Fonction logarithme/Exercices/Une fonction logarithme comme solution d'une équation différentielle

On considère la fonction :

${\begin{array}{ccccc}g&:&]-1;+\infty [&\rightarrow &\mathbb {R} \\~&~&x&\mapsto &\displaystyle {{\frac {1}{2}}\ln(1+x)-{\frac {1}{4}}}\end{array}}$

1. Calculer $g'$

2. Étudier les variations de $g$.

3. Étudier la limite de $g$ en $-1$.

4. Étudier la limite de $g$ en $+\infty$

5. Tracer la courbe représentative de $g$.

6. Démontrer que $g$ est solution de l'équation différentielle $(E)~:~(1+x)~y'+2y=\ln(1+x)$

Solution

1. On pose deux fonctions u et v dérivables telles que :

• Pour tout $x\in ]-1;+\infty [,~u(x)=1+x$
• Pour tout $x\in ]0;+\infty [,~v(x)=\ln(x)$

On écrit que, pour tout $x\in ]-1;+\infty [$: ${\begin{aligned}g(x)&={\frac {1}{2}}v(u(x))-{\frac {1}{4}}\\&={\frac {1}{2}}(v\circ u)(x)-{\frac {1}{4}}\end{aligned}}$

La dérivée de $x\mapsto (v\circ u)(x)$ est $x\mapsto u'(x)~v'(u(x))$

• Pour tout $x\in ]-1;+\infty [,~u'(x)=1$
• Pour tout $x\in ]0;+\infty [,~v'(x)={\frac {1}{x}}$
• Pour tout $x\in ]-1;+\infty [,~g'(x)={\frac {1}{2}}~\left(1\times {\frac {1}{1+x}}\right)$

Finalement, pour tout $x\in ]-1;+\infty [,g'(x)={\frac {1}{2+2x}}$

2. Pour tout $x\in ]-1;+\infty [,~2+2x>0$, donc sur l'intervalle de définition, la fonction $g'$ est strictement positive. Par conséquent :

g est une fonction strictement croissante.

3. $\lim _{x\rightarrow -1^{+}}x+1=0^{+}$ et $\lim _{x\rightarrow 0^{+}}\ln(x)=-\infty$

donc $\lim _{x\rightarrow -1^{+}}\ln(x+1)=-\infty$

Donc $\lim _{x\rightarrow -1^{+}}{\frac {1}{2}}\ln(x+1)=-\infty$

Donc $\lim _{x\rightarrow -1^{+}}g(x)=-\infty$

4. $\lim _{x\rightarrow +\infty }x+1=+\infty$ et $\lim _{x\rightarrow +\infty }\ln(x)=+\infty$

donc $\lim _{x\rightarrow +\infty }\ln(x+1)=+\infty$

Donc $\lim _{x\rightarrow +\infty }{\frac {1}{2}}\ln(x+1)=+\infty$

Donc $\lim _{x\rightarrow +\infty }g(x)=+\infty$

5.

6. Soit $x\in ]-1;+\infty [$

${\begin{aligned}(1+x)~g'(x)+2~g(x)&=(1+x){\frac {1}{2(1+x)}}+2\left({\frac {1}{2}}\ln(1+x)-{\frac {1}{4}}\right)\\&=\ln(1+x)\end{aligned}}$

g est bien solution de l'équation différentielle (E)