Leçons de niveau 14

Dynamique/Deuxième Loi de Newton

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Deuxième Loi de Newton
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Chapitre no 4
Leçon : Dynamique
Chap. préc. :Forces
Chap. suiv. :Énergétique du point matériel
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Dynamique/Deuxième Loi de Newton
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Introduction[modifier | modifier le wikicode]

Le but de ce chapitre est d'apprendre à appliquer la deuxième loi de Newton pour caractériser un mouvement. Ce chapitre se construit en étudiant plusieurs situations types, à la difficulté croissante. Afin de bien se préparer à ce chapitre, on donne ici quelques définitions :

  • On appelle équation différentielle du mouvement une équation différentielle liant l'accélération, la vitesse et la position d'un objet.
  • On appelle équation horaire du mouvement la connaissance du vecteur position en fonction du temps, c'est-à-dire la connaissance d'une relation du type , où est une fonction quelconque
  • On appelle équation de la trajectoire la connaissance d'une grandeur de repérage en fonction d'une autre. Par exemple, en coordonnées cartésiennes, une relation du type est une fonction quelconque, est une équation de la trajectoire.

L'utilisation de la deuxième loi de Newton permet de déterminer, a minima, l'équation différentielle du mouvement. Lorsque celle-ci est simple (linéaire, etc), on peut la résoudre et ainsi obtenir l'équation horaire du mouvement. Il n'est en revanche pas toujours possible d'obtenir l'équation de la trajectoire.

Méthode de résolution d'un problème mécanique[modifier | modifier le wikicode]

Pour résoudre un problème de mécanique, on doit fonctionner comme suit :

  1. Déterminer le système à étudier
  2. Déterminer le référentiel d'étude et discuter de son caractère galiléen ou non galiléen. Au début du cours, on s'arrangera pour toujours trouver un référentiel galiléen, mais cela ne sera plus nécessaire quand on aura étudié les effets du caractère non galiléen d'un référentiel.
  3. Déterminer un système de repérage.
  4. Faire le bilan des forces s'appliquant sur le système
  5. Choisir quel résultat physique utiliser (le seul connu pour l'instant est la Deuxième Loi de Newton, mais on verra d'autres plus tard)
  6. Obtenir par cette loi physique l'équation différentielle du mouvement

Détermination d'un équilibre[modifier | modifier le wikicode]

Ce problème est un problème un peu à part mais suffisamment important pour être traité. On parle d'équilibre d'un système quand ce système considéré ne bouge pas. L'étude des équilibres s'appelle la statique.

Pour étudier si un système est en équilibre, on va plutôt utiliser la première loi de Newton. Voilà comment procéder :

  1. Déterminer le système à étudier
  2. Déterminer le référentiel d'étude. Il doit être galiléen, car l'on va utiliser la propriété fondamentale des référentiels galiléens selon laquelle tout corps isolé suit un mouvement rectiligne uniforme.
  3. Faire le bilan des forces s'appliquant sur le système
  4. Si la somme des forces s'appliquant sur le système n'est pas nul, le système ne peut pas être en équilibre. Sinon, il suit un mouvement rectiligne uniforme
  5. Dans le cas où la somme des forces s'appliquant sur le système est nul, le mouvement est donc rectiligne uniforme. On détermine ensuite, à partir des conditions initiales, la vitesse du système. Si elle est nulle, on a équilibre.

Cependant, il sera également souvent intéressant d'utiliser cette propriété à l'envers, c'est-à-dire, en sachant que le système étudié est à l'équilibre, d'utiliser la relation (cela pourra être intéressant, par exemple, pour déterminer la valeur d'une force inconnue)

Chute libre sans frottements[modifier | modifier le wikicode]

Équation différentielle du mouvement, équation horaire du mouvement et équation de la trajectoire dans le cas le plus général[modifier | modifier le wikicode]

La chute libre est le mouvement d'un corps quand celui-ci n'est soumis qu'à son poids. On a alors

Le système à étudier est le point matériel de masse .

On choisit comme référentiel le référentiel terrestre, que l'on peut considérer comme galiléen au vu de la durée très courte de l'expérience face à la durée de rotation de la Terre sur son axe. On choisit comme repère le repère cartésien de centre égal à la position du point au début de l'expérience.

Le bilan des forces a été effectué ci-dessus, et on peut donc directement appliquer la deuxième loi de Newton, qui donne ici , soit

L'accélération d'un corps en chute libre sans frottements est donc constante et indépendante de sa masse. En projetant sur chacun des axes, on trouve

Un simple calcul de primitive permet de trouver

La détermination des constantes se fait grâce aux conditions initiales, c'est-à-dire grâce à la connaissance de la vitesse et de la position du point à

Un nouveau calcul de primitive permet de trouver que

Une fois de plus, la détermination des constantes se fait grâce aux conditions initiales.

Le calcul effectué ici a été fait dans le cas le plus général possible, mais, en vérité, il y a toujours une des deux grandeurs ou qui est nul. L'une des deux premières équations horaires du système ci-dessus devient alors constamment nul, et, ainsi, le mouvement ne dépend plus que de deux coordonnées : le mouvement est donc plan. Supposons par exemple que soit constamment nul, et pas . On a alors . En remplaçant le facteur par le facteur , on peut obtenir l'équation de la trajectoire.

Cas où le vecteur vitesse initial est nul[modifier | modifier le wikicode]

On a alors . Toutes les équations du dessus deviennent donc nulles, à l'exception de la troisième qui devient .

Le mouvement ne dépend que d'un seul paramètre d'espace et est donc rectiligne. Son accélération étant constante, il est donc uniformément varié.

Chute libre avec frottements[modifier | modifier le wikicode]

En plus du poids, on ajoute également la force de frottements (le terme "chute libre" est donc un peu abusif ici, mais est globalement accepté)

Le système à étudier est le point matériel de masse .

On choisit comme référentiel le référentiel terrestre, que l'on peut considérer comme galiléen au vu de la durée très courte de l'expérience face à la durée de rotation de la Terre sur son axe. On choisit comme repère le repère cartésien de centre égal à la position du point au début de l'expérience.

Frottements proportionnels à la vitesse[modifier | modifier le wikicode]

Le bilan des forces donne ici

On applique donc la deuxième Loi de Newton, et on trouve donc

On trouve donc une équation différentielle vectorielle du second ordre. Les équations différentielles du second ordre sont lourdes et fastidieuses à résoudre, aussi préfère-t-on autant que faire se peut se ramener à une équation du premier ordre. C'est ici parfaitement faisable, puisque l'équation est en vérité absolument équivalente à

soit

On peut, à partir de là, projeter le vecteur vitesse sur chacune des composantes. On aboutit alors à trois équations différentielles du premier ordre, que l'on peut résoudre grâce au cours de maths sur les équations différentielles.

Frottements proportionnels au carré de la vitesse[modifier | modifier le wikicode]

Le bilan des forces donne ici

On applique alors la Deuxième Loi de Newton, et il vient alors

Cette équation différentielle vectorielle n'est pas linéaire, et, même si on la projette sur les axes cartésiens, on trouve (on prend un axe descendante cette fois)

ce qui n'est toujours pas linéaire. On obtient même un couplage entre les différentes coordonnées, puisque plusieurs coordonnées apparaissent dans une seule équation, les coordonnées du vecteur vitesse ne sont donc pas indépendantes les unes des autres.

Système masse-ressort sans frottements[modifier | modifier le wikicode]

Un système masse-ressort est constitué d'un ressort, de masse négligeable, fixé à l'une de ses extrémités à un bâti fixe, et, où à l'autre extrémité est attaché une masse ponctuelle de masse . On considère de plus que le ressort ne décolle pas, c'est-à-dire que le mouvement est entièrement horizontal, et donc que le poids ne se fait pas ressentir (ce qui est vrai si le ressort est posé à l'horizontal sur un support fixe, une table par exemple).

On décide ici de négliger les frottements.

Le système étudié est la masse ponctuelle de masse . On se place dans le référentiel terrestre supposé galiléen, et on utilise un sytème cartésien (à une seule coordonnée, le mouvement étant supposé horizontal). On place l'origine du système cartésien à la position qu'a le point matériel quand le ressort est dans sa position d'équilibre.

Le bilan des forces donne

soit, en appliquant la Deuxième Loi de Newton et en projetant sur l'unique axe du problème :

On peut à partir de là déterminer l'équation horaire du mouvement. On évite ici de trop s'y attarder car on y reviendra plus en détail lors de l'étude des oscillateurs, où l'on verra que cette équation joue un rôle fondamental.

Pendule simple[modifier | modifier le wikicode]

Un pendule simple consiste en un point matériel de masse fixé à une extrémité d'un fil supposé raide et donc absolument indéformable, l'autre extrémité du fil étant supposé immobile (clouée à un mur, par exemple). Le fil est, de plus, supposé parfait, c'est-à-dire que la force de tension du fil est la même en tout point de ce fil. On suppose, enfin, la masse du fil négligeable.

Le système étudié est le point matériel de masse , dans le référentiel terrestre que l'on peut supposer galiléen. On se place en coordonnées polaires, avec pour origine le centre de rotation du point

Le bilan de force donne

La deuxième loi de Newton donne alors

Or, le fil étant supposé raide, la distance entre le point et le centre de rotation est constante. Le mouvement est donc circulaire. En se souvenant de ce qui a été vu sur le mouvement circulaire en cinématique, et en projetant, on trouve

La deuxième équation prise seule donne , ce qui est l'équation différentielle du mouvement (la seconde équation serait intéressante si nous avions résolu l'équation différentielle du mouvement et souhaitions déterminer ). Elle n'est hélas pas linéaire, et donc à priori insoluble (en vérité les mathématiciens savent la résoudre, mais ce n'est pas de votre âge). On peut donc utiliser la méthode d'Euler pour y déterminer une solution approchée. Cependant, si (approximation des petits angles), on a, par développement limité, , et l'équation devient , qui est une équation absolument analogue à celle obtenue pour le système masse-ressort sans frottements.

Système masse-ressort avec frottements linéaires[modifier | modifier le wikicode]

On reprend ici l'étude du système masse-ressort, mais on décide ici de prendre en compte des frottements linéaires. La démarchez est absolument analogue.

Le système étudié est la masse ponctuelle de masse . On se place dans le référentiel terrestre supposé galiléen, et on utilise un sytème cartésien (à une seule coordonnée, le mouvement étant supposé horizontal). On place l'origine du système cartésien à la position qu'a le point matériel quand le ressort est dans sa position d'équilibre.

Le bilan des forces donne

Il vient, par application de la Deuxième Loi de Newton et par projection sur l'unique axe du problème :

Une fois de plus, on peut à partir de là déterminer l'équation horaire du mouvement, mais on évite ici de s'y attarder car on reviendra plus en détail lors de l'étude des oscillateurs.