Leçons de niveau 14

Introduction aux mathématiques/Rudiments de logique

Une page de Wikiversité.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche
Début de la boite de navigation du chapitre
Rudiments de logique
Icône de la faculté
Chapitre no 1
Leçon : Introduction aux mathématiques
Retour auSommaire
Chap. suiv. :Notion d'ensemble
fin de la boite de navigation du chapitre
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Introduction aux mathématiques : Rudiments de logique
Introduction aux mathématiques/Rudiments de logique
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Assertions[modifier | modifier le wikicode]



Exemples :

  • «  » est une assertion vraie ;
  • «  » est une assertion fausse ;
  • «  » n’est pas une assertion.

Le but est de montrer que certaines assertions, des plus simples aux plus ardues, sont vraies ou fausses. Pour élaborer de nouvelles assertions à partir d'un petit jeu de base, qu'on appelle axiomes, on utilise [quasiment exclusivement non ?] les connecteurs logiques et les quantificateurs.

Connecteurs logiques[modifier | modifier le wikicode]

Ici et désignent des assertions. On en construit de nouvelles grâce aux connecteurs logiques suivants. On présente le résultat de la nouvelle assertion, en fonction des valeurs de vérité de et dans une table de vérité :

Négation[modifier | modifier le wikicode]

On note non P ou ¬P, la négation de  :

P non PP)
Vrai Faux
Faux Vrai

Conjonction[modifier | modifier le wikicode]

L'assertion « P et Q » (aussi notée « PQ ») est vraie si et seulement si P et Q sont toutes deux vraies :

P Q PQ
Faux Faux Faux
Faux Vrai Faux
Vrai Faux Faux
Vrai Vrai Vrai

On appelle cette assertion la conjonction de P et de Q.

Disjonction[modifier | modifier le wikicode]

On appelle disjonction de P et Q l'assertion « P ou Q » (aussi notée « PQ ». Elle est vraie si et seulement si au moins l'une des deux assertions P et Q est vraie. Il s'agit d'un « ou » inclusif :

P Q PQ
Faux Faux Faux
Faux Vrai Vrai
Vrai Faux Vrai
Vrai Vrai Vrai

Implication[modifier | modifier le wikicode]

On appelle implication de Q par P l'assertion «  » qui n'est autre que « non P ou Q » :

P Q non P
Vrai Vrai Faux Vrai
Vrai Faux Faux Faux
Faux Vrai Vrai Vrai
Faux Faux Vrai Vrai

Remarques :

  • Si P et «  » sont vraies, alors Q est vrai. Par contre, en écrivant que «  » est vraie, on ne se prononce pas sur la valeur de vérité de P ni de Q.
  • Si «  » est vraie, on dit que P est une condition suffisante de Q et que Q est une condition nécessaire de P.

Équivalence[modifier | modifier le wikicode]

On appelle équivalence de P et Q l'assertion, notée «  » — qui n'est autre que « ( ».

est vraie si et seulement si P et Q ont même valeur de vérité. Dans ce cas on dit que P (resp : Q) est une condition nécessaire et suffisante de Q (resp : P) :

P Q
Vrai Vrai Vrai Vrai Vrai
Vrai Faux Faux Vrai Faux
Faux Vrai Vrai Faux Faux
Faux Faux Vrai Vrai Vrai

Quelques résultats usuels[modifier | modifier le wikicode]

Ici P, Q et R désignent des assertions quelconques. Les résultats suivants sont valables :

  • (c'est la contraposition ou modus tollens.)