Fonctions circulaires/Fonction sinus

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Fonction sinus

Définition

• Soit $\alpha$ un nombre réel.

  Son sinus est le sinus de l'unique angle dont $\alpha$ est une mesure. Il est noté $\sin(\alpha )$. Le sinus de l'angle $\alpha$ est égal à la distance entre le diamètre horizontal du cercle trigonométrique et la projection du point situé sur le cercle, correspondant à l'angle $\alpha$. Cette projection est orthogonale au diamètre horizontal du cercle trigonométrique.

• La fonction qui à tout nombre réel $\alpha$ associe son sinus est appelée fonction sinus, et est notée sin.

Représentation graphique

On a représenté ci-dessous la courbe de la fonction sinus sur $\left[-{\frac {3\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}\right]$.

Cette courbe est une sinusoïde.

Périodicité

Propriété

La fonction sinus est périodique de période $2\pi$, c'est-à-dire :

Pour tout réel $x$,

$\sin(x+2\pi )=\sin x$.

Imparité

Propriété

La fonction sinus est impaire, c'est-à-dire :

$\sin(-x)=-\sin x$.

Sa courbe est donc symétrique par rapport à l'origine du repère.

Valeurs remarquables du sinus des angles usuels

α	$\scriptstyle 0$	$\textstyle {\frac {\pi }{6}}$	$\textstyle {\frac {\pi }{4}}$	$\textstyle {\frac {\pi }{3}}$	$\textstyle {\frac {\pi }{2}}$	$\textstyle {\frac {2\pi }{3}}$	$\textstyle {\frac {3\pi }{4}}$	$\textstyle {\frac {5\pi }{6}}$	$\scriptstyle \pi$
sin α	$\scriptstyle 0$	$\textstyle {\frac {1}{2}}$	$\textstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}$	$\textstyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$\scriptstyle 1$	$\textstyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$\textstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}$	$\textstyle {\frac {1}{2}}$	$\scriptstyle 0$