Leçons de niveau 13

Initiation aux matrices/Exercices/Inverse d'une matrice

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Inverse d'une matrice
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Exercices no2
Leçon : Initiation aux matrices
Chapitre du cours : Inverse d'une matrice

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Opérations entre matrices
Exo suiv. :Puissance d'une matrice
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Initiation aux matrices/Exercices/Inverse d'une matrice
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Exercice 2-1[modifier | modifier le wikicode]

Soit , la matrice définie par :

Calculer la matrice inverse de .

Exercice 2-2[modifier | modifier le wikicode]

Soit , la matrice définie par :

 Calculer l'expression matricielle :

 En déduire l'inverse de .

Exercice 2-3[modifier | modifier le wikicode]

Un réseau d'utilisateurs qui communiquent à distance utilise à cet effet un émetteur-récepteur utilisant un système de cryptage basé sur une matrice pouvant être rentrée manuellement dans l'appareil.

Tous les utilisateurs conviennent de rentrer la matrice définie par :

Seuls les membres du réseau connaissent la matrice .

Les utilisateurs s'envoient mutuellement des séries de cinq nombres sous forme de matrices ligne.

En émission, l'appareil commence par multiplier, par la matrice , la matrice ligne fournie par l'opérateur et émet le résultat.

En réception, il fait de même. Il commence par multiplier par la matrice reçue, avant de fournir le résultat à l'opérateur.

Bob et Alice font partie du réseau. Bob décide d'envoyer la série de cinq nombres à Alice. La communication est espionnée par Ève qui ne fait pas partie du réseau.

 Que perçoit Ève ?

 Que reçoit Alice ?

 Que constate-t-on ? Cette constatation est-elle générale ?

 Quel est l'inverse de la matrice  ?

 Pour plus de sûreté, les membres du réseau décident de changer régulièrement la matrice . Est-il facile de trouver d'autres matrices carrées d'ordre 5 ayant la même propriété que la matrice  ?

Exercice 2-4[modifier | modifier le wikicode]

Soit une matrice carrée d'ordre telle que .

  1. Montrer que si alors n'est pas inversible.
  2. Montrer que si alors n'est pas inversible.