Exercices de niveau 13.
Soit f {\displaystyle f} une fonction deux fois dérivable et telle que f ″ {\displaystyle f''} soit continue. Démontrer que :
∫ a b t f ″ ( t ) d t = ( b f ′ ( b ) − f ( b ) ) − ( a f ′ ( a ) − f ( a ) ) {\displaystyle \int _{a}^{b}tf''(t)\,\mathrm {d} t=\left(bf'(b)-f(b)\right)-\left(af'(a)-f(a)\right)} .
Nous allons utiliser la formule ː
∫ a b u ′ v = [ u v ] a b − ∫ a b u v ′ {\displaystyle \int _{a}^{b}{u'v}=[uv]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}{uv'}}
en posant ː
u ′ ( t ) = f ″ ( t ) {\displaystyle u'(t)=f''(t)}
v ( t ) = t {\displaystyle v(t)=t}
Ce qui entraîne ː
u ( t ) = f ′ ( t ) {\displaystyle u(t)=f'(t)}
v ′ ( t ) = 1 {\displaystyle v'(t)=1}
On obtient ː
∫ a b f ″ ( t ) × t d t = [ f ′ ( t ) × t ] a b − ∫ a b f ′ ( t ) × 1 d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f''(t)\times t\,\mathrm {d} t=[f'(t)\times t]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(t)\times 1\,\mathrm {d} x}
qui s'écrit ː
∫ a b t f ″ ( t ) d t = b f ′ ( b ) − a f ′ ( a ) − [ f ( t ) ] a b = b f ′ ( b ) − a f ′ ( a ) − ( f ( b ) − f ( a ) ) = ( b f ′ ( b ) − f ( b ) ) − ( a f ′ ( a ) − f ( a ) ) {\displaystyle \int _{a}^{b}tf''(t)\,\mathrm {d} t=bf'(b)-af'(a)-[f(t)]_{a}^{b}=bf'(b)-af'(a)-(f(b)-f(a))=\left(bf'(b)-f(b)\right)-\left(af'(a)-f(a)\right)}
![{\displaystyle \int _{a}^{b}{u'v}=[uv]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}{uv'}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06be6d704682aaca6c244642fc6b653d938e5ead)
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f''(t)\times t\,\mathrm {d} t=[f'(t)\times t]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(t)\times 1\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa46b33f77fe6f608488de1c199166d92f04214d)
![{\displaystyle \int _{a}^{b}tf''(t)\,\mathrm {d} t=bf'(b)-af'(a)-[f(t)]_{a}^{b}=bf'(b)-af'(a)-(f(b)-f(a))=\left(bf'(b)-f(b)\right)-\left(af'(a)-f(a)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ab2e9351ec741a6909081f75abdfc5acb278c2d)
