Fonction logarithme/Propriétés algébriques du logarithme

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Propriété fondamentale du logarithme népérien

Le logarithme népérien étant la primitive de la fonction inverse définie sur $\left]0,+\infty \right[$ et s'annulant en $1$, on peut démontrer la propriété algébrique suivante.

Début d’un théorème

Théorème

$\forall a,b\in \left]0,+\infty \right[\quad \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$.

Fin du théorème

Démonstration

Pour $a>0$ fixé, la dérivée de la fonction composée $x\mapsto \ln(ax)$ (définie sur $\left]0,+\infty \right[$) est : $x\mapsto \ln '(ax)={\frac {a}{ax}}={\frac {1}{x}}=\ln '(x)$.

Il existe une constante réelle $k$ telle que : $\forall x>0\quad \ln(ax)=k+\ln(x)$.

Pour $x=1$, on obtient : $\ln(a.1)=k+\ln(1)$.

Ainsi : $\ln(a)=k$

Donc : $\forall x>0\quad \ln(ax)=\ln(a)+\ln(x)\Longleftrightarrow \forall a,b>0\quad \ln(a.b)=\ln(a)+\ln(b)$

CQFD

 

Début de l'exemple

Exemple

Calculer séparément à la calculatrice :

• $\ln(2)+\ln(3)$
• $\ln(6)$

Fin de l'exemple

Conséquences

Corollaire

Pour tous réels strictement positifs $a$ et $b$ :

• $\ln \left({\frac {a}{b}}\right)=\ln(a)-\ln(b)$
• $\forall r\in \mathbb {Q} \quad \ln(a^{r})=r\ln(a)$

(Si $r=p/q$ avec $p$ et $q$ entiers, $a^{p/q}$ est par définition égal à ${\sqrt[{q}]{a^{p}}}=\left({\sqrt[{q}]{a}}\right)^{p}$).