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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Fonctions circulaires : Formules de duplication Fonctions circulaires/Formules de duplication », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Dans ce chapitre, nous nous intéressons aux formules qui relient les sinus et cosinus d'un angle avec ceux de son double ou de sa moitié.
Certaines formules possèdent une interprétation géométrique intéressante.
cos
(
2
x
)
=
cos
2
x
−
sin
2
x
=
2
cos
2
x
−
1
=
1
−
2
sin
2
x
{\displaystyle \cos(2x)=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x=2\cos ^{2}x-1=1-2\sin ^{2}x}
sin
(
2
x
)
=
2
cos
x
sin
x
{\displaystyle \sin(2x)=2\cos x\sin x}
On démontre ici par une méthode élémentaire la formule de duplication du sinus.
On se place dans un losange de côté 1.
On nomme
α
{\displaystyle \alpha }
π
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
On a alors dans le triangle
A
C
E
{\displaystyle ACE}
E
{\displaystyle E}
A
E
=
F
D
=
cos
α
{\displaystyle AE=FD=\cos \alpha }
C
E
=
B
F
=
sin
α
{\displaystyle CE=BF=\sin \alpha }
B
E
=
C
F
=
1
−
cos
α
{\displaystyle BE=CF=1-\cos \alpha }
donc l'aire du losange est :
A
l
o
s
a
n
g
e
=
A
A
C
E
+
A
E
B
F
C
+
A
B
F
D
=
cos
α
sin
α
2
+
sin
α
(
1
−
cos
α
)
+
cos
α
sin
α
2
=
sin
α
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {A}}_{losange}&={\mathcal {A}}_{ACE}+{\mathcal {A}}_{EBFC}+{\mathcal {A}}_{BFD}\\&={\frac {\cos \alpha \sin \alpha }{2}}+\sin \alpha (1-\cos \alpha )+{\frac {\cos \alpha \sin \alpha }{2}}\\&=\sin \alpha .\end{aligned}}}
Remarquons enfin que si l'on considère l'angle adjacent à
α
{\displaystyle \alpha }
Donc notre résultat est valable pour un angle
α
{\displaystyle \alpha }
0
{\displaystyle 0}
π
{\displaystyle \pi }
On se place dans un triangle de côté 1.
On nomme
α
{\displaystyle \alpha }
π
{\displaystyle \pi }
On a alors dans le triangle
A
D
B
{\displaystyle ADB}
D
{\displaystyle D}
A
D
=
cos
α
2
{\displaystyle AD=\cos {\frac {\alpha }{2}}}
B
D
=
sin
α
2
{\displaystyle BD=\sin {\frac {\alpha }{2}}}
donc l'aire du triangle
A
B
C
{\displaystyle ABC}
A
A
B
C
=
cos
α
2
sin
α
2
{\displaystyle {\mathcal {A}}_{ABC}=\cos {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\alpha }{2}}}
En combinant les deux résultats précédents, on obtient :
sin
α
=
A
l
o
s
a
n
g
e
=
2
A
A
B
C
=
2
cos
α
2
sin
α
2
{\displaystyle \sin \alpha ={\mathcal {A}}_{losange}=2{\mathcal {A}}_{ABC}=2\cos {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\alpha }{2}}}
Preuve sans mots de la formule d'addition pour les sinus.La figure ci-contre constitue une preuve tout aussi élémentaire de la formule plus générale
sin
(
α
+
β
)
=
cos
α
sin
β
+
sin
α
cos
β
{\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=\cos \alpha \sin \beta +\sin \alpha \cos \beta }
Voir Hasan Unal, « Proof Without Words: Double Sum for Sine and Cosine »
