Leçons de niveau 15

Fonctions d'une variable complexe/Exercices/Fonctions holomorphes

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Fonctions holomorphes
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Exercices no3
Leçon : Fonctions d'une variable complexe

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Trigonométrie complexe
Exo suiv. :Sommaire
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Fonctions d'une variable complexe/Exercices/Fonctions holomorphes
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Exercice 3-1[modifier | modifier le wikicode]

On désigne par , et les trois racines cubiques de et l'on note pour . On pose .

  1. Montrer que est un domaine de tel que si alors et que l'application holomorphe est surjective.
  2. On désignera par la détermination principale du logarithme complexe sur le domaine .
    Calculer la dérivée de la fonction holomorphe .
  3. Écrire le développement en série entière de au voisinage de en précisant son rayon de convergence.

Exercice 3-2[modifier | modifier le wikicode]

Soit une fonction holomorphe sur le disque avec .

  1. Démontrer les propriétés suivantes :
    1. si  ;
    2. si .
    1. Vérifier que si et , on a la relation suivante :
      .
    2. Démontrer la formule suivante :
      si .
  2. Montrer que cette formule reste valable si est holomorphe sur et continue sur (considérer, pour , la fonction ).
  3. Soit une fonction holomorphe sur et continue sur telle que si . Que peut-on dire de  ?

Exercice 3-3[modifier | modifier le wikicode]

Soient deux polynômes d'une variable complexe à coefficients complexes, sans zéro commun. On définit la fraction rationnelle en posant

si

sont les pôles de , c.-à-d. les zéros de .

On désignera par le plan complexe compactifié et l'on adoptera la convention d'écriture suivante : et .

    1. Montrer que se prolonge en une application continue de dans , que l'on notera encore . Quelles sont les images des pôles par le prolongement  ?
    2. Rappeler pourquoi deux fractions rationnelles et qui coïncident en tout point d'un ensemble infini de , coïncident partout sur .
      Dans toute la suite, on suppose que est une fraction rationnelle de la variable complexe vérifiant la propriété suivante :
      si .
  1. Pour chaque point , on pose
    .
    On suppose dans cette question que est une homographie qui vérifie . Montrer qu'il existe et tels que pour tout .
  2. On revient au cas général d'une fraction rationnelle vérifiant et l'on définit la fonction suivante :
    désigne le conjugué de . Montrer que est une fraction rationnelle de la variable complexe vérifiant pour . Comparer et sur .
    1. Montrer qu'un élément est un zéro de si et seulement si est un pôle de . Interpréter géométriquement ce résultat.
    2. Montrer que si et , alors il existe tel que s'écrive sous la forme
      sont les zéros de comptés avec leur multiplicité.
  3. Déterminer toutes les fractions rationnelles qui vérifient .