Leçons de niveau 14

Dynamique/Énergétique du point matériel

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Énergétique du point matériel
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Chapitre no 5
Leçon : Dynamique
Chap. préc. :Deuxième Loi de Newton
Chap. suiv. :Moment cinétique et théorèmes s'y rapportant
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Dynamique/Énergétique du point matériel
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L’énergétique est l’étude de l’énergie d'un corps, de ses différentes formes et de son échange avec le milieu extérieur.

L’énergie est une grandeur définie à l’aide du principe de conservation : par définition, l’énergie est une grandeur qui se conserve à l’échelle de l’Univers. L’Univers tout entier possède une certaine quantité d’énergie sensée ne jamais varier. Nous étudierons alors des résultats de conservation de l’énergie en mécanique, mais également de non-conservation (si l’énergie de l’Univers est sensée se conserver, rien n’interdit de penser que l’énergie d'un certain système particulier ne se conserve pas, et est transférée vers un autre système).

L'étude de l'énergie sera également l'occasion pour nous d'énoncer et de démontrer de nouveaux théorèmes de mécanique, qui rendront plus simple la résolution de certains problèmes de mécanique.

Puissance et travail d'une force[modifier | modifier le wikicode]

Soit un point matériel de masse soumis à une force et se déplaçant à une vitesse . La puissance de cette force est, par définition, la grandeur

Il est important de remarquer que la puissance dépend du référentiel (puisque la vitesse en dépend)

Le travail élémentaire de est, par définition, la grandeur (la dernière égalité provenant du fait que )

Le travail total entre deux points et est égal à

Le travail représente l'énergie que cède une force à un système. Si ce travail est positif, la force cède effectivement de l'énergie au système. Si ce travail est négatif, la force retire de l'énergie au système, et, ce faisant, s'oppose au mouvement. On parle alors de travail résistif.

Il est noté et non pas car il ne s'agit pas de la variation infinitésimale d'une fonction : contrairement, par exemple, à la vitesse que l'on peut définir en chaque instant et pour laquelle on peut donc représenter (qui est, en gros, égal à quand devient petit), on ne peut pas faire cela pour le travail car le travail, par définition, n'est pas une grandeur instantané : c'est une grandeur qui symbolise la variation d'énergie entre deux instants (qui peuvent, éventuellement, être infiniment proches). C'est une grave erreur que d'écrire , car cette erreur dénote un problème conceptuel : l'étudiant qui commet cette erreur n'a pas compris la définition du travail.

Énergie cinétique et théorèmes s'y rapportant[modifier | modifier le wikicode]

L'énergie cinétique est une grandeur que l'on note (K pour "κινετικος", "kinêtikos", mot grec signifiant "cinétique") ou et qui est égal, par définition, à

Remarquons, une fois de plus, que cette grandeur dépend du référentiel, puisque la vitesse en dépend (même si cette dépendance n'est ici pas notée, pour ne pas alourdir les notations)

Théorème de la puissance cinétique[modifier | modifier le wikicode]

Considérons un point matériel de masse constante soumis à et évoluant à une vitesse dans un référentiel galiléen . On peut donc appliquer la deuxième Loi de Newton qui donne

Multiplions scalairement cette relation par . On obtient

Or (la première égalité s'obtenant grâce à la formule de dérivation d'une composée), et nous aboutissons donc à l'énoncé du théorème de la puissance cinétique :

Théorème de l'énergie cinétique[modifier | modifier le wikicode]

Considérons un point matériel de masse constante soumis à et évoluant à une vitesse dans un référentiel galiléen . On peut donc appliquer le théorème de la puissance cinétique, qui donne , soit , et, en intégrant entre et , nous aboutissons à l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique

Énergie mécanique et théorèmes s'y rapportant[modifier | modifier le wikicode]

Notion de force conservative et d'énergie potentielle[modifier | modifier le wikicode]

Une force est dite conservative si son expression dépend uniquement de la position du point. Par exemple, la force de gravitation terrestre est conservative, car elle ne dépend que de la position du point. Par contre, la force de frottement linéaire dépend de la vitesse, et n'est donc pas conservative.

Il existe alors une certaine fonction d'état telle que (ce résultat est à admettre, il se démontrerait en mathématique avec des outils de calcul différentiel très poussés). En intégrant, on obtient alors  : il faut donc comprendre que cette fonction n'est définie qu'à une constante arbitraire près, et que seul (ou ) a un sens physique.

Nous avons donc établi que . En utilisant la définition intrinsèque du gradient, il vient

Notion d'énergie mécanique[modifier | modifier le wikicode]

Soit un point matériel de masse soumis à , dont certaines sont conservatives (et admettent donc une énergie potentielle). On appelle énergie mécanique la grandeur désigne la énergie potentielle associée à la force conservative.

Théorème de l'énergie mécanique[modifier | modifier le wikicode]

Considérons un point matériel de masse constante soumis à (dont certaines sont conservatives) et évoluant à une vitesse dans un référentiel galiléen .

On note désigne une force conservative et une force non conservative.

On peut appliquer le théorème de l'énergie cinétique, qui donne , soit. En soustrayant de chaque côté par , on obtient l'énoncé du théorème de l'énergie mécanique

À partir de là, on peut énoncer un résultat de conservation de l'énergie : Tout sytème soumis uniquement à des forces conservatives voit son énergie mécanique se conserver.

Théorème de la puissance mécanique[modifier | modifier le wikicode]

Considérons un point matériel de masse constante soumis à (dont certaines sont conservatives) et évoluant à une vitesse dans un référentiel galiléen .

On note désigne une force conservative et une force non conservative.

On peut appliquer le théorème de l'énergie mécanique, qui donne soit sous forme infinitésimale , ce qui en divisant de chaque côté par donne l'énoncé du théorème de la puissance mécanique.

Applications de ces théorèmes[modifier | modifier le wikicode]

Calculs de travaux et d'énergie potentielle[modifier | modifier le wikicode]

Travail d'une force constante, cas particulier du poids[modifier | modifier le wikicode]

Si la force est constante, alors

Dans le cas du poids, on a donc

Travail d'une force de frottements linéaire[modifier | modifier le wikicode]

On a alors et on en conclut donc que le travail de la force de frottements est toujours résistif (la démonstration serait analogue pour des frottements quadratiques)

Cas d'une force orthogonale[modifier | modifier le wikicode]

Considérons une force orthogonale au mouvement (au moins pendant un instant infinitésimale), ce qui signifie que .

On dit dans ce cas que la force ne travaille pas. Elle ne fournit ni ne retire de l'énergie à un système.

Calcul de l'énergie potentielle gravitationnelle et de l'énergie potentielle électrostatique[modifier | modifier le wikicode]

On a . Cette force est conservative (elle ne dépend que de la position). On calcule donc

soit soit . On pose en générale

Concernant la force électrostatique, on a . L'expression de la force électrostatique est analogue à l'expression de la force gravitationnelle (une constante multipliée par le produit des grandeurs caractéristiques (la masse ou la charge) et divisé par la distance au carré, le tout porté par un vecteur radial). Aussi les calculs sont-ils analogues également. On peut mener exactement les mêmes calculs et on trouve et on pose en générale

Calcul de l'énergie potentielle de pesanteur[modifier | modifier le wikicode]

On a . Cette force est conservative (elle est même constante). On calcule donc

, soit , soit et on pose en générale

Calcul de l'énergie potentielle élastique[modifier | modifier le wikicode]

On a . Cette force est conservative (elle ne dépend que de la position). On calcule donc et on trouve donc , soit . On pose en général

Calculs des positions d'équilibre, notion de stabilité ou d'instabilité d'un équilibre[modifier | modifier le wikicode]

Considérons un système soumis uniquement à des forces conservatives. La première loi de Newton nous donne une condition nécessaire et suffisante d'équilibre, à savoir . On obtient alors une nouvelle condition d'équilibre, à savoir . De plus, dans le cas particulier où la force (et donc l'énergie potentielle) ne dépend que d'un seul paramètre de longueur , cette condition devient alors : Il y a équilibre en si . Dans le cas particulier où la force (et donc l'énergie potentielle) ne dépend que d'un seul paramètre angulaire , cette condition devient alors : Il y a équilibre en si , soit

L'étude énergétique nous permet également de discuter de la nature stable ou instable d'un équilibre. Soit une position d'équilibre, et soit un point placé en cette position d'équilibre. L'équilibre est dit stable si, lorsque l'on éloigne le point de cette position, il a naturellement tendance à retrouver cette position d'équilibre (par exemple, une bille posée dans un bol est en équilibre stable quand elle est au fond du bol). L'équilibre est dit instable si, lorsque l'on éloigne le point de cette position, il ne retrouve pas cette position (par exemple, une bille posée tout en haut d'une haut d'une colline est en équilibre instable, si on l'éloigne du sommet elle dévalera la co lline et ne retrouvera pas le sommet).

Courbe d'énergie potentielle

La stabilité ou l'instabilité d'un équilibre se situe de la courbe d'énergie potentielle (voir figure ci-contre). Si, en une position d'équilibre (ie en un maximum ou un minimum d'énergie potentielle), la courbe est convexe (c'est-à-dire au dessus de sa tangente), alors la position est stable (position B sur la figure ci-contre). Si en une position d'équilibre la courbe est concave (c'est-à-dire au dessous de sa tangente), alors la position est instable (position A sur la figure ci-contre).

Mathématiquement, soit une position d'équilibre. Cet équilibre est stable si, et seulement si,

Il est instable si

(Le résultat serait analogue pour une variable angulaire)

Application du théorème de l'énergie cinétique[modifier | modifier le wikicode]

On rappelle l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique

Partons d'un exemple : considérons un objet en chute libre sans vitesse initiale et ne subissant pas de frottements. On sait donc qu'à , et . On cherche à déterminer quelle est la vitesse de l'objet quand il atteint une position .

Ce problème est parfaitement résoluble en utilisant le principe fondamental de la dynamique, en procédant comme suit : on commence par déterminer l'équation différentielle du mouvement, puis on obtient l'équation paramétrique du mouvement, et on résout une équation du type . Cependant, le théorème de l'énergie cinétique va nous permettre de résoudre plus rapidement ce problème. De façon générale, le théorème de l'énergie cinétique doit être utilisé quand on cherche à déterminer une vitesse connaissant une autre vitesse et une position, ou une position connaissant une autre position et une vitesse.

Appliquons le théorème de l'énergie cinétique dans le cas de notre problème. Pour simplifier, notons l'instant initial et l'instant. On a alors

Or, à l'instant , et . De plus, à l'instant , . Il vient donc et ainsi

Application du théorème de la puissance cinétique[modifier | modifier le wikicode]

La deuxième loi de Newton est une relation vectorielle. On obtient donc, en l'utilisant, trois relations. L'une d'entre elle nous permet d'obtenir l'équation différentielle du mouvement, et les deux autres sont, ou bien inutiles, ou bien intéressantes pour déterminer des forces inconnues (force de tension d'un fil, de réaction, etc). Cependant, cette démarche peut être lourde, notamment dans des cas où il faut effectuer des projections lourdes et fastidieuses.

Le théorème de la puissance cinétique, quant à lui, est un théorème scalaire. Il est donc particulièrement intéressant quand on s'intéresse à un problème à un degré de liberté. Pour illustre cela, reprenons l'exemple du pendule simple. On se place dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen, et en coordonnées polaires. Le système est soumis à la force de tension du fil et au poids. Appliquons le théorème de la puissance cinétique.

Déterminons ensuite . On a . Nous sommes en coordonnées polaires, donc est la longueur du fil (qui est une constante car le fil est supposé absolument indéformable). Ainsi, et donc . Ainsi, .

Il vient donc, par simple calcul de dérivation, que

Calculons maintenant les puissances du poids et de la force de tension.

Concernant la force de tension, on a et . Or, et étant orthogonaux,

Pour ce qui est du poids, on a et . Ainsi,

L'application du théorème de l'énergie cinétique donne donc

soit

On retrouve ainsi l'équation différentielle du mouvement du pendule simple obtenue avant grâce à la deuxième loi de Newton.

Application du théorème de l'énergie mécanique[modifier | modifier le wikicode]

Le théorème de l'énergie mécanique s'utilise comme le théorème de l'énergie cinétique, et permet de répondre aux mêmes questions.

Application du théorème de la puissance mécanique[modifier | modifier le wikicode]

Le théorème de la puissance mécanique s'utilise comme le théorème de la puissance cinétique, et permet de répondre aux mêmes questions.