Intégration en mathématiques/Devoir/Fonctions définies par une intégrale 1

On rappelle que si $f$ et $g$ sont des fonctions numériques continues sur un intervalle fermé borné $[a,b]$, avec $a<b$, telles que $f(t)\leqslant g(t)$, pour tout $t$ de $[a,b]$, alors :

$\int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t\leqslant \int _{a}^{b}g(t)\,\mathrm {d} t$.

On note $\mathbb {R}$ l'ensemble des nombres réels et $\mathbb {R} _{+}$ l'ensemble des nombres réels positifs.

— Ⅰ —

1°  On considère la fonction de $\left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[$ dans $\mathbb {R}$ définie par $x\mapsto \tan x$. Démontrer que c'est une bijection de $\left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[$ sur $\mathbb {R}$.

Dans toute la suite du problème, on désignera par $\varphi$ la fonction réciproque de cette bijection. Préciser le domaine de définition de $\varphi$, ainsi que les nombres $\varphi (0)$, $\varphi (1)$, $\varphi \left({\sqrt {3}}\right)$ et $\lim _{x\to \infty }\varphi (x)$.

Tracer dans un repère orthonormal la courbe représentative de la fonction de $\left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[$ dans $\mathbb {R}$ définie par $x\mapsto \tan x$ ; en déduire sur le même graphique la courbe représentative de la fonction $\varphi$.

2°  En admettant que $\varphi$ est dérivable (voir Fonctions circulaires réciproques/Fonction arctan, niveau 14), retrouver que $\varphi '(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}$ pour tout réel $x$.

Calculer $\varphi '(0)$ et en déduire la valeur de $\lim _{x\to 0}{\frac {\varphi (x)}{x}}$.

Démontrer alors que la fonction qui, à tout réel $x$, associe ${\frac {\varphi (x)}{x}}$ si $x\neq 0$ et $1$ si $x=0$, est continue en $0$.

Démontrer ensuite qu'elle est continue sur tout $\mathbb {R}$.

3°  En étudiant les variations sur $\mathbb {R} _{+}$ des deux fonctions $x\mapsto x-\varphi (x)$ et $x\mapsto x-{\frac {x^{3}}{3}}-\varphi (x)$, démontrer que :

$0<x-\varphi (x)<{\frac {x^{3}}{3}}$, pour tout $x>0$.

— Ⅱ —

Dans toute la suite du problème, on considère la fonction $f$, de $\mathbb {R} _{+}$ dans $\mathbb {R}$, définie par :

$f(x)={\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}{\frac {\varphi (t)}{t}}\,\mathrm {d} t$ si $x>0$, et $f(0)=1$.

(On ne cherchera pas à calculer l'intégrale qui définit $f$.)

1°  Démontrer que :

$1-f(x)={\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}{\frac {t-\varphi (t)}{t}}\,\mathrm {d} t$, si $x>0$.

2°  En utilisant Ⅰ - 3° et Ⅱ - 1°, démontrer que (pour tout $x\in \mathbb {R} _{+}$)

$0\leqslant 1-f(x)\leqslant {\frac {x^{2}}{9}}$.

En déduire que $f$ est dérivable en $0$ (à droite) et que $f'(0)=0$.

3°  Démontrer que si $x\geqslant 1$ :

$0\leqslant \int _{1}^{x}{\frac {\varphi (t)}{t}}\,\mathrm {d} t\leqslant {\frac {\pi }{2}}\int _{1}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{t}}={\frac {\pi }{2}}\ln x$.

En écrivant $f(x)={\frac {1}{x}}\int _{0}^{1}{\frac {\varphi (t)}{t}}\,\mathrm {d} t+{\frac {1}{x}}\int _{1}^{x}{\frac {\varphi (t)}{t}}\,\mathrm {d} t$, en déduire que $\lim _{x\to +\infty }f(x)=0$.

— Ⅲ —

1°  Vérifier que (pour tout $x\in \mathbb {R} _{+}$)

$x^{2}f'(x)=-\int _{0}^{x}{\frac {\varphi (t)}{t}}\,\mathrm {d} t+\varphi (x)$.

2°  On pose $g(x)=x^{2}f'(x)$, pour tout $x>0$. Vérifier que :

$xg'(x)=-\varphi (x)+{\frac {x}{1+x^{2}}}$.

3°  Étudier la variation de la fonction $h$ définie sur $]0,\,+\infty [$ par $h(x)=xg'(x)$. En déduire le signe de $g'(x)$, puis de $f'(x)$ pour tout $x>0$.

4°  Rassembler les résultats des parties Ⅱ et Ⅲ pour donner l'allure de la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal.

'Corrigé'

— Ⅰ —

1° $\tan '=1+\tan ^{2}>0$ donc $\tan$ est continue et strictement croissante. $\lim _{\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)^{+}}\tan =-\infty$ et $\lim _{\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{-}}\tan =+\infty$.

$\varphi$ est définie sur $\mathbb {R}$. $\varphi (0)=0$, $\varphi (1)={\frac {\pi }{4}}$, $\varphi \left({\sqrt {3}}\right)={\frac {\pi }{3}}$, $\lim _{-\infty }\varphi =\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)^{+}$ et $\lim _{+\infty }\varphi =\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{-}$.

La courbe représentative de la fonction $\varphi$ se déduit de la courbe représentative de la fonction tangente par symétrie par rapport à la droite d'équation y = x (première bissectrice) que nous avons appelée $\delta$ sur le tracé ci-dessous :

2°  $\varphi$ est la fonction réciproque de la fonction tan. Nous avons donc :

$\tan \left(\varphi (x)\right)=x$

Dérivons les deux membres de cette égalité, nous obtenons :

$\varphi '(x)\left(1+\tan ^{2}\left(\varphi (x)\right)\right)=1$

qui se simplifie ainsi :

$\varphi '(x)(1+x^{2})=1$

D’où nous tirons :

$\varphi '(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}$

En particulier, $\lim _{x\to 0}{\frac {\varphi (x)}{x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {\varphi (x)-\varphi (0)}{x-0}}=\varphi '(0)=1$ ce qui prouve que la fonction qui à $x$ associe ${\frac {\varphi (x)}{x}}$ si $x\neq 0$ et $1$ si $x=0$ est continue en $0$.

En tout autre réel, elle est continue comme quotient de deux fonctions continues dont la seconde ne s'annule pas.

3°  La fonction $x\mapsto x-\varphi (x)$ a pour dérivée $x\mapsto {\frac {x^{2}}{1+x^{2}}}$ donc elle est strictement croissante. Puisqu'elle est nulle en $0$, elle est strictement positive sur $\mathbb {R} _{+}^{*}$.

La fonction $x\mapsto x-{\frac {x^{3}}{3}}-\varphi (x)$ a pour dérivée $x\mapsto {\frac {-x^{4}}{1+x^{2}}}$ donc elle est strictement décroissante. Puisqu'elle est nulle en $0$, elle est strictement négative sur $\mathbb {R} _{+}^{*}$.

Les deux inégalités voulues en résultent.

— Ⅱ —

1°  Pour tout $x>0$, ${\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}{\frac {t-\varphi (t)}{t}}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}{\frac {t}{t}}\,\mathrm {d} t-f(x)=1-f(x)$.

2°  Pour tout $x>0$, ${\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}{\frac {t-\varphi (t)}{t}}\,\mathrm {d} t$ est compris entre ${\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}0\,\mathrm {d} t=0$ et ${\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}{\frac {t^{2}}{3}}\,\mathrm {d} t={\frac {x^{2}}{9}}$.

D'après le théorème des gendarmes, on a donc $\lim _{x\to 0,\,x>0}{\frac {f(x)-1}{x}}=0$, c'est-à-dire $f'(0)=0$.

3°  Pour tout $x\geqslant 1$, $\int _{1}^{x}{\frac {\varphi (t)}{t}}\,\mathrm {d} t$ est compris entre $\int _{1}^{x}0\,\mathrm {d} t=0$ et $\int _{1}^{x}{\frac {\pi /2}{t}}\,\mathrm {d} t={\frac {\pi }{2}}\ln x$, or $\lim _{x\to +\infty }{\frac {\ln x}{x}}=0$.

D'après le théorème des gendarmes, on a donc : $\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x}}\int _{1}^{x}{\frac {\varphi (t)}{t}}\,\mathrm {d} t=0$.

En ajoutant membre à membre $\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x}}\int _{0}^{1}{\frac {\varphi (t)}{t}}\,\mathrm {d} t=0$, on obtient ainsi : $\lim _{+\infty }f=0$.

— Ⅲ —

1°  Sur $\mathbb {R} _{+}^{*}$, la fonction $x\mapsto xf(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\varphi (t)}{t}}\,\mathrm {d} t$ est dérivable, de dérivée $x\mapsto {\frac {\varphi (x)}{x}}$, donc $f$ est dérivable et

$f(x)+xf'(x)={\frac {\varphi (x)}{x}}$,

c'est-à-dire :

$x^{2}f'(x)=-\int _{0}^{x}{\frac {\varphi (t)}{t}}\,\mathrm {d} t+\varphi (x)$.

2°  Par conséquent, pour tout $x>0$,

$g'(x)=-{\frac {\varphi (x)}{x}}+\varphi '(x)$,

c'est-à-dire (compte tenu de Ⅰ-2) :

$xg'(x)=-\varphi (x)+{\frac {x}{1+x^{2}}}$.

3°  Pour tout $x>0$, $h(x)=-\varphi (x)+x\varphi '(x)$ donc $h'(x)=x\varphi ''(x)={\frac {-2x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}}<0$, ce qui montre que $h$ est strictement décroissante.

Comme $\lim _{0}h=0$, $h<0$ donc $g'<0$ donc $g$ est strictement décroissante aussi et (par le même raisonnement) $f$ également.

La courbe a une tangente horizontale au point $(0,1)$ et a pour asymptote l'axe des abscisses.

L'allure de la courbe représentative est alors :