Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Description et paramétrage du mouvement d'un point : Systèmes de coordonnées

Exemple de mouvement rectiligne défini par son abscisse horaire

......Un point matériel se déplace le long de l'axe $\;Ox$, son abscisse étant donnée en fonction du temps par la loi horaire : $\;x=3\,t^{3}-t\;$ ${\big (}t\;\in \;\mathbb {R} {\big )}$.

Explicitation des grandeurs cinématiques du mouvement du point

......Calculer, en fonction du temps $\;t$, la vitesse $\;v=V_{x}(t)\;$ et l'accélération $\;a=a_{x}(t)\;$ du point le long de l'axe $\;Ox$.

Solution

......La vitesse $\;v=V_{x}(t)\;$ du point $\;M\;$ le long de l'axe $\;Ox\;$ s'obtient par $\;v={\dot {x}}(t)=9\,t^{2}-1$.

......L'accélération $\;a=a_{x}(t)\;$ du point $\;M\;$ le long de l'axe $\;Ox\;$ s'obtient par $\;a={\dot {v}}(t)=18\,t$.

 

Tracé des diagrammes horaires de vitesse et de position

......Tracer les diagrammes horaires

• de vitesse à savoir le graphe de l'équation horaire de vitesse $\;v=V_{x}(t)\;$ en fonction du temps et
• de position à savoir le graphe de l'équation horaire de position $\;x=x(t)\;$ en fonction du temps ;

......Préciser la nature accélérée ou retardée du mouvement suivant les valeurs de $\;t$.

Solution

Diagramme horaire de la vitesse v(t) = 9 t² - 1 : parabole d'axe t = 0, de concavité tournée vers les v > 0, coupant l'axe des temps pour t = -1/3 et t = +1/3

Diagramme horaire de l'abscisse x(t) = 3 t³ - t : courbe de centre de symétrie (t = 0, x = 0), extrémale pour t = -1/3 et t = +1/3 et s'annulant pour t = -1/3^(1/2), t = 0 et t = -1/3^(1/2)

......L'étude du signe de $\;a(t)\;$ nous conduit à

• $\;v\searrow \;$ pour $\;t<0$,
• $\;v\nearrow \;$ pour $\;t>0$ ;

......le graphe représentant le diagramme horaire de la vitesse (voir ci-contre à gauche) est une parabole d'axe $\;t=0\;$ et de concavité tournée vers les $\;v>0$, $\;v\;$ s'annulant pour $\;t=\pm {\dfrac {1}{3}}$.

......Le graphe de $\;v=v(t)\;$ nous donne le signe de $\;{\dot {x}}(t)\;$ d'où :

• $\;x\nearrow \;$ pour $\;t<-{\dfrac {1}{3}}$,
• $\;x\searrow \;$ pour $\;-{\dfrac {1}{3}}<t<{\dfrac {1}{3}}\;$ et
• $\;x\nearrow \;$ pour $\;t>+{\dfrac {1}{3}}$

......d'autre part $\;x(t)\;$ s'annule pour $\;t=\pm {\dfrac {1}{\sqrt {3}}}\;$ et pour $\;t=0\;$ et enfin, $\;x(t)\;$ étant impaire, le point $\;(0,\,0)\;$ est centre de symétrie de ce diagramme horaire.

......Nature accélérée ou retardée du mouvement suivant les valeurs de t : voir sur les diagrammes,

......il suffit de se souvenir de la définition d'une phase accélérée si $\;a\,v>0\;$ ou

......il suffit de se souvenir de la définition d'une phase retardée si $\;a\,v<0$.

 

Exemple de mouvement plan défini par ses positions horaires

......But de cet exercice : déterminer le rayon de courbure de la trajectoire plane d'un point en repérage cartésien en fonction de sa position sur la trajectoire.

......Un point $\;M\;$ a pour lois horaires cartésiennes $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x=2\,t-2\\y=t^{2}-2\,t+3\\z=0\end{array}}\right\rbrace \;$ dans lesquelles $\;t\;$ représente la date en $\;s\;$ et les longueurs sont exprimées en $\;cm$.

Détermination de l'équation cartésienne de la trajectoire

......Vérifier que le mouvement est plan en précisant le plan dans lequel il se produit et

......déduire, des lois horaires cartésiennes du point, l'équation cartésienne de sa trajectoire.

Solution

Trajectoire d'équations paramétriques {x = 2t - 2 ; y = t² - 2t + 3} parabolique dans le plan (xOy), d'axe Ox, de concavité tournée vers les y > 0 et de sommet S (0, 2) atteint à l'instant t = 1 s

......L'équation $\;z=0\;$ étant celle du plan $\;(xOy)$, on en conclut que la trajectoire du point $\;M\;$ est plane contenue dans le plan $\;(xOy)$ ;

......pour déterminer l'équation cartésienne de la trajectoire dans le plan $\;(xOy)\;$ il suffit d'éliminer $\;t\;$ entre les deux 1^ères équations paramétriques $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x=2\,t-2\\y=t^{2}-2\,t+3\end{array}}\right\rbrace$, ce qui donne $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}t={\dfrac {x}{2}}+1\\y=\left({\dfrac {x}{2}}+1\right)^{2}-2\left({\dfrac {x}{2}}+1\right)+3\end{array}}\right\rbrace \;$ soit finalement

l'équation cartésienne $\;y={\dfrac {x^{2}}{4}}+2\;$ caractérisant une parabole

• d'axe $\;Ox$,
• de concavité vers les $\;y>0\;$ et
• de sommet $\;S\;\left(0\,,\,2\right)\;$ ${\bigg [}$le sommet $\;S\;$ étant tel que $\;x_{S}=0\;$ est atteint à l'instant $\;t_{S}={\dfrac {x_{S}}{2}}+1=1\,s{\bigg ]}$ :

......voir tracé ci-contre.

 

Détermination des grandeurs cinématiques du mouvement du point

......Déterminer, en fonction du temps $\;t$, les grandeurs cinématiques vectorielles (par leurs composantes dans le plan du mouvement du point) ou scalaires ci-dessous :

• les composantes cartésiennes du vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{M}(t)$,
• la vitesse instantanée $\;v_{M}(t)\;$,
• les composantes cartésiennes du vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{M}(t)$,
• l'accélération tangentielle $\;a_{\tau ,\,M}(t)\;$ et
• l'accélération normale $\;a_{n,\,M}(t)\;$.

Solution

......Composantes cartésiennes du vecteur vitesse : elles s'obtiennent par dérivation temporelle des lois horaires cartésiennes soit $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;\left\lbrace {\begin{array}{l}V_{x}(t)={\dot {x}}(t)=2\\V_{y}(t)={\dot {y}}(t)=2\;t-2\\V_{z}(t)={\dot {z}}(t)=0\end{array}}\right\rbrace$ ;

......vitesse instantanée  : sa valeur absolue s'identifie à la norme du vecteur vitesse soit $\;\vert v_{M}(t)\vert =\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert ={\sqrt {V_{x}^{2}(t)+V_{y}^{2}(t)+V_{z}^{2}(t)}}={\sqrt {4+4\,\left(t-1\right)^{2}}}=$ $2\;{\sqrt {t^{2}-2\;t+2}}$ ;
...........vitesse instantanée : cherchons les éventuels zéros de $\;\vert v_{M}(t)\vert$, le polynôme du 2^èmedegré admettant pour discriminant réduit $\;\Delta '=(-1)^{2}-2=-1<0$, n'a pas de zéros réels et par suite, le mouvement ne change pas de sens sur la trajectoire, $\;v_{M}(t)\;$ sera donc positive si on choisit le sens $\;+\;$ dans le sens du mouvement, à savoir dans le sens des $\;x\nearrow \;$ d'où $\;v_{M}(t)=2\;{\sqrt {t^{2}-2\;t+2}}$ ;

......composantes cartésiennes du vecteur accélération : elles s'obtiennent par dérivation temporelle des lois horaires cartésiennes de vitesse (ou en prenant les dérivées temporelles secondes des lois horaires cartésiennes) soit $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;\left\lbrace {\begin{array}{l}a_{x}(t)={\dot {V_{x}}}(t)={\ddot {x}}(t)=0\\a_{y}(t)={\dot {V_{y}}}(t)={\ddot {y}}(t)=2\\a_{z}(t)={\dot {V_{z}}}(t)={\ddot {z}}(t)=0\end{array}}\right\rbrace$ ;

......accélération tangentielle  : elle s'obtient par dérivation temporelle de la vitesse instantanée soit $\;a_{\tau ,\,M}(t)={\dot {v}}_{M}(t)=2\;{\dfrac {1}{2}}\left(t^{2}-2\,t+2\right)^{-{\frac {1}{2}}}\left(2\,t-2\right)\;$ soit finalement $\;a_{\tau ,\,M}(t)={\dfrac {2\left(t-1\right)}{\sqrt {t^{2}-2\,t+2}}}$ ;

......accélération normale  : utilisant $\;a_{n,\,M}(t)={\sqrt {\Vert {\vec {a}}_{M}(t)\Vert ^{2}-a_{\tau ,\,M}^{2}(t)}}\;$, il faut commencer par déterminer $\;\Vert {\vec {a}}_{M}(t)\Vert \;$ mais, sans calcul, on trouve $\;\Vert {\vec {a}}_{M}(t)\Vert =2$ ;
...........accélération normale : on en déduit $\;a_{n,\,M}(t)={\sqrt {(2)^{2}-\left[{\dfrac {2\left(t-1\right)}{\sqrt {t^{2}-2\,t+2}}}\right]^{2}}}=2\;{\sqrt {\dfrac {\left(t^{2}-2\,t+2\right)-\left(t-1\right)^{2}}{t^{2}-2\,t+2}}}={\dfrac {2}{\sqrt {t^{2}-2\,t+2}}}$.

 

Détermination du rayon de courbure de la trajectoire du point en fonction de la position de ce dernier

......Déduire, de ce qui précède, l'expression du rayon de courbure $\;{\mathcal {R}}_{M}(t)\;$ de la trajectoire du point quand ce dernier est positionné à la date $\;t$,

......évaluer le aux dates $\;t_{0}=0\;$ et $\;t_{1}=1\;s\;$ puis

......commenter les résultats obtenus.

Solution

......On utilise $\;a_{n,\,M}(t)={\dfrac {\left[v_{M}(t)\right]^{2}}{{\mathcal {R}}_{M}(t)}}\;$ soit $\;{\mathcal {R}}_{M}(t)={\dfrac {\left[v_{M}(t)\right]^{2}}{a_{n,\,M}(t)}}={\dfrac {4\left(t^{2}-2\,t+2\right)}{\dfrac {2}{\sqrt {t^{2}-2\,t+2}}}}=2\,\left(t^{2}-2\,t+2\right)^{\frac {3}{2}}$.

......Évaluation du rayon de courbure de la parabole à des instants particuliers : $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\mathcal {R}}(t=0)=4\,{\sqrt {2}}\\{\mathcal {R}}(t=1)=2\end{array}}\right\rbrace \;$ nous conduit à $\;{\mathcal {R}}(t=1)<{\mathcal {R}}(t=0)$ ;

......Évaluation du rayon de courbure de la parabole à des instants particuliers : ceci est en accord avec le fait que $\;M\;$ est au sommet de la parabole à $\;t=1\,s\;$ et que c'est au sommet que le rayon de courbure est minimal sur une parabole.

 

Lancement d'une torpille sur un navire

Schéma de situation initiale lorsqu'un sous-marin immobile, stationnant en surface, lance une torpille en direction d'un navire en mouvement rectiligne uniforme

......Un navire $\;N\;$ est animé d'un mouvement rectiligne uniforme de vecteur vitesse $\;{\vec {v}}\;$ le long d'une droite $\;(D)$.

......Un sous-marin immobile $\;S\;$ (que nous supposerons en surface pour simplifier l'étude et bien sûr en dehors de la trajectoire du navire) tire une torpille $\;T\;$ à l'instant où l'angle $\;{\widehat {({\vec {v}},\,{\overrightarrow {NS}})}}\;$ a la valeur $\;\alpha \;$ (voir figure ci-contre).

Détermination de la valeur de l'angle de tir θ pour que la torpille coule le navire

......La torpille lancée $\;T\;$ étant animée d'un mouvement rectiligne uniforme de vecteur vitesse de norme $\;u$, quelle doit être la valeur de l'angle de tir $\;\theta ={\widehat {({\overrightarrow {SN}},\,{\vec {u}})}}\;$ si le commandant du sous-marin veut couler le navire $\;N$.

Solution

Schéma de situation initiale lorsqu'un sous-marin immobile, stationnant en surface, lance une torpille en direction d'un navire en mouvement rectiligne uniforme avec choix d'une base cartésienne et d'une origine des espaces

......On choisit un repérage de la position du navire à l'instant $\;t\;$ que l'on note $\;N_{t}\;$ et de celle de la torpille au même instant que l'on note $\;T_{t}\;$ de façon à faire apparaître aisément les angles $\;\alpha \;$ et $\;\theta \;$ d'où le choix (voir figure ci-contre)

• de la base cartésienne $\;({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y})\;$ et
• de l'origine $\;O\;$ en $\;N_{0}$, position du navire à l'instant $\;0$, la position de la torpille au même instant $\;T_{0}\;$ étant confondue avec celle du sous-marin $\;S\;$ située à la distance $\;d\;$ de $\;N_{0}$.

......La torpille $\;T_{t}\;$ atteindra son objectif $\;N_{t}\;$ si elle arrive au même endroit $\;I\;$ au même instant $\;t_{I}$, pour cela il est nécessaire de connaître les lois horaires des mouvements de $\;T_{t}\;$ et $\;N_{t}$ :

• lois horaires du mouvement de N_t : $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x_{N}(t)=\left[v\,\cos(\alpha )\right]\,t\\y_{N}(t)=\left[v\,\sin(\alpha )\right]\,t\end{array}}\right\rbrace \;$ et
• lois horaires du mouvement de T_t : $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x_{T}(t)=-\left[u\,\cos(\theta )\right]\,t+d\\y_{T}(t)=\left[u\,\sin(\theta )\right]\,t\end{array}}\right\rbrace$ ;

......transcrivons que $\;T_{t}\;$ et $\;N_{t}$ ont même position $\;I\;$ au même instant $\;t_{I}\;$ soit $\;I\,\left\lbrace {\begin{array}{l}\left[v\,\cos(\alpha )\right]\,t_{I}=-\left[u\,\cos(\theta )\right]\,t_{I}+d\\\left[v\,\sin(\alpha )\right]\,t_{I}=\left[u\,\sin(\theta )\right]\,t_{I}\end{array}}\right\rbrace$ ;
......$\;\succ \;$la 2^nde équation nous fournit la relation cherchée $\;v\,\sin(\alpha )=u\,\sin(\theta )\;\;({\mathfrak {a}})\;$ et
......$\;\succ \;$la 1^ère la durée $\;t_{I}\;$ nécessaire pour que la torpille atteigne son but $\;t_{I}={\dfrac {d}{v\,\cos(\alpha )+u\,\cos(\theta )}}\;\;({\mathfrak {b}})$ ;

......il est possible, à partir de $\;({\mathfrak {a}})$, de déduire $\;\theta \;$ en fonction de $\;\alpha$, $\;u\;$ et $\;v\;$ d'où $\;\sin(\theta )={\dfrac {v}{u}}\;\sin(\alpha )\;$ $\Rightarrow$ $\;\theta =\arcsin \!\left[{\dfrac {v}{u}}\;\sin(\alpha )\right]$.

 

Détermination de la valeur de l'angle α pour minimaliser la durée de tir de la torpille

......Le commandant du sous-marin souhaitant que la torpille $\;T\;$ atteigne le navire $\;N\;$ en un temps minimal, attend que l'angle $\;\alpha \;$ acquiert une valeur $\;\alpha _{0}\;$ ;

......déterminer la valeur $\;\alpha _{0}\;$ de $\;\alpha \;$ pour qu'il en soit ainsi ;

......calculer alors la valeur de l'angle de tir $\;\theta _{0}\;$ correspondant ;

......discuter suivant les normes des vitesses comparées du navire et de la torpille.

Solution

......On souhaite maintenant que $\;t_{I}\;$ soit minimal ; pour cela il faut que le sous-marin $\;S\;$ attende que $\;N\;$ occupe une position telle que la distance $\;SI\;$ soit minimale c'est-à-dire $\;\perp \;$ à la direction du mouvement de $\;N\;$ ; on en déduit que $\;\alpha _{0}+\theta _{0}={\dfrac {\pi }{2}}\;$ d'où $\;\theta _{0}={\dfrac {\pi }{2}}-\alpha _{0}\;$ que l'on reporte dans $\;({\mathfrak {a}})\;$ soit $\;v\,\sin(\alpha _{0})=u\,\sin \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\alpha _{0}\right)\;$ $\Leftrightarrow$ $v\,\sin(\alpha _{0})=u\,\cos(\alpha _{0})\;$ et finalement $\;\tan(\alpha _{0})={\dfrac {u}{v}}\;$ ou, en inversant, $\;\alpha _{0}=\arctan \!\left[{\dfrac {u}{v}}\right]$. ......Valeur de l'angle de tir $\;\theta _{0}\;$ correspondant : $\;\theta _{0}={\dfrac {\pi }{2}}-\alpha _{0}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\alpha _{0}={\dfrac {\pi }{2}}-\theta _{0}\;$ et $\;\tan(\alpha _{0})={\dfrac {u}{v}}\;$ $\Rightarrow$ $\;\tan \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\theta _{0}\right)={\dfrac {u}{v}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\cot(\theta _{0})={\dfrac {u}{v}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\dfrac {1}{\tan(\theta _{0})}}={\dfrac {u}{v}}\;$ et par suite $\;\tan(\theta _{0})={\dfrac {v}{u}}\;$ ou, en inversant, $\;\theta _{0}=\arctan \left[{\dfrac {v}{u}}\right]$.

......Discussion : si $\;u\gg v$, $\;\alpha _{0}\simeq {\dfrac {\pi }{2}}\;$ et $\;\theta _{0}\ll 1\;$ $\Rightarrow$ la moindre petite erreur sur la direction de lancement de la torpille fera que cette dernière manquera son but  ;

......Discussion : si $\;u\simeq v\;$, $\;\alpha _{0}\simeq {\dfrac {\pi }{4}}\;$ et $\;\theta _{0}\simeq {\dfrac {\pi }{4}}$, $\;\theta _{0}\;$ n'étant plus très petit, la réussite du tir autorise une petite erreur sur la direction de lancement de la torpille.

......Remarque : On pouvait aussi écrire la condition pour que $\;t_{I}\;$ fonction de $\;\alpha \;$ et de $\;\theta (\alpha )\;$, soit minimale par la C.N. $\;{\dfrac {dt_{I}}{d\alpha }}=0\;$ voir exposé ci-dessous :

......Remarque : le plus simple serait alors de différencier $\;({\mathfrak {b}})\;$ ainsi que $\;({\mathfrak {a}})\;$ ${\bigg [}$mais, dans $\;({\mathfrak {b}})$, la distance $\;d\;$ n'est pas constante mais fonction de $\;\alpha$, ce qui reste constant c'est la distance orthogonale $\;h\;$ entre $\;S\;$ et la trajectoire de $\;N\;$ c'est-à-dire $\;h=d\,\sin(\alpha )\Leftrightarrow d={\dfrac {h}{\sin(\alpha )}}{\bigg ]}$ ;

......Remarque : il convient donc de commencer par éliminer $\;d\;$ au profit de $\;h\;$ d'où la nouvelle expression $\;({\mathfrak {b'}})\;$ de $\;t_{I}\;$ en fonction des seules variables $\;\alpha \;$ et $\;\theta$ : $t_{I}={\dfrac {h}{\sin(\alpha )\left[v\,\cos(\alpha )+u\,\cos(\theta )\right]}}\;\;({\mathfrak {b'}})$ ;

......Remarque : $\;t_{I}\;$ s'écrivant $\;{\dfrac {h}{V\!\left[\alpha ,\,\theta (\alpha )\right]}}\;$ avec $\;h\;$ constant et le dénominateur $\;V\!\left[\alpha ,\,\theta (\alpha )\right]=\sin(\alpha )\left[v\,\cos(\alpha )+u\,\cos(\theta )\right]\;\;({\mathfrak {c}})\;$ variable, $\;t_{I}\;$ sera minimal si $\;V\!\left[\alpha ,\,\theta (\alpha )\right]\;$ est maximal, il serait donc plus judicieux d'écrire cette dernière exigence par la C.N. $\;{\dfrac {dV}{d\alpha }}=0\;$ et pour cela de différencier $\;({\mathfrak {c}})\;$ ainsi que $\;({\mathfrak {a}})\;$ soit :

......Remarque : $\;d({\mathfrak {a}})\;{\text{:}}\;v\,\cos(\alpha )\,d\alpha =u\,\cos(\theta )\,d\theta \;$ avec $\;d({\mathfrak {c}})\;{\text{:}}\;dV=\cos(\alpha )\,d\alpha \left[v\,\cos(\alpha )+u\,\cos(\theta )\right]+\sin(\alpha )\left[-v\,\sin(\alpha )\,d\alpha -u\,\sin(\theta )\,d\theta \right]\;$ se réécrivant

$\;d({\mathfrak {c}})\;{\text{:}}\;dV=\left\lbrace v\left[\cos ^{2}(\alpha )-\sin ^{2}(\alpha )\right]+u\,\cos(\alpha )\,\cos(\theta )\right\rbrace d\alpha -u\,\sin(\alpha )\,\sin(\theta )\,d\theta \;$ soit,
......Remarque : en tirant $\;d\theta \;$ en fonction de $\;d\alpha \;$ à partir de $\;d({\mathfrak {a}})$, d'où $\;d\theta ={\dfrac {v\,\cos(\alpha )}{u\,\cos(\theta )}}\;d\alpha \;$ et en reportant dans $\;d({\mathfrak {c}})$, on obtient $\;dV=\left\lbrace v\left[\cos ^{2}(\alpha )-\sin ^{2}(\alpha )\right]+u\,\cos(\alpha )\,\cos(\theta )\right\rbrace d\alpha -u\,\sin(\alpha )\,\sin(\theta )\,{\dfrac {v\,\cos(\alpha )}{u\,\cos(\theta )}}\,d\alpha$, ou
$\;{\dfrac {dV}{d\alpha }}=v\left[\cos ^{2}(\alpha )-\sin ^{2}(\alpha )\right]+u\,\cos(\alpha )\,\cos(\theta )-v\,\sin(\alpha )\,\cos(\alpha )\,\tan(\theta )$ ; ......Remarque : il faut maintenant éliminer $\;\cos(\theta )\;$ et $\;\tan(\theta )\;$ au profit de $\;\alpha \;$ à l'aide de la relation $\;({\mathfrak {a}})\;$, d'où $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\cos(\theta )={\sqrt {1-\sin ^{2}(\theta )}}\\\tan(\theta )={\dfrac {\sin(\theta )}{\cos(\theta )}}={\dfrac {\sin(\theta )}{\sqrt {1-\sin ^{2}(\theta )}}}\end{array}}\right\rbrace \;$ et, en y reportant l'expression de $\;\sin(\theta )\;$ en fonction de $\;\sin(\alpha )\;$ tirée de la relation $\;({\mathfrak {a}})$, $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\cos(\theta )={\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{u^{2}}}\sin ^{2}(\alpha )}}={\dfrac {\sqrt {u^{2}-v^{2}\,\sin ^{2}(\alpha )}}{u}}\\\tan(\theta )={\dfrac {{\dfrac {v}{u}}\sin(\alpha )}{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{u^{2}}}\sin ^{2}(\alpha )}}}={\dfrac {v\,\sin(\alpha )}{\sqrt {u^{2}-v^{2}\,\sin ^{2}(\alpha )}}}\end{array}}\right\rbrace$, on en déduit $\;{\dfrac {dV}{d\alpha }}=v\left[\cos ^{2}(\alpha )-\sin ^{2}(\alpha )\right]+\cos(\alpha )\,{\sqrt {u^{2}-v^{2}\,\sin ^{2}(\alpha )}}-{\dfrac {v^{2}\,\sin ^{2}(\alpha )\,\cos(\alpha )}{\sqrt {u^{2}-v^{2}\,\sin ^{2}(\alpha )}}}\;$ ou
$\;{\dfrac {dV}{d\alpha }}=v\left[\cos ^{2}(\alpha )-\sin ^{2}(\alpha )\right]-{\dfrac {\left[2\,v^{2}\,\sin ^{2}(\alpha )-u^{2}\right]\cos(\alpha )}{\sqrt {u^{2}-v^{2}\,\sin ^{2}(\alpha )}}}$ ;

......Remarque : la C.N. de maximum de $\;V\;$ à savoir $\;{\dfrac {dV}{d\alpha }}=0\;$ s'écrit donc : $\;v\left[\cos ^{2}(\alpha _{0})-\sin ^{2}(\alpha _{0})\right]{\sqrt {u^{2}-v^{2}\,\sin ^{2}(\alpha _{0})}}=\left[2\,v^{2}\,\sin ^{2}(\alpha _{0})-u^{2}\,\right]\cos(\alpha _{0})\;$ ou encore $\;{\sqrt {u^{2}-v^{2}\,\sin ^{2}(\alpha _{0})}}={\dfrac {\left[2\,v^{2}\,\sin ^{2}(\alpha _{0})-u^{2}\right]\cos(\alpha _{0})}{v\left[\cos ^{2}(\alpha _{0})-\sin ^{2}(\alpha _{0})\right]}}\;$ soit, en élevant au carré $\;u^{2}-v^{2}\,\sin ^{2}(\alpha _{0})={\dfrac {\left[2\,v^{2}\,\sin ^{2}(\alpha _{0})-u^{2}\right]^{2}\cos ^{2}(\alpha _{0})}{v^{2}\left[\cos ^{2}(\alpha _{0})-\sin ^{2}(\alpha _{0})\right]^{2}}}$, puis en multipliant par le dénominateur du 2^nd membre $\;\left[u^{2}-v^{2}\,\sin ^{2}(\alpha _{0})\right]v^{2}\left[\cos ^{2}(\alpha _{0})-\sin ^{2}(\alpha _{0})\right]^{2}=\left[2\,v^{2}\,\sin ^{2}(\alpha _{0})-u^{2}\right]^{2}\cos ^{2}(\alpha _{0})$ ; après développement et simplification on obtient :

...Remarque : $\left[u^{2}-v^{2}\,\sin ^{2}(\alpha _{0})\right]v^{2}\left[\cos ^{4}(\alpha _{0})+\sin ^{4}(\alpha _{0})-2\,\sin ^{2}(\alpha _{0})\,\cos ^{2}(\alpha _{0})\right]=\left[4\,v^{4}\,\sin ^{4}(\alpha _{0})+u^{4}-4\,u^{2}\,v^{2}\,\sin ^{2}(\alpha _{0})\right]\cos ^{2}(\alpha _{0})\;$ ou encore

...Remarque : $u^{2}\,v^{2}\left[\cos ^{4}(\alpha _{0})+\sin ^{4}(\alpha _{0})-2\,\sin ^{2}(\alpha _{0})\,\cos ^{2}(\alpha _{0})\right]-v^{4}\,\sin ^{2}(\alpha _{0})\left[\cos ^{4}(\alpha _{0})+\sin ^{4}(\alpha _{0})-2\,\sin ^{2}(\alpha _{0})\,\cos ^{2}(\alpha _{0})\right]=$ ...Remarque : $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 4\,v^{4}\,\sin ^{4}(\alpha _{0})\,\cos ^{2}(\alpha _{0})+u^{4}\,\cos ^{2}(\alpha _{0})-4\,u^{2}\,v^{2}\,\sin ^{2}(\alpha _{0})\,\cos ^{2}(\alpha _{0})\;$ soit ...Remarque : $u^{2}\,v^{2}\left[\cos ^{4}(\alpha _{0})+\sin ^{4}(\alpha _{0})+2\,\sin ^{2}(\alpha _{0})\,\cos ^{2}(\alpha _{0})\right]-v^{4}\,\sin ^{2}(\alpha _{0})\left[\cos ^{4}(\alpha _{0})+\sin ^{4}(\alpha _{0})+2\,\sin ^{2}(\alpha _{0})\,\cos ^{2}(\alpha _{0})\right]=u^{4}\,\cos ^{2}(\alpha _{0})\;$ et, en reconnaissant le développement de $\;\left[\sin ^{2}(\alpha _{0})+\cos ^{2}(\alpha _{0})\right]^{2}=1\;$ dans l'expression $\;\cos ^{4}(\alpha _{0})+\sin ^{4}(\alpha _{0})+2\,\sin ^{2}(\alpha _{0})\,\cos ^{2}(\alpha _{0})\;$ on obtient $\;u^{2}\,v^{2}-v^{4}\,\sin ^{2}(\alpha _{0})=u^{4}\,\cos ^{2}(\alpha _{0})$ ;

......Remarque : pour terminer, on peut diviser par $\;\cos ^{2}(\alpha _{0})\;$ pour faire apparaître $\;\tan ^{2}(\alpha _{0})\;$ soit $\;{\dfrac {u^{2}\,v^{2}}{\cos ^{2}(\alpha _{0})}}-v^{4}\,\tan ^{2}(\alpha _{0})=u^{4}\;$ ou, en utilisant $\;{\dfrac {1}{\cos ^{2}(\alpha _{0})}}=$ $1+\tan ^{2}(\alpha _{0})$, l'équation se réécrit $\;u^{2}\,v^{2}\left[1+\tan ^{2}(\alpha _{0})\right]-v^{4}\tan ^{2}(\alpha _{0})=u^{4}\;$ ou $\;v^{2}\,\tan ^{2}(\alpha _{0})\left[u^{2}-v^{2}\right]=u^{2}\left[u^{2}-v^{2}\right]\;$ soit enfin $\;\tan ^{2}(\alpha _{0})={\dfrac {u^{2}}{v^{2}}}$ ;

......Remarque : l'angle $\;\alpha _{0}\;$ algébrisé étant choisi aigu, on en déduit $\;\tan(\alpha _{0})={\dfrac {u}{v}}\;$.

 

Vol d'insecte

Schéma de situation, à l'instant t, du vol d'un insecte M à norme de vecteur vitesse constante et à angle entre son vecteur vitesse et la visée d'un point lumineux O constant, le repérage de M étant polaire de pôle O

......Un insecte assimilé un point mobile $\;M\;$ en mouvement plan dans le plan $\;xOy$, vole à vitesse de norme constante $\;\Vert {\vec {V}}_{M}\Vert =v_{0}$, de sorte que l'angle $\;\alpha \;$ entre $\;{\vec {V}}_{M}\;$ et la visée d'un point lumineux $\;O\;$ (visée de l'insecte définie par $\;{\overrightarrow {MO}}{\big )}\;$ soit constant ;

......on suppose $\;{\widehat {({\vec {V}}_{M},\,{\overrightarrow {MO}})}}=\alpha >0\;$ (voir figure ci-contre).

Détermination des composantes polaires du vecteur vitesse de l'insecte et de la loi horaire donnant la distance séparant ce dernier de son point de visée

......Exprimer, en fonction de $\;v_{0}\;$ et $\;\alpha$, les composantes polaires du vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{M}\;$ de l'insecte ;

......sachant qu'à l'instant initial $\;t=0$, la distance $\;\rho \;$ séparant l'insecte de son point de visée vaut $\;\rho _{0}\;$ et que l'on choisit l'axe polaire $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ passant par la position initiale de l'insecte c'est-à-dire que l'angle polaire de l'insecte vaut $\;\theta _{0}=0$, déduire, de l'expression de la vitesse radiale, la loi horaire $\;\rho =\rho (t)\;$ en fonction de $\;v_{0}$, $\;\rho _{0}$, $\;\alpha \;$ et $\;t$.

Solution

Schéma de situation, à l'instant t, du vol d'un insecte M à norme de vecteur vitesse constante et à angle entre son vecteur vitesse et la visée d'un point lumineux O constant, le repérage de M étant polaire de pôle O et de base représentée en rouge

......Les composantes polaires du vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ s'obtiennent par projection de ce dernier sur la base polaire $\;({\vec {u}}_{\rho }\,,\,{\vec {u}}_{\theta })$, le vecteur $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ étant de norme $\;v_{0}\;$ constante et faisant un angle $\;\alpha \;$ constant avec $\;{\overrightarrow {MO}}=-\rho \,{\vec {u}}_{\rho }$, on en tire, d'une part, par projection, les composantes polaires de $\;{\vec {V}}_{M}(t)\left\lbrace {\begin{array}{l}V_{\rho }(t)=-v_{0}\,\cos(\alpha )\\V_{\theta }(t)=v_{0}\,\sin(\alpha )\end{array}}\right\rbrace \;$
égales, d'autre part, par définition du vecteur vitesse, à $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}V_{\rho }(t)=-{\dot {\rho }}(t)\\V_{\theta }(t)=\rho (t)\;{\dot {\theta }}(t)\end{array}}\right\rbrace$. ......Pour déterminer la loi horaire $\;\rho =\rho (t)$, il suffit d'intégrer l'expression de $\;{\dot {\rho }}=-v_{0}\,\cos(\alpha )\;$ soit : $\;\rho =-v_{0}\,\cos(\alpha )\,t+cste\;$ ou, avec les C.I., $\;\rho =\rho _{0}-v_{0}\,\cos(\alpha )\,t$.

 

Détermination des composantes polaires du vecteur accélération de l'insecte

......Exprimer les composantes polaires du vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{M}\;$ de l'insecte

• en fonction de $\;v_{0}$, $\;\alpha \;$ et $\;\rho \;$ puis
• en fonction de $\;v_{0}$, $\;\rho _{0}$, $\;\alpha \;$ et $\;t$.

Solution

......Les composantes polaires du vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ s'obtenant par $\;{\vec {a}}_{M}(t)\left\lbrace {\begin{array}{l}a_{\rho }(t)={\ddot {\rho }}(t)-\rho (t)\left[{\dot {\theta }}(t)\right]^{\!2}\\a_{\theta }(t)={\dfrac {1}{\rho (t)}}\,{\dfrac {d\!\left[\rho ^{2}(t)\,{\dot {\theta }}(t)\right]}{dt}}\end{array}}\right\rbrace \;$ ou, avec $\;{\dot {\rho }}(t)=-v_{0}\,\cos(\alpha )=cste\;$ ainsi que $\;\rho (t)\,{\dot {\theta }}(t)=v_{0}\,\sin(\alpha )=cste'$, les composantes polaires de $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ deviennent $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}a_{\rho }(t)=0-{\dfrac {\left[\rho (t)\,{\dot {\theta }}(t)\right]^{\!2}}{\rho (t)}}&=&-{\dfrac {v_{0}^{2}\,\sin ^{2}(\alpha )}{\rho (t)}}\\a_{\theta }(t)={\dfrac {1}{\rho (t)}}\,{\dfrac {d\!\left\lbrace \rho (t)\left[\rho (t)\,{\dot {\theta }}(t)\right]\right\rbrace }{dt}}&=&{\dfrac {1}{\rho (t)}}\,{\dfrac {d\!\left[\rho (t)\,v_{0}\,\sin(\alpha )\right]}{dt}}\end{array}}\right\rbrace \;$ soit encore $\;{\vec {a}}_{M}(t)\left\lbrace {\begin{array}{l}a_{\rho }(t)=-{\dfrac {v_{0}^{2}\,\sin ^{2}(\alpha )}{\rho (t)}}\\a_{\theta }(t)=v_{0}\,\sin(\alpha )\,{\dfrac {{\dot {\rho }}(t)}{\rho (t)}}\end{array}}\right\rbrace \;$ et enfin, en remplaçant $\;{\dot {\rho }}(t)\;$ par sa valeur, $\;{\vec {a}}_{M}(t)\left\lbrace {\begin{array}{l}a_{\rho }(t)=-{\dfrac {v_{0}^{2}\,\sin ^{2}(\alpha )}{\rho (t)}}\\a_{\theta }(t)=-{\dfrac {v_{0}^{2}\,\sin(\alpha )\,\cos(\alpha )}{\rho (t)}}\end{array}}\right\rbrace$ ; ......en reportant l'expression de $\;\rho =\rho (t)\;$ dans les composantes polaires du vecteur accélération, on détermine les nouvelles expressions cherchées soit $\;{\vec {a}}_{M}(t)\left\lbrace {\begin{array}{l}a_{\rho }(t)=-{\dfrac {v_{0}^{2}\,\sin ^{2}(\alpha )}{\rho _{0}-v_{0}\,\cos(\alpha )\,t}}\\a_{\theta }(t)=-{\dfrac {v_{0}^{2}\,\sin(\alpha )\,\cos(\alpha )}{\rho _{0}-v_{0}\,\cos(\alpha )\,t}}\end{array}}\right\rbrace$.

 

Détermination de la loi horaire donnant l'angle polaire de l'insecte puis de la trajectoire de celui-ci

......Déterminer la 2^ème loi horaire du mouvement de l'insecte donnant l'angle polaire de ce dernier $\;\theta =\theta (t)\;$ puis

......déduire des deux lois horaires de $\;M\;$ l'équation polaire de la trajectoire de l'insecte ;

......terminer en traçant cette dernière.

Solution

......La 2^nde loi horaire s'obtient en intégrant $\;\rho (t)\,{\dot {\theta }}(t)=v_{0}\,\sin(\alpha )\;$ soit, en isolant $\;{\dot {\theta }}(t)\;$ et en y reportant $\;\rho (t)$, l'expression à intégrer $\;{\dot {\theta }}(t)={\dfrac {v_{0}\,\sin(\alpha )}{\rho _{0}-v_{0}\,\cos(\alpha )\,t}}\;$ ;

Différentes trajectoires du vol d'insecte à norme de vecteur vitesse constante et à angle α entre son vecteur vitesse et la visée d'un point lumineux O constant, les trajectoires "des spirales logarithmiques de centre asymptotique O" ayant été tracées par calculateur numérique pour les valeurs de α égales à 60° (en gras), 45° (en continu) et 30° (en tiretés)

......pour cela on sépare les variables selon $\;d\theta ={\dfrac {v_{0}\,\sin(\alpha )\,dt}{\rho _{0}-v_{0}\,\cos(\alpha )\,t}}=-{\dfrac {\sin(\alpha )}{\cos(\alpha )}}\,{\dfrac {d\left[\rho _{0}-v_{0}\,\cos(\alpha )\,t\right]}{\rho _{0}-v_{0}\,\cos(\alpha )\,t}}\;$ que l'on intègre en $\;\theta =$ $-\tan(\alpha )\,\ln \!\vert \rho _{0}-v_{0}\,\cos(\alpha )\,t\vert +A$, $\;A\;$ étant une constante à déterminer par C.I. soit $\;\theta (0)=0=-\tan(\alpha )\,\ln(\rho _{0})+A\;$ $\Rightarrow$ $\;A=\tan(\alpha )\,\ln(\rho _{0})$, la 2^nde loi horaire s'écrit alors selon $\;\theta (t)=\tan(\alpha )\;\ln \!{\bigg \vert }{\dfrac {\rho _{0}}{\rho _{0}-v_{0}\,\cos(\alpha )\,t}}{\bigg \vert }$. ......Nous disposons des deux équations polaires paramétriques de la trajectoire $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\rho =\rho _{0}-v_{0}\,\cos(\alpha )\,t\\\theta =\tan(\alpha )\;\ln \!{\bigg \vert }{\dfrac {\rho _{0}}{\rho _{0}-v_{0}\,\cos(\alpha )\,t}}{\bigg \vert }\end{array}}\right\rbrace \;$ et l'obtention de l'équation polaire nécessite d'éliminer le paramètre $\;t\;$ entre ces deux équations d'où la réécriture de la 2^ème équation selon $\;\theta =\tan(\alpha )\;\ln \!{\bigg \vert }{\dfrac {\rho _{0}}{\rho }}{\bigg \vert }\;$ ou en inversant $\;{\dfrac {\rho _{0}}{\rho }}=\exp \left[\theta \,\cot(\alpha )\right]\;$ soit finalement $\;\rho =\rho _{0}\,\exp \left[-\theta \,\cot(\alpha )\right]\;$ c'est-à-dire l'équation polaire d'une spirale logarithmique.

......Voir ci-contre les tracés de la trajectoire de l'insecte réalisés à l'aide d'un calculateur numérique pour des valeurs particulières de l'angle $\;\alpha$ : en traits gras $\;\alpha =60\,{\text{°}}$, en traits continus $\;\alpha =45\,{\text{°}}\;$ et en tiretés $\;\alpha =30\,{\text{°}}$.

 

Détermination de la durée nécessaire à l'insecte pour atteindre le point de visée O ainsi que la norme de son vecteur accélération

......Au bout de combien de temps, l'insecte atteint-il le point de visée $\;O$ ?

......Que vaut la norme de son vecteur accélération $\;\Vert {\vec {a}}_{M}\Vert \;$ à cet instant ?

Solution

......Pour calculer la durée $\;\Delta t_{O}=t_{O}-0\;$ pour que l'insecte atteigne le point $\;O$, il suffit d'écrire $\;\rho (t_{O})=0\;$ soit $\;t_{O}={\dfrac {\rho _{0}}{v_{0}\,\cos(\alpha )}}\;$ et par suite $\;\Delta t_{O}={\dfrac {\rho _{0}}{v_{0}\,\cos(\alpha )}}$. ......La valeur de $\;\Vert {\vec {a}}_{M}(t_{O})\Vert \;$ s'obtient par $\;\Vert {\vec {a}}_{M}(t_{O})\Vert ={\sqrt {a_{\rho }^{2}(t_{O})+a_{\theta }^{2}(t_{O})}}={\sqrt {\left[-{\dfrac {v_{0}^{2}\,\sin ^{2}(\alpha )}{\rho (t_{O})}}\right]^{2}+\left[-{\dfrac {v_{0}^{2}\,\sin(\alpha )\,\cos(\alpha )}{\rho (t_{O})}}\right]^{2}}}={\dfrac {v_{0}^{2}\,\sin(\alpha )}{\rho (t_{O})}}\;$ laquelle $\;\rightarrow \infty \;$ quand $\;t\rightarrow t_{O}\;$ d'où $\;\Vert {\vec {a}}_{M}(t_{O})\Vert \sim \infty$.

 

Détermination de l'angle polaire de l'insecte quand ce dernier est encore à la distance ρ_f du point de visée

......De quel angle $\;\theta _{f}\;$ l'insecte aura-t-il tourné entre l'instant initial $\;t=0\;$ et l'instant $\;t_{f}\;$ où il se trouve encore à la distance $\;\rho _{f}\;$ de son point de visée $\;O$ ?

......Commenter le cas où $\;\rho _{f}=0$.

Solution

......L'angle $\;\theta _{f}\;$ dont $\;M\;$ a tourné entre $\;t=0\;$ et $\;t_{f}\;$ où il se trouve à la distance $\;\rho _{f}\;$ de son point de visée $\;O\;$ se calcule par utilisation de l'équation polaire écrite sous la forme $\;\theta =\tan(\alpha )\;\ln \!{\bigg \vert }{\dfrac {\rho _{0}}{\rho (t)}}{\bigg \vert }\;$ soit $\;\theta _{f}=\tan(\alpha )\;\ln \!\left({\dfrac {\rho _{0}}{\rho _{f}}}\right)$ ;

......cas où ρ_f = 0 : $\;\theta _{f}\sim \infty \;$ en accord avec le fait que $\;O\;$ est le point asymptote de la spirale.

 

Étude du mouvement plan d'un point de trajectoire connue par son équation polaire et de loi de variation de vitesse angulaire connue en fonction de l'angle polaire de ce dernier

......Un point mobile $\;M\;$ a un mouvement dans le plan $\;xOy\;$ de trajectoire connue $\;({\mathcal {C}})\;$ par son équation polaire $\;\rho =2\,R\,\cos(\theta )$, $\;R\;$ étant une constante positive homogène à une longueur.

......Au cours de ce mouvement, l'angle polaire $\;\theta \;$ varie en étant lié à sa vitesse angulaire par la loi de variation $\;{\dot {\theta }}={\dfrac {\Omega }{\cos ^{2}\!\left(\theta \right)}}\;$ avec $\;\Omega \;$ constante positive homogène à une vitesse angulaire, l'angle polaire $\;\theta \;$ décrivant l'intervalle $\;\left]-{\dfrac {\pi }{2}}\,;\,{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$ et la vitesse angulaire $\;{\dot {\theta }}\;$ n'étant pas définie pour $\;\theta =\pm {\dfrac {\pi }{2}}$.

Nature de la trajectoire

......Déterminer la nature de la trajectoire $\;({\mathcal {C}})\;$ du point puis

......tracer la courbe correspondante.

Solution

Mouvement d'un point M se déplaçant sur une courbe d'équation polaire ρ = 2 R cos(θ), à vitesse angulaire Ω/cos²(θ) où θ est l'abscisse angulaire de M

......L'équation polaire de $\;({\mathcal {C}})\;$ étant $\;\rho =2\,R\,\cos(\theta )$, et les liens entre les coordonnées polaires et cartésiennes du point générique $\;M\;$ étant $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x=\rho \,\cos(\theta )\\y=\rho \,\sin(\theta )\end{array}}\right\rbrace \;$,

on cherche d'abord à éliminer $\;\cos(\theta )\;$ dans l'équation polaire et pour cela on la multiplie de part et d'autre par $\;\rho \;$ de façon à faire apparaître $\;x\;$ dans le membre de droite d'où : $\;\rho ^{2}=2\,R\left[\rho \,\cos(\theta )\right]\;$ ou, avec $\;\rho ^{2}=x^{2}+y^{2}$, l'équation cartésienne $\;x^{2}+y^{2}=$ $2\,R\,x\;$ soit encore $\;\left(x-R\right)^{2}+y^{2}=R^{2}$, c'est-à-dire le cercle de centre $\;C\,(R,\,0)\;$ et de rayon $\;R\;$ (voir courbe ci-contre) ;

......on vérifie que le cercle de diamètre $\;OB\;$ a effectivement pour équation polaire $\;\rho =2\,R\,\cos(\theta )\;$ car $\;{\dfrac {OM}{OB}}=\cos(\theta )$, le triangle $\;OMB\;$ étant rectangle en $\;M$, avec $\;OM=\rho \;$ et $\;OB=2\,R\;\ldots$

• Quand $\;\theta \rightarrow -{\dfrac {\pi }{2}}$, $\;M\;$ tend vers $\;O_{\text{inf}}\;$ et
• quand $\;\theta \rightarrow +{\dfrac {\pi }{2}}$, $\;M\;$ tend vers $\;O_{\text{sup}}$.

 

Propriétés des grandeurs cinématiques du point

......Déterminer le vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{M}\;$ du point mobile, en repérage polaire, en fonction de $\;\Omega$, $\;R\;$ et $\;\theta$ ;

......montrer que le vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{M}\;$ du point mobile est centripète (c'est-à-dire colinéaire et de même sens que $\;{\overrightarrow {MO}}{\big )}$.

Solution

......Les composantes polaires du vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ sont $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}V_{\rho }(t)={\dot {\rho }}(t)&=-2\,R\,\sin \!\left[\theta (t)\right]\,{\dfrac {\Omega }{\cos ^{2}\!\left[\theta (t)\right])}}\\V_{\theta }(t)=\rho (t)\,{\dot {\theta }}(t)&=2\,R\,\cos \!\left[\theta (t)\right]\,{\dfrac {\Omega }{\cos ^{2}\!\left[\theta (t)\right]}}\end{array}}\right\rbrace \;$ soit finalement $\;{\vec {V}}_{M}(t)\left\lbrace {\begin{array}{l}V_{\rho }(t)=-2\,R\,\Omega \,{\dfrac {\sin \!\left[\theta (t)\right]}{\cos ^{2}\!\left[\theta (t)\right]}}\\V_{\theta }(t)=2\,R\,\Omega \,{\dfrac {1}{\cos \!\left[\theta (t)\right]}}\end{array}}\right\rbrace$. ......Pour montrer que $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ est central [c'est-à-dire colinéaire à $\;{\overrightarrow {OM}}(t){\big ]}$, il suffit de montrer que $\;a_{\theta }(t)=0\;\forall \;t$ et pour cela de calculer la composante orthoradiale de $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ par sa forme semi-intégrée $\;a_{\theta }(t)={\dfrac {1}{\rho (t)}}{\dfrac {d\!\left[\rho ^{2}(t)\,{\dot {\theta }}(t)\right]}{dt}}\;$ où $\;\rho ^{2}(t)\,{\dot {\theta }}(t)=\left\lbrace 2\,R\,\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace ^{2}{\dfrac {\Omega }{\cos ^{2}\!\left[\theta (t)\right]}}\;$ soit finalement $\;\rho ^{2}(t)\,{\dot {\theta }}(t)=4\,R^{2}\,\Omega \;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {d\!\left[\rho ^{2}(t)\,{\dot {\theta }}(t)\right]}{dt}}$ $=0\;$ et par suite $\;a_{\theta }(t)=0\;\forall \;t\;$
c'est-à-dire le caractère central du vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{M}(t)$ ; ......il reste à montrer que $\;a_{\rho }(t)\;$ est $\;<0\;\forall \;t\;$ pour en déduire que $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ est centripète soit avec $\;a_{\rho }(t)={\ddot {\rho }}(t)-\rho (t)\,{\dot {\theta }}^{2}(t)={\dot {V}}_{\rho }-{\dfrac {V_{\theta }^{2}(t)}{\rho (t)}}\;$ on obtient $\;a_{\rho }(t)=$ $-2\,R\,\Omega \,{\dfrac {\cos ^{2}\!\left[\theta (t)\right]\,\cos \!\left[\theta (t)\right]-\sin \!\left[\theta (t)\right]\left\lbrace -2\,\cos \!\left[\theta (t)\right]\,\sin \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace }{\cos ^{4}\!\left[\theta (t)\right]}}\,{\dot {\theta }}(t)-{\dfrac {\left\lbrace 2\,R\,\Omega \,{\dfrac {1}{\cos \!\left[\theta (t)\right]}}\right\rbrace ^{2}}{2\,R\,\cos \!\left[\theta (t)\right]}}\;$ ou, reportant l'expression de $\;{\dot {\theta }}(t)\;$ et réduisant au même dénominateur, on trouve $\;a_{\rho }(t)=-2\,R\,\Omega ^{2}\,{\dfrac {\cos ^{2}\!\left[\theta (t)\right]+2\sin ^{2}\!\left[\theta (t)\right]+\cos ^{2}\!\left[\theta (t)\right]}{\cos ^{5}\!\left[\theta (t)\right]}}\;$ soit finalement $\;a_{\rho }(t)={\dfrac {-4\,R\,\Omega ^{2}}{\cos ^{5}\!\left[\theta (t)\right]}}<0\;\forall \;t\;$ laquelle, avec $\;a_{\theta }(t)=0\;\forall \;t\;$,
permet d'affirmer le caractère centripète du vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{M}(t)$.

 

Établissement de la nature périodique du mouvement du point et évaluation de sa période

......Montrer que le mouvement du point est périodique sur sa trajectoire et simultanément

......évaluer la période de parcours c'est-à-dire la durée nécessaire pour un parcours complet de cette trajectoire.

Solution

......La vitesse angulaire étant toujours positive, le mouvement se poursuit indéfiniment dans le sens des $\;\theta \nearrow \;$ et comme la vitesse angulaire ne devient jamais petite on observe successivement des tours complets de cercle ;

......pour montrer le caractère « périodique » du mouvement il suffit d'évaluer la durée du n^ème tour et de constater que cette durée est indépendante de $\;n$ ;

......À partir de $\;{\dot {\theta }}(t)={\dfrac {d\theta }{dt}}(t)={\dfrac {\Omega }{\cos ^{2}\!\left[\theta (t)\right]}}\;$ que l'on inverse en $\;{\dfrac {dt}{d\theta }}(\theta )={\dfrac {\cos ^{2}(\theta )}{\Omega }}\;$ soit en séparant les variables $\;dt={\dfrac {1}{\Omega }}\,\cos ^{2}(\theta )\,d\theta$, et le n^ème tour complet correspondant à une variation de $\;\theta \;$ de $\;(2\,n-3)\;{\dfrac {\pi }{2}}\;$ à $\;(2\,n-1)\;{\dfrac {\pi }{2}}\;$, on en déduit la durée du n^ème tour complet $\;\left(\Delta t\right)_{n}\;$ par $\;\left(\Delta t\right)_{n}=\displaystyle \int _{\frac {(2\,n-3)\,\pi }{2}}^{\frac {(2\,n-1)\,\pi }{2}}{\dfrac {1}{\Omega }}\;\cos ^{2}(\theta )\;d\theta \;$

ou, en utilisant $\;2\,\cos ^{2}(\theta )=1+\cos \!\left(2\,\theta \right)\;$ pour linéariser, $\;\left(\Delta t\right)_{n}=\displaystyle \int _{\frac {(2\,n-3)\,\pi }{2}}^{\frac {(2\,n-1)\,\pi }{2}}{\dfrac {1}{2\,\Omega }}\,\left[1+\cos \left(2\,\theta \right)\right]\,d\theta ={\dfrac {1}{2\,\Omega }}\,\left[\theta +{\dfrac {\sin \!\left(2\,\theta \right)}{2}}\right]_{\frac {(2\,n-3)\,\pi }{2}}^{\frac {(2\,n-1)\,\pi }{2}}={\dfrac {\pi }{2\,\Omega }}\;$ soit finalement, une durée indépendante de n établissant le caractère périodique du mouvement de $\;M\;$ sur sa trajectoire ;
la période du mouvement vaut donc $\;\left(\Delta t\right)_{\cancel {n}}={\dfrac {\pi }{2\,\Omega }}$.

 

Exemple de mouvement hélicoïdal uniforme, détermination du rayon de courbure de l'hélice

Schéma de situation de mouvement uniforme d'un point sur une hélice circulaire droite (non tracée mais simplement évoquée)

......Un point décrit l'hélice « circulaire » « droite » définie par ses équations paramétriques cartésiennes $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x&=&R\,\cos \left(\theta \right)&=&R\,\cos \left(\omega \,t\right)\\y&=&R\,\sin \left(\theta \right)&=&R\,\sin \left(\omega \,t\right)\\z&=&h\;\theta &=&h\,\left(\omega \,t\right)\end{array}}\right\rbrace$, avec la vitesse angulaire $\;\omega =cste>0\;$ (voir figure ci-contre).

Repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'axe Oz de la trajectoire du point

......Déterminer, en fonction de $\;t$, les coordonnées cylindro-polaires (ou cylindrique) d'axe $\;Oz\;$ du point $\;M\;$ quand il décrit sa trajectoire hélicoïdale.

Solution

......On évalue $\;\rho \;$ en fonction de $\;t\;$ en formant $\;{\sqrt {x^{2}(t)+y^{2}(t)}}\;$ soit $\;\rho (t)={\sqrt {\left[R\,\cos \!\left(\omega \,t\right)\right]^{2}+\left[R\,\sin \!\left(\omega \,t\right)\right]^{2}}}\;$ ou finalement $\;\rho ({\cancel {t}})=R$, c'est-à-dire une 1^ère loi horaire cylindro-polaire, laquelle est aussi une 1^ère équation horaire cylindro-polaire paramétrique de la trajectoire  ;

......la 2^ème loi horaire cylindro-polaire $\;\theta =\theta (t)\;$ se déduit de $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\cos(\theta )={\dfrac {x(t)}{\rho (t)}}={\dfrac {R\,\cos \!\left(\omega \,t\right)}{R}}=\cos(\omega \,t)\\\sin(\theta )={\dfrac {y(t)}{\rho (t)}}={\dfrac {R\,\sin \!\left(\omega \,t\right)}{R}}=\sin(\omega \,t)\end{array}}\right\rbrace \;$ soit finalement $\;\theta =\omega \,t$, laquelle est aussi une 2^ème équation horaire cylindro-polaire paramétrique de la trajectoire et

......celle de $\;z=z(t)\;$ est fournie par le texte soit la 3^ème loi horaire cylindro-polaire $\;z=h\,\omega \,t$, laquelle est aussi une 3^ème équation horaire cylindro-polaire paramétrique de la trajectoire.

......Remarque : l'élimination de $\;t\;$ entre les deux dernières lois horaires (lesquelles sont aussi les dernières équations cylindriques paramétriques de la trajectoire) donnant $\;z=$ $h\,\theta \;$ c'est-à-dire la 2^ème équation cylindro-polaire de la trajectoire appelée « nappe en colimaçon » , laquelle associée avec la 1^ère équation cylindro-polaire de la trajectoire $\;\rho =R\;$ justifie que la trajectoire est bien une hélice (circulaire droite d'axe $\;Oz{\big )}\;$ de pas égal à $\;h\;2\,\pi$.

 

Détermination des composantes cylindro-polaires du vecteur vitesse du point sur sa trajectoire hélicoïdale puis l'angle d'inclinaison de la tangente à l'hélice en M relativement à Oz

......Déterminer les composantes cylindro-polaires du vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{M}\;$ du point sur sa trajectoire hélicoïdale puis

......montrer que l'angle $\;\alpha \;$ que fait le vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{M}\;$ avec $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ est constant et enfin

......calculer $\;\tan \!\left(\alpha \right)$.

Solution

Schéma de situation de mouvement uniforme du point M sur une hélice circulaire droite (non tracée mais simplement évoquée) avec représentation du vecteur vitesse de M dans la base cylindro-polaire liée à M

......Les composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ du point courant $\;M\;$ sur sa trajectoire hélicoïdale sont $\;{\vec {V}}_{M}(t)\left\lbrace {\begin{array}{l}V_{\rho }(t)={\dot {\rho }}(t)=0\\V_{\theta }(t)=\rho (t)\,{\dot {\theta }}(t)=R\,\omega \\V_{z}(t)={\dot {z}}(t)=h\,\omega \end{array}}\right\rbrace$.

......Notant $\;\alpha ={\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {u}}_{z},{\overrightarrow {V}}_{M}(t)\right\rbrace }}\;$ l'angle que fait le vecteur vitesse du point $\;M\;$ avec l'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}$, on évalue son cosinus selon $\;\cos(\alpha )={\dfrac {V_{z}(t)}{\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert }}\;$ avec $\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert ={\sqrt {V_{\theta }^{2}(t)+V_{z}^{2}(t)}}={\sqrt {R^{2}+h^{2}}}\,\omega =cste\;$ ainsi que $\;V_{z}(t)=h\;\omega =cste'\;$ et on en déduit que α reste constant ;

......voir ci-contre la disposition du vecteur vitesse de $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ relativement à la base cylindro-polaire $\;\left[{\vec {u}}_{\rho }\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\,,\,{\vec {u}}_{z}\right]\;$ liée à $\;M$, le vecteur vitesse étant contenu dans le plan tangent en $\;M\;$ au tuyau cylindrique d'axe $\;Oz\;$ c'est-à-dire $\;\perp \;$ à $\;{\vec {u}}_{\rho }\;$ et de base $\;\left[{\vec {u}}_{\theta }\,,\,{\vec {u}}_{z}\right]$ ;

......la valeur de la tangente de l'angle $\;\alpha \;$ se détermine par $\;\tan(\alpha )={\dfrac {V_{\theta }}{V_{z}}}={\dfrac {R\;\omega }{h\;\omega }}\;$ soit $\;\tan(\alpha )={\dfrac {R}{h}}$.

 

Détermination des composantes cylindro-polaires du vecteur accélération du point sur sa trajectoire hélicoïdale puis du rayon de courbure de l'hélice en M

......Déterminer les composantes cylindro-polaires du vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{M}\;$ du point sur sa trajectoire hélicoïdale puis

......en déduire le rayon de courbure $\;{\mathcal {R}}_{M}\;$ de l'hélice en $\;M\;$ et enfin

......commenter le résultat.

Solution

......Les composantes cylindro-polaires du vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ de $\;M\;$ sur sa trajectoire s'évaluent par $\;{\vec {a}}_{M}(t)\left\lbrace {\begin{array}{l}a_{\rho }(t)={\ddot {\rho }}(t)-\rho (t)\left[{\dot {\theta }}(t)\right]^{2}&=-R\;\omega ^{2}\\a_{\theta }(t)=\rho (t)\,{\ddot {\theta }}(t)+2\,{\dot {\rho }}(t)\,{\dot {\theta }}(t)&=0\\a_{z}(t)={\ddot {z}}(t)&=0\end{array}}\right\rbrace$.

......Introduisant la base locale de Frenet dont le vecteur unitaire tangentiel de Frenet est $\;{\vec {\tau }}_{M}={\dfrac {{\vec {V}}_{M}(t)}{v_{M}(t)}}\;$ avec $\;v_{M}(t)\;$ vitesse instantanée du point $\;M\;$ sur sa trajectoire et évaluant $\;\vert v_{M}(t)\vert \;$ par $\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert ={\sqrt {R^{2}+h^{2}}}\,\omega =cste>0$, on remarque le mouvement ne change pas de sens et par suite, si on choisit le sens $\;+\;$ sur l'hélice dans le sens du mouvement (c'est-à-dire dans le sens des $\;\theta \nearrow {\big )}\;$ on en déduit $\;v_{M}=\vert v_{M}\vert ={\sqrt {R^{2}+h^{2}}}\,\omega \;$ et par suite l'accélération tangentielle du point $\;M\;$ selon $\;a_{\tau ,\,M}={\dot {v}}_{M}=0\;$ ; ......le vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{M}=-R\;\omega ^{2}\;{\vec {u}}_{\rho }\;$ étant dans le plan osculateur de l'hélice en $\;M\;$, on en déduit que ce dernier contient $\;{\vec {u}}_{\rho }\;$ le 1^er vecteur de base cylindro-polaire lié à $\;M\;$ ainsi que $\;{\vec {\tau }}_{M}\;$ le 1^er vecteur de base de Frenet lié à $\;M$ ; par définition il contient aussi $\;{\vec {n}}_{M}\;$ le vecteur unitaire normal principal de Frenet en $\;M\;$ et le vecteur accélération se décomposant sur la base locale de Frenet du plan osculateur selon $\;{\vec {a}}_{M}={\cancel {a_{\tau ,\,M}\;{\vec {\tau }}_{M}+}}\;a_{n,\,M}\;{\vec {n}}_{M}\;$ on en déduit l'accélération normale $\;a_{n,\,M}>0\;$ de $\;M\;$ sur sa trajectoire par $\;a_{n,\,M}=\Vert {\vec {a}}_{M}\Vert =R\;\omega ^{2}$ ; ......pour finir il reste à identifier l'accélération normale $\;a_{n,\,M}\;$ du point $\;M\;$ sur sa trajectoire avec $\;{\dfrac {\left(v_{M}\right)^{2}}{{\mathcal {R}}_{M}}}\;$ où $\;{\mathcal {R}}_{M}\;$ est le rayon de courbure de l'hélice au point $\;M$, d'où $\;{\mathcal {R}}_{M}={\dfrac {\left({\sqrt {R^{2}+h^{2}}}\,\omega \right)^{2}}{R\,\omega ^{2}}}\;$ soit finalement $\;{\mathcal {R}}_{M}={\dfrac {R^{2}+h^{2}}{R}}$.

......Le rayon de courbure de l'hélice « circulaire » est constant ;
......il y a deux courbes à rayon de courbure constant :

• une courbe plane « le cercle » et
• une courbe non plane « l'hélice ».

Schéma de situation de mouvement uniforme du point M sur une hélice circulaire droite (non tracée mais simplement évoquée) avec représentation de la base cylindro-polaire liée à M ainsi que de la base de Frenet et le centre de courbure C_M de l'hélice représentés en M

......Remarques : Bien distinguer le rayon de courbure de l'hélice $\;{\mathcal {R}}\;$ du rayon du tuyuau cylindrique de révolution $\;R\;$ sur lequel elle est tracée ;

......Remarques : on peut écrire $\;{\mathcal {R}}=R\,{\dfrac {R^{2}+h^{2}}{R^{2}}}>R\;$ et l'exprimer en utilisant $\;\alpha \;$ l'angle d'inclinaison de la tangente à l'hélice relativement à l'axe du cylindre, sachant que $\;\sin(\alpha )={\dfrac {V_{\rho }}{\Vert {\vec {V}}_{M}\Vert }}={\dfrac {R\,\omega }{{\sqrt {R^{2}+h^{2}}}\,\omega }}={\dfrac {R}{\sqrt {R^{2}+h^{2}}}}\;$ d'où $\;{\mathcal {R}}={\dfrac {R}{\sin ^{2}(\alpha )}}>R$,

......Remarques : d'autant plus grand que $\;\alpha \;$ est petit, c'est-à-dire que l'hélice est étirée ou que son « pas » est grand .

......Remarques : De $\;{\vec {a}}_{M}=-R\;\omega ^{2}\;{\vec {u}}_{\rho }=a_{n,\,M}\;{\vec {n}}_{M}\;$ avec $\;a_{n,\,M}=R\;\omega ^{2}\;$ on en déduit $\;{\vec {n}}_{M}=-{\vec {u}}_{\rho }\;$ et

......Remarques : avec $\;{\vec {\tau }}_{M}=\sin(\alpha )\;{\vec {u}}_{\theta }+\cos(\alpha )\;{\vec {u}}_{z}\;$ on en déduit $\;{\vec {b}}_{M}={\vec {\tau }}_{M}\wedge {\vec {n}}_{M}=\left[\sin(\alpha )\;{\vec {u}}_{\theta }+\cos(\alpha )\;{\vec {u}}_{z}\right]\wedge \left[-{\vec {u}}_{\rho }\right]=$ $-\cos(\alpha )\;{\vec {u}}_{\theta }+\sin(\alpha )\;{\vec {u}}_{z}\;$.

......Remarques : Voir ci-contre le positionnement de la base locale de Frenet liée au point courant $\;M\;$ de l'hélice relativement à la base cylindro-polaire liée au même point ainsi que le positionnement du centre de courbure $\;C_{M}\;$ de l'hélice en $\;M$.

 

Détermination de la trajectoire décrite par le centre de courbure C_M de l'hélice en M

......Déterminer les coordonnées cylindro-polaires du centre de courbure $\;C_{M}\;$ de la trajectoire hélicoïdale au point $\;M\;$ puis

......en déduire que la trajectoire suivie par $\;C_{M}\;$ est aussi une hélice (circulaire) droite d'axe $\;Oz\;$ en précisant le rayon du tuyau cylindrique sur lequel elle est tracée ainsi que son pas.

Solution

......Le centre de courbure $\;C_{M}\;$ de la trajectoire hélicoïdale au point $\;M\;$ étant sur la normale au tuyau cylindrique en $\;M\;$ à la distance $\;{\mathcal {R}}>R\;$ de ce dernier dans le sens de $\;{\vec {n}}_{M}\;$, on en déduit les coordonnées orthoradiale et axiale de $\;C_{M}\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\theta _{C_{M}}=\theta -\pi &\\z_{C_{M}}=z&=h\;\theta \end{array}}\right\rbrace \;$ avec $\;\left[\theta \,,\,z\right]\;$ les coordonnées orthoradiale et axiale de $\;M$, la coordonnée radiale de $\;C_{M}\;$ étant égale à $\;\rho _{C_{M}}=M_{z}C_{M}={\mathcal {R}}-R={\dfrac {R}{\sin ^{2}(\alpha )}}-R={\dfrac {R\left[1-\sin ^{2}(\alpha )\right]}{\sin ^{2}(\alpha )}}=R\;{\dfrac {\cos ^{2}(\alpha )}{\sin ^{2}(\alpha )}}={\dfrac {R}{\tan ^{2}(\alpha )}}$, d'où les coordonnées cylindro-polaires de $\;C_{M}\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\rho _{C_{M}}={\dfrac {R}{\tan ^{2}(\alpha )}}\\\theta _{C_{M}}=\theta -\pi \\z_{C_{M}}=h\;\theta \quad =h\;\theta _{C_{M}}+h\;\pi \end{array}}\right\rbrace$ ;

......on reconnaît dans les deux équations cylindro-polaires de la trajectoire de $\;C_{M}$, à savoir $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\rho _{C_{M}}={\dfrac {R}{\tan ^{2}(\alpha )}}\\z_{C_{M}}=h\;\theta _{C_{M}}+h\;\pi \end{array}}\right\rbrace$, les équations d'une hélice (circulaire) droite

• tracée sur un tuyau cylindrique d'axe $\;Oz\;$ de rayon $\;{\dfrac {R}{\tan ^{2}(\alpha )}}={\dfrac {h^{2}}{R}}={\dfrac {h}{\tan(\alpha )}}\;$,
• de même pas $\;h\;2\,\pi \;$ que celui de la trajectoire de $\;M\;$ et
• « en opposition avec cette dernière » .

 

Étude, en repérage polaire, du mouvement uniforme d'un point sur une spirale logarithmique et détermination du rayon de courbure de cette dernière en fonction du rayon polaire du point

......Un point $\;M$, de coordonnées polaires $\;\left(\rho \,,\,\theta \right)$, décrit une spirale logarithmique d'équation polaire $\;\rho =\rho _{0}\,\exp \left[\theta \,\cot \!\left(\alpha \right)\right]\;$ avec $\;\rho _{0}\;$ une constante homogène à une longueur et $\;\alpha \;$ une constante angulaire $\;\in \left]0{\text{ ; }}{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$, la base polaire liée au point $\;M\;$ étant notée $\;\left({\vec {u}}_{\rho }\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\right)$.

Détermination des composantes polaires du vecteur vitesse du point sur sa trajectoire et du vecteur unitaire tangentiel de Frenet lié à ce point

......Exprimer le vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ du point dans la base polaire lié à ce dernier en fonction de $\;\rho _{0}$, $\;\alpha$, $\;\theta (t)\;$ et la vitesse angulaire $\;{\dot {\theta }}(t)$ ;

......choisissant d'orienter la spirale logarithmique dans le sens des $\;\theta \;\nearrow$, déduire, de ce qui précède,

• la vitesse instantanée $\;v_{M}(t)\;$ du point sur sa trajectoire puis
• les composantes polaires du vecteur unitaire tangentiel de Frenet $\;{\vec {\tau }}_{M}\;$ au point $\;M$ ;

......préciser l'angle que fait le vecteur unitaire tangentiel de Frenet $\;{\vec {\tau }}_{M}\;$ avec le 1^er vecteur de base polaire $\;{\vec {u}}_{\rho }\;$ lié au même point,

......commenter le résultat obtenu caractéristique d'une spirale logarithmique.

Solution

......Bien sûr il convient de faire un schéma de situation en rappelant la base polaire.

......Expression du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire : Le point $\;M\;$ décrivant la spirale logarithmique d'équation polaire $\;\rho =\rho _{0}\,\exp \!\left[\theta \,\cot \!\left(\alpha \right)\right]\;$ dans laquelle l'abscisse angulaire suit la loi horaire $\;\theta =\theta (t)$, les composantes polaires du vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{M}\;$ se calculent selon ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{V}}_M(t)\{\begin{array}{l}{V}_{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}(t)=\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}(t)=\end{array}$