Fonctions d'une variable complexe/Exercices/Trigonométrie complexe

Exercice 2-1

On étend la fonction $x\mapsto \cos x$, pour $x\in \mathbb {R}$, à $z$ complexe en posant :

$\forall z\in \mathbb {C} \qquad \cos z={\frac {1}{2}}(\operatorname {e} ^{\mathrm {i} z}+\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} z})$.

1. Soient $a,b\in \mathbb {R}$ et $z=a+\mathrm {i} b$. Calculer la partie réelle et la partie imaginaire de $\cos z$ en fonction de $a$ et $b$.
2. Résoudre l'équation $\cos z=0$, $z\in \mathbb {C}$.

Solution

1. $\cos z={\frac {1}{2}}(\operatorname {e} ^{-b+\mathrm {i} a}+\operatorname {e} ^{b-\mathrm {i} a})={\frac {1}{2}}\left(\operatorname {e} ^{-b}(\cos a+\mathrm {i} \sin a)+\operatorname {e} ^{b}(\cos a-\mathrm {i} \sin a)\right)$ donc $\operatorname {Re} (\cos z)={\frac {\operatorname {e} ^{-b}+\operatorname {e} ^{b}}{2}}\cos a=\cos a\cosh b$ et $\operatorname {Im} (\cos z)={\frac {\operatorname {e} ^{-b}-\operatorname {e} ^{b}}{2}}\sin a=-\sin a\sinh b$.
2. $\cos a\cosh b=0\Leftrightarrow \cos a=0\Leftrightarrow a\in {\frac {\pi }{2}}+\pi \mathbb {Z}$. Pour un tel $a$, $-\sin a\sinh b\Leftrightarrow \sinh b=0\Leftrightarrow b=0$. Les solutions complexes $z$ sont donc les réels congrus à ${\frac {\pi }{2}}{\bmod {\pi }}$.