Leçons de niveau 12

Fonctions circulaires/Formules de duplication

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Formules de duplication
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Chapitre no 6
Leçon : Fonctions circulaires
Chap. préc. :Amplitude et Pulsation
Chap. suiv. :Sommaire

Exercices :

Problème d'optimisation
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Fonctions circulaires/Formules de duplication
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Dans ce chapitre, nous nous intéressons aux formules qui relient les sinus et cosinus d'un angle avec ceux de son double ou de sa moitié.

Certaines possèdent une interprétation géométrique intéressante.

Formules[modifier | modifier le wikicode]

La formule de duplication du sinus[modifier | modifier le wikicode]

On démontre ici par une méthode élémentaire la formule de duplication du sinus.

Le losange de côté 1[modifier | modifier le wikicode]

On se place dans un losange de côté 1.

On nomme un des angles, qui varie entre 0 et .

Losange côté1.png

On a alors dans le triangle rectangle en  :

donc l'aire du losange est :

Remarquons enfin que si l'on considère l'angle adjacent à , le résultat est encore valable puisque les deux angles on le même sinus.

Donc notre résultat est valable pour un angle variant entre et .

Le triangle isocèle de côté 1[modifier | modifier le wikicode]

On se place dans un triangle de côté 1.

On nomme un des angles, qui varie entre 0 et .

Triangle isocèle côté1.png

On a alors dans le triangle rectangle en  :

donc l'aire du triangle est :

.

La formule[modifier | modifier le wikicode]

En combinant les deux résultats précédents, on obtient :

.
Preuve sans mots de la formule d'addition pour les sinus.

La figure ci-contre constitue une preuve tout aussi élémentaire de la formule plus générale

.

La formule de duplication du cosinus[modifier | modifier le wikicode]

Voir Hasan Unal, « Proof Without Words: Double Sum for Sine and Cosine »