Leçons de niveau 15

Fonctions d'une variable complexe/Formule intégrale de Cauchy

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Formule intégrale de Cauchy
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Chapitre no 4
Leçon : Fonctions d'une variable complexe
Chap. préc. :Intégrales curvilignes
Chap. suiv. :Théorèmes de Liouville et de Weierstrass
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La formule intégrale de Cauchy[modifier | modifier le wikicode]

Cette formule est très importante en analyse complexe. Elle reflète de façon assez fidèle la rigidité du comportement d'une fonction holomorphe. Celui-ci est entièrement déterminé par les valeurs que prend la fonction sur un seul chemin (à l'image du principe des zéros isolés).


Début d’un théorème


Fin du théorème


Par conséquent, du fait de l'invariance par homotopie de l'intégrale curviligne, si est un chemin qui « entoure » (il est possible de donner un sens précis à ce terme) le point dans , donne la valeur de la fonction en .

Représentation intégrale d'une fonction et des ses dérivées[modifier | modifier le wikicode]

Le théorème suivant donne des informations sur et sur ses dérivées, la formule établie peut être intuitivement perçue comme une dérivation sous le signe intégrale de l’expression de f(z) obtenue avec la formule de Cauchy : . On peut montrer rigoureusement que dans notre cas la dérivation sous le signe intégrale est possible.

Début d’un théorème


Fin du théorème




Inégalité de Cauchy[modifier | modifier le wikicode]

Cette inégalité découle de la représentation intégrale des dérivées d'une fonction holomorphe sur un ouvert et donne une majoration de celles-ci.

Début d’un théorème


Fin du théorème