Introduction à l'acoustique/Hypothèse acoustique

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Dans ce chapitre, on amène à la formulation d'une approximation, appelée hypothèse acoustique ou approximation acoustique, dans laquelle l'étude de la propagation des ondes est relativement simple.

La nécessité d'une approximation

La mécanique des fluides est une discipline intrinsèquement non-linéaire : on ne sait, dans la très grande majorité des cas, pas donner de solution à ses problèmes. En revanche, si on est capable de « linéariser » les équations de la mécanique des fluides (c'est-à-dire les mettre sous la forme de relations linéaires), alors on dispose de nombreux outils théoriques et pratiques pour les résoudre.

Seulement, dans presque tous les cas, linéariser revient à faire une approximation. On peut justifier physiquement ces approximations dans les hypothèses de départ. Dans l'essentiel des situations réelles, elles sont bien vérifiées — on gardera cependant à l'esprit qu’elles peuvent être violées, et le cas échéant nos résultats également.

L'hypothèse des petits mouvements

Nous allons faire l'hypothèse la plus grossière que l’on puisse tenter : tout est constant. Au moins, on sait résoudre un tel cas : c’est la statique des fluides. Seulement... rien ne bouge, donc a fortiori aucune onde, donc... pas d'acoustique. Cette approximation « à l’ordre 0 » est trop sévère.

Prenons donc en compte les termes « d'ordre un » :

• la pression $P_{\text{tot}}$ du fluide peut être écrite $P_{\text{tot}}=P_{0}+p$ où $P_{0}$ est une constante ;
• la masse volumique $\rho _{\text{tot}}$ du fluide peut être écrite $\rho _{\text{tot}}=\rho _{0}+\rho$ où $\rho _{0}$ est une constante ;
• la vitesse (grandeur vectorielle) du fluide (qui n'est donc plus nulle) sera notée $\mathbf {v}$.

On suppose toutefois qu'elle est « faible », notion sur laquelle nous reviendrons. De même, on a :

• $p\ll P_{0}$
• $\rho \ll \rho _{0}$

Dans l'ensemble, on est donc très proche de l'équilibre statique, mais des variations locales sont permises, tant qu’elles sont faibles. On suppose de même l'absence de forces volumiques (gravité, champ magnétique...) et de désintégration (perte de masse).

Simplification des équations

Un fluide non-visqueux peut être décrit ou approché par les équations d'Euler :

$\rho _{\text{tot}}\left[{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+\left(\mathbf {v} \cdot \nabla \right)\mathbf {v} \right]=-\nabla P_{\text{tot}}$

Cette équation est d'ordre supérieur à un : le terme convectif $\scriptstyle \left(\mathbf {v} \cdot \nabla \right)\mathbf {v}$ en particulier peut être négligé. Elle devient en effet :

$\rho _{0}{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+\nabla p=0\qquad (1)$

La conservation de la masse en tout point implique :

${\frac {\partial \rho _{\text{tot}}}{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\rho _{\text{tot}}\cdot \mathbf {v} \right)=0$

En développant la divergence à l'aide des théorèmes d'analyse vectorielle :

${\frac {\partial \rho _{\text{tot}}}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla \rho _{\text{tot}}+\rho _{\text{tot}}\nabla \cdot \mathbf {v} =0$

En ne gardant que les termes d'ordre un :

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} =0\qquad (2)$

Les équations (1) et (2) sont bien plus simples sous cette forme approchée : il n'y a plus de terme d'ordre supérieur à un, ce sont donc des équations linéaires. Nous allons maintenant cherche à les combiner, mais cela nécessite de trouver un lien entre la masse volumique $\rho$ et la pression $p$.

Approximation isentropique

Relier deux grandeurs comme la masse volumique (donc le volume) et la pression, c’est de la thermodynamique. Seulement, on ne peut rien dire si aucun paramètre n'est constant : on choisit de fixer l'entropie $S$. Cela revient à dire que lors d'un perturbation acoustique, le fluide subit une transformation réversible (phénomène suffisamment lent), et que la chaleur créée n'a pas le temps de se propager (phénomène alterne façon suffisamment rapide). On peut alors utiliser un coefficient thermoélastique appelé « compressibilité isentropique », défini par :

$\chi _{s}=-{\frac {1}{V}}{\frac {\partial V}{\partial P_{\text{tot}}}}{\biggr )}_{S}$

où $V={\frac {m}{\rho _{\text{tot}}}}$ est le volume, ici, le volume de la particule fluide de masse $m$ constante.Il est immédiat que :

$\chi _{s}=+{\frac {1}{\rho _{\text{tot}}}}{\frac {\partial \rho _{\text{tot}}}{\partial P_{\text{tot}}}}{\biggr )}_{S}$

Ce qui donne, au premier ordre :

$\chi _{s}=+{\frac {1}{\rho _{0}}}{\frac {\rho }{p}}$

$\rho =\rho _{0}\chi _{s}p$

En remplaçant $\rho$ par son expression, puis en dérivant (1) et (2) (plus précisément, en prenant la divergence de la première, et la dérivée temporelle de la seconde), on obtient la relation suivante :

$\Delta p-\rho _{0}\chi _{s}{\frac {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}=0$

Nous reviendrons sur cette équation au chapitre prochain.

Vérification des hypothèses

On peut s'intéresser aux ordres de grandeur concernés par les phénomènes sonores, afin de jauger la pertinence des approximations faites. Nous montrons ici la validité de deux d'entre elles, les deux autres étant justifiées dans le chapitre suivant, une fois la relation précédente interprétée.

La pression

Concernant la pression, voici un tableau résumant différentes valeurs associées à différentes sources sonores :

Source	Surpression (p)	Niveau sonore
	Pascal (Pa)	dB
Explosion du Krakatoa à 160 km dans l'air	20 000 Pa	180 dB
Dispositif thermoacoustique ouvert simple	12 000 Pa	176 dB
Moteur d'avion à 30 m	630 Pa	150 dB
Mitraillette à 1 m	200 Pa	140 dB
Seuil de douleur	100 Pa	130 dB
Blessures auditives à court terme	20 Pa	environ 120 dB
Blessures auditives à long terme	6 × 10−1 Pa	environ 85 dB
Télévision (volume normal) à 1 m	2 × 10−2 Pa	environ 60 dB
Dialogue normal à 1 m	2 × 10−3 – 2 × 10−2 Pa	40 – 60 dB
Chambre très calme	2 × 10−4 – 6 × 10−4 Pa	20 – 30 dB
Feuilles volantes, respiration calme	6 × 10−5 Pa	10 dB
Seuil auditif à 2 kHz	2 × 10−5 Pa	0 dB

On rappelle, pour comparaison, que la pression atmosphérique moyenne à hauteur de la mer est d'environ 1013 hPa. L'hypothèse selon laquelle la surpression est très inférieure à la pression est donc une très bonne approximation, d'autant plus si l’on traite de problèmes en rapport avec l'audition humaine (musique...) qui nécessitent des niveaux sonores faibles.

Les décibels ne font pas l’objet de ce chapitre, mais on peut déjà remarquer qu’il s'agit d'une échelle logarithmique. En effet, cela représente mieux la perception humaine de l'intensité sonore (logarithmique, donc) qu'une mesure de la pression.

La masse volumique

D'après la relation établie plus haut, le terme $\rho$ est égal à :

$\chi _{s}\,\rho _{0}\,p\approx \rho _{0}\,{\frac {1}{\gamma }}\,{\frac {p}{P_{0}}}\ll \rho _{0}$.

L'hypothèse faite est donc valable.