En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Barycentres
Géométrie affine/Exercices/Barycentres », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Soit
le barycentre de
. Montrer que
si et seulement si
est barycentre de
.
Soient
un triangle non aplati et
le triangle obtenu en menant par chacun des sommets
la parallèle à
(
opposé à
, etc.)
Montrer que ces deux triangles ont même isobarycentre.
Solution
Cette figure est pleine de parallélogrammes (dans un quadrilatère
, si
— ou, ce qui est équivalent, si
— alors les côtés opposés sont évidemment parallèles deux à deux, mais c'est la réciproque — pour un quadrilatère non aplati — qu'on utilise ici ; exercice subsidiaire : la (re-)démontrer).
Deux d'entre eux donnent
, donc
. De même,
et
.
Donc (par « associativité des barycentres »)
.
Soit
un triangle ; on suppose que
divise le segment
dans le rapport
à
(c'est-à-dire
), que
divise le segment
dans le rapport
, et que
et
se coupent en
. Déterminer
et
tels que
soit le barycentre de
.
Solution
(Vues les hypothèses, le triangle est non aplati). Il existe un unique
tel que
et un unique
tel que
. Par unicité des coordonnées barycentriques de
dans
,
, d'où
(et
), donc
est barycentre de
pour
et
.
Soient
non alignés, et
trois réels non nuls de somme nulle. On désigne par
le barycentre de
,
celui de
et
celui de
. Montrer que les trois droites
sont parallèles.
Soient
trois points non alignés d'un plan affine. On se propose de déterminer, par trois méthodes différentes, l'ensemble des points ayant mêmes coordonnées dans le repère
et dans le repère
. Les trois questions sont donc indépendantes.
- Exprimer les coordonnées
dans
d'un point quelconque du plan en fonction de ses coordonnées
dans
, puis résoudre
et conclure.
- Montrer qu'un point
de coordonnées barycentriques
dans
est solution du problème si et seulement si
. Montrer que ceci équivaut à «
est un barycentre de
et de
», où
désigne le milieu de
, puis conclure.
- Soit
l'unique application affine qui fixe
et intervertit
et
. Montrer que
est solution du problème si et seulement si
. Interpréter
géométriquement, puis conclure.
Solution
, donc l'ensemble des solutions est la droite d'équation
dans le premier repère.
- Les points ayant mêmes coordonnées barycentriques dans
et dans
sont ceux de la forme
avec
et
, c'est-à-dire les
où
, c'est-à-dire la droite
.
est une symétrie par rapport à
(parallèlement à
). Les points cherchés sont ceux fixes par
, c'est-à-dire
.
Dans un plan affine, soient
un repère affine et
un point de coordonnées barycentriques
dans ce repère (donc
). On désigne par
les symétriques de
par rapport aux milieux de
respectivement.
- Donner les coordonnées barycentriques de
.
- Montrer que
sont concourantes en un point
aligné avec
et l'isobarycentre de
.
Solution
(Énoncé dans Université de Toulon, Deug 2 M42, 2003-4)
- Soient
les coordonnées barycentriques de
. En identifiant
avec
, on trouve
, d'où
, donc les coordonnées barycentriques de
sont
. De même (par permutation circulaire) celles de
sont
et celles de
sont
.
- Soit
. Calculons
.
![{\displaystyle {\begin{aligned}(1-s)A+sP=(1-t)G+tM&\Leftrightarrow (1-s)(1,0,0)+s(-x,1-y,1-z)=(1-t)(1/3,1/3,1/3)+t(x,y,z)\\&\Leftrightarrow 1-s(1+x)=(1-t)/3+tx,s(1-y)=(1-t)/3+ty,s(1-z)=(1-t)/3+tz\\&\Leftarrow s=1/2,t=-1/2\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dd569c7fad4700c339a8a8a72aa1fd9405fb23e)
(la dernière implication est même une équivalence, sauf si
). Le point
appartient donc à
. Par permutation circulaire, il appartient aussi à
et
.
On se place dans un plan affine. Soient
un triangle non aplati et
un réel différent de
. Démontrer qu'il existe un unique triangle
tel que
,
en précisant les coordonnées barycentriques de
dans le repère
.
Solution
Remarquons d'abord que ces équations équivalent à
.
Unicité : de ces trois équations on tire
,
d'où
,
et par suite
![{\displaystyle C'={k^{3}(1-k) \over 1-k^{3}}A+{k^{2}(1-k) \over 1-k^{3}}B+{k(1-k) \over 1-k^{3}}C+(1-k)A={1-k \over 1-k^{3}}A+{k^{2}(1-k) \over 1-k^{3}}B+{k(1-k) \over 1-k^{3}}C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e388054097cf9d994a699583559e83bfdc6bc238)
et
.
Existence : réciproquement, ces trois points
vérifient bien
et
(par construction), et
.
Remarques :
- on peut remplacer partout
par
;
- les formules dans le cas
donnent bien la solution (immédiate)
.
Dans un plan affine, soient
un triangle (non aplati),
le milieu de
,
une parallèle à
,
,
et
l'intersection de
avec la parallèle à
passant par
. On se propose de démontrer, par trois méthodes différentes, que
est le milieu de
.
1. (1re méthode) Soit
le milieu de
.
a) Démontrer qu'il existe
(uniques) tels que
.
b) Prouver que
.
c) Déduire de a) et b) que
est parallèle à
.
d) En déduire que
.
2. (2e méthode) Soit
le point (unique) tel que
soit le milieu de
.
a) Soit
la symétrie par rapport à
, parallèlement à
. Démontrer que
envoie
sur
.
b) Soit
la symétrie par rapport à
, parallèlement à
. Démontrer que
envoie
sur
.
c) Déduire de a) et b) que la symétrie par rapport à
envoie
sur
.
d) En déduire que
sont alignés, puis, que
.
3. (3e méthode) Soit
.
a) Démontrer (en utilisant deux fois Thalès) que
.
b) Démontrer de même que
.
c) En déduire que
et conclure.
Solution
1.
a) Comme
,
, or
, d'où
. Comme
,
, d'où
. Idem pour
en remplaçant
par
et
par
.
b)
et
est libre, donc
.
c)
donc
est parallèle à
.
d) D'après c),
appartient à la parallèle à
passant par
. D'autre part,
. Donc
.
2.
a)
car
.
car
est parallèle à
et le milieu
de
appartient à
. Donc
.
b)
car
.
car
parallèle à
et le milieu
de
appartient à
. Donc
.
c) D'après a) et b), comme
,
. Or
est la symétrie par rapport à
.
d) D'après c),
donc
. Par ailleurs,
. Donc
(donc
est le milieu de
).
3.
a) D'une part,
est parallèle à
et
donc
.
D'autre part,
est parallèle à
et
donc
.
b) Par le même raisonnement (en remplaçant
par
et
par
),
.
c) D'après a) et b),
donc
est le milieu de
.
Remarques
- Variantes de formulations de l'énoncé, plus « autoduales » :
et
deux triangles,
le milieu de
,
le milieu de
. On suppose
alignés et
alignés. Montrer que
est parallèle à
si et seulement si
est parallèle à
. (Cf. 1re solution.)
et
deux triangles,
le milieu de
,
le milieu de
. On suppose que
est parallèle à
et
est parallèle à
. Montrer que
sont alignés si et seulement si
sont alignés. (Cf. 2e solution.)
- Généralisation. On peut (dans tous les énoncés et toutes les solutions) remplacer milieu (pour
et
) par n'importe quel barycentre (de
et
). Plus précisément si
,
. Dans la 1re solution, on trouve
. Dans la 2e, on remplace les deux symétries par des affinités, de même rapport
, et la symétrie par rapport à
par l'homothétie de centre
et de rapport
.