Fonctions circulaires/Fonction cosinus

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Fonction cosinus

Définition

• Soit $\alpha$ un nombre réel.

  Son cosinus est le cosinus de l'unique angle dont $\alpha$ est une mesure. Il est noté $\cos (\alpha )$. Il est égal à la distance entre le centre du cercle trigonométrique et la projection du point situé sur le cercle, correspondant à l'angle $\alpha$. Cette projection est orthogonale au diamètre horizontal du cercle trigonométrique.

• La fonction qui à tout nombre réel $\alpha$ associe son cosinus est appelée fonction cosinus, et est notée cos.

Représentation graphique

On a représenté ci-dessous la courbe de la fonction cosinus sur $[-\frac{3\pi }{2},\frac{3\pi }{2}]$.

Cette courbe est une sinusoïde.

Périodicité

Définition

Une fonction périodique de période $P$ est telle que :

Pour tout $x$ :

$f(x+P)=f(x)$

Interprétation graphique : La courbe représentative d'une fonction périodique de période $P$ est invariante par translation de vecteur $P\overrightarrow{x}$ sur l'ensemble de définition de cette fonction.

Propriété

La fonction cosinus est périodique de période $2\pi$, c'est-à-dire :

Pour tout réel x ,

$\cos (x+2\pi )=\cos (x)$

Parité

Propriété

La fonction cosinus est paire, c'est-à-dire :

$\cos (-x)=\cos x$.

Sa courbe est donc symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Valeurs remarquables du cosinus des angles usuels

α	$0$	$\frac{\pi }{6}$	$\frac{\pi }{4}$	$\frac{\pi }{3}$	$\frac{\pi }{2}$	$\frac{2\pi }{3}$	$\frac{3\pi }{4}$	$\frac{5\pi }{6}$	$\pi$
cos α	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-1$