Nombre entier relatif/Produit et division

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Cas du produit de deux nombres

Règle des signes

Propriété

• Le produit de deux nombres de même signe est un nombre positif.
• Le produit de deux nombres de signe contraire est un nombre négatif.

Cette règle peut être résumée par le tableau suivant :

		Signe du premier facteur
		+	-
Signe du deuxième facteur	+	+	-
	-	-	+

Début de l'exemple

Exemple

• $3\times 5=15$

Le résultat est positif car les deux facteurs sont tous les deux positifs.

• $(-6)\times (-3)=18$

Le résultat est positif car les deux facteurs sont tous les deux négatifs.

• $(-4)\times 7=-28$

Le résultat est négatif car les deux facteurs sont de signes différents.

• $8\times (-2)=-16$

Le résultat est négatif car les deux facteurs sont de signes différents.

Fin de l'exemple

Produits particuliers

Pour tout nombre relatif a

• $1\times a=a\times 1=a$
• $(-1)\times a=a\times (-1)=-a$
• $0\times a=a\times 0=0$
• $a^{2}=a\times a$ est toujours positif

Cas général

Propriété

• Un produit de nombre relatifs est positif s’il y a un nombre pair de facteurs négatifs
• Un produit de nombre relatifs est négatif s’il y a un nombre impair de facteurs négatifs

Début de l'exemple

Exemple

• $(-1)\times (-7)\times 2\times 3=42$

Le résultat est positif car il y a deux facteurs négatifs et deux est un nombre pair.

• $(-3)\times (-2)\times 2\times (-5)\times (-1)\times (-3)\times 8=-1440$

Le résultat est négatif car il y a cinq facteurs négatifs et cinq est un nombre impair.

Fin de l'exemple

Inverse d’un nombre relatif

Définition

Deux nombres sont inverses l’un de l’autre si leur produit vaut 1

Propriété

L’inverse d’un nombre correspond au résultat de la division de 1 par ce nombre.

Début de l'exemple

Exemple

• L’inverse de 2 est 0,5 car ${\frac {1}{2}}$=0,5.
• L’inverse de 10 est 0,1 car ${\frac {1}{10}}$ =0,1.
• L’inverse de 1 est 1 car ${\frac {1}{1}}$=1.
• L’inverse de 5 est 0,2 car ${\frac {1}{5}}$=0,2.

Fin de l'exemple

Il ne faut pas confondre « inverse » et « opposé » : L’opposé de 2 est -2. L’inverse de 2 est 0,5.

Début d’un théorème

Théorème

Un nombre relatif et son inverse ont même signe.

Fin du théorème

Début de l'exemple

Exemple

• L’inverse de -2 est -0,5, ils sont tous deux négatifs.
• L’inverse de 10 est 0,1, ils sont tous deux positifs.
• L’inverse de -0,25 est -4, ils sont tous deux négatifs.

Fin de l'exemple

Inverse et division

Calculons :

$5\times 0,5=2,5$

$5\div 2=2,5$

Donc multiplier par 0,5 revient à diviser par 2, car 2 est l’inverse de 0,5.

Début d’un théorème

Théorème

Diviser par un nombre relatif revient à multiplier par son inverse.

Fin du théorème

Exercices :

Transformer en multiplications les calculs ci-dessous à l’exemple du premier calcul :

$10\div 4=10\times 0,25$

$-15\div 5=.................$

$222\div (-10)=................$

$-25\div (-2)=.................$

$-24\div 100=..................$

Solution

$-15\div 5=-15\times 0.2$

$222\div (-10)=222\times (-0,1)$

$-25\div (-2)=-25\times (-0.5)$

$-24\div 100=-24\times 0.01$

Quotient de deux nombres relatifs

Règle des signes

Comme un nombre et son inverse ont même signe, la règle des signes pour la division sera la même que celle de la multiplication.

Propriété

• Le quotient de deux nombres de même signe est un nombre positif.
• Le quotient de deux nombres de signe contraire est un nombre négatif.

Début de l'exemple

Exemple

• ${7 \over 2}=3,5$

Le résultat est positif car le numérateur et le dénominateur sont tous les deux positifs.

• ${(-6) \over (-3)}=2$

Le résultat est positif car le numérateur et le dénominateur sont tous les deux négatifs.

• ${(-1) \over 8}=-0,125$

Le résultat est négatif car le numérateur et le dénominateur sont de signes différents.

• ${5 \over (-3)}\simeq -1,6667$

Le résultat est négatif car le numérateur et le dénominateur sont de signes différents.

Fin de l'exemple

Quotients particuliers

Propriété

Pour tout nombre relatif $a$ :

• ${\frac {a}{1}}=a$

Propriété

Pour tout nombre relatif non nul $a$ :

• ${\frac {a}{a}}=1$ et ${\frac {0}{a}}=0$

Remarque

Diviser par 0 est impossible, ainsi ${\frac {a}{0}}$ n’existe pas.