Leçons de niveau 13

Fonction exponentielle/Exercices/Équations différentielles

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Équations différentielles
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Exercices no7
Leçon : Fonction exponentielle

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Étude d'une fonction comportant des exponentielles
Exo suiv. :Croissances comparées
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Fonction exponentielle/Exercices/Équations différentielles
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Exercice 7-1[modifier | modifier le wikicode]

Soient . Déterminer l'unique fonction dérivable sur vérifiant :

et .

Exercice 7-2[modifier | modifier le wikicode]

Un médicament administré par voie orale est éliminé par la fonction rénale. On suppose que la durée d'absorption par voie orale est négligeable (à , la quantité de produit est présente dans le tube digestif). La vitesse de passage du médicament du système digestif à la circulation sanguine est proportionnelle à la quantité de médicament restant dans le tube digestif (de constante d'absorption ). La vitesse d'élimination du médicament par les reins est proportionnelle à la quantité présente dans le sang (de constante d'élimination ). On note (respectivement ) la quantité de médicament présente dans le tube digestif (resp. dans le sang) à l'instant .

  1. Calculer la quantité de médicament dans le tube digestif en fonction du temps.
  2. Expliquer la relation suivante : . En déduire l'expression de .
  3. Au bout de combien de temps la quantité de médicament dans le sang sera-t-elle maximale ?

Exercice 7-3[modifier | modifier le wikicode]

L'effectif (exprimé en milliers) d'une population de microbes s'accroît, pendant l'intervalle de temps , de la moitié du produit .

  1. Établir l'équation différentielle satisfaite par .
  2. On pose . Donner l'équation différentielle satisfaite par .
  3. Donner l'expression de et en déduire .
  4. Sachant que , étudier l'évolution de la population au cours du temps. En particulier, quel est l'effectif limite quand tend vers l'infini ?

Exercice 7-4[modifier | modifier le wikicode]

Un bateau-citerne a coulé au large de la Bretagne. On souhaite alors retirer le pétrole restant dans une de ses cuves. Pour ce faire, on introduit dans la cuve une quantité de bactéries qui ont la propriété d'éliminer le pétrole. Ces bactéries se reproduisent et l'on note la quantité de bactéries présentes dans la cuve au temps . On suppose que l'évolution de la quantité de bactéries suit la propriété suivante : pendant un petit intervalle de temps , la variation de quantité est proportionnelle (avec un coefficient constant ) à et la quantité de bactéries présentes dans la cuve.

  1. Expliquer pourquoi satisfait l'équation différentielle .
    Donner alors l'expression de et tracer approximativement le graphe de .
  2. Pour tout , on note le temps nécessaire pour que la quantité au temps soit le double de la quantité au temps (temps de doublement de vies). Montrer que ne dépend pas de et en donner une expression en fonction de .
  3. On suppose que le temps est exprimé en heures. On a observé qu'au bout de 3 heures, la quantité de bactéries avait doublé par rapport à la quantité de départ . Calculer alors .
  4. On suppose que . Avec la valeur de donnée à la question précédente, calculer le temps au bout duquel on aura bactéries dans la cuve.
    On note la quantité de pétrole présent dans la cuve. On suppose qu'à , on avait une quantité . On suppose que l'élimination du pétrole par les bactéries se fait de la façon suivante : la vitesse d'élimination de la quantité de pétrole éliminé est proportionnelle (avec un coefficient constant ) à la quantité de bactéries présentes dans la cuve.
  5. En utilisant cette hypothèse, donner l'expression de . En déduire alors que
    .
  6. Tracer approximativement le graphe de et déterminer, en fonction de , , et , le temps à partir duquel toute la quantité de pétrole aura disparu.

Exercice 7-5[modifier | modifier le wikicode]

On étudie la réaction chimique suivante : . La vitesse de réaction est proportionnelle aux concentrations de et  : . On suppose qu'au départ il n'y a pas de produit . Exprimer en fonction du temps les concentrations , et (on pourra chercher et réels tels que ).