Leçons de niveau 13

Fonction exponentielle/Exercices/Croissances comparées

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Croissances comparées
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Exercices no8
Leçon : Fonction exponentielle
Chapitre du cours : Croissances comparées

Ces exercices sont de niveau 13.

Exo préc. :Équations différentielles
Exo suiv. :Sommaire
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Fonction exponentielle/Exercices/Croissances comparées
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Exercice 1[modifier | modifier le wikicode]

Cet exercice propose une autre méthode que celle du cours pour démontrer que .

On définit sur la fonction .

1° Déterminer et .

2° Déterminer le sens de variation sur de .

3° En déduire le signe de sur .

4° En déduire de sens de variation de sur .

5° En déduire le signe de sur .

6° Démontrer que .

7° Conclure.

Exercice 2[modifier | modifier le wikicode]

Déterminer les limites suivantes :

  • () (on pourra utiliser le résultat de l'exercice 3).

Exercice 3[modifier | modifier le wikicode]

On se propose de démontrer que pour tout réel , , de quatre façons : soit en s'appuyant sur le cas particulier démontré en cours, soit en s'appuyant seulement sur le sous-cas (redémontré dans l'exercice 1 ci-dessus), soit directement de deux façons. On s'intéresse principalement au cas car pour , la propriété est immédiate.

  1. Déduire la propriété pour tout réel du cas particulier .
  2. Déduire la propriété pour tout réel du sous-cas .
  3. Démontrer la propriété pour tout réel par la même méthode que celle vue en cours pour .
  4. Pour et , on pose .
    • Montrer que est décroissante (strictement) sur .
    • En déduire que admet en une limite finie.
    • En appliquant cela à , en déduire que pour tout réel , .