne n’importe quel point ; en général, on considère la vitesse du centre de gravité G. La vitesse instantanée v varie en fonction du temps :

v = v₀ + a·t.

Dans le cas d'un démarage à l'arrêt, on a :

• v₀ = 0 ;
• a > 0 ;

donc la loi cinématique se simplifie :

v = a·t.

Dans le cas d'un freinage, on a :

• v₀ > 0 ;
• a < 0.

Principe fondamental de la dynamique en translation

Comme on est dans le cas d'un mouvement rectiligne, on peut supposer que le mouvement se fait selon l'axe x et donc projeter les forces et le vecteur accélération sur cet axe : une force ${\vec {\mathrm {F} }}_{i/j}$ qu'un solide i exerce sur un solide j s'écrit

${\vec {\mathrm {F} }}_{i/j}{\begin{pmatrix}\mathrm {X} _{i/j}\\\mathrm {Y} _{i/j}\\\mathrm {Z} _{i/j}\\\end{pmatrix}}$

ou encore

${\vec {\mathrm {F} }}_{i/j}=\mathrm {X} _{i/j}\cdot {\vec {x}}+\mathrm {Y} _{i/j}\cdot {\vec {y}}+\mathrm {Z} _{i/j}\cdot {\vec {z}}$ ;

on ne s'intéresse ici qu’à la composante X_i/j, qui est un nombre positif (effort vers la droite) ou négatif (effort vers la gauche).

Début d’un théorème

Principe fondamental de la dynamique en translation (PFD-T) selon l'axe x

Soit un solide 1 en translation rectiligne uniformément varié par rapport au sol, d'axe x, subissant une accélération uniforme a. On a :

$\sum _{i\in \mathrm {ext} }\mathrm {X} _{i/1}=m\cdot a$

avec

• ext : milieu extérieur au solide 1 ;
• X_i/1 : composante selon x de la force que le solide i exerce sur le solide 1, en newtons (N) ;
• m : masse du solide 1, en kilogrammes (kg ;
• a : accélération du centre de gravité de 1, en mètres par seconde au carré (m.s^-2).

Fin du théorème

Ascenseur

Activité 3

Considérons une cabine d'ascenseur rep. 1, de masse totale (masse propre, accessoires dont parachute, personnes transportées) m = 1 400 kg. Elle est accrochée à un câble rep. 2 en un point A. Pour des raisons de confort, on limite l'accélération à ±1 m.s^-2. On considère que l'axe x est vertical et dirigé vers le haut.

L'intensité de la gravité vaut g = 9,81 m.s^-2.

Déterminer la tension du câble dans les situations suivantes :

1. La cabine est à l'arrêt.
2. La cabine accélère pour monter.
3. La cabine a un mouvement uniforme en montée.
4. La cabine décélère en montée.
5. La cabine accélère pour descendre.
6. La cabine a un mouvement uniforme en descente.
7. La cabine décélère en descente.

Solution

Isolement de la cabine d'ascenseur.

On commence par isoler la cabine : elle est soumise à deux actions mécaniques :

• son poids ${\vec {\mathrm {P} }}$ ;
  P = m·g = 1 400 × 9,81 ≈ 13 700 N = 13,7 kN en norme ;
  projection sur x : X_P = −13 700 N (signe - car le poids est dirigé vers le bas) ;
• l'action du câble ${\vec {\mathrm {A} }}_{2/1}$.

Comme la cabine d'ascenseur ne tourne pas, on en déduit immédiatement que les forces sont colinéaires, donc que ${\vec {\mathrm {A} }}_{2/1}$ est verticale.

Caractéristiques des actions mécaniques

Action	Point d'application	Direction	Sens	Intensité
${\vec {\mathrm {P} }}$	G	|	↓	13 700 N
${\vec {\mathrm {A} }}$	A	|	?	?

Cas 1

Il s'agit d'un cas de statique. On a a = 0, et donc

X_P + X_2/1 = 0

soit

X_2/1 = -X_P = 13 700 N.

Cas 2

L'accélération est dirigée vers le haut, on a donc

a = +1 m.s^-2

Le PFDT s'écrit

X_P + X_2/1 = m·a

soit

X_2/1 = m·a - X_P = 1 400 × 1 - (−13 700) = 15 100 N.

Cas 3

L'accélération est nulle puisque la vitesse ne varie pas, on a donc

a = 0

ce cas est similaire au cas 1 (statique), soit

X_2/1 = 13 700 N.

Cas 4

L'accélération est dirigée vers le bas : c’est un freinage, l'accélération est à l'opposé de la vitesse qui est vers le haut ; on a donc

a = −1 m.s^-2

Le PFDT s'écrit

X_P + X_2/1 = m·a

soit

X_2/1 = m·a - X_P = −1 400 × 1 - (−13 700) ≈ 12 300 N.

Cas 5

L'accélération est vers le bas, on a donc

a = −1 m.s^-2

ce cas est similaire au cas 4, soit

X_2/1 = 12 300 N.

Cas 6

Cf. cas 3,

X_2/1 = 13 700 N.

Cas 7

L'accélération est dirigée vers le haut : c’est un freinage, l'accélération est à l'opposé de la vitesse qui est vers le bas ; on a donc

a = +1 m.s^-2

ce cas est similaire au cas 2, soit

X_2/1 = 15 100 N.

 

On voit que le câble a deux rôles : supporter la cabine (l'empêcher de tomber), et mettre la cabine en mouvement (créer une accélération). On peut ainsi définir deux forces :

• la force statique F_s = 13 700 N : c’est l'action qui supporte la cabine ;
• la force dynamique F_d = m·a = 1 400 N : c’est l'action qui crée l'accélération.

Selon les cas, on a X_2/1 = F_s + F_d ou bien X_2/1 = F_s - F_d.

Activité 2

Pour l'ascenseur étudié ci-dessus, tracer, pour le cas de la montée et pour le cas de la descente, le chronogramme a(t ) ainsi que le diagramme des efforts en fonction du temps, X_2/1(t ) ; on utilisera des échelle arbitraires. Commenter.

Solution

Chronogramme de l'accélération (haut) et des efforts (bas), pour un mouvement ascendant (gauche) et descendant (droite).

On remarque que le diagramme des efforts « suit » le diagramme de l'accélération.

 

Faites ces exercices : Dynamique de mouvements rectilignes.

Solide en rotation autour d'un axe fixe

Rotation d'un balai autour de son axe propre 1, ou d'un autre axe 2

Considérons une machine tournante. Pour la mettre en rotation, il faut exercer un effort appelé « couple moteur ». Ce couple dépend de l'accélération angulaire α désirée, et de l'inertie de la machine. L'inertie dépend évidemment de la masse à mettre en mouvement (comme pour les mouvements de translation rectiligne), mais aussi de la répartition de la masse autour de l'axe. Considérons un balais (figure ci-contre) : il est plus difficile de le faire tourner autour de l'axe 2 que de l'axe 1. On définit ainsi le moment d'inertie J.

Moment d'inertie

Le moment d'inertie J_Δ est un nombre représentant l'inertie en rotation d'un objet autour d'un axe (Δ) donné. Il s'exprime en kilogramme mètre carré (kg·m²)

Nous donnons ci-dessous quelques exemple de formules permettant de calculer le moment d'inertie dans des situations simples (les formules ne sont pas à savoir).

Quelques moments d'inertie

Situation	Illustration	Moment d'inertie J
Cylindre creux de rayon r et d'épaisseur faible, jante, axe propre		$mr^{2}$
Cylindre plein de rayon r et d'épaisseur faible, disque, axe propre		${\frac {1}{2}}mr^{2}$
tige pleine de rayon r faible et de longueur L, axe perpendiculaire à l'axe propre passant par G		${\frac {1}{12}}m\mathrm {L} ^{2}$
Sphère pleine de rayon r, axe passant par G		${\frac {2}{5}}mr^{2}$
Sphère creuse de rayon r à paroi mince (ballon), axe passant par G		${\frac {2}{3}}mr^{2}$

Si l’on veut freiner la machine, il faut exercer un couple résistant ; la décélération va elle aussi dépendre du moment d'inertie.

Début d’un théorème

Principe fondamental de la dynamique en rotation (PFD-R)

Soit un solide tournant autour d'un axe (Δ), on a

C = J_Δ·α

avec

• C : couple extérieur qui s'exerce sur le solide, en newton mètres (N·m) ;
• J_Δ : moment d'inertie autour de cet axe, en kilogramme mètre carré (kg·m²) ;
• α : accélération angulaire, en radian par seconde au carré (rad/s²).

Fin du théorème

La formule est similaire au PFD en translation rectiligne.

Comparaison entre la translation rectiligne et la rotation

Terme	Grandeur
	Translation rectiligne	Rotation
Effort	force F (N)	couple C (Nm)
Inertie	masse m (kg	moment d'inertie JΔ (kgm2)
Cinématique	accélération a (m.s-2)	accélération angulaire α (rad/s2)

Note pour les enseignants

Diplômes français

Unités des diplômes français concernées par ce chapitre :

• Sciences physiques et chimiques, seconde de détermination professionnelle : T6 : Qu'est-ce qu'une voiture puissante ?
• bac pro EDPI : S4.5.1 : Dynamique, énergétique — Principe fondamental
  limité au cas des solides en mouvement uniformément varié de translation ou rotation autour d'un axe fixe (axe principal d'inertie) ; les moments d'inertie seront fournis ;
• bac pro MEI : S1.2.4 : Dynamique — principe fondamental de la dynamique :
  • application au solide en translation rectiligne,
  • application au solide en rotation autour d'un axe fixe, la position du centre de gravité et la valeur du moment d'inertie seront fournis ;
• bac pro ROC-SM : S2.1.3 : Dynamique — Loi fondamentale de la dynamique :
  • translation rectligne,
  • chute des corps,
  • force de direction constante,
  • prise en compte dans le cas de la manutention-manipulation (pas de calcul) ;
• bac pro TCI : S1.4.4 Dynamique — Principe fondamental de la dynamique : application au solide en translation
  L'enseignement de la dynamique ne doit pas avoir un caractère théorique. Il sera dispensé chaque fois que possible à partir de supports choisis dans la spécialité et fera appel à des mécanismes variés et récents ;
• bac pro TU : S1.6 Dynamique — Principe fondamental ;
  Savoirs limités aux solides en mouvement uniformément varié en translation et en rotation autour d'un axe fixe (les moments d'inertie sont fournis).

Pour les baccalauréats non-professionnels :

• bas S-SI 2001 : C.115 Mouvement d’un solide indéformable — Principe fondamental de la dynamique appliqué à un solide : application aux solides en mouvement de translation rectiligne et de rotation autour d’un axe fixe central d'inertie.
• bac S-SI 2011 : B3 Résoudre et simuler — Principe fondamental de la dynamique (PFD)
  Établir de façon analytique les expressions d’efforts (force, couple, pression, tension, etc.) et de flux (vitesse, fréquence de rotation, débit, intensité du courant, etc.). Traduire de façon analytique le comportement d’un système.
• bac STI GM : 5 Dynamique
  Pour un élément d'actionneur ou d'un mécanisme entièrement défini (dessins, fiches techniques, …), en mouvement de translation ou de rotation autour d'un axe principal d'inertie fixe, déterminer :
  • les actions extérieures ou de liaisons permettant d'obtenir une vitesse spécifiée ;
  • les actions de liaison et la vitesse de déplacement pour une action extérieure imposée (torseur à résultante ou à moment).

Note

Le niveau exigé est plus bas pour le bac pro TCI et TU (niveau 2 au lieu de 3).