Initiation aux matrices/Exercices/Puissance d'une matrice

Exercice 3-1

Soit $A$ une matrice carrée d'ordre $m$ telle que

$A^{2}=A$.

On pose

$B=\mathrm {I} _{m}-A\quad {\text{et}}\quad C=2\mathrm {I} _{m}-A$.

Montrer par récurrence que

$C^{n}=A+2^{n}B$.

Solution

Initialisation

Montrons que la propriété est vraie pour $n=0$.

$A+2^{0}B=A+\mathrm {I} _{m}-A=\mathrm {I} _{m}=C^{0}$.

Hérédité

Supposons que la propriété est vraie pour $n$ et montrons qu'alors, elle est vraie pour $n+1$.

On a :

${\begin{aligned}C^{n+1}&=C^{n}\times C\\&=\left(A+2^{n}B\right)\times C\\&=A\times C+2^{n}B\times C.\end{aligned}}$

Or

${\begin{cases}A\times C=A\times (2\mathrm {I} _{m}-A)=2A-A^{2}=2A-A=A\\B\times C=(\mathrm {I} _{m}-A)\times (2\mathrm {I} _{m}-A)=2\mathrm {I} _{m}-3A+A^{2}=2\mathrm {I} _{m}-2A=2B\end{cases}}$

ce qui permet de conclure :

${\begin{aligned}C^{n+1}&=A\times C+2^{n}B\times C\\&=A+2^{n}\times 2B\\&=A+2^{n+1}B.\end{aligned}}$

 

Exercice 3-2

Soit deux matrices $M$ et $P$ définies par :

$\qquad \qquad \qquad M={\begin{pmatrix}9&-4\\12&-5\end{pmatrix}}\qquad \qquad \qquad P={\begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix}}$

Calculer successivement :

1°  $P^{-1}$

2°  $P^{-1}\times M\times P$

3°  $M^{n}$

Solution

1°  Supposons qu'il existe deux valeurs $y_{1}$ et $y_{2}$ qui s'expriment en fonction de deux autres valeurs $x_{1}$ et $x_{2}$ selon la relation matricielle :

${\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}$

Essayons alors d'exprimer $x_{1}$ et $x_{2}$ en fonction de $y_{1}$ et $y_{2}$. Pour cela, nous considérerons le système associé :

$\left\{{\begin{array}{l}x_{1}+2x_{2}=y_{1}\\2x_{1}+3x_{2}=y_{2}\end{array}}\right.$

On montre aisément que ce système est équivalent au système

$\left\{{\begin{array}{l}x_{1}=-3y_{1}+2y_{2}\\x_{2}=2y_{1}-y_{2}\end{array}}\right.$

qui s'écrit matriciellement :

${\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-3&2\\2&-1\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}}$

On a donc :

$P^{-1}={\begin{pmatrix}-3&2\\2&-1\end{pmatrix}}$

2°  $P^{-1}\times M\times P={\begin{pmatrix}-3&2\\2&-1\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}9&-4\\12&-5\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&3\end{pmatrix}}$

3°  De la relation $P^{-1}\times M\times P={\begin{pmatrix}1&0\\0&3\end{pmatrix}}$ on déduit en multipliant les deux membres par $P$ à gauche et par $P^{-1}$ à droite :

$M=P\times {\begin{pmatrix}1&0\\0&3\end{pmatrix}}\times P^{-1}$

qui donne :

${\begin{aligned}M^{n}&=P\times {\begin{pmatrix}1&0\\0&3\end{pmatrix}}^{n}\times P^{-1}\\&=P\times {\begin{pmatrix}1&0\\0&3^{n}\end{pmatrix}}\times P^{-1}\\&={\begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}1&0\\0&3^{n}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}-3&2\\2&-1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}1&2\times 3^{n}\\2&3^{n+1}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}-3&2\\2&-1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}4\times 3^{n}-3&2(1-3^{n})\\2(3^{n+1}-3)&4-3^{n+1}\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

 

Exercice 3-3

Soit $M$ une matrice à coefficients complexes définie par :

$M={\begin{pmatrix}0&0&i\\i&0&0\\0&-1&0\end{pmatrix}}$

1°  Montrer que :

$M^{1001}={\begin{pmatrix}0&-i&0\\0&0&-1\\-i&0&0\end{pmatrix}}$

2°  Sans utiliser de système d'équations, calculer l'inverse $M^{-1}$ de $M$.

Solution

1°  Pour essayer de se donner une idée, commençons par calculer les premières puissances de $M$ :

$M^{2}={\begin{pmatrix}0&-i&0\\0&0&-1\\-i&0&0\end{pmatrix}}$

$M^{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

Nous voyons que $M^{3}=I_{3}$. On peut donc écrire :

$M^{1001}=M^{3\times 333+2}=\left(M^{3}\right)^{333}\times M^{2}=I_{3}^{333}\times M^{2}=I_{3}\times M^{2}=M^{2}={\begin{pmatrix}0&-i&0\\0&0&-1\\-i&0&0\end{pmatrix}}$

2°  Toujours de $M^{3}=I_{3}$, on peut écrire :

$M\times M^{2}=I_{3}$

Ce qui montre que :

$M^{-1}=M^{2}={\begin{pmatrix}0&-i&0\\0&0&-1\\-i&0&0\end{pmatrix}}$

 

Exercice 3-4

Soit $N$ une matrice nilpotente.

1°  Montrer que si $N$ est non nulle alors elle n'est pas diagonalisable.

2°  Montrer que $N$ n'est pas inversible.

Solution

Puisque $N$ est nilpotente, c'est une matrice carrée et il existe un entier $k$ tel que $N^{k}=0_{n}$ (où $n$ désigne l'ordre de $N$).

1°  Si $N$ était diagonalisable, il existerait une matrice diagonale $D$ et une matrice inversible $P$ telles que :

$N=P\times D\times P^{-1}$

En élevant les deux membres de cette relation à la puissance $k$, on obtient :

$N^{k}=P\times D^{k}\times P^{-1}$

Soit :

$0_{n}=P\times D^{k}\times P^{-1}$

En multipliant les deux membres, à gauche par $P^{-1}$ et à droite par $P$, on obtient :

$D^{k}=0_{n}$

Ce qui n'est possible que si $D=0_{n}$.

Mais si $D=0_{n}$, on aurait :

$N=P\times D\times P^{-1}=P\times 0_{n}\times P^{-1}=0_{n}$

Contrairement à l'hypothèse.

2°  Si $N$ était inversible alors $N^{k}$ le serait aussi, ce qui est absurde car $0_{n}$ n'est pas inversible.