Leçons de niveau 13

Fonction exponentielle/Exercices/Croissances comparées

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Croissances comparées
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Exercices no8
Leçon : Fonction exponentielle
Chapitre du cours : Croissances comparées

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Équations différentielles
Exo suiv. :Fonction racine n-ième
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Fonction exponentielle/Exercices/Croissances comparées
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Exercice 1[modifier | modifier le wikicode]

Cet exercice propose une autre méthode que celle du cours pour démontrer que .

On définit sur la fonction .

1° Déterminer et .

2° Déterminer le sens de variation sur de .

3° En déduire le signe de sur .

4° En déduire de sens de variation de sur .

5° En déduire le signe de sur .

6° Démontrer que .

7° Conclure.

Exercice 2[modifier | modifier le wikicode]

Déterminer les limites suivantes :

  • (, ) (on pourra utiliser le résultat de l'exercice 3).

Exercice 3[modifier | modifier le wikicode]

On se propose de démontrer que pour tout réel , , de quatre façons : soit en s'appuyant sur le cas particulier démontré en cours, soit en s'appuyant seulement sur le sous-cas (redémontré dans l'exercice 1 ci-dessus), soit directement de deux façons. On s'intéresse principalement au cas car pour , la propriété est immédiate.

  1. Déduire la propriété pour tout réel du cas particulier .
  2. Déduire la propriété pour tout réel du sous-cas .
  3. Démontrer la propriété pour tout réel par la même méthode que celle vue en cours pour .
  4. Pour et , on pose .
    • Montrer que est décroissante (strictement) sur .
    • En déduire que admet en une limite finie.
    • En appliquant cela à , en déduire que pour tout réel , .

Exercice 4[modifier | modifier le wikicode]

On souhaite comparer l'efficacité de deux traitements antiviraux. Une modélisation de la charge virale (respectivement et ) en fonction du temps (en jours) donne :

  • pour le premier traitement,  ;
  • pour le deuxième traitement, .
  1. Déterminer, pour chacun des traitements, la charge virale moyenne (par unité de temps) entre le début du traitement et l'instant considéré. Vérifier la valeur limite qu'on trouve quand tend vers 0.
  2. On estime que le système immunitaire est devenu suffisamment efficace contre le virus au bout de 10 jours. Quel que soit le traitement, les individus guérissent. Quel traitement conseillez-vous (limitation des effets sur l'organisme et de l'apparition de résistance chez les virus)? En serait-il de même si l'on pouvait arrêter le traitement au bout de 3 jours ?