Intégration en mathématiques/Exercices/Primitives 5

Pour chacune des fonctions $f$ suivantes, donner une primitive $F$ de $f$, en précisant les domaines de définition de $f$ et $F$.

Exercice 8-1

$f(x)={\frac {\ln ^{3}x}{x^{2}}}$

Solution

En utilisant que $\int {\frac {\ln ^{k}x}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x=\left[{\frac {-\ln ^{k}x}{x}}\right]+k\int {\frac {\ln ^{k-1}x}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x$ pour $k=3,2,1,0$, on trouve une primitive de $f$ sur $\mathbb {R} _{+}^{*}$ :

$F(x)={\frac {-1}{x}}\left(\ln ^{3}x+3\ln ^{2}x+6\ln x+6\right)$.

Plus généralement, une primitive sur $\mathbb {R} _{+}^{*}$ de $f(x)={\frac {\ln ^{n}x}{x^{2}}}$ est $F(x)={\frac {-1}{x}}\sum _{k=0}^{n}{\frac {n!}{k!}}\ln ^{k}x$.

 

Exercice 8-2

$f(x)=\left(x^{3}+x\right)\mathrm {e} ^{-3x}$

Solution

${\begin{aligned}\int f&=\left[\left(x^{3}+x\right){\frac {-\mathrm {e} ^{-3x}}{3}}\right]+{\frac {1}{3}}\int \left(3x^{2}+1\right)\mathrm {e} ^{-3x}\,\mathrm {d} x\\&=\left[\left(x^{3}+x+{\frac {3x^{2}+1}{3}}\right){\frac {-\mathrm {e} ^{-3x}}{3}}\right]+{\frac {2}{3}}\int x\mathrm {e} ^{-3x}\,\mathrm {d} x\\&=\left[\left(x^{3}+x+{\frac {3x^{2}+1}{3}}+{\frac {2x}{3}}\right){\frac {-\mathrm {e} ^{-3x}}{3}}\right]+{\frac {2}{9}}\int \mathrm {e} ^{-3x}\,\mathrm {d} x\\&=\left[\left(x^{3}+x+{\frac {3x^{2}+1}{3}}+{\frac {2x}{3}}+{\frac {2}{9}}\right){\frac {-\mathrm {e} ^{-3x}}{3}}\right]\\&=\left[\left(x^{3}+x^{2}+{\frac {5x}{3}}+{\frac {5}{9}}\right){\frac {-\mathrm {e} ^{-3x}}{3}}\right]\end{aligned}}$

donc une primitive de $f$ sur $\mathbb {R}$ est $F:x\mapsto \left(x^{3}+x^{2}+{\frac {5x}{3}}+{\frac {5}{9}}\right){\frac {-\mathrm {e} ^{-3x}}{3}}$.

 

Exercice 8-3

$f(x)=\left(x^{2}-x+6\right)\mathrm {e} ^{-5x}$

Solution

${\begin{aligned}\int f&=\left[\left(x^{2}-x+6\right){\frac {-\mathrm {e} ^{-5x}}{5}}\right]+{\frac {1}{5}}\int \left(2x-1\right)\mathrm {e} ^{-5x}\,\mathrm {d} x\\&=\left[\left(x^{2}-x+6+{\frac {2x-1}{5}}\right){\frac {-\mathrm {e} ^{-5x}}{5}}\right]+{\frac {2}{25}}\int \mathrm {e} ^{-5x}\,\mathrm {d} x\\&=\left[\left(x^{2}-x+6+{\frac {2x-1}{5}}+{\frac {2}{25}}\right){\frac {-\mathrm {e} ^{-5x}}{5}}\right]\\&=\left[\left(x^{2}-{\frac {3x}{5}}+{\frac {147}{25}}\right){\frac {-\mathrm {e} ^{-5x}}{5}}\right]\end{aligned}}$

donc une primitive de $f$ sur $\mathbb {R}$ est $F:x\mapsto \left(x^{2}-{\frac {3x}{5}}+{\frac {147}{25}}\right){\frac {-\mathrm {e} ^{-5x}}{5}}$.

 

Exercice 8-4

$f=\tan +\tan ^{3}$

Solution

Sur chaque intervalle $\left]k\pi -{\frac {\pi }{2}},k\pi +{\frac {\pi }{2}}\right[$ (avec $k\in \mathbb {Z}$), une primitive de $f=\tan \times \tan '$ est $F={\frac {\tan ^{2}}{2}}$.

 

Exercice 8-5

$f(x)={\frac {1}{x^{4}}}\mathrm {e} ^{\frac {1}{x^{3}}}$

Solution

$f(x)=-{\frac {u'\mathrm {e} ^{u}}{3}}$ avec $u(x)={\frac {1}{x^{3}}}$ donc sur chacun des deux intervalles $\left]-\infty ,0\right[$ et $\left]0,+\infty \right[$, une primitive de $f$ est $F=-{\frac {\mathrm {e} ^{u}}{3}}$.

 

Exercice 8-6

$f(x)=\mathrm {e} ^{x}\cos(2x)$ et $g(x)=\mathrm {e} ^{x}\sin(2x)$

Solution

$\int f=\left[\mathrm {e} ^{x}\cos(2x)\right]+2\int g$ et $\int g=\left[\mathrm {e} ^{x}\sin(2x)\right]-2\int f$

donc une primitive de $f$ sur $\mathbb {R}$ est $F:x\mapsto {\frac {\cos(2x)+2\sin(2x)}{5}}\,\mathrm {e} ^{x}$

et une primitive de $g$ sur $\mathbb {R}$ est $G:x\mapsto {\frac {\sin(2x)-2\cos(2x)}{5}}\,\mathrm {e} ^{x}$.

 

Exercice 8-7

$f(x)=\mathrm {e} ^{2x}\sin x$

Solution

${\begin{aligned}\int f&=\left[{\frac {\mathrm {e} ^{2x}}{2}}\sin 2x\right]-\int \mathrm {e} ^{2x}\cos 2x\,\mathrm {d} x\\&=\left[{\frac {\mathrm {e} ^{2x}}{2}}\left(\sin 2x-\cos 2x\right)\right]-\int f\end{aligned}}$

donc une primitive de $f$ sur $\mathbb {R}$ est $F:x\mapsto {\frac {\mathrm {e} ^{2x}\left(\sin 2x-\cos 2x\right)}{4}}$.

 

Exercice 8-8

$f(x)=\mathrm {e} ^{3x}\left(\sin 2x-\cos 2x\right)$

Solution

${\begin{aligned}\int f&=\left[{\frac {\mathrm {e} ^{3x}}{3}}\left(\sin 2x-\cos 2x\right)\right]-{\frac {2}{3}}\int \mathrm {e} ^{3x}\left(\cos 2x+\sin 2x\right)\,\mathrm {d} x\\&=\left[{\frac {\mathrm {e} ^{3x}}{3}}\left(\sin 2x-\cos 2x-{\frac {2}{3}}\left(\cos 2x+\sin 2x\right)\right)\right]+{\frac {4}{9}}\int \mathrm {e} ^{3x}\left(-\sin 2x+\cos 2x\right)\,\mathrm {d} x\\&=\left[{\frac {\mathrm {e} ^{3x}\left(\sin 2x-5\cos 2x\right)}{9}}\right]-{\frac {4}{9}}\int f\end{aligned}}$

donc une primitive de $f$ sur $\mathbb {R}$ est $F:x\mapsto {\frac {\mathrm {e} ^{3x}\left(\sin 2x-5\cos 2x\right)}{13}}$.

 

Exercice 8-9

$f(x)=x^{2}\ln(1+x)$

Solution

Sur $\left]-1,+\infty \right[$,

$\int f=\left[{\frac {x^{3}}{3}}\ln(x+1)\right]-{\frac {1}{3}}\int {\frac {x^{3}}{x+1}}\,\mathrm {d} x$ et

${\frac {x^{3}}{x+1}}={\frac {x^{3}+1}{x+1}}-{\frac {1}{x+1}}=x^{2}-x+1-{\frac {1}{x+1}}$

donc une primitive de $f$ sur $\left]-1,+\infty \right[$ est

$F:x\mapsto {\frac {1}{3}}\left(\left(x^{3}+1\right)\ln(x+1)-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{2}}{2}}-x\right)$.

 

Exercice 8-10

$f(x)=\cos \left(\ln x\right)$ et $g(x)=\sin \left(\ln x\right)$.

Solution

$\int f=\left[x\cos \left(\ln x\right)\right]+\int g$ et $\int g=\left[x\sin \left(\ln x\right)\right]-\int f$

donc (sur $\left]0,+\infty \right[$) une primitive de $f$ est

$F:x\mapsto {\frac {x}{2}}\left(\cos \left(\ln x\right)+\sin \left(\ln x\right)\right)$

et une primitive de $g$ est

$G:x\mapsto {\frac {x}{2}}\left(\sin \left(\ln x\right)-\cos \left(\ln x\right)\right)$.

 

Exercice 8-11

$f_{n}=\ln ^{n}$ ($n\in \mathbb {N}$)

Solution

Une intégration par parties donne comme primitive de $f_{n}$ (sur $\left]0,+\infty \right[$) :

$F_{n}:x\mapsto xf_{n}(x)-nF_{n-1}(x)$ donc par récurrence, $F_{n}(x)=x\sum _{k=0}^{n}{\frac {n!}{k!}}(-1)^{n-k}\ln ^{k}(x)$.

Autre méthode : $F_{k}(x)=G_{k}(\ln x)$ avec $\ln ^{k}(x)=G_{k}'(\ln x)/x$, $G_{k}'(t)=t^{k}\operatorname {e} ^{t}$, $G_{k}(t)=e^{t}H_{k}(t)$, $H_{k}'(t)+H_{k}(t)=t^{k}$,

$H_{k}(t)=a_{k}t^{k}+\ldots +a_{0}$, $a_{k}=1$, $a_{i}=-(i+1)a_{i+1}$ pour $i=0,\ldots ,k-1$, donc

$H_{k}(t)=t^{k}-kt^{k-1}+k(k-1)t^{k-2}+\ldots +(-1)^{k-1}k!t+(-1)^{k}k!$.

 

Exercice 8-12

$f(x)=2x^{3}\operatorname {e} ^{x^{2}+1}$

Solution

$f=\mathrm {e} ^{u}(u-1)u'$ avec $u(x)=x^{2}+1$ donc une primitive de $f$ sur $\mathbb {R}$ est $F=(u-2)\operatorname {e} ^{u}$, c'est-à-dire $F(x)=(x^{2}-1)\operatorname {e} ^{x^{2}+1}$.

 

Exercice 8-13

$f(x)={\frac {\ln(1+x^{2})}{x^{2}}}$, puis $g(y)=\ln(1+1/y^{2})$.

Solution

$\forall x>0\quad -\int _{x}^{+\infty }f(t)\;\mathrm {d} t=\left[{\frac {\ln(1+t^{2})}{t}}\right]_{x}^{+\infty }-\int _{x}^{+\infty }{\frac {2}{1+t^{2}}}\;\mathrm {d} t=\left[{\frac {\ln(1+t^{2})}{t}}-2\arctan t\right]_{x}^{+\infty }=-{\frac {\ln(1+x^{2})}{x}}-\pi +2\arctan x$

donc (par parité de $f$) une primitive de $f$ sur $\mathbb {R} ^{*}$ est

$F(x)=-{\frac {\ln(1+x^{2})}{x}}+2\arctan x$.

On en déduit :

$\forall y>0\quad \int _{0}^{y}g(s)\;\mathrm {d} s=\int _{1/y}^{+\infty }f(t)\;\mathrm {d} t=y\ln(1+1/y^{2})+\pi -2\arctan {\frac {1}{y}}=y\ln(1+1/y^{2})+2\arctan y$

donc (par parité de $g$) une primitive de $g$ sur $\mathbb {R} ^{*}$ est

$G(y)=y\ln(1+1/y^{2})+2\arctan y$.

 

Exercice 8-14

Déterminer les primitives des fonctions suivantes :

$f_{1}(x)=2x^{3}+3x^{2}-1,\quad f_{2}(x)=x^{\frac {4}{5}},\quad f_{3}(x)=(1-x){\sqrt {x}},\quad f_{4}(x)=(3x+2)^{3},\quad f_{5}(x)=\cos(4x+1),\quad f_{6}(x)=x{\sqrt {1-x^{2}}}$,

$f_{7}(x)=(5\sin x+2)^{3}\cos x,\quad f_{8}(x)={\frac {1}{3x+5}},\quad f_{9}(x)={\frac {1}{1+\mathrm {e} ^{x}}},\quad f_{10}(x)={(\mathrm {e} ^{2x}+2)^{4}\mathrm {e} ^{2x}},\quad f_{11}(x)={\frac {x+1}{x+2}}$,

$f_{12}(x)={\frac {1}{x^{2}+a^{2}}},\quad f_{13}(x)={\frac {x}{x^{2}+4}},\quad f_{14}(x)={\frac {x^{2}}{x^{2}-4}},\quad f_{15}(x)={\frac {1}{x^{2}+6x+5}},\quad f_{16}(x)=\sin ^{2}x,\quad f_{17}(x)=\cos ^{4}(2x)$,

$f_{18}(x)=\cos(ax)\cos(bx){\text{ et }}g_{18}(x)=\cos(ax)\sin(bx){\text{ avec }}a^{2}\neq b^{2},\quad f_{19}=\arctan ,\quad f_{20}(x)=\ln(x^{2}+2),\quad f_{21}(x)=\cos {\sqrt {x}},\quad f_{22}(x)={\frac {\ln x}{(1+x)^{2}}}$.

Solution

1. ${\frac {x^{4}}{2}}+x^{3}-x+c$
2. ${\frac {x^{{\frac {4}{5}}+1}}{{\frac {4}{5}}+1}}+c={\frac {5x^{\frac {9}{5}}}{9}}+c$
3. Changement de variable $x=y^{2}$, $\int f_{3}(x)\;\mathrm {d} x=\int (1-y^{2})y\;2y\mathrm {d} y={\frac {2y^{3}}{3}}-{\frac {2y^{5}}{5}}+c={\frac {2x^{\frac {3}{2}}}{3}}-{\frac {2x^{\frac {5}{2}}}{5}}+c=2{\sqrt {x}}\left({\frac {x}{3}}-{\frac {x^{2}}{5}}\right)+c$
4. ${\frac {(3x+2)^{4}}{12}}+c$
5. ${\frac {\sin(4x+1)}{4}}+c$
6. Changement de variable $y={\sqrt {1-x^{2}}}$, $\int f_{6}(x)\;\mathrm {d} x=-\int y^{2}\mathrm {d} y=-{\frac {y^{3}}{3}}+c=-{\frac {(1-x^{2})^{\frac {3}{2}}}{3}}+c$
7. ${\frac {(5\sin x+2)^{4}}{20}}+c$
8. ${\frac {\ln |3x+5|}{3}}+c_{\pm }$ : $c_{-}$ sur $\left]-\infty ,-{\frac {5}{3}}\right[$, $c_{+}$ sur $\left]-{\frac {5}{3}},+\infty \right[$
9. Changement de variable $y=\mathrm {e} ^{x}$, $\int f_{9}(x)\;\mathrm {d} x=\int {\frac {\mathrm {d} y}{y(1+y)}}=\int \left({\frac {1}{y}}-{\frac {1}{1+y}}\right)\;\mathrm {d} y=\ln |y|-\ln |1+y|+c=x-\ln(1+\mathrm {e} ^{x})+c$
10. ${\frac {(\mathrm {e} ^{2x}+2)^{5}}{10}}+c$
11. $\int \left(1-{\frac {1}{x+2}}\right)\;\mathrm {d} x=x-\ln |x+2|+c_{\pm }$
12. ${\frac {\arctan {\frac {x}{a}}}{a}}+c$
13. ${\frac {\ln(x^{2}+4)}{2}}+c$
14. $f_{14}(x)=1+{\frac {1}{x-2}}-{\frac {1}{x+2}}$, $F_{14}(x)=x+\ln |x-2|-\ln |x+2|+c_{j}$
15. $f_{15}(x)={\frac {1}{4}}\left({\frac {1}{x+1}}-{\frac {1}{x+5}}\right)$, $F_{15}(x)={\frac {1}{4}}\left(\ln |x+1|-\ln |x+5|\right)+c_{j}$
16. $f_{16}(x)={\frac {1-\cos(2x)}{2}}$, $F_{16}(x)={\frac {x}{2}}-{\frac {\sin(2x)}{4}}+c$
17. $f_{17}(x)={\frac {1}{8}}\cos(8x)+{\frac {1}{2}}\cos(4x)+{\frac {3}{8}}$, $F_{17}(x)={\frac {1}{64}}\sin(4x)+{\frac {1}{8}}\sin(2x)+{\frac {3x}{8}}+c$
18. $f_{18}(x)={\frac {1}{2}}\cos {\big (}(a+b)x{\big )}+{\frac {1}{2}}\cos {\big (}(a-b)x{\big )}$, $F_{18}(x)={\frac {1}{2(a+b)}}\sin {\big (}(a+b)x{\big )}+{\frac {1}{2(a-b)}}\sin {\big (}(a-b)x{\big )}+c$ et
    $g_{18}(x)={\frac {1}{2}}\sin {\big (}(a+b)x{\big )}-{\frac {1}{2}}\sin {\big (}(a-b)x{\big )}$, $G_{18}(x)={\frac {1}{2(a-b)}}\cos {\big (}(a-b)x{\big )}-{\frac {1}{2(a+b)}}\cos {\big (}(a+b)x{\big )}+c$
19. $\left[x\arctan x\right]-\int {\frac {x}{1+x^{2}}}\;\mathrm {d} x=x\arctan x-{\frac {\ln(1+x^{2})}{2}}+c$
20. $\left[x\ln(x^{2}+2)\right]-2\int {\frac {x^{2}}{x^{2}+2}}\;\mathrm {d} x=\left[x\ln(x^{2}+2)\right]-2\int \left(1-{\frac {2}{x^{2}+2}}\right)\;\mathrm {d} x=x\ln(x^{2}+2)-2x+2{\sqrt {2}}\arctan {\frac {x}{\sqrt {2}}}+c$
21. $\int \cos {\sqrt {x}}\;\mathrm {d} x=\int \cos s\;2s\mathrm {d} s$. Une primitive de $s\cos s$ (cf. Intégration en mathématiques/Exercices/Primitives 3#Exercice 6-2) est $s\sin s+\cos s$. Donc $F_{21}(x)=2({\sqrt {x}}\sin {\sqrt {x}}+\cos {\sqrt {x}})+c$.
22. $\left[{\frac {-\ln x}{1+x}}\right]+\int {\frac {1}{x(1+x)}}\;\mathrm {d} x=\left[{\frac {-\ln x}{1+x}}\right]+\int \left({\frac {1}{x}}-{\frac {1}{1+x}}\right)\;\mathrm {d} x$ donc $F_{22}(x)={\frac {-\ln x}{1+x}}+\ln {\frac {x}{1+x}}+c={\frac {x\ln x}{1+x}}-\ln(1+x)+c$.