En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Croissances comparées
Fonction exponentielle/Exercices/Croissances comparées », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Cet exercice propose une autre méthode que celle du cours pour démontrer que
.
On définit sur
la fonction
.
1° Déterminer
et
.
2° Déterminer le sens de variation sur
de
.
3° En déduire le signe de
sur
.
4° En déduire de sens de variation de
sur
.
5° En déduire le signe de
sur
.
6° Démontrer que
.
7° Conclure.
Solution
1°
et
.
2° Pour tout
,
, donc
est croissante sur
.
3° De plus,
donc
sur
.
4° Donc
est croissante sur
.
5° De plus,
donc
sur
.
6° Pour tout
,
donc
donc
.
7°
donc par comparaison,
.
Déterminer les limites suivantes :
(
,
) (on pourra utiliser le résultat de l'exercice 3).

Solution
Quand
,
.

Solution
Quand
,
car
.

Solution
Quand
,
car
.
On se propose de démontrer que pour tout réel
,
, de quatre façons : soit en s'appuyant sur le cas particulier
démontré en cours, soit en s'appuyant seulement sur le sous-cas
(redémontré dans l'exercice 1 ci-dessus), soit directement de deux façons. On s'intéresse principalement au cas
car pour
, la propriété est immédiate.
- Déduire la propriété pour tout réel
du cas particulier
.
- Déduire la propriété pour tout réel
du sous-cas
.
- Démontrer la propriété pour tout réel
par la même méthode que celle vue en cours pour
.
- Pour
et
, on pose
.
- Montrer que
est décroissante (strictement) sur
.
- En déduire que
admet en
une limite finie.
- En appliquant cela à
, en déduire que pour tout réel
,
.
Solution
- Pour tout
, soit
sa partie entière. Alors,
et
, donc
quand
.
quand
, et
.
- Pour tous réels
et
,
donc
quand
.
-
- Pour tout
, on a
dès que
.
est décroissante et minorée (par 0) sur
donc admet en
une limite finie
.
- Quand
,
donc (comme la fonction est > 0)
.
On souhaite comparer l'efficacité de deux traitements antiviraux. Une modélisation de la charge virale (respectivement
et
) en fonction du temps (en jours) donne :
- pour le premier traitement,
;
- pour le deuxième traitement,
.
- Déterminer, pour chacun des traitements, la charge virale moyenne (par unité de temps) entre le début du traitement et l'instant
considéré. Vérifier la valeur limite qu'on trouve quand
tend vers 0.
- On estime que le système immunitaire est devenu suffisamment efficace contre le virus au bout de 10 jours. Quel que soit le traitement, les individus guérissent. Quel traitement conseillez-vous (limitation des effets sur l'organisme et de l'apparition de résistance chez les virus)? En serait-il de même si l'on pouvait arrêter le traitement au bout de 3 jours ?
Solution
- La charge virale moyenne entre le début du traitement et l'instant
est :
- pour le premier traitement :
![{\displaystyle {\begin{aligned}M_{1}(t)&={\frac {1}{t}}\int _{0}^{t}N_{0}\left(1+3x+x^{2}\right)\operatorname {e} ^{-2x}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{t}}\left(\left[-N_{0}(1+3x+x^{2}){\operatorname {e} ^{-2x} \over 2}\right]_{0}^{t}+\int _{0}^{t}N_{0}(3+2x){\operatorname {e} ^{-2x} \over 2}\,\mathrm {d} x\right)\\&={\frac {1}{t}}\left(N_{0}\left({\frac {1}{2}}-(1+3t+t^{2}){\operatorname {e} ^{-2t} \over 2}\right)+\left[-N_{0}(3+2x){\operatorname {e} ^{-2x} \over 4}\right]_{0}^{t}+\int _{0}^{t}2N_{0}{\operatorname {e} ^{-2x} \over 4}\,\mathrm {d} x\right)\\&={\frac {1}{t}}\left(N_{0}\left({\frac {1}{2}}-(1+3t+t^{2}){\operatorname {e} ^{-2t} \over 2}\right)+N_{0}\left({3 \over 4}-(3+2t){\operatorname {e} ^{-2t} \over 4}\right)+\left[-N_{0}{\operatorname {e} ^{-2x} \over 4}\right]_{0}^{t}\right)\\&={\frac {1}{t}}\left(N_{0}\left({\frac {1}{2}}-(1+3t+t^{2}){\operatorname {e} ^{-2t} \over 2}\right)+N_{0}\left({\frac {3}{4}}-(3+2t){\operatorname {e} ^{-2t} \over 4}\right)+N_{0}\left({\frac {1}{4}}-{\operatorname {e} ^{-2t} \over 4}\right)\right)\\&={N_{0} \over t}\left({\frac {3}{2}}-\left({3 \over 2}+2t+{t^{2} \over 2}\right)\operatorname {e} ^{-2t}\right)=N_{0}\left(3{\operatorname {e} ^{-2t}-1 \over -2t}-\left(2+{t \over 2}\right)\operatorname {e} ^{-2t}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f45323ac1c6a24cee2b3aef28b4eb8eaae23399c)
- En particulier
ce qui est normal. Au début de l'étude, la charge virale est de
donc la charge moyenne pour des périodes très courtes au début de l'étude est proche de
.
- pour le deuxième traitement :
![{\displaystyle {\begin{aligned}M_{2}(t)&={\frac {1}{t}}\int _{0}^{t}N_{0}(1+x)^{-5 \over 4}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{t}}\left[-4N_{0}(1+x)^{-1 \over 4}\right]_{0}^{t}={4N_{0} \over t}\left(1-{1 \over (1+t)^{\frac {1}{4}}}\right)\\&={4N_{0} \over t}\left({(1+t)^{\frac {1}{2}}-1 \over (1+(1+t)^{\frac {1}{4}})(1+t)^{\frac {1}{4}}}\right)=4N_{0}\left({1 \over (1+(1+t)^{\frac {1}{2}})(1+(1+t)^{\frac {1}{4}})(1+t)^{\frac {1}{4}}}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64a1c663bccfa5e3c29c468d6abdb7344e52ea98)
- On trouve à nouveau que
.
-
- Au bout de 20 jours, la charge virale moyenne est de :
- pour le premier traitement,
;
- pour le deuxième traitement,
.
- Au bout de 3 jours, la charge virale moyenne est de :
- pour le premier traitement,
;
- pour le deuxième traitement,
.
- Même si les différences ne sont pas très importantes, dans le cas d'un traitement court, on favorisera le deuxième traitement alors que dans le cas d'un traitement long, on favorisera le premier.