Fonction logarithme/Exercices/Une fonction logarithme comme solution d'une équation différentielle

On considère la fonction :

$\begin{array}{ccccc}g& :& ]-1;+\mathrm{\infty }[& \to & ℝ\\ & & x& \mapsto & \frac{1}{2}\ln (1+x)-\frac{1}{4}\end{array}$

1. Calculer $g^{\prime }$

2. Étudier les variations de $g$.

3. Étudier la limite de $g$ en $-1$.

4. Étudier la limite de $g$ en $+\mathrm{\infty }$

5. Tracer la courbe représentative de $g$.

6. Démontrer que $g$ est solution de l'équation différentielle $(E):(1+x)y^{\prime }+2y=\ln (1+x)$

Solution

1. On pose deux fonctions u et v dérivables telles que :

• Pour tout $x\in ]-1;+\mathrm{\infty }[,u(x)=1+x$
• Pour tout $x\in ]0;+\mathrm{\infty }[,v(x)=\ln (x)$

On écrit que, pour tout $x\in ]-1;+\mathrm{\infty }[$: $\begin{array}{cc}g(x)& =\frac{1}{2}v(u(x))-\frac{1}{4}\\ & =\frac{1}{2}(v\circ u)(x)-\frac{1}{4}\end{array}$

La dérivée de $x\mapsto (v\circ u)(x)$ est $x\mapsto u^{\prime }(x)v^{\prime }(u(x))$

• Pour tout $x\in ]-1;+\mathrm{\infty }[,u^{\prime }(x)=1$
• Pour tout $x\in ]0;+\mathrm{\infty }[,v^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$
• Pour tout $x\in ]-1;+\mathrm{\infty }[,g^{\prime }(x)=\frac{1}{2}(1\times \frac{1}{1+x})$

Finalement, pour tout $x\in ]-1;+\mathrm{\infty }[,g^{\prime }(x)=\frac{1}{2+2x}$

2. Pour tout $x\in ]-1;+\mathrm{\infty }[,2+2x>0$, donc sur l'intervalle de définition, la fonction $g^{\prime }$ est strictement positive. Par conséquent :

g est une fonction strictement croissante.

3. $\underset{x\to -1^{+}}{lim}x+1=0^{+}$ et $\underset{x\to 0^{+}}{lim}\ln (x)=-\mathrm{\infty }$

donc $\underset{x\to -1^{+}}{lim}\ln (x+1)=-\mathrm{\infty }$

Donc $\underset{x\to -1^{+}}{lim}\frac{1}{2}\ln (x+1)=-\mathrm{\infty }$

Donc $\underset{x\to -1^{+}}{lim}g(x)=-\mathrm{\infty }$

4. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}x+1=+\mathrm{\infty }$ et $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\ln (x)=+\mathrm{\infty }$

donc $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\ln (x+1)=+\mathrm{\infty }$

Donc $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{2}\ln (x+1)=+\mathrm{\infty }$

Donc $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}g(x)=+\mathrm{\infty }$

5.

6. Soit $x\in ]-1;+\mathrm{\infty }[$

$\begin{array}{cc}(1+x)g^{\prime }(x)+2g(x)& =(1+x)\frac{1}{2(1+x)}+2(\frac{1}{2}\ln (1+x)-\frac{1}{4})\\ & =\ln (1+x)\end{array}$

g est bien solution de l'équation différentielle (E)