Une page de Wikiversité, la communauté pédagogique libre.
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Fonctions holomorphesFonctions d'une variable complexe/Exercices/Fonctions holomorphes », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
On désigne par
ω
1
{\displaystyle \omega _{1}}
,
ω
2
{\displaystyle \omega _{2}}
et
ω
3
{\displaystyle \omega _{3}}
les trois racines cubiques de
−
1
{\displaystyle -1}
et l'on note
D
k
:=
{
t
ω
k
∣
t
∈
R
,
t
≥
2
3
}
{\displaystyle {\mathcal {D}}_{k}:=\{t\,\omega _{k}\mid t\in \mathbb {R} ,t\geq {\sqrt[{3}]{2}}\}}
pour
k
=
1
,
2
,
3
{\displaystyle k=1,2,3}
. On pose
G
:=
C
∖
(
D
1
∪
D
2
∪
D
3
)
{\displaystyle G:=\mathbb {C} \setminus ({\mathcal {D}}_{1}\cup {\mathcal {D}}_{2}\cup {\mathcal {D}}_{3})}
.
Montrer que
G
{\displaystyle G}
est un domaine de
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
tel que si
z
∈
G
{\displaystyle z\in G}
alors
z
3
+
2
∈
Ω
0
:=
C
∖
R
−
{\displaystyle z^{3}+2\in \Omega _{0}:=\mathbb {C} \setminus \mathbb {R} _{-}}
et que l'application holomorphe
g
:
G
→
Ω
0
,
z
↦
z
3
+
2
{\displaystyle g:G\to \Omega _{0},\,z\mapsto z^{3}+2}
est surjective.
On désignera par
L
o
g
{\displaystyle \mathrm {Log} }
la détermination principale du logarithme complexe sur le domaine
Ω
0
{\displaystyle \Omega _{0}}
. Calculer la dérivée de la fonction holomorphe
f
:=
L
o
g
∘
g
{\displaystyle f:=\mathrm {Log} \circ g}
.
Écrire le développement en série entière de
f
{\displaystyle f}
au voisinage de
0
{\displaystyle 0}
en précisant son rayon de convergence.
Soit
f
{\displaystyle f}
une fonction holomorphe sur le disque
D
r
:=
{
z
∈
C
∣
|
z
|
<
r
}
{\displaystyle \mathbb {D} _{r}:=\{z\in \mathbb {C} \mid |z|<r\}}
avec
r
>
1
{\displaystyle r>1}
.
Démontrer les propriétés suivantes :
f
(
z
)
=
1
2
π
∫
0
2
π
f
(
e
i
θ
)
1
−
z
e
−
i
θ
d
θ
{\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {f\left(\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta }\right)}{1-z\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \theta }}}\,\mathrm {d} \theta }
si
|
z
|
<
1
{\displaystyle |z|<1}
;
1
2
π
∫
0
2
π
f
(
e
i
θ
)
z
¯
e
i
θ
1
−
z
¯
e
i
θ
d
θ
=
0
{\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {f\left(\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta }\right){\overline {z}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta }}{1-{\overline {z}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta }}}\,\mathrm {d} \theta =0}
si
|
z
|
<
1
{\displaystyle |z|<1}
.
Vérifier que si
|
z
|
<
1
{\displaystyle |z|<1}
et
|
ζ
|
=
1
{\displaystyle |\zeta |=1}
, on a la relation suivante :
1
1
−
z
ζ
¯
+
z
¯
ζ
1
−
z
¯
ζ
=
1
−
|
z
|
2
|
1
−
z
¯
ζ
|
2
{\displaystyle {\frac {1}{1-z{\overline {\zeta }}}}+{\frac {{\overline {z}}\zeta }{1-{\overline {z}}\zeta }}={\frac {1-|z|^{2}}{|1-{\overline {z}}\zeta |^{2}}}}
.
Démontrer la formule suivante :
f
(
z
)
=
1
2
π
∫
0
2
π
f
(
e
i
θ
)
1
−
|
z
|
2
|
1
−
z
e
−
i
θ
|
2
d
θ
{\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f\left(\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta }\right){\frac {1-|z|^{2}}{\left|1-z\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \theta }\right|^{2}}}\,\mathrm {d} \theta }
si
|
z
|
<
1
{\displaystyle |z|<1}
.
Montrer que cette formule reste valable si
f
{\displaystyle f}
est holomorphe sur
D
:=
D
1
{\displaystyle \mathbb {D} :=\mathbb {D} _{1}}
et continue sur
D
¯
{\displaystyle {\overline {\mathbb {D} }}}
(considérer, pour
r
>
1
{\displaystyle r>1}
, la fonction
f
r
(
z
)
:=
f
(
z
/
r
)
{\displaystyle f_{r}(z):=f(z/r)}
).
Soit
f
{\displaystyle f}
une fonction holomorphe sur
D
{\displaystyle \mathbb {D} }
et continue sur
D
¯
{\displaystyle {\overline {\mathbb {D} }}}
telle que
f
(
z
)
¯
=
f
(
z
)
{\displaystyle {\overline {f(z)}}=f(z)}
si
|
z
|
=
1
{\displaystyle |z|=1}
. Que peut-on dire de
f
{\displaystyle f}
?
Solution
Wikipedia-logo-v2.svg
D'après la formule intégrale de Cauchy , si
|
z
|
<
1
{\displaystyle |z|<1}
:
f
(
z
)
=
1
2
i
π
∫
u
=
e
i
θ
,
θ
∈
[
0
,
2
π
]
f
(
u
)
u
−
z
d
u
=
1
2
i
π
∫
0
2
π
f
(
e
i
θ
)
e
i
θ
−
z
i
e
i
θ
d
θ
=
1
2
π
∫
0
2
π
f
(
e
i
θ
)
1
−
z
e
−
i
θ
d
θ
{\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\mathrm {i} \pi }}\int _{u=\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta },\,\theta \in [0,2\pi ]}{\frac {f(u)}{u-z}}\mathrm {d} u={\frac {1}{2\mathrm {i} \pi }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {f(e^{\mathrm {i} \theta })}{e^{\mathrm {i} \theta }-z}}\mathrm {i} e^{\mathrm {i} \theta }\mathrm {d} \theta ={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {f\left(\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta }\right)}{1-z\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \theta }}}\,\mathrm {d} \theta }
;
0
=
−
1
2
i
π
∫
u
=
e
i
θ
,
θ
∈
[
0
,
2
π
]
f
(
u
)
u
−
1
/
z
¯
d
u
=
−
1
2
i
π
∫
0
2
π
f
(
e
i
θ
)
z
¯
z
¯
e
i
θ
−
1
i
e
i
θ
d
θ
=
1
2
π
∫
0
2
π
f
(
e
i
θ
)
z
¯
e
i
θ
1
−
z
¯
e
i
θ
d
θ
{\displaystyle 0=-{\frac {1}{2\mathrm {i} \pi }}\int _{u=\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta },\,\theta \in [0,2\pi ]}{\frac {f(u)}{u-1/{\bar {z}}}}\mathrm {d} u=-{\frac {1}{2\mathrm {i} \pi }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {f(e^{\mathrm {i} \theta }){\bar {z}}}{{\bar {z}}e^{\mathrm {i} \theta }-1}}\mathrm {i} e^{\mathrm {i} \theta }\mathrm {d} \theta ={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {f\left(\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta }\right){\overline {z}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta }}{1-{\overline {z}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta }}}\,\mathrm {d} \theta }
.
Immédiat.
Si
|
z
|
<
1
{\displaystyle |z|<1}
,
f
r
(
z
)
=
1
2
π
∫
0
2
π
f
r
(
e
i
θ
)
1
−
|
z
|
2
|
1
−
z
e
−
i
θ
|
2
d
θ
{\displaystyle f_{r}(z)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f_{r}\left(\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta }\right){\frac {1-|z|^{2}}{\left|1-z\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \theta }\right|^{2}}}\,\mathrm {d} \theta }
, d'où le résultat en faisant
r
→
1
+
{\displaystyle r\to 1^{+}}
.
f
{\displaystyle f}
est réelle donc constante.
Soient
P
,
Q
∈
C
[
z
]
{\displaystyle P,Q\in \mathbb {C} [z]}
deux polynômes d'une variable complexe à coefficients complexes, sans zéro commun. On définit la fraction rationnelle
R
{\displaystyle R}
en posant
R
(
z
)
=
P
(
z
)
Q
(
z
)
{\displaystyle R(z)={\frac {P(z)}{Q(z)}}}
si
z
∈
C
∖
{
b
1
,
…
,
b
q
}
{\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{b_{1},\dots ,b_{q}\}}
où
b
1
,
…
,
b
q
{\displaystyle b_{1},\dots ,b_{q}}
sont les pôles de
R
{\displaystyle R}
, c'est-à-dire les zéros de
Q
{\displaystyle Q}
.
On désignera par
C
¯
:=
C
∪
{
∞
}
{\displaystyle {\overline {\mathbb {C} }}:=\mathbb {C} \cup \{\infty \}}
le plan complexe compactifié et l'on adoptera la convention d'écriture suivante :
1
0
=
∞
{\displaystyle {\frac {1}{0}}=\infty }
et
1
∞
=
0
{\displaystyle {\frac {1}{\infty }}=0}
.
Montrer que
R
{\displaystyle R}
se prolonge en une application continue de
C
¯
{\displaystyle {\overline {\mathbb {C} }}}
dans
C
¯
{\displaystyle {\overline {\mathbb {C} }}}
, que l'on notera encore
R
{\displaystyle R}
. Quelles sont les images des pôles
b
1
,
…
,
b
q
{\displaystyle b_{1},\dots ,b_{q}}
par le prolongement
R
{\displaystyle R}
?
Rappeler pourquoi deux fractions rationnelles
R
1
{\displaystyle R_{1}}
et
R
2
{\displaystyle R_{2}}
qui coïncident en tout point d'un ensemble infini de
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
, coïncident partout sur
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
.
Dans toute la suite , on suppose que
R
{\displaystyle R}
est une fraction rationnelle de la variable complexe
z
{\displaystyle z}
vérifiant la propriété suivante :
(
∗
)
|
R
(
z
)
|
=
1
{\displaystyle (*)\qquad |R(z)|=1}
si
|
z
|
=
1
{\displaystyle |z|=1}
.
Pour chaque point
a
∈
C
{\displaystyle a\in \mathbb {C} }
, on pose
φ
a
(
z
)
:=
z
−
a
1
−
a
¯
z
et
φ
∞
(
z
)
:=
1
z
,
∀
z
∈
C
¯
{\displaystyle \varphi _{a}(z):={\frac {z-a}{1-{\overline {a}}z}}\quad {\text{et}}\quad \varphi _{\infty }(z):={\frac {1}{z}},\quad \forall z\in {\overline {\mathbb {C} }}}
.
On suppose dans cette question que
R
{\displaystyle R}
est une homographie
h
{\displaystyle h}
qui vérifie
(
∗
)
{\displaystyle (*)}
. Montrer qu'il existe
α
∈
R
{\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }
et
a
∈
C
¯
{\displaystyle a\in {\overline {\mathbb {C} }}}
tels que
h
(
z
)
=
e
i
α
φ
a
(
z
)
{\displaystyle h(z)=\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \alpha }\varphi _{a}(z)}
pour tout
z
∈
C
¯
{\displaystyle z\in {\overline {\mathbb {C} }}}
.
On revient au cas général d'une fraction rationnelle
R
{\displaystyle R}
vérifiant
(
∗
)
{\displaystyle (*)}
et l'on définit la fonction suivante :
S
(
z
)
:=
1
R
¯
(
1
/
z
¯
)
,
∀
z
∈
C
¯
{\displaystyle S(z):={\frac {1}{{\overline {R}}(1/{\overline {z}})}},\quad \forall z\in {\overline {\mathbb {C} }}}
où
R
¯
(
w
)
{\displaystyle {\overline {R}}(w)}
désigne le conjugué de
R
(
w
)
{\displaystyle R(w)}
. Montrer que
S
{\displaystyle S}
est une fraction rationnelle de la variable complexe
z
{\displaystyle z}
vérifiant
S
(
z
)
=
R
(
z
)
{\displaystyle S(z)=R(z)}
pour
|
z
|
=
1
{\displaystyle |z|=1}
. Comparer
S
{\displaystyle S}
et
R
{\displaystyle R}
sur
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
.
Montrer qu'un élément
a
∈
C
∖
{
0
}
{\displaystyle a\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}
est un zéro de
R
{\displaystyle R}
si et seulement si
1
/
a
¯
{\displaystyle 1/{\overline {a}}}
est un pôle de
R
{\displaystyle R}
. Interpréter géométriquement ce résultat.
Montrer que si
R
(
0
)
≠
0
{\displaystyle R(0)\neq 0}
et
R
(
0
)
≠
∞
{\displaystyle R(0)\neq \infty }
, alors il existe
α
∈
R
{\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }
tel que
R
{\displaystyle R}
s'écrive sous la forme
R
(
z
)
=
e
i
α
∏
k
=
1
m
z
−
a
k
1
−
a
k
¯
z
,
∀
z
∈
C
¯
{\displaystyle R(z)=\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \alpha }\prod _{k=1}^{m}{\frac {z-a_{k}}{1-{\overline {a_{k}}}z}},\quad \forall z\in {\overline {\mathbb {C} }}}
où
a
1
,
…
,
a
m
{\displaystyle a_{1},\dots ,a_{m}}
sont les zéros de
R
{\displaystyle R}
comptés avec leur multiplicité.
Déterminer toutes les fractions rationnelles qui vérifient
(
∗
)
{\displaystyle (*)}
.
Solution
lim
b
i
R
=
∞
{\displaystyle \lim _{b_{i}}R=\infty }
.
Si deux fractions rationnelles
R
1
=
P
1
Q
1
{\displaystyle R_{1}={\frac {P_{1}}{Q_{1}}}}
et
R
1
=
P
1
Q
1
{\displaystyle R_{1}={\frac {P_{1}}{Q_{1}}}}
coïncident sur un ensemble infini alors le polynôme
P
1
Q
2
−
P
2
Q
1
{\displaystyle P_{1}Q_{2}-P_{2}Q_{1}}
s'annule sur cet ensemble donc il est nul, si bien que
R
1
=
R
2
{\displaystyle R_{1}=R_{2}}
.
h
(
z
)
=
a
z
+
b
c
z
+
d
{\displaystyle h(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}
avec
a
d
−
b
c
≠
0
{\displaystyle ad-bc\neq 0}
et sans perte de généralité,
c
=
0
{\displaystyle c=0}
ou
1
{\displaystyle 1}
.
Si
c
=
0
{\displaystyle c=0}
,
h
(
z
)
=
a
z
+
b
d
{\displaystyle h(z)={\frac {az+b}{d}}}
(avec
a
d
≠
0
{\displaystyle ad\neq 0}
) vérifie
(
∗
)
{\displaystyle (*)}
si et seulement si
b
=
0
{\displaystyle b=0}
et
|
a
|
=
|
d
|
{\displaystyle |a|=|d|}
, c'est-à-dire s'il existe
α
∈
R
{\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }
tel que
h
(
z
)
=
e
i
α
φ
0
(
z
)
{\displaystyle h(z)=\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \alpha }\varphi _{0}(z)}
pour tout
z
∈
C
¯
{\displaystyle z\in {\overline {\mathbb {C} }}}
.
Si
c
=
1
{\displaystyle c=1}
,
h
(
z
)
=
a
z
+
b
z
+
d
{\displaystyle h(z)={\frac {az+b}{z+d}}}
(avec
b
≠
a
d
{\displaystyle b\neq ad}
) vérifie
(
∗
)
{\displaystyle (*)}
si et seulement si
d
=
a
¯
b
{\displaystyle d={\bar {a}}b}
et
|
b
|
=
1
{\displaystyle |b|=1}
, c'est-à-dire s'il existe
α
∈
R
{\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }
et
e
∈
C
¯
∗
{\displaystyle e\in {\overline {\mathbb {C} }}^{*}}
tels que
h
(
z
)
=
e
i
α
φ
e
(
z
)
{\displaystyle h(z)=\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \alpha }\varphi _{e}(z)}
pour tout
z
∈
C
¯
{\displaystyle z\in {\overline {\mathbb {C} }}}
.
Pour
|
z
|
=
1
{\displaystyle |z|=1}
,
1
/
z
¯
=
z
{\displaystyle 1/{\bar {z}}=z}
et comme
|
R
(
z
)
|
=
1
{\displaystyle |R(z)|=1}
, on a de même
1
R
¯
(
z
)
=
R
(
z
)
{\displaystyle {\frac {1}{{\overline {R}}(z)}}=R(z)}
, si bien que
S
(
z
)
=
R
(
z
)
{\displaystyle S(z)=R(z)}
. Par conséquent (d'après la question 1.2)
R
=
S
{\displaystyle R=S}
.
Immédiat d'après la question précédente, et l'application
z
↦
1
z
¯
{\displaystyle z\mapsto {\frac {1}{\bar {z}}}}
est une inversion .
Soient
a
1
,
…
,
a
m
{\displaystyle a_{1},\dots ,a_{m}}
les zéros de
R
{\displaystyle R}
. D'après la sous-question précédente,
R
(
z
)
=
λ
∏
k
=
1
m
z
−
a
k
z
−
1
/
a
k
¯
{\displaystyle R(z)=\lambda \prod _{k=1}^{m}{\frac {z-a_{k}}{z-1/{\overline {a_{k}}}}}}
pour un certain
λ
∈
C
{\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }
, ou encore :
R
(
z
)
=
μ
∏
k
=
1
m
z
−
a
k
1
−
a
k
¯
z
{\displaystyle R(z)=\mu \prod _{k=1}^{m}{\frac {z-a_{k}}{1-{\overline {a_{k}}}z}}}
pour un certain
μ
∈
C
{\displaystyle \mu \in \mathbb {C} }
. De plus, pour tout
z
∈
C
{\displaystyle z\in \mathbb {C} }
de module
1
{\displaystyle 1}
, on a
1
=
|
R
(
z
)
|
=
|
μ
|
∏
k
=
1
m
|
φ
a
(
z
)
|
=
|
μ
|
{\displaystyle 1=|R(z)|=|\mu |\prod _{k=1}^{m}|\varphi _{a}(z)|=|\mu |}
.
Les fractions rationnelles qui vérifient
(
∗
)
{\displaystyle (*)}
sont donc celles ci-dessus et leurs produits par
φ
∞
{\displaystyle \varphi _{\infty }}
et ses puissances.