Limites d'une fonction/Exercices/Limites de fractions rationnelles

Exemple

Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par pour tout x $\in ℝ,f(x)=\frac{x^2-3}{5x^2+1}$

On désire déterminer la limite de f quand x tend vers $+\mathrm{\infty }$.

Problématique

On a :

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(x^2-3)=\dots \text{~et~}\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(5x^2+1)=\dots$

donc on a une forme indéterminée … qui peut donner n’importe quel résultat selon les cas.

Définition

Une fraction rationnelle (ou fonction rationnelle) est un quotient de polynômes.

Résolution du problème

On a donc ci-dessus un exemple de fraction rationnelle.

Pour x différent de 0 , on a :

$f(x)=\frac{x^2(\dots )}{x^2(\dots )}=\frac{\dots }{\dots }$

On a les limites suivantes :

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\dots )=\dots \text{~et~}\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\dots )=\dots \text{~donc~}\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\dots }{\dots }=\dots$

Finalement :

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=\dots$

Solution du raisonnement à trous

Soit x>0.

$f(x)=\frac{x^2(1-\frac{3}{x^2})}{x^2(5+\frac{1}{x^2})}=\frac{1-\frac{3}{x^2}}{5+\frac{1}{x^2}}$

On a les limites suivantes :

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(1-\frac{3}{x^2})=1\text{~et~}\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(5+\frac{1}{x^2})=5\text{~donc~}\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1-\frac{3}{x^2}}{5+\frac{1}{x^2}}=\frac{1}{5}$

Finalement :

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=\frac{1}{5}$

 

Heuristique

$5x^2$ grandit 5 fois plus vite que $x^2$ , ce qui explique le résultat.

Début d’un théorème

Théorème

Pour lever l’indétermination à l’infini dans le cas d’une fraction rationnelle, on met en facteur au numérateur et au dénominateur les termes dominants.

Fin du théorème

Exercice

Déterminer les limites quand x tend vers $+\mathrm{\infty }$ et quand x tend vers $-\mathrm{\infty }$ des fractions rationnelles suivantes en précisant la forme indéterminée rencontrée.

1. $f(x)=\frac{-5x^3+2x^2-x+7}{3x^2+1}$

Solution

Si on essaye de calculer la limite naïvement, on trouve :

• $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}-5x^3+2x^2-x+7=-\mathrm{\infty }$
• $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}3x^2+1=+\mathrm{\infty }$

On est en présence d'une forme indéterminée $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$. On utilise la méthode présentée ci-dessus en factorisant les termes dominants.

$\begin{array}{cc}f(x)& =\frac{-5x^3+2x^2-x+7}{3x^2+1}\\ & =\frac{x^3(-5+\frac{2x^2}{x^3}-\frac{x}{x^3}+\frac{7}{x^3})}{x^2(3+\frac{1}{x^2})}\\ & =x\times \frac{-5+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}+\frac{7}{x^3}}{3+\frac{1}{x^2}}\\ \end{array}$

• Limite de f en $+\mathrm{\infty }$ :
  • $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{2}{x}=0$
  • $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x^2}=0$
  • $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{7}{x^3}=0$
  • $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x^2}=0$
  • Donc $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{-5+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}+\frac{7}{x^3}}{3+\frac{1}{x^2}}=\frac{-5+0-0+0}{3+0}=-\frac{5}{3}$
  • $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}-\frac{5}{3}x=-\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty }$

• Limite de f en $-\mathrm{\infty }$ :
  • $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{2}{x}=0$
  • $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x^2}=0$
  • $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{7}{x^3}=0$
  • $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x^2}=0$
  • Donc $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{-5+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}+\frac{7}{x^3}}{3+\frac{1}{x^2}}=\frac{-5+0-0+0}{3+0}=-\frac{5}{3}$
  • $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}-\frac{5}{3}x=+\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }$

 

2. $f(x)=\frac{x^4+2}{x^3+x}$

Solution

Si on essaye de calculer la limite naïvement, on trouve :

• $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}^4+2=+\mathrm{\infty }$
• $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}^3+x=+\mathrm{\infty }$

On est en présence d'une forme indéterminée $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$. On utilise la méthode présentée ci-dessus en factorisant les termes dominants.

$\begin{array}{cc}f(x)& =\frac{x^4+2}{x^3+x}\\ & =\frac{x^4(1+\frac{2}{x^4})}{x^3(1+\frac{x}{x^3})}\\ & =x\times \frac{1+\frac{2}{x^4}}{1+\frac{1}{x^2}}\\ \end{array}$

• Limite de f en $+\mathrm{\infty }$ :
  • $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{2}{x^4}=0$
  • $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x^2}=0$
  • Donc $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1+\frac{2}{x^4}}{1+\frac{1}{x^2}}=\frac{1+0}{1+0}=1$
  • $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}x=+\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }$

• Limite de f en $-\mathrm{\infty }$ :
  • $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{2}{x^4}=0$
  • $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x^2}=0$
  • Donc $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1+\frac{2}{x^4}}{1+\frac{1}{x^2}}=\frac{1+0}{1+0}=1$
  • $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}x=-\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty }$

 

3. $f(x)=\frac{-\frac{1}{3}{x}^2+5x-4}{x^5+1}$

Solution

Si on essaye de calculer la limite naïvement, on trouve :

• $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}-\frac{1}{3}{x}^2+5x-4=-\mathrm{\infty }$
• $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}^5+1=+\mathrm{\infty }$

On est en présence d'une forme indéterminée $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$. On utilise la méthode présentée ci-dessus en factorisant les termes dominants.

$\begin{array}{cc}f(x)& =\frac{-\frac{1}{3}{x}^2+5x-4}{x^5+1}\\ & =\frac{x^2(-\frac{1}{3}+\frac{5x}{x^2}-\frac{4}{x^2})}{x^5(1+\frac{1}{x^5})}\\ & =\frac{1}{x^3}\times \frac{-\frac{1}{3}+\frac{5}{x}-\frac{4}{x^2}}{1+\frac{1}{x^5}}\\ \end{array}$

• Limite de f en $+\mathrm{\infty }$ :
  • $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{5}{x}=0$
  • $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{4}{x^2}=0$
  • $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x^5}=0$
  • Donc $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{-\frac{1}{3}+\frac{5}{x}-\frac{4}{x^2}}{1+\frac{1}{x^5}}=\frac{-\frac{1}{3}+0-0}{1+0}=-\frac{1}{3}$
  • $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x^3}=0$

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=0$

• Limite de f en $-\mathrm{\infty }$ :
  • $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{5}{x}=0$
  • $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{4}{x^2}=0$
  • $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x^5}=0$
  • Donc $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{-\frac{1}{3}+\frac{5}{x}-\frac{4}{x^2}}{1+\frac{1}{x^5}}=\frac{-\frac{1}{3}+0-0}{1+0}=-\frac{1}{3}$
  • $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x^3}=0$

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=0$

 

4. $f(x)=\frac{5x^2}{x^2+1}$

Solution

Si on essaye de calculer la limite naïvement, on trouve :

• $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}5x^2=+\mathrm{\infty }$
• $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}^2+1=+\mathrm{\infty }$

On est en présence d'une forme indéterminée $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$. On utilise la méthode présentée ci-dessus en factorisant les termes dominants.

$\begin{array}{cc}f(x)& =\frac{5x^2}{x^2+1}\\ & =\frac{5x^2}{x^2(1+\frac{1}{x^2})}\\ & =\frac{5}{1+\frac{1}{x^2}}\\ \end{array}$

• Limite de f en $+\mathrm{\infty }$ :
  • $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x^2}=0$
  • Donc $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{5}{1+\frac{1}{x^2}}=\frac{5}{1+0}=5$

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=5$

• Limite de f en $-\mathrm{\infty }$ :
  • $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x^2}=0$
  • Donc $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{5}{1+\frac{1}{x^2}}=\frac{5}{1+0}=5$

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=5$