Analyse vectorielle/Théorèmes d'analyse vectorielle
Apparence
Introduction
[modifier | modifier le wikicode]Nous étudions dans ce chapitre les liens et théorèmes entre opérateurs qui se révèlent soit utiles soit nécessaires en analyse vectorielle.
Composition d'opérateurs
[modifier | modifier le wikicode]Voici le résultat des principales compositions d'opérateurs :
Ces relations se démontrent aisément :
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Remarque
Ces théorèmes impliquent dans certains contextes la nécessité d'un choix de jauge. En effet, des quantités peuvent disparaître par une opération vectorielle sans influencer une mesure physique — on peut donc les « choisir » : c’est ce que l’on appelle un choix de jauge.
Théorèmes d'existence
[modifier | modifier le wikicode]Remarque
En mécanique des fluides, on pourra définir, pour les écoulements irrotationnels, un potentiel des vitesses, qui est une grandeurs scalaire (le champ des vitesses est vectoriel) aisément manipulable.
Théorèmes de décomposition
[modifier | modifier le wikicode]Tout champ vectoriel créé par des sources (divergence de ) et leur déplacement (rotationnel de ) s'annulant à l'infini peut être décomposé de manière unique comme somme d'un champ vectoriel axial (champ vectoriel vrai) et d'un champ vectoriel polaire (champ pseudovectoriel) :
- .
Remarque
Cela est particulièrement vrai en électromagnétisme, où est axial et est polaire. Ce théorème s'étend bien au-delà de ce seul cadre : on le retrouve en relativité générale, en sismologie ou en mécanique des fluides, par exemple.
Autres relations
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Cette relation est parfois utilisée pour reformuler l'accélération convective en mécanique des fluides.