Leçons de niveau 13

Initiation aux matrices/Inverse d'une matrice

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Inverse d'une matrice
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Chapitre no 3
Leçon : Initiation aux matrices
Chap. préc. :Opérations entre matrices
Chap. suiv. :Puissance d'une matrice

Exercices :

Inverse d'une matrice
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Initiation aux matrices/Inverse d'une matrice
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Après avoir défini une multiplication des matrices et après avoir constaté que, dans l'ensemble des matrices carrées d'ordre n, nous avons un élément neutre que nous avons noté , la question qui se pose maintenant est de savoir si les matrices sont inversibles. C'est cette question que nous allons étudier dans ce chapitre.

Étude d'un exemple[modifier | modifier le wikicode]

Soit la matrice :

Existe t'il une matrice, que nous noterons , qui vérifie la relation :

Pour répondre à cette question, nous pouvons revenir aux systèmes d'équations linéaires en imaginant qu'il existe deux valeurs et qui s'expriment en fonction de deux autres valeurs et selon la relation matricielle :

Nous allons essayer d'inverser la situation en établissant une relation matricielle où c'est et qui s'exprime en fonction de et . Pour cela, nous considérerons le système associé :

par combinaisons linéaires, en remplaçant la deuxième équation par ce que l'on obtient en soustrayant membre à membre 2 fois la deuxième équation à la première, nous obtenons :

et en ajoutant 5 fois, membre à membre, la deuxième équation à la première, on obtient :

qui se simplifie sous la forme :

ce dernier système s'écrit matriciellement :

Nous avons alors :

et

Comme nous avons aussi :

et

nous en déduisons par identification :

Nous pouvons vérifier cette relation par le calcul.


Nous voyons donc que si est définie par :

alors :

Nous voyons que nous pouvons faire des calculs avec des matrices comme s'il s'agissait de nombre.

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Exemple : Équation matricielle

Soit à résoudre l'équation :

est une matrice inconnue à déterminer.

Nous reconnaissons la matrice dont nous venons de déterminer l'inverse. Nous multiplierons donc à droite les deux membres de l'équation par .

En effectuant les produits de matrices, nous obtenons :

La solution de l'équation matricielle est donc :


Propriétés[modifier | modifier le wikicode]

Définition et unicité[modifier | modifier le wikicode]

Soit une matrice carrée d'ordre n. La matrice sera dite inversible s'il existe une matrice carrée d'ordre n telle que :

S'il existe une matrice vérifiant cette propriété alors il n'en existe pas d'autres.

En effet supposons qu'il existe une autre matrice carrée d'ordre n vérifiant :

on aurait :


Matrices non inversibles[modifier | modifier le wikicode]

Il existe des matrices qui ne sont pas inversibles.

Par exemple, considérons la matrice :

et essayons de trouver une matrice sous la forme :

vérifiant :

l'exécution du produit matriciel du premier membre nous amènerait à la relation :

qui n'est pas possible.

La matrice est donc un exemple de matrice non inversible.


Produit de matrices inversibles[modifier | modifier le wikicode]

Soit deux matrices et toutes deux inversibles d'inverses respectives et , alors la matrice est inversible et son inverse est :

On a, en effet :

et on a aussi :


Matrices diagonalisables[modifier | modifier le wikicode]

Une matrice sera dite diagonalisable s'il existe une matrice inversible et une matrice diagonale tel que :

Une matrice étant donnée, il existe des techniques permettant de savoir si la matrice est diagonalisable et permettant de calculer la matrice inversible et la matrice diagonale . Mais ces techniques dépassent le cadre de cette leçon élémentaire et seront abordées dans des leçons de niveau supérieur (voir par exemple Réduction des endomorphismes). Dans le cadre de cette leçon, les matrices et devront être données.

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Exemple : Matrices commutables

Nous savons qu'en général le produit de deux matrices n'est pas commutatif. Nous pouvons toutefois artificiellement trouver des matrices qui commutent.

Nous pouvons déjà facilement vérifier que le produit de deux matrices diagonales est commutatif.


Soit une matrice inversible et deux matrices diagonales et , alors les deux matrices diagonalisables et définies par :

commutent.

En effet, nous avons :

Prenons un exemple en utilisant la matrice vu en début de chapitre et deux matrices et  :

Nous pouvons vérifier que les matrices et commutent.

En effet, par le calcul, nous voyons que :