Leçons de niveau 15

Géométrie affine/Exercices/Barycentres

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Barycentres
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Exercices no3
Leçon : Géométrie affine
Chapitre du cours : Barycentres

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Applications affines
Exo suiv. :Thalès, Ménélaüs, Ceva et Desargues
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Géométrie affine/Exercices/Barycentres
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Exercice 3-1[modifier | modifier le wikicode]

Soit le barycentre de . Montrer que si et seulement si est barycentre de .

Exercice 3-2[modifier | modifier le wikicode]

Soient un triangle non aplati et le triangle obtenu en menant par chacun des sommets la parallèle à ( opposé à , etc.)

Montrer que ces deux triangles ont même isobarycentre.

Exercice 3-3[modifier | modifier le wikicode]

Soit un triangle ; on suppose que divise le segment dans le rapport à (c.-à-d. ), que divise le segment dans le rapport , et que et se coupent en . Déterminer et tels que soit le barycentre de .

Exercice 3-4[modifier | modifier le wikicode]

Soient non alignés, et trois réels non nuls de somme nulle. On désigne par le barycentre de , celui de et celui de . Montrer que les trois droites sont parallèles.

Exercice 3-5[modifier | modifier le wikicode]

Soient trois points non alignés d'un plan affine. On se propose de déterminer, par trois méthodes différentes, l'ensemble des points ayant mêmes coordonnées dans le repère et dans le repère . Les trois questions sont donc indépendantes.

  1. Exprimer les coordonnées dans d'un point quelconque du plan en fonction de ses coordonnées dans , puis résoudre et conclure.
  2. Montrer qu'un point de coordonnées barycentriques dans est solution du problème si et seulement si . Montrer que ceci équivaut à «  est un barycentre de et de  », où désigne le milieu de , puis conclure.
  3. Soit l'unique application affine qui fixe et intervertit et . Montrer que est solution du problème si et seulement si . Interpréter géométriquement, puis conclure.

Exercice 3-6[modifier | modifier le wikicode]

Dans un plan affine, soient un repère affine et un point de coordonnées barycentriques dans ce repère (donc ). On désigne par les symétriques de par rapport aux milieux de respectivement.

  1. Donner les coordonnées barycentriques de .
  2. Montrer que sont concourantes en un point aligné avec et l'isobarycentre de .

Exercice 3-7[modifier | modifier le wikicode]

On se place dans un plan affine. Soient un triangle non aplati et un réel différent de . Démontrer qu'il existe un unique triangle tel que

,

en précisant les coordonnées barycentriques de dans le repère .

Exercice 3-8[modifier | modifier le wikicode]

Dans un plan affine, soient un triangle (non aplati), le milieu de , une parallèle à , , et l'intersection de avec la parallèle à passant par . On se propose de démontrer, par trois méthodes différentes, que est le milieu de .

1. (1re méthode) Soit le milieu de .

a) Démontrer qu'il existe (uniques) tels que

.

b) Prouver que .

c) Déduire de a) et b) que est parallèle à .

d) En déduire que .

2. (2e méthode) Soit le point (unique) tel que soit le milieu de .

a) Soit la symétrie par rapport à , parallèlement à . Démontrer que envoie sur .

b) Soit la symétrie par rapport à , parallèlement à . Démontrer que envoie sur .

c) Déduire de a) et b) que la symétrie par rapport à envoie sur .

d) En déduire que sont alignés, puis, que .

3. (3e méthode) Soit .

a) Démontrer (en utilisant deux fois Thalès) que

.

b) Démontrer de même que

.

c) En déduire que et conclure.