Analyse vectorielle/Théorèmes d'analyse vectorielle

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Introduction

Nous étudions dans ce chapitre les liens et théorèmes entre opérateurs qui se révèlent soit utiles soit nécessaires en analyse vectorielle.

Composition d'opérateurs

Voici le résultat des principales compositions d'opérateurs :

Début d’un théorème

Composition d'opérateurs vectoriels

* $\mathrm {div} \circ {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}=0$

• ${\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\circ {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}={\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\circ \mathrm {div} -\Delta$
• ${\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\circ {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}={\overrightarrow {0}}$

Fin du théorème

Ces relations se démontrent aisément :

Faites ces exercices : Composition d'opérateurs.

Remarque

Ces théorèmes impliquent dans certains contextes la nécessité d'un choix de jauge. En effet, des quantités peuvent disparaître par une opération vectorielle sans influencer une mesure physique — on peut donc les « choisir » : c’est ce que l’on appelle un choix de jauge.

Théorèmes d'existence

Début d’un théorème

Théorème

Soit ${\vec {M}}$ un champ vectoriel. Si ${\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\,{\overrightarrow {M}}={\overrightarrow {0}}$, alors il existe un champ scalaire $\varphi$ tel que :

${\overrightarrow {M}}={\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\,\varphi$.

Fin du théorème

Remarque

En mécanique des fluides, on pourra définir, pour les écoulements irrotationnels, un potentiel des vitesses, qui est une grandeurs scalaire (le champ des vitesses est vectoriel) aisément manipulable.

Début d’un théorème

Théorème

Soient A et B deux champs scalaires. Alors il existe un champ vectoriel ${\vec {C}}$ tel que : ${\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\,{\overrightarrow {C}}={\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\,A\wedge {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\,B$

Fin du théorème

Théorèmes de décomposition

Début d’un théorème

Théorème de Helmholtz-Hodge

Tout champ vectoriel ${\vec {M}}$ créé par des sources (divergence de ${\vec {v}}$) et leur déplacement (rotationnel de ${\vec {v}}$) s'annulant à l'infini peut être décomposé de manière unique comme somme d'un champ vectoriel axial ${\vec {A}}$ (champ vectoriel vrai) et d'un champ vectoriel polaire ${\vec {P}}$ (champ pseudovectoriel) :

${\overrightarrow {M}}={\overrightarrow {A}}+{\overrightarrow {P}}$.

Fin du théorème

Remarque

Cela est particulièrement vrai en électromagnétisme, où ${\vec {B}}$ est axial et ${\vec {E}}$ est polaire. Ce théorème s'étend bien au-delà de ce seul cadre : on le retrouve en relativité générale, en sismologie ou en mécanique des fluides, par exemple.

Autres relations

Faites ces exercices : Composition d'opérateurs.

$\left({\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {\nabla }}\right){\overrightarrow {v}}={\frac {1}{2}}{\overrightarrow {\nabla }}\left({\overrightarrow {v}}^{2}\right)-{\overrightarrow {v}}\wedge \left({\overrightarrow {\nabla }}\wedge {\overrightarrow {v}}\right)$

Cette relation est parfois utilisée pour reformuler l'accélération convective en mécanique des fluides.