Fonctions circulaires/Exercices/Mesures d'angles en radians, cosinus et sinus

Mesures des angles orientés

Définition

Le cercle C de rayon 1 centré en l'origine est appelé cercle trigonométrique. On l'oriente positivement dans le sens anti-horaire et négativement dans le sens horaire.

Soit $A$ le point de coordonnées $(1,0)$.

On se place dans un repère orthonormé direct.

Une mesure en radian de l'angle orienté $({\vec {OA}},{\vec {OM}})$ est la longueur d'une ficelle (ou une ligne) joignant le point $A$ au point $M$, enroulée autour du cercle trigonométrique. Cette longueur est comptée positivement ou négativement en fonction du sens d'enroulement.

Remarque : Un angle donné possède une infinité de mesures qui se déduisent les unes des autres par addition ou soustraction de $2k\pi$, où $k$ est entier relatif.

Exercice 1

Donner 5 autres mesures de l'angle ${\frac {\pi }{3}}$.

Solution

${\frac {\pi }{3}}+2\pi ={\frac {7\pi }{3}}$

${\frac {\pi }{3}}+4\pi ={\frac {13\pi }{3}}$

${\frac {\pi }{3}}-2\pi =-{\frac {5\pi }{3}}$

${\frac {\pi }{3}}-4\pi =-{\frac {11\pi }{3}}$

${\frac {\pi }{3}}-6\pi =-{\frac {17\pi }{3}}$

 

Exercice 2

Tout intervalle de longueur $2\pi$, avec une borne ouverte et l'autre fermée, possède exactement une mesure d'un angle donné.

Donner une mesure dans $[20,20+2\pi [$ de l'angle ${\frac {\pi }{3}}$.

Solution

${\frac {\pi }{3}}+8\pi ={\frac {25\pi }{3}}\approx 26{,}18<26{,}28\approx 20+2\pi$.

 

Exercice 3

Tout nombre réel est une mesure, en radian, d'un unique angle orienté.

Représenter sur le cercle trigonométrique l'angle de mesure 123456,123456.

Solution

$123456{,}123456-19648\times 2\pi \approx 4{,}1\approx 4{,}2\approx {\frac {4\pi }{3}}$.

 

Exercice 4

La mesure principale d'un angle orienté est l'unique valeur de cet angle appartenant à l'intervalle $]-\pi ,\pi ]$.

Donner la mesure principale de l'angle de mesure 123456,123456.

Solution

$123456{,}123456-19649\times 2\pi \approx -{\frac {2\pi }{3}}$.

 

Exercice 5

Soit x un nombre réel quelconque. Son sinus et son cosinus sont respectivement le sinus et le cosinus de l'angle dont x est une mesure.

Donner le sinus et le cosinus du nombre réel ${\frac {256\pi }{3}}$.

Solution

${\frac {256\pi }{3}}$ a mêmes sinus et cosinus que ${\frac {256\pi }{3}}-42\times 2\pi ={\frac {4\pi }{3}}$.

$\sin {\frac {4\pi }{3}}=-{\frac {\sqrt {3}}{2}}$ et $\cos {\frac {4\pi }{3}}=-{\frac {1}{2}}$.

 

Cercle trigonométrique

Placer sur le cercle les points correspondants aux angles orientés dont les mesures $\alpha$ sont données dans le tableau.

En déduire les mesures principales correspondantes.

${\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}{\text{Point}}&A&B&C&D&E&F&G&H&K&L\\\hline \alpha &{\frac {3\pi }{4}}&{\frac {5\pi }{6}}&{\frac {-4\pi }{3}}&{\frac {13\pi }{3}}&-{\frac {23\pi }{4}}&51\pi &-{\frac {38\pi }{3}}&{\frac {43\pi }{4}}&{\frac {-28\pi }{6}}&{\frac {11\pi }{2}}\\\hline \end{array}}$

Solution

${\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}{\text{Point}}&A&B&C&D&E&F&G&H&K&L\\\hline \alpha &{\frac {3\pi }{4}}&{\frac {5\pi }{6}}&{\frac {-4\pi }{3}}&{\frac {13\pi }{3}}&-{\frac {23\pi }{4}}&51\pi &-{\frac {38\pi }{3}}&{\frac {43\pi }{4}}&-{\frac {28\pi }{6}}&{\frac {11\pi }{2}}\\\hline {\text{Mesure principale}}&{\frac {3\pi }{4}}&{\frac {5\pi }{6}}&{\frac {2\pi }{3}}&{\frac {\pi }{3}}&{\frac {\pi }{4}}&\pi &-{\frac {2\pi }{3}}&{\frac {3\pi }{4}}&-{\frac {2\pi }{3}}&-{\frac {\pi }{2}}\\\hline \end{array}}$