Fonctions d'une variable complexe/Formule intégrale de Cauchy

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La formule intégrale de Cauchy

Cette formule est très importante en analyse complexe. Elle reflète de façon assez fidèle la rigidité du comportement d'une fonction holomorphe. Celui-ci est entièrement déterminé par les valeurs que prend la fonction sur un seul chemin (à l'image du principe des zéros isolés).

Début d’un théorème

Formule intégrale de Cauchy

Soit $f$ une fonction holomorphe sur un ouvert $\Omega \subset \mathbb {C}$ et soit un disque fermé ${\bar {D}}(z_{0},r)\subset \Omega$, de bord le cercle $\gamma _{r}=r\operatorname {e} ^{\mathrm {i} t}+z_{0},\;t\in [0,2\pi ]$. Alors, pour tout $z\in \Omega \setminus \gamma _{r}$ :

${\frac {1}{2\mathrm {i} \pi }}\int _{\gamma _{r}}{\frac {f(u)}{u-z}}\mathrm {d} u={\begin{cases}f(z)&{\mbox{si }}|z-z_{0}|<r\\0&{\mbox{si }}|z-z_{0}|>r\end{cases}}$

Fin du théorème

Par conséquent, du fait de l'invariance par homotopie de l'intégrale curviligne, si $\gamma$ est un chemin qui « entoure » (il est possible de donner un sens précis à ce terme) le point $z_{0}$ dans $\Omega$, ${\frac {1}{2\mathrm {i} \pi }}\int _{\gamma }{\frac {f(u)}{u-z_{0}}}\mathrm {d} u$ donne la valeur de la fonction $f$ en $z_{0}$.

Représentation intégrale d'une fonction et de ses dérivées

Le théorème suivant donne des informations sur $f$ et sur ses dérivées, la formule établie peut être intuitivement perçue comme une dérivation sous le signe intégrale de l’expression de f(z) obtenue avec la formule de Cauchy : $D(f(z))={\frac {1}{2\mathrm {i} \pi }}D{\int _{\gamma }{\frac {f(u)}{u-z}}\mathrm {d} u}={\frac {1}{2\mathrm {i} \pi }}\int _{\gamma }D{\frac {f(u)}{u-z}}\mathrm {d} u$. On peut montrer rigoureusement que dans notre cas la dérivation sous le signe intégrale est possible.

Début d’un théorème

Représentation intégrale de $f$ et de ses dérivées

Soit $f$ une fonction holomorphe sur $\Omega$. Alors :

• $f'$ est holomorphe sur $\Omega$ (ainsi, donc, que toutes ses dérivées) ;
• pour tout disque fermé ${\bar {D}}(z,r)\subset \Omega$, de bord le cercle $\gamma _{r}$, on a :

  $f^{(m)}(z)={\frac {m!}{2\mathrm {i} \pi }}\int _{\gamma _{r}}{\frac {f(u)}{(u-z)^{m+1}}}\,\mathrm {d} u$.

Fin du théorème

Corollaire : suite convergente de fonctions holomorphes

Si une suite $(f_{n})_{n}$ de fonctions holomorphes converge vers une fonction $f$, uniformément sur tout compact d'un ouvert $\Omega \subset \mathbb {C}$, alors $f$ est holomorphe sur $\Omega$ et pour tout $m\in \mathbb {N}$, la suite $(f_{n}^{(m)})_{n}$ des dérivées converge vers $f^{(m)}$, uniformément sur tout compact de $\Omega$.

Inégalité de Cauchy

Cette inégalité découle de la représentation intégrale des dérivées d'une fonction holomorphe sur un ouvert et donne une majoration de celles-ci.

Début d’un théorème

Inégalité de Cauchy

Soit $f$ une fonction holomorphe dans un disque $D(z_{0},R)$ alors $\forall n\in \mathbb {N}$ et $\forall r=|z-z_{0}|,\;r\leq R$ on a :

$\left|{\frac {f^{(n)}(z_{0})}{n!}}\right|\leq {\frac {M(r)}{r^{n}}}$ avec $M(r)=\sup _{D(z_{0},R)}|f(z)|$.

Fin du théorème