Intégration en mathématiques/Devoir/Fonctions définies par une intégrale 2

— Ⅰ —

Soit $f$ une fonction continue de $\mathbb {R} _{+}^{*}$ dans $\mathbb {R}$. On lui associe la fonction $F$ définie sur $\mathbb {R} _{+}^{*}$ par

$F(x)=\int _{x}^{3x}{\frac {f(t)}{t}}\,\mathrm {d} t$.

1°  Montrer que $F$ est dérivable et que (pour tout $x>0$) :

$F'(x)={\frac {f(3x)-f(x)}{x}}$.

2°  Calculer $F$ dans les deux cas particuliers suivants :

a)  $f:\quad t\mapsto {\frac {1}{t}}$ ;

b)  $f:\quad t\mapsto 1$.

— Ⅱ —

Dans cette partie et la suivante, on étudie $F$ dans le cas où $f$ est l'application $\cos$.

Le but est de dégager dans ce cas quelques propriétés de la fonction $F$, que l'on ne cherchera pas à calculer.

1°  Démontrer que $F$ est dérivable et que (pour tout $x>0$) :

$F'(x)={\frac {-4\cos x\sin ^{2}x}{x}}$.

2°  Déterminer les réels pour lesquels la fonction $F$ présente un extremum local.

Déterminer les intervalles sur lesquels $F$ est :

a)  croissante ;

b)  décroissante.

3°  Déterminer le signe de $F\left({\frac {\pi }{6}}\right)$ et le signe de $F\left({\frac {\pi }{2}}\right)$. En déduire que $F$ admet un zéro sur l'intervalle $\left[{\frac {\pi }{6}},\,{\frac {\pi }{2}}\right]$.

4°  À l'aide d'une intégration par parties, établir que (pour tout $x>0$) :

$\left|F(x)-{\frac {\sin 3x-3\sin x}{3x}}\right|\leqslant {\frac {2}{3x}},\quad {\text{puis}}\quad \left|F(x)\right|\leqslant {\frac {2}{x}}$

et en déduire la limite de $F$ en $+\infty$.

5°  Montrer que $\left|F\right|\leqslant \ln 3$.

— Ⅲ —

Soit $G:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R}$ la fonction définie par :

${\begin{cases}\forall x\in \mathbb {R} _{+}^{*}\qquad G(x)=F(x)\\G(0)=\ln 3.\end{cases}}$

1°  Démontrer que (pour tout $x>0$) :

$\ln 3-F(x)=2\int _{x}^{3x}{\frac {\sin ^{2}{\frac {t}{2}}}{t}}\,\mathrm {d} t,\quad {\text{puis}}\quad 0\leqslant \ln 3-F(x)\leqslant 2x^{2}$.

2°  En déduire que $G$ est dérivable en $0$.

'Corrigé'

Ⅰ

1°  La fonction $F_{0}:x\mapsto \int _{1}^{x}{\frac {f(t)}{t}}\,\mathrm {d} t$ a pour dérivée $x\mapsto {\frac {f(x)}{x}}$, et $F(x)=F_{0}(3x)-F_{0}(x)$.

Par conséquent, $F'(x)=3{\frac {f(3x)}{3x}}-{\frac {f(x)}{x}}={\frac {f(3x)-f(x)}{x}}$.

2°

a)  $\int _{x}^{3x}{\frac {\mathrm {d} t}{t^{2}}}={\frac {1}{x}}-{\frac {1}{3x}}={\frac {2}{3x}}$.

b)  $\int _{x}^{3x}{\frac {\mathrm {d} t}{t}}=\ln(3x)-\ln x=\ln 3$.

Ⅱ

1°  D'après Ⅰ-1, $\forall x>0\quad F'(x)={\frac {\cos 3x-\cos x}{x}}={\frac {-4\cos x\sin ^{2}x}{x}}$.

2°  $F$ est strictement décroissante sur $\left]0,{\frac {\pi }{2}}\right]$ et, pour tout $k\in \mathbb {N} ^{*}$, sur $\left[2k\pi -{\frac {\pi }{2}},2k\pi +{\frac {\pi }{2}}\right]$ ; elle est strictement croissante sur $\left[2k\pi +{\frac {\pi }{2}},2k\pi +{\frac {3\pi }{2}}\right]$ pour tout $k\in \mathbb {N}$.

Elle présente donc, pour tout $k\in \mathbb {N}$, un extremum local en ${\frac {\pi }{2}}+k\pi$ (minimum local si $k$ pair et maximum local si $k$ impair).

3°  $F\left({\frac {\pi }{6}}\right)>0$ (car $\cos >0$ sur $\left[{\frac {\pi }{6}},{\frac {\pi }{2}}\right[$) et $F\left({\frac {\pi }{2}}\right)<0$ (car $\cos <0$ sur $\left]{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}\right[$).

D'après le théorème des valeurs intermédiaires, $F$ s'annule donc au moins une fois sur $\left]{\frac {\pi }{6}},{\frac {\pi }{2}}\right[$.

4°  $F(x)=\left[{\frac {\sin t}{t}}\right]_{x}^{3x}+\int _{x}^{3x}{\frac {\sin t}{t^{2}}}\,\mathrm {d} t$ donc

$\left|F(x)-{\frac {\sin 3x-3\sin x}{3x}}\right|\leqslant \int _{x}^{3x}{\frac {1}{t^{2}}}\,\mathrm {d} t={\frac {2}{3x}}$ donc

$\left|F(x)\right|\leqslant {\frac {2}{3x}}+{\frac {1+3}{3x}}={\frac {2}{x}}$ donc

$\lim _{+\infty }F=0$.

5°  $|\cos |\leqslant 1$ donc (pour tout $x>0$) $|F(x)|\leqslant \int _{x}^{3x}{\frac {\mathrm {d} t}{t}}=\ln 3$.

Ⅲ

1°  $\ln 3-F(x)=\int _{x}^{3x}{\frac {1-\cos t}{t}}\,\mathrm {d} t=\int _{x}^{3x}{\frac {2\sin ^{2}(t/2)}{t}}\,\mathrm {d} t$ est compris entre $\int _{x}^{3x}0\,\mathrm {d} t=0$ et $\int _{x}^{3x}{\frac {2(t/2)^{2}}{t}}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2}}\int _{x}^{3x}t\,\mathrm {d} t={\frac {9x^{2}-x^{2}}{4}}=2x^{2}$.

2°  Par conséquent, $G'(0)=0$.