Fonction logarithme/Exercices/Utilisation des propriétés du logarithme

Propriétés algébriques

1. Simplifier les nombres suivants au maximum.

a. $\ln(81)$

b. $\ln(0{,}0001)$

c. $\ln {\frac {49}{12}}$

d. $\ln(1024)$

e. $\ln(0{,}125)$

2. Simplifier au maximum les expressions algébriques suivantes.

a. $3\ln(x^{2})$

b. $\ln(x^{2}+2x+1)$

c. $\ln(2x+2)-\ln(x+1)$

d. $\ln {\frac {1}{x^{3}}}$

3. Résoudre les équations

a. $\ln(x+1)=2\ln 2-\ln(x-2)$

b. $\ln(x+2)-2\ln 2+\ln(x-1)=0$

Solution

1. a. $\ln(81)=\ln(3^{4})=4~\ln 3$

b. $\ln(0{,}0001)=\ln(10^{-4})=-4~\ln(10)$

c. $\ln {\frac {49}{12}}=\ln(49)-\ln(12)=\ln(7^{2})-\ln(3\times 4)=2~\ln(7)-\ln(3)-\ln(4)=2~\ln(7)-\ln(3)-\ln(2^{2})=2~(\ln(7)-\ln(2))-\ln(3)$

d. $\ln(1024)=\ln(2^{10})=10\ln 2$

e. $\ln(0{,}125)=\ln \left(2^{-3}\right)=-3\ln 2$

2. a. $3\ln(x^{2})=6\ln x$

b. $\ln(x^{2}+2x+1)=\ln((x+1)^{2})=2~\ln(x+1)$

c. $\ln(2x+2)-\ln(x+1)=\ln(2(x+1))-\ln(x+1)=\ln(2)+\ln(x+1)-\ln(x+1)=~\ln 2$

d. $\ln \left({\frac {1}{x^{3}}}\right)=-\ln(x^{3})=-3\ln x$

3. a. L'équation équivaut à $x>2$ et $0=(x+1)(x-2)-4=x^{2}-x-6=(x-3)(x+2)$ donc son unique solution est $x=3$.

b. L'équation équivaut à $x>1$ et $0=(x-1)(x+2)-4=x^{2}+x-6=(x+3)(x-2)$ donc son unique solution est $x=2$.

 

Utilisation de la stricte croissance et du signe

1. Comparer les nombres suivants sans calculer de valeurs approchées.

a. $\ln(20)$ et $\ln(22)$ ;

b. $\ln(3)$ et $1$.

2. Quel est le plus petit entier $n$ tel que $3^{n}>6~666~666~666$ ?

3. Comparer les expressions algébriques suivantes.

a. $\ln(x^{2}+x+2)$ et $0$ pour $x\in \mathbb {R}$ ;

b. $\ln(x^{2}+1)$ et $\ln(2x)$ pour $x\in \mathbb {R} _{+}^{*}$.

4. Résoudre l'inéquation $3\ln(2x)\leq 2$.

Solution

On utilisera constamment que $\ln$ est strictement croissante.

1.a

$20<22$ donc $\ln(20)<\ln(22)$.

1.b.

$3>\mathrm {e}$ donc $\ln 3>\ln {\mathrm {e} }=1$.

2. L'inégalité $3^{n}>6~666~666~666$ est équivalente à :

$\ln \left(3^{n}\right)>\ln \left(6~666~666~666\right)$

ou encore à :

$n\ln 3>\ln \left(6~666~666~666\right)$,

c'est-à-dire à :

$n>{\frac {\ln {6~666~666~666}}{\ln 3}}$.

Le plus petit entier $n$ vérifiant cette inégalité est donc

$1+E\left({\frac {\ln {6~666~666~666}}{\ln 3}}\right)=E\left(1+{\frac {\ln {6~666~666~666}}{\ln 3}}\right)$,

où $E$ désigne la fonction partie entière.

$6~666~666~666=1~111~111~111\times 6=9~999~999~999\times {\frac {6}{9}}=(10^{10}-1)\times {\frac {2}{3}}\approx 10^{10}\times {\frac {2}{3}}$

donc

$1+{\frac {\ln {6~666~666~666}}{\ln 3}}\approx 1+{\frac {10\ln {10}+\ln 2-\ln 3}{\ln 3}}={\frac {10\ln {10}+\ln 2}{\ln 3}}\approx 21{,}6$.

La solution est donc finalement :

$n=21$,

à condition que l'approximation de $10^{10}-1$ par $10^{10}$ n'ait pas provoqué une erreur par excès, donc vérifions :

$3^{20}=3~486~784~401<6~666~666~666$.

3.a. $0=\ln 1$. On va donc chercher à comparer $x^{2}+x+2$ à $1$.

$\left(x^{2}+x+2\right)-1=x^{2}+x+1=(x+1/2)^{2}+3/4\geq 3/4>0$, c'est-à-dire $x^{2}+x+2>1$

donc

$\forall x\in \mathbb {R} \quad \ln \left(x^{2}+x+2\right)>0$.

3.b. Soit $x\in \mathbb {R} _{+}^{*}$.

$x^{2}+1-2x=(x-1)^{2}\geq 0$

donc

$x^{2}+1\geq 2x$

donc

$\forall x\in \mathbb {R} _{+}^{*}\quad \ln(x^{2}+1)\geq \ln(2x)$

(l'inégalité est même stricte, sauf si $x=1$).

4. $3\ln(2x)\leq 2\Leftrightarrow \ln(2x)\leq {\frac {2}{3}}\Leftrightarrow 0<2x\leq \operatorname {e} ^{\frac {2}{3}}\Leftrightarrow 0<x\leq {\frac {1}{2}}\operatorname {e} ^{\frac {2}{3}}$.

 

Ensemble de définition

Démontrer que l'expression $\ln(x^{2}-4x+5)$ est définie pour tout réel $x$.

Solution

$x^{2}-4x+5=(x-2)^{2}+1\geq 1>0$.

 

Étude d'une fonction

Étudier la fonction $f$ définie par $f(x)=\ln(x^{2}-x-2)$ : domaine de définition et de dérivabilité, dérivée, variations, limites aux bornes, graphe.

Solution

$x^{2}-x-2=(x+1)(x-2)>0\Leftrightarrow x\in \left]-\infty ,-1\right[\cup \left]2,+\infty \right[$.

Sur ce domaine, $f$ est définie et dérivable et $f'(x)={\frac {2x-1}{x^{2}-x-2}}$.

Le tableau de variations (avec les limites aux bornes) est donc

${\begin{array}{c|ccccccc|}x&-\infty &&-1&&2&&+\infty \\\hline &+\infty &&&&&&+\infty \\f(x)&&\searrow &&&&\nearrow &\\&&&-\infty &&-\infty &&\\\hline \end{array}}$

Graphe