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Fonctions d'une variable complexe/Formule intégrale de Cauchy

Leçons de niveau 15
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Formule intégrale de Cauchy
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Chapitre no 4
Leçon : Fonctions d'une variable complexe
Chap. préc. :Intégrales curvilignes
Chap. suiv. :Théorèmes de Liouville et de Weierstrass
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La formule intégrale de Cauchy

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Cette formule est très importante en analyse complexe. Elle reflète de façon assez fidèle la rigidité du comportement d'une fonction holomorphe. Celui-ci est entièrement déterminé par les valeurs que prend la fonction sur un seul chemin (à l'image du principe des zéros isolés).


Début d’un théorème
Fin du théorème


Par conséquent, du fait de l'invariance par homotopie de l'intégrale curviligne, si est un chemin qui « entoure » (il est possible de donner un sens précis à ce terme) le point dans , donne la valeur de la fonction en .

Représentation intégrale d'une fonction et de ses dérivées

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Le théorème suivant donne des informations sur et sur ses dérivées, la formule établie peut être intuitivement perçue comme une dérivation sous le signe intégrale de l’expression de f(z) obtenue avec la formule de Cauchy : . On peut montrer rigoureusement que dans notre cas la dérivation sous le signe intégrale est possible.

Début d’un théorème
Fin du théorème



Inégalité de Cauchy

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Cette inégalité découle de la représentation intégrale des dérivées d'une fonction holomorphe sur un ouvert et donne une majoration de celles-ci.

Début d’un théorème
Fin du théorème