En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Devoir : Fonctions définies par une intégrale 1
Intégration en mathématiques/Devoir/Fonctions définies par une intégrale 1 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
On rappelle que si
et
sont des fonctions numériques continues sur un intervalle fermé borné
, avec
, telles que
, pour tout
de
, alors :
.
On note
l'ensemble des nombres réels et
l'ensemble des nombres réels positifs.
— Ⅰ —
1° On considère la fonction de
dans
définie par
. Démontrer que c'est une bijection de
sur
.
- Dans toute la suite du problème, on désignera par
la fonction réciproque de cette bijection. Préciser le domaine de définition de
, ainsi que les nombres
,
,
et
.
- Tracer dans un repère orthonormal la courbe représentative de la fonction de
dans
définie par
; en déduire sur le même graphique la courbe représentative de la fonction
.
2° En admettant que
est dérivable (voir Fonctions circulaires réciproques/Fonction arctan, niveau 14), retrouver que
pour tout réel
.
- Calculer
et en déduire la valeur de
.
- Démontrer alors que la fonction qui, à tout réel
, associe
si
et
si
, est continue en
.
- Démontrer ensuite qu'elle est continue sur tout
.
3° En étudiant les variations sur
des deux fonctions
et
, démontrer que :
, pour tout
.
— Ⅱ —
Dans toute la suite du problème, on considère la fonction
, de
dans
, définie par :
![{\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}{\frac {\varphi (t)}{t}}\,\mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9050cdcb8f610dbd760d8de35fc9ae01075cbf4d)
si
![{\displaystyle x>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80d24be5f0eb4a9173da6038badc8659546021d0)
, et
![{\displaystyle f(0)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00884d9c3ef0dbc18fe185a4444f1da931c8ba0a)
.
(On ne cherchera pas à calculer l'intégrale qui définit
.)
1° Démontrer que :
, si
.
2° En utilisant Ⅰ - 3° et Ⅱ - 1°, démontrer que (pour tout
)
.
- En déduire que
est dérivable en
(à droite) et que
.
3° Démontrer que si
:
.
- En écrivant
, en déduire que
.
— Ⅲ —
1° Vérifier que (pour tout
)
.
2° On pose
, pour tout
. Vérifier que :
.
3° Étudier la variation de la fonction
définie sur
par
. En déduire le signe de
, puis de
pour tout
.
4° Rassembler les résultats des parties Ⅱ et Ⅲ pour donner l'allure de la courbe représentative de
dans un repère orthonormal.
Corrigé
— Ⅰ —
1°
donc
est continue et strictement croissante.
et
.
est définie sur
.
,
,
,
et
.
- La courbe représentative de la fonction
se déduit de la courbe représentative de la fonction tangente par symétrie par rapport à la droite d'équation y = x (première bissectrice) que nous avons appelée
sur le tracé ci-dessous :
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ee/Arc_tan.png/500px-Arc_tan.png)
2°
est la fonction réciproque de la fonction tan. Nous avons donc :
![{\displaystyle \tan \left(\varphi (x)\right)=x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6e7843307cef853a2226c78fc4f242db5346a7e)
- Dérivons les deux membres de cette égalité, nous obtenons :
![{\displaystyle \varphi '(x)\left(1+\tan ^{2}\left(\varphi (x)\right)\right)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c5c5f14e1ef4500fd88f56dfefafe0192407338)
- qui se simplifie ainsi :
![{\displaystyle \varphi '(x)(1+x^{2})=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a19b0f24cbabc4dc63f56ab1164e67c0c0246418)
- D’où nous tirons :
![{\displaystyle \varphi '(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e656e050082cb720fda2d4121880ee55c767e8d4)
- En particulier,
ce qui prouve que la fonction qui à
associe
si
et
si
est continue en
.
- En tout autre réel, elle est continue comme quotient de deux fonctions continues dont la seconde ne s'annule pas.
3° La fonction
a pour dérivée
donc elle est strictement croissante. Puisqu'elle est nulle en
, elle est strictement positive sur
.
- La fonction
a pour dérivée
donc elle est strictement décroissante. Puisqu'elle est nulle en
, elle est strictement négative sur
.
- Les deux inégalités voulues en résultent.
— Ⅱ —
1° Pour tout
,
.
2° Pour tout
,
est compris entre
et
.
- D'après le théorème des gendarmes, on a donc
, c'est-à-dire
.
3° Pour tout
,
est compris entre
et
, or
.
- D'après le théorème des gendarmes, on a donc :
.
- En ajoutant membre à membre
, on obtient ainsi :
.
— Ⅲ —
1° Sur
, la fonction
est dérivable, de dérivée
, donc
est dérivable et
,
- c'est-à-dire :
.
2° Par conséquent, pour tout
,
,
- c'est-à-dire (compte tenu de Ⅰ-2) :
.
3° Pour tout
,
donc
, ce qui montre que
est strictement décroissante.
- Comme
,
donc
donc
est strictement décroissante aussi et (par le même raisonnement)
également.
- La courbe a une tangente horizontale au point
et a pour asymptote l'axe des abscisses.
- L'allure de la courbe représentative est alors :
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5e/Intfonc01.png/500px-Intfonc01.png)