Analyse vectorielle/Théorèmes d'analyse vectorielle
Introduction[modifier | modifier le wikicode]
Nous étudions dans ce chapitre les liens et théorèmes entre opérateurs qui se révèlent soit utiles soit nécessaires en analyse vectorielle.
Composition d'opérateurs[modifier | modifier le wikicode]
Voici le résultat des principales compositions d'opérateurs :
Ces relations se démontrent aisément :
![]() |
Ces théorèmes impliquent dans certains contextes la nécessité d'un choix de jauge. En effet, des quantités peuvent disparaître par une opération vectorielle sans influencer une mesure physique — on peut donc les « choisir » : c’est ce que l’on appelle un choix de jauge.
Théorèmes d'existence[modifier | modifier le wikicode]
En mécanique des fluides, on pourra définir, pour les écoulements irrotationnels, un potentiel des vitesses, qui est une grandeurs scalaire (le champ des vitesses est vectoriel) aisément manipulable.
Théorèmes de décomposition[modifier | modifier le wikicode]
Tout champ vectoriel créé par des sources (divergence de ) et leur déplacement (rotationnel de ) s'annulant à l'infini peut être décomposé de manière unique comme somme d'un champ vectoriel axial (champ vectoriel vrai) et d'un champ vectoriel polaire (champ pseudovectoriel) :
- .
Cela est particulièrement vrai en électromagnétisme, où est axial et est polaire. Ce théorème s'étend bien au-delà de ce seul cadre : on le retrouve en relativité générale, en sismologie ou en mécanique des fluides, par exemple.
Autres relations[modifier | modifier le wikicode]
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Cette relation est parfois utilisée pour reformuler l'accélération convective en mécanique des fluides.