Leçons de niveau 12

Fonctions circulaires/Exercices/Problème d'optimisation

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Problème d'optimisation
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Exercices no2
Leçon : Fonctions circulaires
Chapitre du cours : Formules de duplication

Exercices de niveau 12.

Exo préc. :Mesures d'angles en radians, cosinus et sinus
Exo suiv. :Tangente
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Fonctions circulaires/Exercices/Problème d'optimisation
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Problème 1 (simple)[modifier | modifier le wikicode]

(AB) est un rayon d'un cercle de rayon 1 et de centre A.

C est un point de ce cercle et D le point de [BA) tel que BD = 5.

On note l'angle

Trouver pour que l'aire du triangle BCD soit maximum.

Optimisation aire triangle.png

Problème 2[modifier | modifier le wikicode]

est un rayon d'un cercle de rayon 1 et de centre A.

C est un point de ce cercle et D un point tel que et .

On note l'angle et l'angle

Le but du problème est de trouver pour que l'aire du triangle BCD soit maximum.

Optimisation aire triangle2.png

NB : On peut faire ce problème sans fixer (comme sur la figure), mais c'est plus difficile. On prend donc pour fixer les idées.

  1. Donner la relation entre et .
  2. Exprimer BC en fonction de
  3. Exprimer la hauteur h du triangle ABC issue de C en fonction de et .
  4. Exprimer la hauteur h du triangle ABC issue de C en fonction de seul.
  5. Dériver la fonction h par rapport à .
  6. Simplifier cette dérivée.
  7. Dans quel intervalle varie-t-il ?
  8. Dresser le tableau de variations de et conclure.

Balistique[modifier | modifier le wikicode]

On se place dans un repère orthonormé .

Un projectile est lancé du point origine à une vitesse de .

On note : .

Parabole balistique 1.png

Le but du problème est de trouver pour que le projectile touche le sol le plus loin possible du point O.

Les lois de la physique donnent, en négligeant le frottement de l'air et la variation du champ de pesanteur :

.
  1. Calculer l'abscisse du point de chute du projectile en fonction de .
  2. Calculer la dérivée
  3. En déduire le tableau de variations de .
  4. Conclure.

Les anneaux[modifier | modifier le wikicode]

Gymnastic rings.png

On considère un gymnaste aux anneaux. On note :

  • A et A' les points de fixation des cordes ;
  • D et D' les épaules du gymnaste ;
  • E et E' ses mains ;
  • r = DE = D'E' la longueur de ses bras ;
  • L = AE = A'E' la longueur des cordes ;
  • l'angle entre ses bras et l'horizontale ;
  • l'angle entre les cordes et la verticale ;
  • g l'intensité de la pesanteur ;
  • m la masse du gymnaste ;
  • T la réaction des anneaux, supposée identique des deux côtés.

Le but du problème est d'étudier la force qui s'exerce sur les mains du gymnaste en fonction de l'angle .

  1. Exprimer T en fonction de m, g et
  2. En exprimant la hauteur du triangle AED issue de E, exprimer en fonction de , r et L.
  3. En utilisant la formule , exprimer T en fonction de
  4. Décrire les variations la fonction .