Initiation au calcul intégral/Intégrale sans bornes et primitives

**Intégrale sans bornes et primitives**
Leçon : Initiation au calcul intégral

Chapitre n^o 5
Chap. préc. :	Intégration par parties
Chap. suiv. :	Sommaire

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Initiation au calcul intégral : Intégrale sans bornes et primitives
Initiation au calcul intégral/Intégrale sans bornes et primitives », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Intégrale sans bornes

On a vu au début de ce cours qu'une fonction continue admet une infinité de primitives, qui diffèrent toutes d'une constante.

Exemple

Les fonctions $x \mapsto x^{2} + 3$ , $x \mapsto x^{2} - 1$ , $x \mapsto x^{2} + 1,5$ sont toutes des primitives de la fonction $x \mapsto 2 x$ .

Intégrale sans bornes

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et admettant des primitives.

On note $\int f (x) d x$ ou $\int f$ , et on lit « intégrale sans bornes de $f$ » l'ensemble de toutes les primitives de $f$ sur l'intervalle $I$ .

Exemple

$\int 2 x d x = x^{2} + C, C \in ℝ$ .

Cette écriture signifie que les primitives de la fonction $x \mapsto 2 x$ sont les fonctions de la forme $x \mapsto x^{2} + C$ , où $C$ est une constante réelle.

Calcul de primitives

On peut alors se servir des techniques de calcul d'intégrales pour trouver des primitives, en particulier l'intégration par parties.

Exemple simple

On sait que $\int x d x = \frac{x^{2}}{2} + C, C \in ℝ$ .

Essayons de le montrer avec une IPP :

$\int x d x = \int 1 \cdot x d x = [x * x] - \int x \cdot 1 d x$

ce qui se simplifie en basculant un terme à gauche:

$2 \int x d x = x^{2} + C, C \in ℝ$ , c'est-à-dire $\int x d x = \frac{x^{2}}{2} + C, C \in ℝ$

Ensuite, il y a des exemples plus compliqués, comme cette intégration classique (à savoir refaire sans problème).

Exemple classique

Trouver $\int x e^{x} d x$

On choisit pour tout $x, u^{'} (x) = e^{x}$ et $v (x) = x$

On obtient pour tout $x, u (x) = e^{x}$ et $v^{'} (x) = 1$ .

On obtient alors : $\int x e^{x} d x = [x e^{x}] - \int e^{x} d x = (x - 1) e^{x} + C, C \in ℝ$

Exemples utilisant plusieurs IPP successives

$\int x^{2} e^{x} d x = (x^{2} - 2 x + 2) e^{x} + C, C \in ℝ$ .
$\int x \ln (x) d x = \frac{x^{2}}{4} (2 \ln (x) - 1) + C, C \in ℝ$

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Intégration par parties

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