Fonction exponentielle/Dérivée de exp(u)

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Dérivée de e^ax+b

On considère des fonctions de paramètres a et b écrites sous la forme : $x\mapsto e^{ax+b}$.

Par exemple, soit la fonction ƒ définie par : $f(x)=e^{2x+1}$ $\mathrm{\forall }x\in ℝ$

ƒ est la fonction composée de la fonction affine $u:x\mapsto 2x+1$, définie sur $ℝ$,

et de la fonction exponentielle $e^x$, ce que l’on représente par le schéma suivant :

$\begin{array}{ccccc}x& \to & u(x)& & \\ & & t& \to & e^t=e^{u(x)}\end{array}$

Pour calculer l’expression de ƒ', on utilise le théorème suivant :

Début d’un théorème

Théorème

Soient a et b deux réels.

Soit g une fonction définie par $g:x\mapsto f(ax+b)$ sur un intervalle I.

Si ƒ est dérivable au point d'abscisse x alors g est dérivable au point d'abscisse a x + b et : $g^{\prime }(x)=a\cdot f^{\prime }(ax+b)x\in I$

Fin du théorème

Dans notre cas particulier, pour tout $x\in ℝ,f^{\prime }(x)=2\cdot e^{2x+1}$

Dérivée de e^u(x)

Toujours dans l'exemple de la fonction ƒ, on avait, pour tout $x\in ℝ,u^{\prime }(x)=a=2$.

On généralise ce procédé dans le cas où u(x) n’est pas forcément une fonction affine.

Début d’un théorème

Théorème

Soit u(x) une fonction dérivable sur un intervalle I.

Alors e^u(x) est dérivable sur I et :

$(e^{u(x)}{)}^{\prime }=u^{\prime }(x)\times e^{u(x)}$

Fin du théorème

Exemples

Sans se préoccuper de l’intervalle I, dériver les fonctions ƒ suivantes :

Exemple 1

$f:x\mapsto e^{x^2+1}$

Pour tout $x\in I,u(x)=\dots$.

Pour tout $x\in I,u^{\prime }(x)=\dots$

Donc pour tout $x\in I,f^{\prime }(x)=\dots$

Solution

Pour tout $x\in I,u(x)=x^2+1$

Pour tout $x\in I,u^{\prime }(x)=2x$

Donc pour tout $x\in I,f^{\prime }(x)=2x\cdot e^{x^2+1}$

 

Exemple 2

$f:x\mapsto e^{2x^3+1}$

Solution

Pour tout $x\in I,u(x)=2x^3+1$

Pour tout $x\in I,u^{\prime }(x)=6x^2$

Donc pour tout $x\in I,f^{\prime }(x)=6x^2\cdot e^{2x^3+1}$

 

Exemple 3

$f:x\mapsto e^{x^2+2x+1}$

Solution

Pour tout $x\in I,u(x)=x^2+2x+1$

Pour tout $x\in I,u^{\prime }(x)=2x+2=2(x+1)$

Donc pour tout $x\in I,f^{\prime }(x)=2(x+1)\cdot e^{x^2+2x+1}$

 

Exemple 4

$f:x\mapsto e^{(x+1{)}^2}$

Solution

Pour tout $x\in I,u(x)=(x+1{)}^2=x^2+2x+1$

Pour tout $x\in I,u^{\prime }(x)=2x+2=2(x+1)$

Donc pour tout $x\in I,f^{\prime }(x)=2(x+1)\cdot e^{(x+1{)}^2}$

 

Exemple 5

$f_5:x\mapsto -3e^{5x^2+3}$

Solution

Pour tout $x\in I,u(x)=5x^2+3$

Pour tout $x\in I,u^{\prime }(x)=10x$

Donc pour tout $x\in I,f^{\prime }(x)=-30x\cdot e^{5x^2+3}$

 

Exemple 6

$f_6:x\mapsto x(3e^{5x^2+3})$

Solution

On remarque que pour tout $x\in I,f_6(x)=-x\cdot f_5(x)$ Donc pour tout $x\in I$ $\begin{array}{cc}{f_6}^{\prime }(x)& =-(1\cdot f_5(x)+x{f_5}^{\prime }(x))\\ & =-3e^{5x^2+3}-30x^2\cdot e^{5x^2+3}\\ & =(3+30x^2)e^{5x^2+3}\\ & =3(1+10x^2)e^{5x^2+3}\end{array}$

 

Exemple : l’exponentielle décroissante

On considère la fonction définie sur $ℝ$ par $f:x\mapsto e^{-x}$

On a alors, pour tout $x\in ℝ,f^{\prime }(x)=\dots$ et le tableau de variations :

x
ƒ'
ƒ

Les limites aux bornes du domaine de définition de la fonction exponentielle sont :

• $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{e}^{-x}=\dots$
• $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{e}^{-x}=\dots$

Solution

Pour tout $x\in ℝ,f^{\prime }(x)=-e^{-x}$

• $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{e}^{-x}=0$
• $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{e}^{-x}=+\mathrm{\infty }$

$\begin{array}{cccc}x& -\mathrm{\infty }& & +\mathrm{\infty }\\ \text{Sgn(f'(x))}& & -& \\ & +\mathrm{\infty }& & \\ \text{Var(f(x))}& & \searrow & \\ & & & 0\end{array}$

On peut remarquer que ƒ' = - ƒ ce qui fait de ƒ l’archétype de la solution des situations où, plus x augmente, plus ƒ diminue. Physiquement, on retrouve ce comportement dans de nombreuses situations : décharge d’un condensateur, freinage par frottements fluides, loi exponentielle en fiabilité, et bien d’autres…