Leçons de niveau 13

Intégration en mathématiques/Devoir/Fonctions définies par une intégrale 2

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Fonctions définies par une intégrale 2
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Devoir no4
Leçon : Intégration en mathématiques

Ce devoir est de niveau 13.

Dev préc. : Fonctions définies par une intégrale 1
Dev suiv. : Intégrales eulériennes
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Intégration en mathématiques/Devoir/Fonctions définies par une intégrale 2
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— Ⅰ —

Soit une fonction continue de dans . On lui associe la fonction définie sur par

.

 Montrer que est dérivable et que (pour tout ) :

.

 Calculer dans les deux cas particuliers suivants :

a)   ;
b)  .


— Ⅱ —

Dans cette partie et la suivante, on étudie dans le cas où est l'application .

Le but est de dégager dans ce cas quelques propriétés de la fonction , que l'on ne cherchera pas à calculer.

 Démontrer que est dérivable et que (pour tout ) :

.

 Déterminer les réels pour lesquels la fonction présente un extremum local.

Déterminer les intervalles sur lesquels est :
a)  croissante ;
b)  décroissante.

 Déterminer le signe de et le signe de . En déduire que admet un zéro sur l'intervalle .

 À l'aide d'une intégration par parties, établir que (pour tout ) :

et en déduire la limite de en .

 Montrer que .


— Ⅲ —

Soit la fonction définie par :

 Démontrer que (pour tout ) :

.

 En déduire que est dérivable en .