Leçons de niveau 13

Intégration en mathématiques/Devoir/Fonctions définies par une intégrale 1

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Fonctions définies par une intégrale 1
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Devoir no3
Leçon : Intégration en mathématiques

Ce devoir est de niveau 13.

Dev préc. :e est-il un rationnel ?
Dev suiv. :Fonctions définies par une intégrale 2
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Intégration en mathématiques/Devoir/Fonctions définies par une intégrale 1
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On rappelle que si et sont des fonctions numériques continues sur un intervalle fermé borné , avec , telles que , pour tout de , alors :

.

On note l'ensemble des nombres réels et l'ensemble des nombres réels positifs.

— Ⅰ —

 On considère la fonction de dans définie par . Démontrer que c'est une bijection de sur .

Dans toute la suite du problème, on désignera par la fonction réciproque de cette bijection. Préciser le domaine de définition de , ainsi que les nombres , , et .
Tracer dans un repère orthonormal la courbe représentative de la fonction de dans définie par  ; en déduire sur le même graphique la courbe représentative de la fonction .

 En admettant que est dérivable (voir Fonctions circulaires réciproques/Fonction arctan, niveau 14), retrouver que pour tout réel .

Calculer et en déduire la valeur de .
Démontrer alors que la fonction qui, à tout réel , associe si et si , est continue en .
Démontrer ensuite qu'elle est continue sur tout .

 En étudiant les variations sur des deux fonctions et , démontrer que :

, pour tout .


— Ⅱ —

Dans toute la suite du problème, on considère la fonction , de dans , définie par :

si , et .

(On ne cherchera pas à calculer l'intégrale qui définit .)

 Démontrer que :

, si .

2°  En utilisant Ⅰ - 3° et Ⅱ - 1°, démontrer que (pour tout )

.
En déduire que est dérivable en (à droite) et que .

 Démontrer que si  :

.
En écrivant , en déduire que .


— Ⅲ —

 Vérifier que (pour tout )

.

 On pose , pour tout . Vérifier que :

.

 Étudier la variation de la fonction définie sur par . En déduire le signe de , puis de pour tout .

 Rassembler les résultats des parties et pour donner l'allure de la courbe représentative de dans un repère orthonormal.