Introduction à l'acoustique/Annexe/Équation d'onde pour v

Nous avons montré que, au premier ordre, la pression d'un fluide obéissait à une équation d'onde. En réalité, il en est de même pour la vitesse, ce qui justifie la notion d'impédance acoustique. La preuve est relativement simple, mais utilise intensivement les théorèmes d'analyse vectorielle.

L'équation d'Euler, lorsqu'on néglige le terme convectif, s'écrit :

$\rho _{0}{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}=-\nabla p\qquad (1)$

Prenons le rotationnel de cette expression :

$\mathbf {rot} \,\left(\rho _{0}{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}\right)=\mathbf {rot} \,\left(-\nabla p\right)$

Le rotationnel d'un gradient est nul, donc le membre de droite s'annule. Le rotationnel est linéaire, donc on peut le faire « rentrer » dans la dérivée. Cette équation s'écrit donc :

$\rho _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {rot} \;\mathbf {v} =\mathbf {0}$

Ce qui implique :

$\mathbf {rot} \;\mathbf {v} =\mathbf {C^{te}}$

Le fluide étant au repos à l'instant initial, cette constante est nulle, donc le rotationnel de l'écoulement est identiquement nul, donc il existe une fonction $\phi$ appelée potentiel des vitesses telle que :

$\mathbf {v} =\nabla \phi$

Dérivons (1) par rapport au temps :

$\rho _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {v} }{\partial t^{2}}}=-\nabla {\frac {\partial p}{\partial t}}=+{\frac {1}{\chi _{s}}}\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {v} \right)={\frac {1}{\chi _{s}}}\Delta \mathbf {v}$

Avec Δ le laplacien vectoriel. On peut dire cela car on sait que p vérifie une équation d'onde. Finalement, la vitesse vérifie :

$\Delta \mathbf {v} -\rho _{0}\chi _{s}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {v} }{\partial t^{2}}}=\mathbf {0}$

Ainsi, la vitesse se « propage » à la vitesse du son.

Attention ! Il ne s'agit surtout pas de la vitesse des particules (description lagrangienne) ! Ce qui est appelé vitesse ici est la vitesse de l’écoulement.