Mécanique pour l'enseignement technique industriel/Exercices/Moments

Treuil

Treuil hydraulique

Géométrie du treuil

Un camion dispose d'un treuil hydraulique de diamètre ∅500 mm.

Questions

1. Quel couple C doit-il délivrer pour exerce une force de traction de 5 000 N ?
2. Le treuil a un couple maximal de 1 500 Nm. Quelle est la force maximale de traction ?

Solution

Le bras de levier du treuil est le rayon du tambour

Le bras de levier par rapport à l'axe moteur est le rayon r du tambour : le couple est relié à la force par la formule

$|{\mathcal {C}}|=|{\mathcal {M}}_{\mathrm {O} }({\vec {\mathrm {F} }})|=\mathrm {F} \times r$.

1. C = 5 000 × 0,25 = 1 250 Nm.
2. F = C/r = 1 500/0,25 = 6 000 N.

 

Changement d'une roue d'automobile

Clef en croix

Dessin de la clef

Gauche : démontage de la roue, le pied appuie sur une branche de la clef. Droite : montage de la roue, les mains poussent sur deux bras opposés de la clef.

Une personne désire changer une roue d'automobile, et utilise pour cela une clef en croix. Chaque branche fait 250 mm de long.

Les écrous étant bien serrés, elle commence par appuyer sur une des branches avec son pied, pour desserrer chaque écrou. Puis, elle lève la voiture et desserre les écrous à la main et change la roue. Pour le remontage, après avoir serré les écrous à la main, elle rabaisse la voiture, puis serre en se servant de ses deux mains.

Questions

1. Pourquoi la voiture doit-elle être posée au sol pour le première et la dernière étape ?
2. Dans le cas du desserrage, isolez la clef. Si la personne appuie de tout son poids (P = 700 N), quel couple de serrage peut-elle vaincre ?
3. Dans le cas du serrage, isolez la clef. On veut un couple de serrage de 6 daNm ; quelle force faut-il appliquer à chaque branche ?

Solution

Isolement de la clef

1. Ce sont les instants où les efforts sont maximaux, il faut donc que la voiture soit le plus stable possible. Par ailleurs, dans le cas du desserrage, la force du pied exerce un moment par rapport à l'axe de la roue ; si celle-ci n’est pas bloquée, elle va tourner, on ne pourra donc desserrer l'écrou.
2. L'axe de la vis fournit une force qui s'oppose à l'action du pied. On a donc un couple avec F = 700 N et d = 250 mm soit un moment
   M = 0,25 × 700 = 175 Nm.
3. On a d = 500 mm, soit
   M = d × F
   60 = 0,5 × F
   F = 60/0,5 = 120 N = 12 daN

 

Engrenage

Engrenage

Isolement des roues

Soit un engrenage composé de deux roues de module m = 1 mm :

• roue 1 : z₁ = 15 dents ;
• roue 2 : z₂ = 38 dents.

La roue motrice est la roue 1 ; elle reçoit un couple moteur |C₁| = 20 Nm.

Questions

1. Le diamètre primitif d est donné par : d_i = m × z_i.
   Calculer les diamètres primitifs des roues 1 et 2, d₁ et d₂.
2. On isole la roue 1. Soit A le point de contact entre les dents ; la distance AO est le rayon primitif.
   Déterminer l'intensité de la force ${\vec {\mathrm {A} }}_{2/1}$.
3. On isole la roue 2. Quelle est l'intensité de ${\vec {\mathrm {A} }}_{2/1}$ ? Pourquoi ?
4. Déterminez le couple résistant |C₂| que l'arbre exerce la roue 2.
5. Vérifiez que l’on a :
   ${\frac {\mathrm {C} _{2}}{\mathrm {C} _{1}}}={\frac {z_{2}}{z_{1}}}$.

Solution

1. On a :
   • d₁ = m × z₁ = 1 × 15 = 15 mm ;
   • d₂ = m × z₂ = 1 × 38 = 38 mm.
2. C₁ = A_2/1 × r₁
   avec r₁ = d₁/2 = 7,5 mm, soit
   A_2/1 = C₁/r₁ = 20/0,007,5 = 2 666 N.
3. D'après le principe des actions réciproques,
   A_1/2 = A_2/1 = 2 666 N.
4. C₂ = A_1/2 × r₂
   avec r₂ = d₂/2 = 19 mm, soit
   C₂ = 2666 × 0,019 = 50,7 Nm.
5. On a C₂/C₁ = 50,7/20 = 2,54, et
   z₂/z₁ = 38/15 = 2,53.
   Aux erreurs de calcul près, la relation est vérifiée. Notez que les contraintes sont énormes au regard du dimensionnement de l'engrenage. Dents, clavette et arbre de cette configuration ne devraient pas pouvoir les supporter.