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Exercice : Primitives et exponentiellesInitiation au calcul intégral/Exercices/Primitives et exponentielles », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Pour trouver une primitive d'une fonction contenant une exponentielle, on commence par la méthode suivante, qui consiste à reconnaître une forme dérivée à une constante multiplicative près.
Début d’un théorème
Théorème
Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors eu
(
e
u
)
′
=
u
′
×
e
u
{\displaystyle (e^{u})'=u'\times e^{u}}
Fin du théorème
On demande de trouver une primitive de la fonction définie sur
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
f
:
x
↦
e
2
x
+
1
{\displaystyle f:x\mapsto e^{2x+1}}
Ici, pour tout
x
∈
R
,
u
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~u(x)=\cdots }
u
′
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle u'(x)=\cdots }
Donc une primitive de f sur
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
F
:
x
↦
⋯
{\displaystyle F:x\mapsto \cdots }
Solution
2x+1 et x
Ici, pour tout
x
∈
R
,
u
(
x
)
=
2
x
+
1
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~u(x)=2x+1}
u
′
(
x
)
=
2
{\displaystyle u'(x)=2}
Donc une primitive de f sur
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
F
:
x
↦
1
2
e
2
x
+
1
{\displaystyle F:x\mapsto {\frac {1}{2}}e^{2x+1}}
On demande de trouver une primitive de la fonction définie sur
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
f
:
x
↦
x
×
e
x
2
+
1
{\displaystyle f:x\mapsto x\times e^{x^{2}+1}}
Ici, pour tout
x
∈
R
,
u
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~u(x)=\cdots }
u
′
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle u'(x)=\cdots }
Donc une primitive de f sur
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
F
:
x
↦
⋯
{\displaystyle F:x\mapsto \cdots }
Solution
F
:
x
↦
1
2
e
x
2
+
1
{\displaystyle F:x\mapsto {\frac {1}{2}}e^{x^{2}+1}}
On demande de trouver une primitive de la fonction définie sur
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
f
:
x
↦
3
e
−
4
x
+
1
{\displaystyle f:x\mapsto 3e^{-4x+1}}
Ici, pour tout
x
∈
R
,
u
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~u(x)=\cdots }
u
′
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle u'(x)=\cdots }
Donc une primitive de f sur
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
F
:
x
↦
⋯
{\displaystyle F:x\mapsto \cdots }
Solution
F
:
x
↦
−
3
4
e
−
4
x
+
1
{\displaystyle F:x\mapsto -{\frac {3}{4}}e^{-4x+1}}
On demande de trouver une primitive de la fonction définie sur
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
f
:
x
↦
5
x
2
e
2
x
3
+
1
{\displaystyle f:x\mapsto 5x^{2}e^{2x^{3}+1}}
Ici, pour tout
x
∈
R
,
u
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~u(x)=\cdots }
u
′
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle u'(x)=\cdots }
Donc une primitive de f sur
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
F
:
x
↦
⋯
{\displaystyle F:x\mapsto \cdots }
Solution
F
:
x
↦
5
6
e
2
x
3
+
1
{\displaystyle F:x\mapsto {\frac {5}{6}}e^{2x^{3}+1}}
On demande de trouver une primitive de la fonction définie sur
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
f
:
x
↦
5
sin
(
x
)
×
e
cos
(
x
)
+
3
{\displaystyle f:x\mapsto 5\sin(x)\times e^{\cos(x)+3}}
Ici, pour tout
x
∈
R
,
u
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~u(x)=\cdots }
u
′
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle u'(x)=\cdots }
Donc une primitive de f sur
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
F
:
x
↦
⋯
{\displaystyle F:x\mapsto \cdots }
Solution
F
:
x
↦
−
5
e
cos
(
x
)
+
3
{\displaystyle F:x\mapsto -5e^{\cos(x)+3}}
On demande de trouver une primitive de la fonction définie sur
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
f
:
x
↦
5
e
x
+
3
+
x
−
1
{\displaystyle f:x\mapsto 5e^{x+3}+x-1}
Ici, pour tout
x
∈
R
,
u
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~u(x)=\cdots }
u
′
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle u'(x)=\cdots }
Donc une primitive de f sur
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
F
:
x
↦
⋯
{\displaystyle F:x\mapsto \cdots }
Solution
F
:
x
↦
5
e
x
+
3
+
x
2
2
−
x
{\displaystyle F:x\mapsto 5e^{x+3}+{\frac {x^{2}}{2}}-x}
