1.
- Méthode générale
On cherche les deux racines du polynôme, à partir du discriminant :
On a
, donc le polynôme admet deux racines :
Ainsi, on peut factoriser le polynôme sous la forme :
- Méthode alternative
Une racine évidente de ce polynôme est x₁ = –2.
On sait que la somme des racines égale –b/a = 6 ; on en déduit la seconde racine x₂ = 8. On résout ainsi directement le problème :
.
2. On a :
![{\displaystyle f(x)={\frac {1}{-x^{2}+6x+16}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06d566cd6757f375add3eb0a9186edbc8dae88c3)
et l'on cherche
et
tels que :
.
Mettons ces fractions au même dénominateur :
Les nombres
et
sont ainsi solution lorsque :
![{\displaystyle {\begin{cases}a-b=0\\2a+8b=1.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88920dd55785d1c159ddbd4fb1030b113d20519f)
On trouve :
.
3. Nous allons mettre à profit la décomposition trouvée précédemment :
![{\displaystyle f(x)={\frac {1/10}{-x+8}}+{\frac {1/10}{x+2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a0f3a4a2f9748ab9ed50e3f362718844419fd2e)
En effet, on connaît des primitives des fonctions de la forme u'/u (ce sont des logarithmes
). Dans notre cas, si l'on pose :
et
,
en dérivant :
et
.
Par conséquent :
, ![{\displaystyle {\frac {u'_{2}}{u_{2}}}={\frac {1}{x+2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99c2554d4ea2b1965037b3ff660265d33a8549e8)
et l'on peut réécrire
sous la forme :
.
On peut alors facilement trouver que les primitives de
sont les fonctions :
![{\displaystyle F(x)=-{\frac {1}{10}}\ln |8-x|+{\frac {1}{10}}\ln |x+2|+K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28f4f6be43c86651abc55006ae5913773a7ef3fb)
où
est une constante.