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Exercice : Description et paramétrage du mouvement d'un point : Systèmes de coordonnées
Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Description et paramétrage du mouvement d'un point : Systèmes de coordonnées », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Exemple de mouvement rectiligne défini par son abscisse horaire[modifier | modifier le wikicode]
......Un point matériel se déplace le long de l'axe
, son abscisse étant donnée en fonction du temps par la loi horaire :
.
Explicitation des grandeurs cinématiques du mouvement du point[modifier | modifier le wikicode]
......Calculer, en fonction du temps
, la vitesse
et l'accélération
du point le long de l'axe
.
Tracé des diagrammes horaires de vitesse et de position[modifier | modifier le wikicode]
......Tracer les diagrammes horaires
- de vitesse à savoir le graphe de l'équation horaire de vitesse
en fonction du temps et
- de position à savoir le graphe de l'équation horaire de position
en fonction du temps ;
......Préciser la nature accélérée ou retardée du mouvement suivant les valeurs de
.
Solution
Diagramme horaire de la vitesse v(t) = 9 t
2 - 1 : parabole d'axe t = 0, de concavité tournée vers les v > 0, coupant l'axe des temps pour t = -1/3 et t = +1/3
Diagramme horaire de l'abscisse x(t) = 3 t
3 - t : courbe de centre de symétrie (t = 0, x = 0), extrémale pour t = -1/3 et t = +1/3 et s'annulant pour t = -1/3
(1/2), t = 0 et t = -1/3
(1/2)
......L'étude du signe de
nous conduit à
pour
,
pour
;
......le graphe représentant le diagramme horaire de la vitesse (voir ci-contre à gauche) est une parabole d'axe
et de concavité tournée vers les
,
s'annulant pour
.
......Le graphe de
nous donne le signe de
d'où :
pour
,
pour
et
pour 
......d'autre part
s'annule pour
et pour
et enfin,
étant impaire, le point
est centre de symétrie de ce diagramme horaire.
......Nature accélérée ou retardée du mouvement suivant les valeurs de t : voir sur les diagrammes,
......il suffit de se souvenir de la définition d'une phase accélérée si
ou
......il suffit de se souvenir de la définition d'une phase retardée si
.
Exemple de mouvement plan défini par ses positions horaires[modifier | modifier le wikicode]
......But de cet exercice : déterminer le rayon de courbure de la trajectoire plane d'un point en repérage cartésien en fonction de sa position sur la trajectoire.
......Un point
a pour lois horaires cartésiennes
dans lesquelles
représente la date en
et les longueurs sont exprimées en
.
Détermination de l'équation cartésienne de la trajectoire[modifier | modifier le wikicode]
......Vérifier que le mouvement est plan en précisant le plan dans lequel il se produit et
......déduire, des lois horaires cartésiennes du point, l'équation cartésienne de sa trajectoire.
Solution
Trajectoire d'équations paramétriques {x = 2t - 2 ; y = t
2 - 2t + 3} parabolique dans le plan (xOy), d'axe Ox, de concavité tournée vers les y > 0 et de sommet S (0, 2) atteint à l'instant t = 1 s
......L'équation
étant celle du plan
, on en conclut que la trajectoire du point
est plane contenue dans le plan
;
......pour déterminer l'équation cartésienne de la trajectoire dans le plan
il suffit d'éliminer
entre les deux 1ères équations paramétriques
, ce qui donne
soit finalement
l'équation cartésienne
caractérisant une parabole
- d'axe
,
- de concavité vers les
et
- de sommet
le sommet
étant tel que
est atteint à l'instant
:
......voir tracé ci-contre.
Détermination des grandeurs cinématiques du mouvement du point[modifier | modifier le wikicode]
......Déterminer, en fonction du temps
, les grandeurs cinématiques vectorielles (par leurs composantes dans le plan du mouvement du point) ou scalaires ci-dessous :
- les composantes cartésiennes du vecteur vitesse
,
- la vitesse instantanée
[1],
- les composantes cartésiennes du vecteur accélération
,
- l'accélération tangentielle
[2] et
- l'accélération normale
[3].
Solution
......Composantes cartésiennes du vecteur vitesse : elles s'obtiennent par dérivation temporelle des lois horaires cartésiennes soit
;
......vitesse instantanée [1] : sa valeur absolue s'identifie à la norme du vecteur vitesse soit
;
...........vitesse instantanée : cherchons les éventuels zéros de
, le polynôme du 2èmedegré admettant pour discriminant réduit
, n'a pas de zéros réels et par suite, le mouvement ne change pas de sens sur la trajectoire,
sera donc positive si on choisit le sens
dans le sens du mouvement, à savoir dans le sens des
d'où
;
......composantes cartésiennes du vecteur accélération : elles s'obtiennent par dérivation temporelle des lois horaires cartésiennes de vitesse (ou en prenant les dérivées temporelles secondes des lois horaires cartésiennes) soit
;
......accélération tangentielle [2] : elle s'obtient par dérivation temporelle de la vitesse instantanée soit
soit finalement
;
......accélération normale [3] : utilisant
[4], il faut commencer par déterminer
mais, sans calcul, on trouve
;
...........accélération normale : on en déduit
.
Détermination du rayon de courbure de la trajectoire du point en fonction de la position de ce dernier[modifier | modifier le wikicode]
......Déduire, de ce qui précède, l'expression du rayon de courbure
de la trajectoire du point quand ce dernier est positionné à la date
,
......évaluer le aux dates
et
puis
......commenter les résultats obtenus.
Solution
......On utilise
soit
.
......Évaluation du rayon de courbure de la parabole à des instants particuliers :
nous conduit à
;
......Évaluation du rayon de courbure de la parabole à des instants particuliers : ceci est en accord avec le fait que
est au sommet de la parabole à
et que c'est au sommet que le rayon de courbure est minimal sur une parabole.
Schéma de situation initiale lorsqu'un sous-marin immobile, stationnant en surface, lance une torpille en direction d'un navire en mouvement rectiligne uniforme
......Un navire
est animé d'un mouvement rectiligne uniforme de vecteur vitesse
le long d'une droite
.
......Un sous-marin immobile
(que nous supposerons en surface pour simplifier l'étude [5] et bien sûr en dehors de la trajectoire du navire) tire une torpille
à l'instant où l'angle
a la valeur
(voir figure ci-contre).
Détermination de la valeur de l'angle de tir θ pour que la torpille coule le navire[modifier | modifier le wikicode]
......La torpille lancée
étant animée d'un mouvement rectiligne uniforme de vecteur vitesse de norme
, quelle doit être la valeur de l'angle de tir
si le commandant du sous-marin veut couler le navire
.
Solution
Schéma de situation initiale lorsqu'un sous-marin immobile, stationnant en surface, lance une torpille en direction d'un navire en mouvement rectiligne uniforme avec choix d'une base cartésienne et d'une origine des espaces
......On choisit un repérage de la position du navire à l'instant
que l'on note
et de celle de la torpille au même instant que l'on note
de façon à faire apparaître aisément les angles
et
d'où le choix (voir figure ci-contre)
- de la base cartésienne
et
- de l'origine
en
, position du navire à l'instant
, la position de la torpille au même instant
étant confondue avec celle du sous-marin
située à la distance
de
.
......La torpille
atteindra son objectif
si elle arrive au même endroit
au même instant
, pour cela il est nécessaire de connaître les lois horaires des mouvements de
et
:
- lois horaires du mouvement de Nt :
et
- lois horaires du mouvement de Tt :
;
......transcrivons que
et
ont même position
au même instant
soit
;
......
la 2nde équation nous fournit la relation cherchée
et
......
la 1re la durée
nécessaire pour que la torpille atteigne son but
;
......il est possible, à partir de

, de déduire

en fonction de

,

et

d'où
.
Détermination de la valeur de l'angle α pour minimaliser la durée de tir de la torpille[modifier | modifier le wikicode]
......Le commandant du sous-marin souhaitant que la torpille
atteigne le navire
en un temps minimal, attend que l'angle
acquiert une valeur
[6] ;
......déterminer la valeur
de
pour qu'il en soit ainsi ;
......calculer alors la valeur de l'angle de tir
correspondant ;
......discuter suivant les normes des vitesses comparées du navire et de la torpille.
Solution
......On souhaite maintenant que

soit
minimal ; pour cela il faut que le sous-marin

attende que

occupe une position telle que la distance

soit minimale c'est-à-dire

à la direction du mouvement de
[7] ; on en déduit que
[8] d'où

que l'on reporte dans

soit

et finalement
ou, en inversant,
.
......Valeur de l'angle de tir

correspondant :

et

et par suite
ou, en inversant,
.
......Discussion : si
,
et
la moindre petite erreur sur la direction de lancement de la torpille fera que cette dernière manquera son but [9] ;
......Discussion : si
[10],
et
,
n'étant plus très petit, la réussite du tir autorise une petite erreur sur la direction de lancement de la torpille.
......Remarque : On pouvait aussi écrire la condition pour que
fonction de
et de
[11], soit minimale par la C.N.
voir exposé ci-dessous :
......Remarque : le plus simple serait alors de différencier
ainsi que
mais, dans
, la distance
n'est pas constante mais fonction de
, ce qui reste constant c'est la distance orthogonale
entre
et la trajectoire de
c'est-à-dire
;
......Remarque : il convient donc de commencer par éliminer

au profit de

d'où la nouvelle expression

de

en fonction des seules variables

et

:
;
......Remarque :
s'écrivant
avec
constant et le dénominateur
variable,
sera minimal si
est maximal, il serait donc plus judicieux d'écrire cette dernière exigence par la C.N.
et pour cela de différencier
ainsi que
soit :
......Remarque :
avec
se réécrivant
![{\displaystyle \;d({\mathfrak {c}})\;{\text{:}}\;dV=\left\lbrace v\left[\cos ^{2}(\alpha )-\sin ^{2}(\alpha )\right]+u\,\cos(\alpha )\,\cos(\theta )\right\rbrace d\alpha -u\,\sin(\alpha )\,\sin(\theta )\,d\theta \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bf5338e81c0a3099f67e9090c026f60511c0691)
soit,
......Remarque : en tirant

en fonction de

à partir de

, d'où

et en reportant dans

, on obtient
,
ou
;
......Remarque : il faut maintenant éliminer

et

au profit de

à l'aide de la relation
[12], d'où

et, en y reportant l'expression de

en fonction de

tirée de la relation

,

, on en déduit
ou
;
......Remarque : la C.N. de maximum de
à savoir
s'écrit donc :
ou encore
soit, en élevant au carré
, puis en multipliant par le dénominateur du 2nd membre
; après développement et simplification on obtient :
...Remarque :
ou encore
...Remarque :
...Remarque : 
soit
...Remarque : ![{\displaystyle u^{2}\,v^{2}\left[\cos ^{4}(\alpha _{0})+\sin ^{4}(\alpha _{0})+2\,\sin ^{2}(\alpha _{0})\,\cos ^{2}(\alpha _{0})\right]-v^{4}\,\sin ^{2}(\alpha _{0})\left[\cos ^{4}(\alpha _{0})+\sin ^{4}(\alpha _{0})+2\,\sin ^{2}(\alpha _{0})\,\cos ^{2}(\alpha _{0})\right]=u^{4}\,\cos ^{2}(\alpha _{0})\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fa265779b71deb72e3715217add7ce403721b0d)
et, en reconnaissant le développement de
![{\displaystyle \;\left[\sin ^{2}(\alpha _{0})+\cos ^{2}(\alpha _{0})\right]^{2}=1\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/007179187d3bad7ea64ba14bc6dc28486639310b)
dans l'expression

on obtient
;
......Remarque : pour terminer, on peut diviser par
pour faire apparaître
soit
ou, en utilisant
, l'équation se réécrit
ou
soit enfin
;
......Remarque : l'angle

algébrisé étant choisi aigu, on en déduit
[13].
Schéma de situation, à l'instant t, du vol d'un insecte M à norme de vecteur vitesse constante et à angle entre son vecteur vitesse et la visée d'un point lumineux O constant, le repérage de M étant polaire de pôle O
......Un insecte assimilé un point mobile
en mouvement plan dans le plan
, vole à vitesse de norme constante
, de sorte que l'angle
entre
et la visée d'un point lumineux
(visée de l'insecte définie par
soit constant ;
......on suppose
(voir figure ci-contre).
Détermination des composantes polaires du vecteur vitesse de l'insecte et de la loi horaire donnant la distance séparant ce dernier de son point de visée[modifier | modifier le wikicode]
......Exprimer, en fonction de
et
, les composantes polaires du vecteur vitesse
de l'insecte ;
......sachant qu'à l'instant initial
, la distance
séparant l'insecte de son point de visée vaut
et que l'on choisit l'axe polaire
passant par la position initiale de l'insecte c'est-à-dire que l'angle polaire de l'insecte vaut
, déduire, de l'expression de la vitesse radiale, la loi horaire
en fonction de
,
,
et
.
Solution
Schéma de situation, à l'instant t, du vol d'un insecte M à norme de vecteur vitesse constante et à angle entre son vecteur vitesse et la visée d'un point lumineux O constant, le repérage de M étant polaire de pôle O et de base représentée en rouge
......Les composantes polaires du vecteur vitesse

s'obtiennent par projection de ce dernier sur la base polaire

, le vecteur

étant de norme

constante et faisant un angle

constant
[14] avec

, on en tire,
d'une part, par projection, les composantes polaires de
égales, d'autre part, par définition du vecteur vitesse, à
.
......Pour déterminer la loi horaire

, il suffit d'intégrer l'expression de

soit :

ou, avec les C.I.,
.
Détermination des composantes polaires du vecteur accélération de l'insecte[modifier | modifier le wikicode]
......Exprimer les composantes polaires du vecteur accélération
de l'insecte
- en fonction de
,
et
[15] puis
- en fonction de
,
,
et
.
Solution
......Les composantes polaires du vecteur accélération

s'obtenant par
[16] ou, avec

ainsi que

, les composantes polaires de

deviennent
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{l}a_{\rho }(t)=0-{\dfrac {\left[\rho (t)\,{\dot {\theta }}(t)\right]^{\!2}}{\rho (t)}}&=&-{\dfrac {v_{0}^{2}\,\sin ^{2}(\alpha )}{\rho (t)}}\\a_{\theta }(t)={\dfrac {1}{\rho (t)}}\,{\dfrac {d\!\left\lbrace \rho (t)\left[\rho (t)\,{\dot {\theta }}(t)\right]\right\rbrace }{dt}}&=&{\dfrac {1}{\rho (t)}}\,{\dfrac {d\!\left[\rho (t)\,v_{0}\,\sin(\alpha )\right]}{dt}}\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae13fdb0ab9e2156c18108711438d00ce4010e4f)
soit encore

et enfin, en remplaçant

par sa valeur,
;
......en reportant l'expression de

dans les composantes polaires du vecteur accélération, on détermine les nouvelles expressions cherchées soit
.
Détermination de la loi horaire donnant l'angle polaire de l'insecte puis de la trajectoire de celui-ci[modifier | modifier le wikicode]
......Déterminer la 2ème loi horaire du mouvement de l'insecte donnant l'angle polaire de ce dernier
puis
......déduire des deux lois horaires de
l'équation polaire de la trajectoire de l'insecte ;
......terminer en traçant cette dernière.
Solution
......La 2nde loi horaire s'obtient en intégrant
soit, en isolant
et en y reportant
, l'expression à intégrer
[17] ;
Différentes trajectoires du vol d'insecte à norme de vecteur vitesse constante et à angle α entre son vecteur vitesse et la visée d'un point lumineux O constant, les trajectoires "des spirales logarithmiques de centre asymptotique O" ayant été tracées par calculateur numérique pour les valeurs de α égales à 60° (en gras), 45° (en continu) et 30° (en tiretés)
......pour cela on sépare les variables selon
[18] que l'on intègre en

,

étant une constante à déterminer par C.I. soit

, la 2
nde loi horaire s'écrit alors selon
.
......Nous disposons des deux équations polaires paramétriques de la trajectoire

et l'obtention de l'équation polaire nécessite d'éliminer le paramètre

entre ces deux équations
[19] d'où la réécriture de la 2
ème équation selon

ou en inversant
![{\displaystyle \;{\dfrac {\rho _{0}}{\rho }}=\exp \left[\theta \,\cot(\alpha )\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c464e53895c6d6eac5857aef45d40c31c25cba02)
soit finalement
c'est-à-dire l'équation polaire d'une spirale logarithmique.
......Voir ci-contre les tracés de la trajectoire de l'insecte réalisés à l'aide d'un calculateur numérique pour des valeurs particulières de l'angle
: en traits gras
, en traits continus
et en tiretés
.
Détermination de la durée nécessaire à l'insecte pour atteindre le point de visée O ainsi que la norme de son vecteur accélération[modifier | modifier le wikicode]
......Au bout de combien de temps, l'insecte atteint-il le point de visée
?
......Que vaut la norme de son vecteur accélération
à cet instant ?
Solution
......Pour calculer la durée

pour que l'insecte atteigne le point

, il suffit d'écrire

soit

et par suite
.
......La valeur de

s'obtient par
![{\displaystyle \;\Vert {\vec {a}}_{M}(t_{O})\Vert ={\sqrt {a_{\rho }^{2}(t_{O})+a_{\theta }^{2}(t_{O})}}={\sqrt {\left[-{\dfrac {v_{0}^{2}\,\sin ^{2}(\alpha )}{\rho (t_{O})}}\right]^{2}+\left[-{\dfrac {v_{0}^{2}\,\sin(\alpha )\,\cos(\alpha )}{\rho (t_{O})}}\right]^{2}}}={\dfrac {v_{0}^{2}\,\sin(\alpha )}{\rho (t_{O})}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa667872d516dbd89022ca924cfc35ef2d8a92e0)
laquelle

quand

d'où
.
Détermination de l'angle polaire de l'insecte quand ce dernier est encore à la distance ρf du point de visée[modifier | modifier le wikicode]
......De quel angle
l'insecte aura-t-il tourné entre l'instant initial
et l'instant
où il se trouve encore à la distance
de son point de visée
?
......Commenter le cas où
.
Solution
......L'angle

dont

a tourné entre

et

où il se trouve à la distance

de son point de visée

se calcule par utilisation de l'équation polaire écrite sous la forme

soit
;
......cas où ρf = 0 :
en accord avec le fait que
est le point asymptote de la spirale.
Étude du mouvement plan d'un point de trajectoire connue par son équation polaire et de loi de variation de vitesse angulaire connue en fonction de l'angle polaire de ce dernier[modifier | modifier le wikicode]
......Un point mobile
a un mouvement dans le plan
de trajectoire connue
par son équation polaire
,
étant une constante positive homogène à une longueur.
......Au cours de ce mouvement, l'angle polaire
varie en étant lié à sa vitesse angulaire par la loi de variation
avec
constante positive homogène à une vitesse angulaire, l'angle polaire
décrivant l'intervalle
et la vitesse angulaire
n'étant pas définie pour
.
......Déterminer la nature de la trajectoire
du point [20] puis
......tracer la courbe correspondante.
Solution
Mouvement d'un point M se déplaçant sur une courbe d'équation polaire ρ = 2 R cos(θ), à vitesse angulaire Ω/cos
2(θ) où θ est l'abscisse angulaire de M
......L'équation polaire de
étant
, et les liens entre les coordonnées polaires et cartésiennes du point générique
étant
,
on cherche d'abord à éliminer

dans l'équation polaire et pour cela on la multiplie de part et d'autre par

de façon à faire apparaître

dans le membre de droite d'où :
![{\displaystyle \;\rho ^{2}=2\,R\left[\rho \,\cos(\theta )\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be8c0845d6d18139cfc464292cb808683d2f3a36)
ou, avec

, l'équation cartésienne

soit encore
, c'est-à-dire le cercle de centre
et de rayon
(voir courbe ci-contre) ;
......on vérifie que le cercle de diamètre
a effectivement pour équation polaire
car
, le triangle
étant rectangle en
, avec
et
- Quand
,
tend vers
et
- quand
,
tend vers
.
......Déterminer le vecteur vitesse
du point mobile, en repérage polaire, en fonction de
,
et
;
......montrer que le vecteur accélération
du point mobile est centripète (c'est-à-dire colinéaire et de même sens que
.
Solution
......Les composantes polaires du vecteur vitesse

sont
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{l}V_{\rho }(t)={\dot {\rho }}(t)&=-2\,R\,\sin \!\left[\theta (t)\right]\,{\dfrac {\Omega }{\cos ^{2}\!\left[\theta (t)\right])}}\\V_{\theta }(t)=\rho (t)\,{\dot {\theta }}(t)&=2\,R\,\cos \!\left[\theta (t)\right]\,{\dfrac {\Omega }{\cos ^{2}\!\left[\theta (t)\right]}}\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c02f978be01ee993e44aa8bcd7442cc26da9a31)
soit finalement
.
......Pour montrer que

est
central [c'est-à-dire colinéaire à
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {OM}}(t){\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5018319089938b5bd5fa949010d2752c07255bbb)
, il suffit de montrer que

et pour cela de calculer la composante orthoradiale de

par sa forme semi-intégrée
[16] où
![{\displaystyle \;\rho ^{2}(t)\,{\dot {\theta }}(t)=\left\lbrace 2\,R\,\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace ^{2}{\dfrac {\Omega }{\cos ^{2}\!\left[\theta (t)\right]}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa48607aafd585f9cd2be7562e1e50f0ba16d471)
soit finalement
[21] et par suite
c'est-à-dire le caractère central du vecteur accélération
;
......il reste à montrer que

est

pour en déduire que

est
centripète soit avec

on obtient
[22] ou, reportant l'expression de

et réduisant au même dénominateur, on trouve
![{\displaystyle \;a_{\rho }(t)=-2\,R\,\Omega ^{2}\,{\dfrac {\cos ^{2}\!\left[\theta (t)\right]+2\sin ^{2}\!\left[\theta (t)\right]+\cos ^{2}\!\left[\theta (t)\right]}{\cos ^{5}\!\left[\theta (t)\right]}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a59e40bfb7a7c3993707f9d8daab8e7599ededc)
soit finalement
laquelle, avec
,
permet d'affirmer le caractère centripète du vecteur accélération
.
Établissement de la nature périodique du mouvement du point et évaluation de sa période[modifier | modifier le wikicode]
......Montrer que le mouvement du point est périodique sur sa trajectoire [23] et simultanément
......évaluer la période de parcours c'est-à-dire la durée nécessaire pour un parcours complet de cette trajectoire.
Solution
......La vitesse angulaire étant toujours positive, le mouvement se poursuit indéfiniment dans le sens des
et comme la vitesse angulaire ne devient jamais petite [24] on observe successivement des tours complets de cercle ;
......pour montrer le caractère « périodique » du mouvement il suffit d'évaluer la durée du nème tour et de constater que cette durée est indépendante de
;
......À partir de
que l'on inverse en
[25] soit en séparant les variables
, et le nème tour complet correspondant à une variation de
de
à
[26], on en déduit la durée du nème tour complet
par
ou, en utilisant

pour linéariser,
![{\displaystyle \;\left(\Delta t\right)_{n}=\displaystyle \int _{\frac {(2\,n-3)\,\pi }{2}}^{\frac {(2\,n-1)\,\pi }{2}}{\dfrac {1}{2\,\Omega }}\,\left[1+\cos \left(2\,\theta \right)\right]\,d\theta ={\dfrac {1}{2\,\Omega }}\,\left[\theta +{\dfrac {\sin \!\left(2\,\theta \right)}{2}}\right]_{\frac {(2\,n-3)\,\pi }{2}}^{\frac {(2\,n-1)\,\pi }{2}}={\dfrac {\pi }{2\,\Omega }}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dce483fb8c2eb95183af37b35767a46cebea79f)
soit finalement,
une durée indépendante de n établissant le caractère périodique du mouvement de
sur sa trajectoire ;
la période du mouvement vaut donc
.
Exemple de mouvement hélicoïdal uniforme, détermination du rayon de courbure de l'hélice[modifier | modifier le wikicode]
Schéma de situation de mouvement uniforme d'un point sur une hélice circulaire droite (non tracée mais simplement évoquée)
......Un point décrit l'hélice « circulaire » [27] « droite » [28] définie par ses équations paramétriques cartésiennes [29]
, avec la vitesse angulaire
[30] (voir figure ci-contre).
Repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'axe Oz de la trajectoire du point[modifier | modifier le wikicode]
......Déterminer, en fonction de
, les coordonnées cylindro-polaires (ou cylindrique) d'axe
du point
quand il décrit sa trajectoire hélicoïdale.
Solution
......On évalue
en fonction de
en formant
soit
ou finalement
, c'est-à-dire une 1re loi horaire cylindro-polaire, laquelle est aussi une 1re équation horaire cylindro-polaire paramétrique de la trajectoire [31] ;
......la 2ème loi horaire cylindro-polaire
se déduit de
soit finalement
, laquelle est aussi une 2ème équation horaire cylindro-polaire paramétrique de la trajectoire et
......celle de
est fournie par le texte soit la 3ème loi horaire cylindro-polaire
, laquelle est aussi une 3ème équation horaire cylindro-polaire paramétrique de la trajectoire.
......Remarque : l'élimination de
entre les deux dernières lois horaires (lesquelles sont aussi les dernières équations cylindriques paramétriques de la trajectoire) donnant
c'est-à-dire la 2ème équation cylindro-polaire de la trajectoire appelée « nappe en colimaçon » [32], [33], laquelle associée avec la 1re équation cylindro-polaire de la trajectoire
justifie que la trajectoire est bien une hélice (circulaire droite d'axe
de pas égal à
.
Détermination des composantes cylindro-polaires du vecteur vitesse du point sur sa trajectoire hélicoïdale puis l'angle d'inclinaison de la tangente à l'hélice en M relativement à Oz[modifier | modifier le wikicode]
......Déterminer les composantes cylindro-polaires du vecteur vitesse
du point sur sa trajectoire hélicoïdale puis
......montrer que l'angle
que fait le vecteur vitesse
avec
est constant et enfin
......calculer
.
Solution
Schéma de situation de mouvement uniforme du point M sur une hélice circulaire droite (non tracée mais simplement évoquée) avec représentation du vecteur vitesse de M dans la base cylindro-polaire liée à M
......Les composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur vitesse
du point courant
sur sa trajectoire hélicoïdale sont
.
......Notant
l'angle que fait le vecteur vitesse du point
avec l'axe
, on évalue son cosinus selon
avec
ainsi que
et on en déduit que α reste constant ;
......voir ci-contre la disposition du vecteur vitesse de
relativement à la base cylindro-polaire
liée à
, le vecteur vitesse étant contenu dans le plan tangent en
au tuyau cylindrique d'axe
c'est-à-dire
à
et de base
;
......la valeur de la tangente de l'angle
se détermine par
soit
.
Détermination des composantes cylindro-polaires du vecteur accélération du point sur sa trajectoire hélicoïdale puis du rayon de courbure de l'hélice en M[modifier | modifier le wikicode]
......Déterminer les composantes cylindro-polaires du vecteur accélération
du point sur sa trajectoire hélicoïdale puis
......en déduire le rayon de courbure
de l'hélice en
et enfin
......commenter le résultat.
Solution
......Les composantes cylindro-polaires du vecteur accélération
de
sur sa trajectoire s'évaluent par
.
......Introduisant la base locale de Frenet dont le vecteur unitaire tangentiel de Frenet est

avec

vitesse instantanée du point

sur sa trajectoire et évaluant

par

, on remarque le mouvement ne change pas de sens
[34] et par suite, si on choisit le sens

sur l'hélice dans le sens du mouvement (c'est-à-dire dans le sens des

on en déduit

et par suite
l'accélération tangentielle du point
selon
[35] ;
......le vecteur accélération

étant dans le plan osculateur de l'hélice en
[36], on en déduit que ce dernier contient

le
1er vecteur de base cylindro-polaire lié à

ainsi que

le
1er vecteur de base de Frenet lié à

; par définition il contient aussi

le vecteur unitaire normal principal de Frenet en
[37] et le vecteur accélération se décomposant sur la base locale de Frenet du plan osculateur
[37] selon

on en déduit
l'accélération normale
de
sur sa trajectoire par
;
......pour finir il reste à identifier l'accélération normale

du point

sur sa trajectoire avec

où

est le rayon de courbure de l'hélice au point

, d'où

soit finalement
.
......Le rayon de courbure de l'hélice « circulaire » est constant ;
......il y a deux courbes à rayon de courbure constant :
- une courbe plane « le cercle » et
- une courbe non plane [38] « l'hélice ».
Schéma de situation de mouvement uniforme du point M sur une hélice circulaire droite (non tracée mais simplement évoquée) avec représentation de la base cylindro-polaire liée à M ainsi que de la base de Frenet et le centre de courbure C
M de l'hélice représentés en M
......Remarques : Bien distinguer le rayon de courbure de l'hélice
[39] du rayon du tuyuau cylindrique de révolution
sur lequel elle est tracée ;
......Remarques : on peut écrire

et l'exprimer en utilisant

l'angle d'inclinaison de la tangente à l'hélice relativement à l'axe du cylindre, sachant que

d'où
,
......Remarques : d'autant plus grand que
est petit, c'est-à-dire que l'hélice est étirée ou que son « pas » est grand [40].
......Remarques : De
avec
on en déduit
et
......Remarques : avec
on en déduit
[41].
......Remarques : Voir ci-contre le positionnement de la base locale de Frenet liée au point courant
de l'hélice relativement à la base cylindro-polaire liée au même point ainsi que le positionnement du centre de courbure
[42] de l'hélice en
.
Détermination de la trajectoire décrite par le centre de courbure CM de l'hélice en M[modifier | modifier le wikicode]
......Déterminer les coordonnées cylindro-polaires du centre de courbure
[42] de la trajectoire hélicoïdale au point
puis
......en déduire que la trajectoire suivie par
est aussi une hélice (circulaire) droite d'axe
en précisant le rayon du tuyau cylindrique sur lequel elle est tracée ainsi que son pas.
Solution
......Le centre de courbure
[42] de la trajectoire hélicoïdale au point

étant sur la normale au tuyau cylindrique en

à la distance

de ce dernier dans le sens de
[43], on en déduit les coordonnées orthoradiale et axiale de

avec
![{\displaystyle \;\left[\theta \,,\,z\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16734e537abee29e332ac022b3d96886860fb92e)
les coordonnées orthoradiale et axiale de

, la coordonnée radiale de

étant égale à
![{\displaystyle \;\rho _{C_{M}}=M_{z}C_{M}={\mathcal {R}}-R={\dfrac {R}{\sin ^{2}(\alpha )}}-R={\dfrac {R\left[1-\sin ^{2}(\alpha )\right]}{\sin ^{2}(\alpha )}}=R\;{\dfrac {\cos ^{2}(\alpha )}{\sin ^{2}(\alpha )}}={\dfrac {R}{\tan ^{2}(\alpha )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0c0c92308b3cc2a9e3d8301d7e98c05e9370c2d)
, d'où
les coordonnées cylindro-polaires de
;
......on reconnaît dans les deux équations cylindro-polaires de la trajectoire de
, à savoir
, les équations d'une hélice (circulaire) droite
- tracée sur un tuyau cylindrique d'axe
de rayon
[44],
- de même pas
que celui de la trajectoire de
et
- « en opposition avec cette dernière » [45].
Étude, en repérage polaire, du mouvement uniforme d'un point sur une spirale logarithmique et détermination du rayon de courbure de cette dernière en fonction du rayon polaire du point[modifier | modifier le wikicode]
......Un point
, de coordonnées polaires
, décrit une spirale logarithmique d'équation polaire
avec
une constante homogène à une longueur et
une constante angulaire
, la base polaire liée au point
étant notée
.
Détermination des composantes polaires du vecteur vitesse du point sur sa trajectoire et du vecteur unitaire tangentiel de Frenet lié à ce point[modifier | modifier le wikicode]
......Exprimer le vecteur vitesse
du point dans la base polaire lié à ce dernier en fonction de
,
,
et la vitesse angulaire
;
......choisissant d'orienter la spirale logarithmique dans le sens des
, déduire, de ce qui précède,
- la vitesse instantanée
[1] du point sur sa trajectoire puis
- les composantes polaires du vecteur unitaire tangentiel de Frenet
au point
;
......préciser l'angle que fait le vecteur unitaire tangentiel de Frenet
avec le 1er vecteur de base polaire
lié au même point,
......commenter le résultat obtenu caractéristique d'une spirale logarithmique.
Solution
......Bien sûr il convient de faire un schéma de situation en rappelant la base polaire.
......Expression du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire : Le point

décrivant la spirale logarithmique d'équation polaire
![{\displaystyle \;\rho =\rho _{0}\,\exp \!\left[\theta \,\cot \!\left(\alpha \right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1d21d438ae81ec57bfbf68678add8e5bc50ddcf)
dans laquelle l'abscisse angulaire suit la loi horaire

, les composantes polaires du vecteur vitesse

se calculent selon