Limites d'une fonction/Opérations sur les limites

**Opérations sur les limites**
Leçon : Limites d'une fonction

Chapitre n^o 5
Chap. préc. :	Limite infinie en l'infini
Chap. suiv. :	Théorèmes sur les limites

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Limites d'une fonction : Opérations sur les limites
Limites d'une fonction/Opérations sur les limites », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle contenant a ou dont a est une borne.

« FI » signifie que la forme est indéterminée. Il faut transformer l'écriture de la fonction pour trouver une forme qui permet de calculer la limite.

Limite d'une somme

${\begin{array}{c|c|c|c|c|}\hline \displaystyle {\lim _{a}f}&l&l{\text{ ou }}+\infty &l{\text{ ou }}-\infty &+\infty \\\hline \displaystyle {\lim _{a}g}&l'&+\infty &-\infty &-\infty \\\hline \displaystyle {\lim _{a}(f+g)}&l+l'&+\infty &-\infty &\color {Red}{\text{FI}}\\\hline \end{array}}$

Limite d'un produit

${\begin{array}{c|c|c|c|c|}\hline \displaystyle {\lim _{a}f}&l&l\not =0&+\infty {\text{ ou }}-\infty &0\\\hline \displaystyle {\lim _{a}g}&l'&+\infty {\text{ ou }}-\infty &+\infty {\text{ ou }}-\infty &+\infty {\text{ ou }}-\infty \\\hline \displaystyle {\lim _{a}(f\times g)}&l\times l'&\color {Blue}{+\infty {\text{ ou }}-\infty }&\color {Blue}{+\infty {\text{ ou }}-\infty }&\color {Red}{\text{FI}}\\\hline \end{array}}$

Pour déterminer le signe des limites en bleu, on se réfèrera à la règle des signes.

Limite d'un quotient

${\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|}\hline \displaystyle {\lim _{a}f}&l&l&+\infty {\text{ ou }}-\infty &0&+\infty {\text{ ou }}-\infty &l\not =0\\\hline \displaystyle {\lim _{a}g}&l'\not =0&+\infty {\text{ ou }}-\infty &l'\not =0&0&+\infty {\text{ ou }}-\infty &0\\\hline \displaystyle {\lim _{a}{\frac {f}{g}}}&\displaystyle {\frac {l}{l'}}&0&\color {Blue}{+\infty {\text{ ou }}-\infty }&\color {Red}{\text{FI}}&\color {Red}{\text{FI}}&\color {Blue}{+\infty {\text{ ou }}-\infty }\\\hline \end{array}}$

Pour déterminer le signe des limites en bleu, on se réfèrera, comme précédemment, à la règle des signes.

Limite de la composée

Cette section nécessite des connaissances sur la composition des fonctions. Vous pouvez consulter les cours de Wikiversité à ce sujet.

Les lettres a, b et c désignent chacune soit un nombre réel, soit $+\infty$ , soit $-\infty$ .

Soit la fonction composée $g\circ f$ définie sur un intervalle $I$ contenant $a$ , ou dont $a$ est une borne.

{\text{Si}}\quad \lim _{x\to a}f(x)=b\quad {\text{et}}\quad \lim _{y\to b}g(y)=c,\quad {\text{alors}}\quad \lim _{x\to a}(g\circ f)(x)=c

.

Interprétation schématique

{\begin{array}{ccccc}I&{\overset {f}{\longrightarrow }}&J&{\overset {g}{\longrightarrow }}&\mathbb {R} \\a&\to &{\underset {x\to a}{\lim }}f(x)&&\\&&\shortparallel &&\\&&b&\to &{\underset {y\to b}{\lim }}g(y)\\&&&&\shortparallel \\&&&&c\\\end{array}}

Exemple de la racine carrée

${\begin{array}{c|c|c|}\hline \displaystyle {\lim _{a}f}&l>0&+\infty \\\hline \displaystyle {\lim _{a}{\sqrt {f}}}&{\sqrt {l}}&+\infty \\\hline \end{array}}$

Rédaction à tenir

Prenons un premier exemple :

Exemple

On recherche la limite de la fonction $x\mapsto {\sqrt {2+{\frac {1}{x}}}}$ en $+\infty$ .

Méthode pour la limite d'une composée

Pour trouver la limite d'une composée, il faut procéder en plusieurs temps pour procéder proprement.

Tout d’abord, on isole les différentes fonctions en jeu dans la composition. Ici, il s'agit des fonctions $x\mapsto 2+{\frac {1}{x}}$ et de la fonction racine carrée :
On donne un nom au terme le plus « à l'intérieur » de la composition. Ici, il s'agit de $2+{\frac {1}{x}}$ . Appelons-le X.

${\begin{array}{ccccc}x&\mapsto &\displaystyle {2+{\frac {1}{x}}}&&\\~&~&X&\mapsto &{\sqrt {X}}={\sqrt {2+{\frac {1}{x}}}}\end{array}}$

On commence par étudier la limite du terme le plus à l'intérieur.

$\lim _{x\to +\infty }\color {blue}2+{\frac {1}{x}}\color {black}=\color {red}2$

Lorsqu'on fait tendre x vers $+\infty$ , la grandeur $2+{\frac {1}{x}}$ tend vers 2, c'est-à-dire que X tend vers 2.
On procède ensuite à la deuxième étape : on applique à X la deuxième fonction, ici la racine carrée. On cherche alors à savoir vers quoi tend ${\sqrt {X}}$ lorsque X tend vers 2.

$\lim _{\color {blue}X\color {black}\to \color {red}2}{\sqrt {X}}={\sqrt {2}}$

La combinaison de ces deux étapes donne bien le résultat global :
- Le fait de prendre la limite quand X tend vers 2 ou quand x tend vers $+\infty$ revient au même (cf première étape)
- Il suffit de remplacer X par son expression en x pour revenir à l'écriture de départ

$\lim _{x\to +\infty }{\sqrt {2+{\frac {1}{x}}}}={\sqrt {2}}$

Deuxième exemple

Appliquons cette méthode dans le cas suivant :

Exemple

On recherche la limite de la fonction $x\mapsto {\sqrt {2+{\frac {1}{x}}}}$ en 0⁺.

$\lim _{x\to 0^{+}}\color {blue}2+{\frac {1}{x}}\color {black}=\color {red}+\infty$
On pose $X=2+{\frac {1}{x}}$
$\lim _{\color {blue}X\color {black}\to \color {red}+\infty }{\sqrt {X}}=+\infty$