Initiation aux matrices/Exercices/Inverse d'une matrice
Exercice 2-1
[modifier | modifier le wikicode]Soit , la matrice définie par :
Calculer la matrice inverse de .
Supposons qu'il existe trois valeurs , et qui s'expriment en fonction de trois autres valeurs , et selon la relation matricielle :
Essayons alors d'exprimer , et en fonction de , et . Pour cela, nous considérerons le système associé :
En ajoutant membre à membre la troisième équation à la première et en la soustrayant de la seconde, on obtient :
En reportant les valeurs de et , trouvées dans les deux premières équations dans la troisième, on obtient :
qui s'écrit matriciellement :
On a donc :
Exercice 2-2
[modifier | modifier le wikicode]Soit , la matrice définie par :
1° Calculer l'expression matricielle :
2° En déduire l'inverse de .
1° On trouve :
- et
- On peut alors calculer :
2° Nous avons obtenu précédemment :
- En mettant en facteur, nous avons :
- Ce qui nous montre que :
Exercice 2-3
[modifier | modifier le wikicode]Un réseau d'utilisateurs qui communiquent à distance utilise à cet effet un émetteur-récepteur utilisant un système de cryptage basé sur une matrice pouvant être rentrée manuellement dans l'appareil.
Tous les utilisateurs conviennent de rentrer la matrice définie par :
Seuls les membres du réseau connaissent la matrice .
Les utilisateurs s'envoient mutuellement des séries de cinq nombres sous forme de matrices ligne.
En émission, l'appareil commence par multiplier, par la matrice , la matrice ligne fournie par l'opérateur et émet le résultat.
En réception, il fait de même. Il commence par multiplier par la matrice reçue, avant de fournir le résultat à l'opérateur.
Bob et Alice font partie du réseau. Bob décide d'envoyer la série de cinq nombres à Alice. La communication est espionnée par Ève qui ne fait pas partie du réseau.
1° Que perçoit Ève ?
2° Que reçoit Alice ?
3° Que constate-t-on ? Cette constatation est-elle générale ?
4° Quel est l'inverse de la matrice ?
5° Pour plus de sûreté, les membres du réseau décident de changer régulièrement la matrice . Est-il facile de trouver d'autres matrices carrées d'ordre 5 ayant la même propriété que la matrice ?
1° Ève perçoit :
2° Alice reçoit :
3° On constate qu'Alice a bien reçu ce que Bob lui a envoyé alors que Ève a vu passer autre chose qu'elle ne peut pas décrypter étant donné qu'elle ne connait pas la matrice .
- Pour s'assurer qu'Alice recevra bien ce que lui transmet Bob dans tous les cas, faisons le calcul en supposant que Bob lui envoie la série de cinq nombres .
- Ève percevra :
- et Alice recevra :
- .
- Mais on constate que :
- et Alice recevra :
- .
- (On dira que l'application est une involution)
4° On a vu à la question précédente que :
- .
- On sait que, par définition, la matrice est inversible, d'inverse , si et seulement si :
- .
- On en déduit que est inversible et égale à son inverse.
5° Soit une matrice d'ordre 5 inversible d'inverse noté .
- Définissons une nouvelle matrice par la relation :
- Nous avons alors :
- est aussi égale à son inverse, donc pourra remplacer .
- On pourrait aussi partir de matrices de la forme :
- qui sont visiblement égales à leur inverse et leur appliquer la transformation vue avec la matrice .
- Il n'est donc pas difficile de trouver d'autres matrices égales à leur inverse.
Exercice 2-4
[modifier | modifier le wikicode]Soit une matrice carrée d'ordre telle que .
- Montrer que si alors n'est pas inversible.
- Montrer que si alors n'est pas inversible.
- Si était inversible, on pourrait multiplier à gauche par les deux membres de l'égalité , ainsi :
- ,
- ce qui donnerait :
- .
- Posons . Alors,
- donc d'après la question précédente, si alors n'est pas inversible.
- Autrement dit : si alors n'est pas inversible.