Introduction à l'acoustique/Annexe/Description lagrangienne

Introduction

La description de Lagrange des fluides, plus ancienne et plus complexe que celle d'Euler, permettait déjà de résoudre le problème de la propagation des vibrations. Dans cette vision « classique », on étudie la dynamique de particules de fluide que l’on suit dans leur mouvement : seule la mécanique newtonienne s'applique.

Dans la méthode d'Euler, on s'intéresse à l'écoulement plutôt qu'au fluide, ce qui fait apparaître le fameux terme convectif $\scriptstyle \left(\mathbf {v} \cdot \nabla \right)\mathbf {v}$. Néanmoins, ce terme est négligé dans notre étude et on aboutit rapidement à une équation d'onde.

Cette annexe se justifie en ce que le formalisme lagrangien est plus naturel dans l'étude, par exemple, des ondes se propageant dans les solides. On peut également vérifier en l'utilisant que les deux descriptions sont équivalentes et donnent le même résultat.

Notations

Voici le schéma précisant les notations utilisées dans cette annexe.

On traite le cas particulier d'un tube cylindrique, de section S. Nous nous intéresserons notamment à une tranche de fluide comprise entre x et x + dx, représentée ci-dessus.

On notera p la pression, ρ la masse volumique totale et ρ₀ la masse volumique à l'équilibre. On note s le déplacement infinitésimal d'une section de tube. On note :

$\mathrm {d} m=S\rho _{0}\,\mathrm {d} x$ la masse de la tranche entre x et x + dx.

Principe fondamental de la dynamique

Commençons par appliquer le principe fondamental de la dynamique à la tranche, soumise aux seules forces de pression :

$\mathrm {d} m{\frac {\partial ^{2}s}{\partial t^{2}}}=\left[p\left(x,t\right)-p\left(x+\mathrm {d} x,t\right)\right]S$

$S\rho _{0}\,\mathrm {d} x{\frac {\partial ^{2}s}{\partial t^{2}}}=\left[p\left(x,t\right)-p\left(x+\mathrm {d} x,t\right)\right]S$

Ce qui s'écrit finalement assez simplement:

$\rho _{0}{\frac {\partial ^{2}s}{\partial t^{2}}}=-{\frac {\partial p}{\partial x}}\qquad (1)$

Dilatation et thermodynamique

On s'intéresse maintenant aux variations de volume de la tranche. Au repos, on a :

$V=S\,\mathrm {d} x$

En mouvement, il faut prendre en compte le déplacement, et on a :

${\begin{aligned}V'&=S\left[\mathrm {d} x+s\left(x+\mathrm {d} x,t\right)-s\left(x,t\right)\right]\\\ &=S\,\mathrm {d} x\left(1+{\frac {\partial s}{\partial x}}\right)\\\ &=V\left(1+{\frac {\partial s}{\partial x}}\right)\end{aligned}}$.

La dilatation relative est ainsi :

${\frac {V'-V}{V}}={\frac {\delta V}{V}}={\frac {\partial s}{\partial x}}$

On peut alors introduire le coefficient thermoélastique de dilatation χ défini par : $\chi =-{\frac {1}{V}}{\frac {\partial V}{\partial p}}\approx -{\frac {\delta V}{V}}{\frac {1}{\delta p}}$

Ainsi, on peut exprimer :

$\delta p=-{\frac {1}{\chi }}{\frac {\delta V}{V}}=-{\frac {1}{\chi }}{\frac {\partial s}{\partial x}}$

Et, sachant que p = P₀ + δp, on a :

${\frac {\partial p}{\partial x}}={\frac {\partial \left(\delta p\right)}{\partial x}}=-{\frac {1}{\chi }}{\frac {\partial ^{2}s}{\partial x^{2}}}\qquad (2)$

Équation d'onde

Remplaçant (2) dans l’expression (1) on retrouve l'équation de propagation :

${\frac {\partial ^{2}s}{\partial x^{2}}}-\rho _{0}\chi {\frac {\partial ^{2}s}{\partial t^{2}}}=0$

Remarques

• La généralisation à deux puis trois dimensions est bien plus ardue que pour la vision eulérienne ;
• Les calculs, plus astucieux, en sont moins naturels ;
• En revanche, on n'utilise ici que des outils « simples » de mécanique du point (et de thermodynamique) ;
• Les hypothèses faites sont implicites ! Cela n'est à aucun moment dit, mais il s'agit ici d'une approximation !